高考数学高考必备知识点总结精华版

高考前重点知识

第一章?集合

（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性.无序性.

工集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A胃A ;

②空集是任何集合的子集，记为。包A ；

③空集是任何非空集合的真子集；

①〃个元素的子集有2〃个.〃个元素的真子集有2〃 -1个.〃个元素的非空真子集有2〃-2个.

［注］①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题。逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题。逆否命题.

交：A,且x e B}

2、集合运算：交、并、补产AU6Q{xlxeA或xe* 未卜：或A o {% ￡ （/,

且x任A}

（三）简易逻辑

构成复合命题的形式：p或q （记作〃pvq〃）； p且q （记作〃p 八q〃）；mEp（i己作、q〃） o

工〃或〃‘〃且"、"非"的真假判断

种命题的形式及相互关系:

原命题：若P则q；逆命题：若q则p；

否命题：若1 P则1 q ；逆否命题：若1 q则］Po ④、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

i命题为真它的否命题不一定为真。

@、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p=q那么我们说，P是q的充分条件，q是P的必要条

件。

若p=q且q = p,则称p是q的充要条件，记为p<=>q.

一.函数的性质

(工)定义域：(2)值域:

(3)奇偶性：(在整个定义域内考虑)

①定义：①偶函数：/(—x) = /(x),②奇函数：/(—x) = -/(X)

②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点

对称；c.求/(-X)；&比较/(T)与/(X)或/(T)与—/(X)的关系。

(4 )函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X1f X2,

。语当X1VX2时，都有f(XT)Vf(X2),则说f(X)在这个区间上是增函数；

(2语当X1f(X)则说f(X)在这个区间上是减函数?

二.指数函数与对数函数

指数函数> = /(〃>。且"。1)的图象和性质

对数函数y=logaX(a>0且awl)的图象和性国

(1)对数.指数运算：

(2) y = 4" ( a >? Q a W ])与y = log。x ( )互为反函数.

第三章数列

1.

。蹲差.等比数列:

第四章■三角函数

一.三角函数

工、角度与弧度的互换关系：360。=2］；180°= T ;

180

乃

Irad =——。b 57.300=57。18'; 10=-^?0.01745 (rad ) 7V

#

180

'

/

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数 为零.

三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)

sina ,

同角三角函数的基本关系式 ： ;一=tana sin 2 ez + cos 2

a = 1 V Oo Cv

sin2 a = 2sin a ? cos 二

(2 )数列｛册｝的前〃项和S 〃与通项时的关系:册=

S] =。1（〃 =

1）

% -S

n-l （〃

2、

弧长公式：/ =1。I 扇形面积公式：s 扇形= 3、 y

三角函数：sina 二二； X cosct =

— ? V tan tz

=— x

5.

6、 7、 诱导公式： 两角和与差公式 8、 二倍角公式是：

cos2cr = cos 2 a-sin 2 a = 2cos 2

a-l=l - 2sin ，a 2 tan 。

tan 2 \~~：~~?0

1 —tarr a °

辅助角公式asin0+bcose= &『+ b? sin （6+夕），这里辅助角 b 。所在象限由a. b 的符号确定，。角的值由tan 确定。

c 2

= a 2

+b 2

- 2bccosC , b 2

= a 2

+c 2

- 2accosB , a 2

= b 2

+c 2

-

2bccosA .

面积公式:

工2.丁 二加（侬+ 0）的对称轴方程是工=取+]（ keZ ），对称中心 （k 兀,0 ） ; y = cos （oi￥+9）的对称轴方程是工=A TT （ k^Z ） ，对称

中

]

k 7T

9sinB sinC [ 1. y = sin （皿+。）或〉= cos （5 +。）（口 w0 ）的周期, 27r co

?

10,正弦定理

（?为外接圆半径）.

心(氏+百肛。)；)'=tan(6UY + (p)的对称中心(三，0 ).

第五章■平面向量

Q)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的长度:即向量的大小，记作| 口 |?

|cz | = TX2 + >2 cl =(X> (3)特殊的向量：零向量a =。。| a | =。.

