专题01 规律探究 (解析版)

专题01 规律探究题

类型1：数字规律探究

（2019·怀化中考）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_____．

【答案】n -1

【解析】由题意“分数墙”的总面积1111

2341234n n n

=?+?+?++?=-L ， 故答案为1n -． 思路点拨

此类问题解答时要关注对应位置上数字变化的规律，以总结出通项公式，并根据公式解决问题.

巩固练习

1、（2019·黄石中考真题）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵

1

47

101316

192225283134374043L L L L

则第20行第19个数是_____________________

【答案】625

【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，

∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628， ∴第20行第19个数是：628-3=625， 故答案为：625．

2、（2019·随州中考）若一个两位数十位、个位上的数字分别为,m n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知

10mn m n =+；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如10010abc a b c =++．

（基础训练） （1）解方程填空：

①若2345x x +=，则x =______； ②若7826y y -=，则y =______； ③若9358131t t t +=，则t =______； （能力提升）

（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn nm +一定能被______整除，mn nm -一定能被______整除，mn nm mn ?-+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） （探索发现）

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；

②设任选的三位数为abc （不妨设a b c >>），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495 【解析】

(1)①∵10mn m n =+，

∴若2345x x +=，则10210345x x ?+++=， ∴2x =， 故答案为：2；

②若7826y y -=，则()10710826y y ?+-+=， 解得4y =， 故答案为：4；

③由10010abc a b c =++及四位数的类似公式得 若9358131t t t +=，

则10010931005108100011003101t t t +?++?++=?+?++， ∴100t=700， ∴7t =， 故答案为：7；

(2)∵()1010111111mn nm m n n m m n m n +=+++=+=+， ∴则mn nm +一定能被 11整除，

∵()()1010999mn nm m n n m m n m n -=+-+=-=-， ∴mn nm -一定能被9整除，

∵()()?1010mn nm mn m n n m mn -=++-

221001010mn m n mn mn =+++-

()

221010mn m n =++，

∴?mn nm mn -一定能被10整除， 故答案为：11；9；10；

(3)①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，

972279693-=， 963369594-=， 954459495-=，

954459495-=，

故答案为：495；

②当任选的三位数为abc 时，第一次运算后得：

()()100101001099a b c c b a a c ++-++=-，

结果为99的倍数，由于a b c >>，故12a b c ≥+≥+， ∴2a c -≥，又90a c ≥>≥， ∴9a c -≤，

∴2a c -=，3，4，5，6，7，8，9，

∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到：

981189792-=，972279693-=，963369594-=，954459495-=，954459495-=…故都可以

得到该黑洞数495．

典例2：式的规律探究

（2019·安徽中考模拟）观察下列等式：

第1个等式：a 1＝111(1)1323=?-? 第2个等式：a 2＝

1111()35235=?-? 第3个等式：a 3＝

1111()57257

=?-? …

请解答下列问题：

（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；

（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ ＝ （n 为正整数）； （3）求a 1+a 2+a 3+…+a 2017的值．

【答案】(1)1911?；1112911??- ???(2)()()12121n n -+；11122121n n ??- ?-+??

(3)2017

4035 【解析】

解：(1)观察下列等式： 第1个等式：a 1=

11111323

=-?（）

第2个等式：a 2=1111

35235=-?（）

第3个等式：a 3=

1111

57257=-?（） 第4个等式：a 4=

1111

79279

（）=-? …

第5个等式：a 5=1111

9112911=-?（）

故答案为1911?，111

2911

-（）；

(2)由(1)知，：a n =

()()1111

2n 12n 122n 12n 1=--?+-+（），

故答案为()()12n 12n 1-?+，111

22n 12n 1--+（

）；

(3)原式=113?+135?+157

?+ (140334035)

=12(1?13)+1 2(13?15)+1 2(15?17)+…+1

2

(199?1101) =1

2×(1?13+13?15+15?17+…+14033?14035)

=12×(1-14035)

=20174035

. 思路点拨

此类问题往往和整式计算或分式计算将结合，解答时要关注对应位置上数字变化的规律，以总结出通项公式，并根据公式进行计算解决问题.

巩固练习

1、（2018·安徽中考真题）观察以下等式：

第1个等式：1010

11212+

+?=， 第2个等式：1111

12323

++?=，

第3个等式：1212

1 3434

++?=，

第4个等式：1313

1 4545

++?=，

第5个等式：1414

1 5656

++?=，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.

