4.2 实际问题的函数刻画
精 品 教 学 设 计4.2.1实际问题的函数刻画等
精品教学设计4.2.1 实际问题的函数刻画一、教学目标:1．进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学解决实际问题的意识．2．进一步尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题．二、教学重点、难点：1.教学重点能对实际问题进行函数刻画，将实际问题转化为函数模型，并利用函数性质来进行研究.2．教学难点对实际问题进行函数刻画.三、学法与教学用具：1.学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画.用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数特征.问题1当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4-2给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么?解：在这个实际问题中出现了两个变量，一个是环境温度，另一个是人体的代谢率.不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系.实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来.在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图4-5).根据图像，可以看出下列性质：(1)代谢率曲线在小于20℃的范围内是下降的，在大于30℃的范围内是上升的；(2)环境温度在20℃～30℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响.所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20℃～30℃之间，这样可以使环境温度的影响最小.教师指出：在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4，10，20，30，38)到{60，44，40，40.5，54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4，38].对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.（二）实例运用，巩固提高.问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元.生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x 对总成本C 、单位成本P 、销售收入R 以及利润L 之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义?解 总成本C 与产量x 的关系C =200000+300x ；单位成本P 与产量x 的关系200000300P x=+销售收入R 与产量x 的关系R =500x ；利润L 与产量x 的关系L =R -C =200x -200000.以上各式建立的是函数关系.(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量.若x <1000，则要亏损；若x =1000，则利润为零；若x >1000，则可盈利.这也可从图4-6看出，R 和C 的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零.(2)从单位成本与产量的关系200000300P x=+可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益.问题3如图4-7，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度?解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个 水文监测站到情报中心的通信电缆长度(曲线段长度) 就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专 用通信电缆的总长度就构成一个函数关系.现在将弯 曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成了 刻画直线段长度的问题.将“变直了”的河道当作一 个数轴，不妨设A 为原点，AB =b ，AC =c ，AD =d ，AE =e ，AF =f 于是，水文监测站A ，B ，C ，D ，E 和F 的坐标就可以用0，b ，c ，d ，e ，f 表示出来.表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x 表示，这样，对于给定的x 的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度()||||||||||||f x x x b x c x d x e x f =+-+-+-+-+-.（三）课堂练习教材P 116练习1、2，并由学生演示，进行讲评。
高一数学课件：4.2.1《实际问题的函数刻画》(北师大必修1)
4.2.1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系, 许多联系可以用函数刻画。
用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容。
问题1当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，表4・2给出了实验的一组数据，这些数据说明了什么？解在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；一个是人体的代谢率。
不难看出，对于每1个环境温度都有唯1的人体代谢率与之对应, 这就决定了一个函数关系。
实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来。
在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来。
(如图4・5) 倔根据图象，可以看出下列性质：埸(1) 代谢率曲线在小于2(PC的范围是下降的，在大约3(PC的范围内是上升的；(2) 环境温度在2(FC〜3(PC时，代谢率较底, 并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；(3)环境温度太底或太高时，它对代谢率有较大影］响。
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保;2(PC〜3(PC之间，这样可以使环境温度影响最小。
在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确由｛4, 10, 20, 30, 38｝到｛60, 44, 40.5, 54｝的一个函数,通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新函数，定义域扩大到区间［4, 38］o对于实际的环境温度与人体代谢关系来说，就是一个近似函数关系，它的函数图象，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢关系。
问题2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品售价为500元，产量X对总成本C,单位成本P,销售收入R及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？解总成本C与产量x的关系C=200000+300x；单位成本P与产量x的关系P=300+200000/X；销售收入R与产量X的关系R=500x ；利润L与产的量x关系L=R-C=200x-200000o以上各式建立的是函数关系。
人教版高中数学必修第一册4.2实际问题的函数建模
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出 13 km后，以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶 的时间t之间的关系，并求火车离开北京2 h内行驶的路程. 解 因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120 ＝151 (h)，所以 0≤t≤151. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t， 所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S＝13＋120t(0≤t≤151 ). 2 h 内火车行驶的路程 S＝13＋120×(2－1600)＝233 (km).