单位向量。为单位向量=|^|=1.

(4)相等的向量：大小相等，方向相同(X，，yi)= ( x2, y2)

o =/

[必=丫2

(5)相反向量：a = -b<^b=-a<^a + b = Q

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作〃II b .平行向量也称为共线向量.

(7 ).向量的运算

(8)两个向量平行的充要条件

7文档收集于互联网，己整理，word版本可编辑.

a = Ab

<=> 、 或 — %2乂 二

(9)两个向量垂直的充要条件

a ±

b a^b =0 <=>Xi>X2+yvy2 = 0

u- b + y x y 2

(io)两向量的夹角公式：cose= |“卜?加=后寿工

o

附：三角形的四个“心”；

(11)^ABC 的判定:

c? <。2+〃2。也48V 为钝角^0/人 + zB< y

兀

厂 > [2+/。4/86'为锐角a0/人 + zB> y

第六章.不等式

工.几个重要不等式

(1) ae/?,a 2

>0,|a|>0 当且仅当 〃 =0,取嗔"(a - b)2“(a 、b WR)

a\\b {b 工。)

工、 2、 3、 内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

重心：中线的交点 垂心：高的交点 C 2=4/2+/?2

<^>A

71

ABC 为直角△ % + /B =5

(:H)

.

(2 ) u,b e R、则I +b~ > 2ab

(3)w R+，则〃 +

；

+1)- a + b)

(4)］一)(—; ) ) ci + b 9 (5语 a 、bwR+,,则。+/2(-y-)%/eR)

2ab /-- a + b a 2 +b 2

z f 2、 ---

2、解不等式

(1) 一元一次不等式“X > b(a w 0)

> 0,< xx >

(2)tz < 0,< xx< — >

J I )

(2 ) 一元二次不等式ax? + /?x + c > 0, (^ > 0)

第七章?直线和圆的方程

一.解析几何中的基本公式

工.两点间距离：若A(X1,y)B(X2，y2),则|4日=— 1尸+(X —/产

2.平行线间距离：若L ： Ax + By+C, =0,

12 : Ax + By+C 2=0

|c, -Cd

则：d 二」」二，

注意：X , y 对应项系数应相等。

3.点到直线的距离：P(x0,y) 1： Ax + By+C =。

ax 2

+ + c = 0 ,务必注意△ >0若I 与曲线交于A (X2]), 8(尢2，为)

则P 到I 的距离为：d =

|Ax o + By o +C

4 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

y = kx + b .

F(x, y) = 0 消 V :

则：

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5.若A （为，必）,B （X 2，为），P （ x , y ）尸为AB 中点，则

10 .圆的方程

(1 )标准方程： (x-a)2 +(y-8)2

= r 2 (2)一般方程：x 2 +y 2

+Dx + Ey + F = 0 t ( Z)2 +E 2 -4F>0)

D E 「、■— 7D 2+￡2-4F (一3,一弓)__圆心，=径厂= -- ------

乙 乙

乙

X. +4

X =- ----------

2

V =Y+)'2

2

6 .直线的倾斜角（0。4

a < 180°)、斜率:％ = tana 7 .过两点尸1⑶，乃），02，乃）的直线的斜率公式:

-Xj （王…）

8 .直线k 与直线12的的平行与垂直

（工语11 ,12均存在斜率且不重合?l//l2= ki=k 2

②115。

kik2= - 1

(2)若乙：Ax + Bjy + C, =0,

12

:

A2% +82)，+。)=

①020%方哈;

劣 4 3

A I A2+

B I B2=0 ;

9 .直线方程的五种形式

名称 斜截式: 点斜式: 两点式: 截距式: 一蛔：

方程

y=kx+b

y — y 。=k(x-x o ) y — y 二 Xi 乃一y %一事 "=i a b

A X +J

B V +

C = 0

（其中A 、B 不同时为零）

,（兄。）一一圆心，厂一一半径。

特例：圆心在坐标原点，半径为，的圆的方程是：广+/二厂?

x = a + r cos 3

y = b + r sin 0( ?为参数)e 特别地，以(0,0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

(3 )点和圆的位置关系：给定点用(xoDo)及国］C: (x-6/)2 +(y-

b)~=r~ .

