第9章2 振动学基础2

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旋转矢量图示法
A A1 A2
A2
2
O
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2x1 Nhomakorabea1
A1
x2
X
x
A矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos 2 1
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9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示
除了用运动学方程（振动 方程）和位移时间曲线 （振动曲线）来表示以外， 还可以用旋转矢量表示.
旋转矢量法： 简洁、直观、方便 常用的方法
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旋转矢量
用旋转矢量图画简谐运动的
x t
* * * T
图

x
A
x
A *
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9.3.1 同方向同频率的简谐振动的合成
设一个质点同时参与在同一直线上进行的两个独立 的同频率的简谐振动. 这一直线为x 轴, 设两个简谐振动 的运动方程分别为
x1 A1 cos t 1 x2 A2 cos t 2

解：（1）根据题意，画出旋转矢量图
A tg
2 A12 A2 0.052 0.062 0.078(m )
v A
A1 5 39.8 3948 A2 6 0 20 8448
（2）……….
v A1

v A2
4
x
o
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1. 解析法即运动方程法
x(t)=Acos( t+)
A x
2 0
2
2 v0
v0 arctg ( ) x0
x
v0>0
2. 曲线法（振动曲线）
A 由图一般可知振幅A，周期T ， o 初始位置x0 和初始速度 v0的正负。 -A
A B
T
V0<0
t
3. 旋转矢量法

x
x
A1
o A2
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A cos(t )
π π x (0.08m)cos t 3 2
t 1.0s 代入上式得
x 0.069 m
F kx m 2 x
π 1 2 (0.01kg )( s ) (0.069 m) 1.70 103 N 2
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所以

0.4
作
业
9－18，9－19
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（3分）已知一质点沿y轴作简谐运动，其振动方程为
y = Acos(ωt + 3π/4)。与之对应的振动曲线是：
[B]
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(3分)一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点
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2）对于两个同频率的简谐运动，旋转矢量图可明显的 表示出相位差，显示它们间步调上的差异.
x1 = A1 cos( t + 1) x2 = A2 cos( t + 2) 相位差：
=( t+ 2)-( t+ 1) = 2 - 1
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简谐振动的描述方法

2π π （s 1） T 2
0.08 0.04
A
o
π3
0.04

x/m
0.08
t 0, x 0.04m
代入 x
v
0.04m (0.08m) cos π π v0 0 3 3 π π x (0.08m)cos t 3 2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
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两个同方向不同频率简谐运动的合成
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9.3.2 相互垂直的两个简谐振动的合成
两 相 互 垂 直 同 频 率 不 同 相 位 差
简 谐 运 动 的 合 成 图
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x2 A2 cos(t π )
x ( A2 A1 ) cos(t π)
A A1 A2
x
x
o 2
A 2
A1
2
o
T
t
21
A
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1）相位差
2 1 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
相互加强
2）相位差 2
x1=A1cos( t+ 1) , x2=A2cos( t+ 2)
x =A cos( t+ )
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讨论
1）相位差
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
（负号表示速度沿x 轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05 m 处时速度不等于零，而是具有向 右的初速度 v0 0.30m s1 ，求其运动方程.
解
A＇ x
2 0

2 v0 2
0.0707m
v0 tan＇ 1 x0
π 3π ＇ 或 4 4
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解 根据振动方程画出它们的旋转矢量图如下 图所示. A1 A2 y
A
2 A12 A2 0.10m A1 0.06 而 tan 0.75 o 0.08 0.6 A2
x
3 因此合振动方程为 x 0.10cos 2t 0.4m
旋转矢量在x 轴上的投影坐标作简谐振动。
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• 矢量端点在半径为A的圆周上以圆频率ω做匀速圆周 运动 • 以旋转矢量在x轴上投影 x=Acos( t+ )代表谐振动
圆周运动速率 vm= A 投影v = - vm sin( t+ ) 圆运动向心加速度an= 2 A 投影a=- ancos( t+ ) = - 2 A cos( t+ ) y M
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多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 ) xn An cos(t n )

v v A A 3
x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
v 1 A1
2
3 v A2
1 (2k 1)π (k 0 ， 1， )
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
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例：有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表 式为：（SI制） 3 1 x1 0.05 cos10t x 2 0.06 cos10t 4 4 （1）求它们合成振动的振幅和初相位。 10t 0 ) ，问 0 为何值 （2）若另有一振动 x3 0.07 cos( x1 x3 的振幅为最大；为何值时，的振幅为最小。 时，
an= 2 A
vm
v
x O
t+
v A
x
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简谐振动旋转矢量表示法的应用
应用: 1)可以方便地确定初相位φ和任意时刻的相位
x0 0 v0 0 x0 0
x0 0 v0 0
φ1
x0 0 v0 0
x P
v0 0
φ2
x
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x A cos(t )
π 4

O
O * T
4
*
T * 3T 2 4
-A
-A
*
*
5T 4
t
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
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振幅 : 旋转矢量的模A 圆频率 : 旋转矢量的角速度 位相 : 旋转矢量与OX 轴的夹角 t
在任意时刻该质点的位移为
x x1 x2 Acos t
合振动是简谐振动, 其频率仍为
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
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m 0.02kg
2 v0 v 2 0 0 A x0 2 x0 0.05m tan x0 由旋转矢量图可知 0
x/m
o
0.05
0 或 π
o
A
x A cos(t ) (0.05m) cos[(6.0s )t ]
1
x
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由图一般可知振幅 A ，初始 位置 x0 和初始速度 v0 的正负。
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例9-3. 一个作简谐振动的弹簧振子历时四分之一 周期，先后通过相对于平衡位置为对称的B,C 两点， 设简谐振动的振幅为A，试确定B,C 两点的位置.
解：
T T 2 , 4 2
t2

2
t1
（2）求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度；
解
x A cos(t ) A cos( t )