年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数/万人 55 196 56 300 57 482 58 796 60 266
知识点三 数据拟合 思考 自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型.类比这个公式的发现过程， 简述什么是数据拟合？ 答案 函数模型来源于现实(伽利略斜塔抛球)，通过收集数据(打点计时器 测量)，画散点图分析数据(增长速度、单位时间内的增长量等)，寻找或选 择函数(假说)来作为函数模型，再检验这个函数模型是否符合实际，这就 是数据拟合. 由优惠办法①得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N＋).
由 优 惠 办 法 ② 得 函 数 关 系 式 为 y2 ＝ (20×4 ＋ 5x)×92% ＝ 4.6x ＋ 73.6(x≥4 ，
x∈N＋).
当该顾客购买茶杯40个时，采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；
已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当
年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
(学习指导) 实际问题的函数刻画Word版含解析
§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画学习目标核心素养1.会用函数图象的变化刻画变化过程．(重点，难点)2．能够用已知的函数模型刻画实际问题．(难点)1.在利用函数刻画实际问题的过程中，培养数学抽象素养．2．在把实际问题转化为数学模型的过程中，提升数学建模素养．(1)用函数刻画实际问题的条件：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画．(2)用函数刻画实际问题的方法：函数刻画的方法可以使用图象，但最多的还是使用解析式．思考：世界上很多事物间的联系可以用函数刻画，在试图用函数刻画两个变量的联系时，需要关注哪些要点？提示：先确定两个变量是谁；再看两个变量之间的对应关系是否满足函数定义；如果满足，就要考虑建立函数关系式．1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是() x 45678910y 15171921232527 A.C.指数函数模型D．对数函数模型A[根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．]2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()A.y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC.y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋bB[因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.]3．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是()A B C DC[因为离开家里的路程为d越来越远，所以排除B和D，又该同学先跑后走，所以一开始速度大，离开家的距离d随着时间的增加增长的较快，所以选C.] 利用图象刻画实际问题【例1】(1)“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象()A B C D(2)如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱形容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为V＝V(h)，h为水面的高，则函数V＝V(h)的大致图象为()(1)C(2)B[(1)由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快，故选C.(2)由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积越来越大，即此过程体积V(h)增加速度越来越快，由导数几何意义知，曲线切线斜率越来越大，排除C，D，圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体积V(h)增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大，故选B.]当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.[跟进训练]1．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳A[通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动比较大．故选A.]已知函数模型解决实际问题[探究问题]1．如何求形如y＝x＋ax(x＞0，a＞0)的函数的最小值？提示：利用基本不等式a＋b≥2ab.2．如何求形如y＝x＋ax＋m(x＋m＞0，a＞0)的函数的最小值？提示：利用换元法转化后用基本不等式求解．【例2】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k 3x＋5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．[思路点拨]把x＝0代入C（x）→求k的值→函数f（x）的表达式→f（x）的最小值[解](1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝403x＋5(0≤x≤10)，∴f(x)＝6x＋20×403x＋5＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10).(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋8003x＋5－10.令3x＋5＝t，t∈[5，35]，则y＝2t＋800t －10≥22t·800t－10＝70(当且仅当2t＝800t，即t＝20时等号成立)，此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．