【答案】（1）1515

++=1

6767

′；（2）

1111

++=1

11

n n

n n n n

--

?

++

，证明见解析.

【解析】

（1）观察可知第6个等式为：1515

1 6767

++?=，

故答案为1515

1 6767

++?=；

（2）猜想：1n-11n-1

1 n n1n n1

++?=

++

，

证明：左边=1n-11n-1

n n1n n1

++?

++

=

n1n n-1n-1

n n1

+++

+

（）

（）

=

n n1

n n1

+

+

（）

（）

=1，

右边=1，

∴左边=右边，∴原等式成立，

∴第n个等式为：1n-11n-1

1 n n1n n1

++?=

++

，

故答案为1n-11n-1

1 n n1n n1

++?=

++

.

2、（2019·河北模拟）计算张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．

请你结合这些算式，解答下列问题：

（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；

（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n–1（其中n 为正整数），则它们的平方差是8的倍数； （3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？请说明理由．

【答案】（1）92?72=8×4；112?92=8×5（2）两个连续奇数的平方差是8的倍数（3）不正确 【解析】(1)观察所给式子：找出规律：

92?72=8×4 112?92=8×5

（2）验证规律：设两个连续奇数为2n ＋1，2n －1（其中n 为正整数），则它们的平方差是8的倍数； (2n +1)2?(2n ?1)2=(2n +1?2n +1)(2n +1+2n ?1)， =2×4n =8n.

故两个连续奇数的平方差是8的倍数. （3）不正确，

解法一：举反例：42?22=12

因为12不是8的倍数，故这个结论不正确， 解法二：设这两个偶数位2n 和2n ＋2，

(2n +2)2?(2n )2=(2n2?2n )(2n +2+2n )=8n +4

因为8n ＋4不是8的倍数，故这个结论不正确.

典例3：图形规律探究

（2019·葫芦岛市模拟）如图，ABC ?中，90ACB ∠=?，30B ∠=?，1AC =，过点C 作1CD AB ⊥于1D ，过点1D 作12D D BC ⊥于2D ，过点2D 作23D D AB ⊥于3D ，这样继续作下去，线段1n n D D +（n 为正整数）等于（ ）.

A ．1

12n +??

???

B ．1

32n +??

???

C ．3n

??

D ．1

3n +??

【答案】D 【解析】

1AC =，160CAD ∠=?，133

1sin 601CD =??==

132CD =，1260D CD ∠=o ，2

123333sin 60D D ===??o

； 1234D D =，213

60D D D ∠=o ，23

233333sin 604222D D ???=?=?= ? ?????o

； 2333D D =324

60D D D ∠=o ，34

3433333sin 60D D ===????o

； 根据规律可知，1

13n n n D D ++=??

. 思路点拨

此题考查了往往和结合知识项联系，要解决问题需要逐步求出相应未知量，根据这些未知量的变化特征找到通项公式．

巩固练习

1、（2019·黑龙江中考真题）如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形

122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ?；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到

123A A A ?；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到234A A A ?……记12AA A ?、123A A A ?、231A A A ?的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S =_____．

【答案】20172 【解析】

Q 四边形11OAA B 是正方形，

1111OA AA A B ∴===，

1111122S ∴=??=，

190OAA ∠=o Q ，

2111112AO ∴=+=∴，

2232OA A A ∴==，

21

2112

S ∴=??=，

同理可求：31

2222S =??=，44S =…，

22n n S -∴=， 201720192S ∴=，

故答案为：20172．

2、（2019·淄博中考）如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．

如图，当CD =12AC 时，tanα1=3

4； 如图，当CD =1

3AC 时，tanα2=5

12； 如图，当CD =1

4AC 时，tanα3=7

24；

……

依此类推，当CD =1

n+1AC （n 为正整数）时，tanαn =_____． 【答案】2n+1

2n 2+2n

【解析】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，

分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，

(2n+1)2?1

2

，

(2n+1)2+1

2

中的中间一个．

∴tanαn =

2n+1

(2n+1)2?1

2

=2n+1

2n 2+2n .

故答案为：2n+1

2n 2+2n ．

典例4：坐标系内的规律探究

（2019·泰安中考）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形

111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直

线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.