②M在圆。上O (x0-6F)2+(y0-Z?)

③ M 在m C外 O (工0-〃)2+()，0-2)

(4 )直线和圆的位置关系：

C ： (x-r/)2+(y-Z7)2=r2(r＞0);

直线/ ：Ax + By + C = O(A2+B2^O)；

\Aa + Bb + C\

心3a,切到直线/的距离& = 不才

@"二"时，/与C相切；②dY 〃时，/与C相交；③〃〉一时，

/与。相离.

第八章?圆锥曲线方程

L定义I :若“，F2是两定点，P为动点，且|P用+|*=2。＞医用

(。为常数)则P点的轨迹是椭圆。

x2y2y2 x1

2.标准方程：/+后二1 (。＞人＞。)君+乒=1(〃＞人＞。) VT CX

Vi cZ

9

长轴长二2a ,短轴长=2b焦距：2C 准线方程：* = 土;

V* 离心率：e = 2（。Ye Y1）焦点：（一。,。）（。,0）或

注：的参数方程：

在圆。内O (x0-t/)24-(y0-Z?) 2/2 Yr

2=r2

（0,-。）（0,。）.

二.双曲线工、定义：若F1,F2是两定点，||依HP"=2“<|々可（〃为常数）, 则动点P的轨迹是双曲线。

2 .性质

2 2 2 2

（工）方程：=一% = 1 3>0/>。）\一± = 1 （a>0,b>0）实轴长=2a ,虚轴长=2b焦距：2c 准线方程：x=士一

c 2a12b2

离心率, 二 %. 准线距丁（两准线的距离）；通径丁.

2 2 1 2 C

参数关系c=a-+"-，e = ".

x2 y2b

（2）若双曲线方程为涓-后=i=渐近线方程：y=土二

（3海轴双曲线：双曲线--y 2=±/称为等轴双曲线，其渐近线方

程为y=±x，离心率6 =啦.

三、抛物线

工.定义：到定点/与定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即到定点尸的距离与到定直线/的距离之比是常数e（ e=l X

2 .图形：

3.性质方程：V=2px,（p〉0）, p 一焦参数（焦点到准线的距离）；

焦点：或,。），通径|A@ = 2p；雌：x = -g；离心率e

= l

第九章■■立体几何

一.判定两线平行的方法

1、平行于同一直线的两条直线互相平行

2、垂直于同一平面的两条直线互相平行

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线

平行二.判定线面平行的方法

a）据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点

b）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行

c）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面

d）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面

e）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法

⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。

（2）由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

③两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行〃。

⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。

（6度过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面

3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行

垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平

五.判定线面垂直的方法

，定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线 面垂直

2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直

3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂

直于该平面

4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另

一个平面

5.如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线

垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法

一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一

条垂直

七、判定面面垂直的方法

一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于

另一平面 八.面面垂直的性质

L 两平行平面没有公共点

1、 2、

定义：成9。。角 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直

1、

2.

定义：两面成直二面角，则两面垂直

1、 二面角的平面角为9。。

相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九、各种角的范围

1.异面直线所成的角的取值范围是：。。<。“90。 2、直线与平面所成的角的取值范围是： 0°<6^< 90° [0°,90°] 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：0。v " 90。(0°,90°] 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：。。v 。< 180。

(0°,180°]

十.面积和体积

1. S 直棱柱侧=ch

2、$正棱锥侧二5 ch

$圆锥侧二六/ 二

初

9

4

. 3 .球的表面积公式： S = 4欣2.球的体积公式：% .

4 .圆柱体积：％柱二%?/〃=的(一为半径，〃为高)

锥体积：％锥二%小二。(〃为半径，%为高)

1 ，

锥体体积：V 棱锥=]舫(S 为底面积,〃为高) 5、面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方

第十章■概率与统计

工.必然事件P(A) = 1 ,不可能事件P(A)=0 ,随机事件的定义

0

2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面

(0°,90°]