1．解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯．2．在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系．3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)先有实际问题，后有模型．()(2)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．()(3)当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画．()[提示](1)正确．(2)正确．(3)错误．也可能是用函数y ＝x 2(x ＞0)，y ＝x 3等其它函数来刻画．[答案](1)√(2)√(3)×2．如图是张大爷晨练时离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )A B C DD [由y 与x 的关系知，在中间时间段y 值不变，只有D 符合题意．]3．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)14a 2[令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a ＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．]4．某列火车从A 地开往B 地，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶的时间t 之间的关系，并求火车离开A 地2 h 内行驶的路程．[解] 因为火车匀速行驶的时间为(277－13)÷120 ＝115 (h)，所以0≤t ≤115.因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，所以火车行驶的总路程S 与匀速行驶时间t 之间的关系是S ＝13＋120t ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115. 2 h 内火车行驶的路程S ＝13＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1060＝233(km).。
4.2实际问题的函数建模课件
问题1
某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专 用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺 品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元， 产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L 之间存在什么样的关系？表示了什么实际含义？
解
C 200000 300 x;
P 200000 300 x
解：设利润为y，促销前商品销售量为a， n 礼品价值为n元时的销售量为 a( 1 10%)
y ( 100 80 n ) a ( 1 10%)n
1.1n a( 20 n ), 0 n 20
作业：
• P130 习题4-2 • A组 第1，2题
用题，希望大家在做题过程中，做到以下3点
• （1）认真审题：弄清题意，分清条件与结论，抓
• •
住关键词语和量，理顺数量关系； （2）建立函数模型：在理解题意的基础上，通过 列表、画图、引入变量等手段把实际问题转化为数 学问题，把文字语言转化为数学符号语言，建立符 合题意的函数模型； （3）求解函数模型得出结论；
学习本节的过程：
• 第一步：用函数去刻画实际问题（即实际
问题的函数刻画） • 第二步：用函数模型解决实际问题(即用数 学知识解决实际问题） • 第三步：建立数学模型去解决实际问题 （即数学建模）
§4.2.1：实际问题的函数刻画
• 在这一节里要求大家学会怎样将实际问题
转化为数学问题（请大家自学教材第一小 节）
总成本C与产量x的关系
单位成本P与产量x的关系
销售收入R与产量x的关系
R 500 x;
利润L与产量x的关系
L R C 200 x 200000
进一步探索
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模素材1 北师大版必修1
4.2 实际问题的函数建模[教学要求]：通过对实际问题的讨论，进一步体会二次函数在实际应用中的广泛性和重要性，学习数学中的建模的思想方法。
一、利用数学知识解决实际问题的一般方法——建模的思想方法分析数量关系，抽象转化为数学问题推理演算还原说明二、二次函数的应用问题应用二次函数的有关知识，可解决生产、生活或相关学科中很多问题，如设备的测算、差的平方和最小、造价最低、利润最大等生产实践、生活实际中的最值问题．例1图所示是喷灌设备图，水管AB高出地面1.5米，B处是自转的喷水头，喷出略解：由顶点C(2，3.5)，设所求抛物线为y-3.5=a(x-2)2．由点B(0，1.5)在抛物线上，得a=-0.5．即y-3.5=-0.5(x-2)2．实际问题数学模型（如函数式、方程等）数学模型的解实际问题的解所以落地点D到原点距离约是4.6米．例2、因仪器和观察的误差，n次测量分别得到n个数据．规定最佳近似值a与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，求a值(用a1，a2，…，a n表示)．略解：建立关于a的二次函数，得y=(a-a1)2+(a-a2)2＋…＋(a-a n)2例3、将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个．如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个．为了获取最大利润，售价应定为多少元？略解：设每个提价x元，即每个售价为(50＋x)元，销量为(500-10x)个，则获利y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)=-10(x-20)2＋9000．所以x=20时，获利y取得最大值，即销售单价为70元时，获得利润最大．