【答案】(

21

2n

-【解析】解：根据根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,L 1

12n n n A C --=

所以可得正方形111OA B C 2 正方形1222C A B C 的对角线为2 正方形2333C A B C 的对角线为2

正方形3444C A B C 的对角线为82L 正方形1n n n n C A B C -的对角线为22n -所以前n 个正方形对角线的和为

1222428222(1248+2)2n n --+=++++L L =(21

2n

-

故答案为(

212n

-

思路点拨

此类问题考查通常与函数图象相结合，解答是除了注意要做到数形结合之外，还要根据相应函数的性质解决问题，以找到题目中包含的变化规律.

巩固练习

1．（2019·雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，直线13

:1y l x =

+与直线2:3l y x =交于点1A ，过1A 作x 轴的垂线，垂足为1B ，过1B 作2l 的平行线交1l 于2A ，过2A 作x 轴的垂线，垂足为2B ，过2B 作2l 的平行线交1l 于3A ，过3A 作x 轴的垂线，垂足为3B …按此规律，则点n A 的纵坐标为（ ）

A ．3()2

n

B ．1()12n +

C ．131()22n -+

D ．31

2

n -

【答案】A 【解析】

解：联立直线1l 与直线2l 的表达式并解得：3

x =，32y =，故13322A ?? ? ???

；

则点13

,0)2

B ，则直线12B A 的表达式为3y x b =+， 将点1B 坐标代入上式并解得：直线12B A 的表达式为：3332

y x =-， 将表达式3y 与直线1l 的表达式联立并解得：53

4

x =，94y =，即点2A 的纵坐标为94；

同理可得3A 的纵坐标为

27

8

， …按此规律，则点n A 的纵坐标为3()2

n

， 故选：A ．

2、（2019·东营中考）如图，在平面直角坐标系中，函数3

3

y x =

和3y x =-的图象分别为直线12,l l ，过1l 上的点13A ? ??作x 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作x 轴的垂线交

2l 于点4A ，…依次进行下去，则点2019A 的横坐标为_____．

【答案】10093-

【解析】解：由题意可得，

13A ? ??

，(21,3A -，(33,3A --，(43,33A -，5933A （，），69,93A -（），…， 可得21n A +的横坐标为3n

（-）

2019210091?+＝Q ，

∴点2019A 的横坐标为：1009100933（-）＝-，

故答案为：10093-．

典例5：周期规律探究

（2019·河北石家庄桥西区）如图所示，一动点从半径为2的O e 上的0A 点出发，沿着射线0A O 方向运动到O e 上的点1A 处，再向左沿着与射线1A O 夹角为60?的方向运动到O e 上的点2A 处；接着又从2A 点出发，沿着射线2A O 方向运动到O e 上的点3A 处，再向左沿着与射线3A O 夹角为60?的方向运动到O e 上的点4A 处；40A A 间的距离是________；…按此规律运动到点2019A 处，则点2019A 与点0A 间的距离是________.

【答案】3 2. 【解析】解：如图，

∵⊙O 的半径=2，

由题意得，A 0A 1=4，A 0A 2=23，A 0A 3=2，A 0A 4=23，A 0A 5=2，A 0A 6=0，A 0A 7=4，… ∵2019÷6=336…3，

∴按此规律运动到点A 2019处，A 2019与A 3重合， ∴A 0A 2019=A 0A 3=2，

故答案为：3 2. 思路点拨

所谓周期变化是指相应的量重复出现的情况，比如钟表的时针每隔12个小时会经过表盘上的同一个位置.解决这类问题要注意找出题目中的循环节，以确定未知量是经过若干次重复之后第几次出现.

巩固练习

1、（2019·河北中考模拟）如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O

2、O 3，……，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒2

π

个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是（ ）

A ．（2018，0）

B ．（2019，1）

C ．（2019，﹣1）

D ．（2020，0）

【答案】C 【解析】

解：点运动一个半圆用时为2

π

π＝2秒

∵2019=1009×2+1

∴2019秒时，P 在第1010个的半圆的中点处 ∴点P 坐标为（2019，-1） 故选C ．

2、（2019·湖南中考）观察下列等式：012345

71,77,749,7343,72401,716807,,======L 根据其中

的规律可得01220197777++++L 的结果的个位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．7 D ．8

【答案】A 【解析】

∵012345

71,77,749,7343,72401,716807,,======L

∴个位数4个数一循环，

∴()201914505+÷=， ∴179320+++=，

∴01220197777++++L 的结果的个位数字是：0． 故选A ．