(4)某种商品在近100天内的价格y与时间t(t为自然数)的函数关系是：0≤t ≤求这种商品的日销售额S(元)的最大值．略解：当0≤t≤40时，所以t=10或11时，S取最大值808.5(元)．①当40＜t≤100时，所以t=41时，S取最大值714(元)．②综合①、②知，日销售额最大值808.5元．例4、要用6米长的木料做一个如图所示的窗框．若上、下框的高为1∶2，则长、宽各为多少米时，窗框的光照面积S最大(中间木档所占面积可忽略不计)．例5、快艇和轮船分别从A地、C地同时驶出，沿箭头所示方向航行，如图所示，快艇和轮船的速度各为40千米／时和20千米／时，知AC=150千米，求经过多少小时后快艇与轮船间的距离最近？解：设经t小时后，快艇与轮船分别位于B、D两点时其距离最近，则AB=40t 千米，CD=20t千米，BC=(150-40t)千米．在直角△BDC中，所以t=3时BD取最小值，即驶出3小时，快艇与轮船间距离最近．例8 如图8，菱形ABCD的边长为1，锐角A=60°，作它的内接△AEF，使E，F分别在BC和CD上，并且CD⊥EF，求△AEF面积的最大值．分析要确定以△AEF面积S为因变量的解析式，关键是对与面积有关的自变量的选择．要搞清自变量与动△AEF的变化规律，要以能使运算简捷为原则，选择自变量．(选法不惟一，可由学生根据自己的想法去做，然后再比较大家的做法)因为x∈(0，1]，S在(0，1]上是增函数，所以当x=1时，△AEF评述很多实际问题都可以转化成求二次函数的最值问题．一般步骤为：确定函数解析式——求定义域——判断单调性——求出最值．。
高中数学北师大版必修一4.2.1【教学课件】《实际问题的函数刻画》
世纪50年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人
才算松了一口气 。
北京师范大学出版社 | 必修一
对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食 物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群 数量一般符合对数增长模型。
北京师范大学出版社 | 必修一
探索新知
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需 要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立。对于已给定数学 模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学 模型与所提供的数据的吻合程度，这就是用函数去刻画实际问题（ 即实际问题的函数刻画）。
北京师范大学出版社 | 必修一
质疑答辩，发展思维
我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同。 甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时） 每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元。小张准备下个月从这 两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40 小时。设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为f(x)元15≤x≤40，在乙家租 一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元15≤x≤40，试求f(x) 和 g(x)
P 200 000
R（C） 500 000 200 000 0
R C
1000
x
300 (2 ) 从单位成本与产量的关系 x 可见,为了降低成本,应增出版社 | 必修一
例3 如图，在一条弯曲的河道上,设置了六个水文监测站。现在需要在河边建一 个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通讯电缆，怎样刻画
专用通讯电缆的总长度？
E
D B
实际问题的函数刻画
通过函数关系式，可以快速计算和预测事物的发展 趋势，减少实验和模拟的次数，降低成本。
03
函数关系式的应用范围广泛，可以用于不同领域的 问题解决，提高工作效率。
促进跨学科合作与交流
函数刻画需要跨学科的知识和技能，需要数学、物理、工程等多个领域的专家合作， 促进跨学科交流与合作。
通过共同研究和解决问题，可以促进不同学科之间的交叉融合，推动科技创新和进 步。
详细描述
间接法通常用于解决较为复杂的问题， 需要从已知条件出发，逐步推导和构 建函数关系。这种方法需要严密的逻 辑推理和问题分析能力。
参数法
总结词
参数法是通过引入参数来描述实际问题中未知或不确定的关系，从而构建函数的 方法。
详细描述
参数法常用于处理具有不确定性或变化性的问题，通过引入参数来描述这些不确 定性或变化性，然后构建相应的函数模型。这种方法需要一定的数学建模技巧和 经验。
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04 函数刻画的应用实例
经济问题
供需关系
函数可以用来描述商品供应和需 求之间的关系，通过分析函数的 变化趋势，可以预测市场价格的 波动。
成本收益分析
在制定经济决策时，可以使用函 数来分析成本和收益之间的关系， 以确定最优的决策方案。
经济增长模型
函数可以用来描述一个国家或地 区的经济增长情况，通过分析经 济增长的长期趋势和影响因素， 可以制定有效的经济政策。
直接法
总结词
直接法是通过直接观察和解析问题，将实际问题转化为数学函数的方法。
详细描述
直接法要求对问题有深入的理解，能够识别出问题中的关键变量和关系，然后 直接用数学语言将这些关系表达出来。这种方法需要较高的数学素养和问题解 析能力。
高中数学同步教学 实际问题的函数刻画
名
称
一次函数模型
解 析 式
y=kx+b
一般式:y=ax2+bx+c
b
二次函数模型
顶点式:y= x + 2a
条件
k≠0
2
+
4ac -b 2
4a
交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(抛物线与 x
轴的交点为(x1,0),(x2,0))
a≠0
名师点拨一次函数的函数模型,直线上升或下降,单位长度内增
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大,最大利润为多少元?
分析:由已知可得“利润=总收入-总成本”.由于R(x)是分段函数,所
以f(x)也要分段求出,分别求出f(x)在各段中的最大值,通过比较,就
能确定f(x)的最大值.
题型一
题型二
题型三
解:(1)设月产量为 x 台,则总成本为(20 000+100x)元,
长或减少量固定不变.二次函数的函数模型,当a>0时,先减后增;当
a<0时,先增后减.
【做一做】 某种产品每件定价80元,每天可售出30件,如果每件
定价120元,那么每天可售出20件.如果售出件数y(件)是定价x(元)的
一次函数,那么这个函数解析式为
.
解析:设解析式为y=kx+b(k≠0),
1
30 = × 80 + ,
即 f(x)=
1
2
- 2 + 300-20 000,0 ≤ ≤ 400,
60 000-100, > 400.
1
(2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25 000,
高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.3 实际问题的函数刻画和用函数模型解
实际问题的函数刻画和用函数模型解决实际问题
本节教材分析
教科书用例题作为示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习.在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用.教科书中还渗透了函数拟合的基本思想.
三维目标
1.知识与技能：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.
2.过程与方法：进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.
教学重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.
教学难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.
教学建议：
本节设计可以由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣.依据课本中两个例题可以让学生学会了函数模型的应用，而且可以留时间让学生体会它们之间的差异；也可以补充例题，选一些难度适中的高考真题或模拟题训练学生. 新课导入设计
导入一: (创设情景，揭示课题)
现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.
导入二：(直接导入)
请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用.
1。
高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模课件北师大必修1
数学建模 ，用图示 1．用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作__________ 表示数学建模的过程如图所示．
2．常见函数模型
名称 一次函数模型 反比例函数模型
解析式 y＝_________ kx＋b k y＝______ x
ax2＋bx＋c 一般式：y＝_______________
2 b 2 4ac－b 顶点式 y＝a(x＋ ) ＋ 2a 4a
的温度可以表示为 T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8， 故选 D．
x 3．长为 3，宽为 2 的矩形，当长增加 x，宽减少 时，面积达到最大，此时 x 2 1 2 的值为______. 导学号 00814975
x x2 x [解析] 由题意知面积 S＝(3＋x)(2－ )＝－ ＋ ＋6， 2 2 2 1 当 x＝－ ＝ 时，面积 S 最大． 1 2 2×－ 2 1 2
条件 _______ k≠0
k≠0 _______
二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型
a≠0 a>0 且 a≠1，b≠0 m≠0，a>0 且 a≠1 a≠0
y＝b· ax＋c y＝mlogax＋n y＝axn＋b
1．一辆汽车的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图像如图所示，那么图像所对应 的函数模型是 导学号 00814973 ( A ) A．一次函数模型 C．指数函数模型 B．二次函数模型 D．对数函份，易知250≤x≤400. 设每月赚y元，得y＝0.5·x·20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－
0.35·x·30＝0.3x＋1050，
x∈[250,400]． 因为y＝0.3x＋1050是定义域上的增函数， 所以当x＝400时，ymax＝120＋1050＝1170(元)． 可知每天应从报社买400份报纸，获得利润最大，每月可赚1170元．
高中数学第四章函数应用4.2.1实际问题的函数刻画4.2.2用函数模型解决实际问题4.2.3函数建模
高中数学第四章函数应用4.2.1实际问题的函数刻画4.2.2用函数模型解决实际问题4.2.3函数建模案例学案北师大版必修14.2．2 用函数模型解决实际问题4.2．3 函数建模案例1. 了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．(重点)2. 掌握求解函数应用题的基本步骤．(难点)[基础·初探]教材整理 1 实际问题的函数刻画阅读教材P120～P122整个本节课内容，完成下列问题．在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.【答案】 B教材整理 2 用函数模型解决实际问题阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．1. 常用的函数模型名称 解析式 条件一次函数模型 y ＝kx ＋b k ≠0 反比例函数模型y ＝k x＋b k ≠0二次函数模型一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c顶点式：y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b24aa ≠0指数函数模型 y ＝b ·a x ＋c a ＞0且a ≠1，b ≠0 对数函数模型 y ＝m log a x ＋n m ≠0，a ＞0且a ≠1幂函数模型y ＝ax n ＋ba ≠02. 数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．一辆汽车在某段路上的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图421，那么图像所对应的函数模型为( )图421A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数【解析】 由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 【答案】 A教材整理 3 函数建模案例阅读教材P 125～P 130整节课的内容，完成下列问题． 函数建模 (1) 定义用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模．(2) 过程我国1999～2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份1999200020012002x 012 3生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8 画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式．【解】画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．如图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，得k＝0.677 7，b＝8.206 7.因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.[小组合作型]一次、二次、分段函数模型某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图422(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图422(2)的抛物线表示．(1) (2)图422(1)写出图422(1)表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )； 写出图422(2)表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )． (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大． (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)【导学号：04100078】【精彩点拨】 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式．【尝试解答】 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)， 将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)．(2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200t －1502＋100＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100.当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100. 当200＜t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200t －1502＋100＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100.当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．[再练一题]1. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 【解】 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10x －30，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获得利润为S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x 1 200－10x －15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10x －602＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，当x ＝30时，S 取最大值12 000，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，S 取最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.指数(对数)函数模型燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10(单位：m/s)，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 【精彩点拨】 理清各个量的含义，代入运算．【尝试解答】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的函数关系式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.1. 指数模型在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用下面的公式y ＝N (1＋p )x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．2. 对数模型对数模型函数可设为y ＝k log a x ＋b .利用条件确定系数，对数模型函数解题的关键是对数运算 .[再练一题]2. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)．如图423所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：图423(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？【解】 (1)设药物释放过程中即t ∈(0,0.1)时，y 与t 的函数关系式为y ＝kt ， 将(0.1,1)代入y ＝kt ，得1＝0.1k ，所以k ＝10，y ＝10t .t ∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a ，得＝1，a ＝110.故所求函数关系式为：y ＝(2)由(1)知，当t ∈[0.1，＋∞)时，y 为t 的减函数．令，所以t －110＞12，所以t ＞35.即35小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室． [探究共研型]建立拟合函数解应用题探究 1 【提示】 依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索方法为： (1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式； (3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．探究 2 今有一组试验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u1.54.047.51218.01A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2【提示】 可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D ；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t－2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．故选C.某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A ，B 两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)【精彩点拨】 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．【尝试解答】 设投资额为x 万元时，获得的利润为y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 一次函数的解析式为y ＝bx .把x ＝1，y ＝0.65代入y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示．把x ＝4，y ＝1代入y ＝bx ，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝0.25x 表示．令下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元，得W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，其中x A ＋x B ＝12，则W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6(0≤x A ≤12)，则当x A ＝196≈3.2万元时，W 取得最大值，0．15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6≈4.1万元，此时x B ＝536≈8.8(万元)．即投资A 商品3.2万元，投资B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：1作图：根据已知数据作出散点图；2选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；3求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；4利用所求得的函数模型解决问题.[再练一题]3. 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系(见下表)：x … 30 40 45 50 … y…603015…(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；图424(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【解】 根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(x ∈N )．经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上， 故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N )．(2)依题意有P ＝y (x －30) ＝(－3x ＋150)(x －30) ＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.1. 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a )，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为( )A B C D【解析】 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.【答案】 C2. 国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：运送距离0＜x ≤500500＜ 1 000…x (km) x ≤1 000 ＜x ≤1 500邮资y (元) 5.00 6.00 7.00 …如果某人在西安要快递800 g 的包裹到距西安1 200 km 的某地，那么他应付的邮资是( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元【解析】 由题意可知，当x ＝1200时，y ＝7.00元，故选C.【答案】 C3. 已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．【解析】 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．【答案】 甲4. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数，则当N ＝40时，t ＝________.(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)【导学号：04100079】【解析】 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72.【答案】 36.72分钟5.图425要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图425，窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积S 最大，窗户应具有怎样的尺寸？【解】 由题意得窗框总长l ＝π2x ＋x ＋2y ， ∴y ＝2l －π＋2x 4，∴S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋x ·2l －π＋2x4＝－π＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l π＋42＋l 22π＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＝2l －π＋2x4＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2lπ＋2，当x ＝2l π＋4时，S max ＝l 22π＋4，此时y ＝l π＋4＝x2，所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．。
北师大版高中数学必修一课件实际问题的函数刻画
单位成本P与产量x的关系： P 300 200000 ; x
销售收入系：
L=R-C=200x-200000。
以上各式建立的是函数关系。
（1）从利润关系式可见，希望有 较大利润应增加产量。若x<1000,则要 亏损；若x=1000，则利润为零； 若x>1000，则可赢利.
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60 50 40 30
o 10 20 30 40 50 x
根据图象，可以看出下列性质： 所以（，2（（）临31环）床）境环上代温境做谢度温“率在度基曲2太础线0o底代在C或～谢小3太率0于o高”C20时时测oC，定的代它时范谢对，围率代室是较谢温下底率要降，有保的较持，大在 20并oC且～影在较3响大0稳。o约C定之3，0间o即C，的温这范度样围变可内化以是时使上，环升代境的谢温；率度变影化响不最大小；。
环境温度/（oC） 4 10 20 30 38 代谢率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54
名词解释
环境温度/（oC） 4 10 20 30 38 代谢率/[4185J/（hm2）] 60 44 40 40.5 54
y
60
50 40 30
o
10 20 30 40 50
x
y
要做这些事情，就要消耗能量。哪怕躺在床上什么也 指不人干体，在也清需醒要而能又量极供端应安。静这的个状基态本下的，能不量受消肌耗肉就活叫动做、 环基境础温代度谢、。食每物天及或精每神小紧时张的等基影础响代时谢的消能耗量了代多谢少率能。量， 就用基础代谢率来表示。
在基础代谢率的基础上，人还要工作、生活、运动、消 化吸收，这些都会增加消耗。一天中总的能量消耗就是 基础代谢率加上日常生活的能量消耗。
[配套K12]2018版高中数学 第四章 函数应用 4.2.1 实际问题的函数刻画 4.2.2 用函数模型解决实际问题 4.2.3
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4.2．1 实际问题的函数刻画4.2．2 用函数模型解决实际问题4.2．3 函数建模案例1. 了解函数模型的应用，体会函数模型在解决实际问题中的应用．(重点)2. 掌握求解函数应用题的基本步骤．(难点)[基础·初探]教材整理 1 实际问题的函数刻画阅读教材P120～P122整个本节课内容，完成下列问题．在现实世界里，生物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是( )【解析】乌龟距离起点的距离始终在增加，符合一次函数的增长模型，兔子距离起点的距离先增加，再停止增加一段时间后又更快的增加，总之乌龟与兔子行进的路程是一样的，乌龟用的时间少，兔子用的时间长，综合以上分析，故选B.【答案】 B教材整理 2 用函数模型解决实际问题阅读教材P123～P125整节课的内容，完成下列问题．1. 常用的函数模型通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．一辆汽车在某段路上的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图421，那么图像所对应的函数模型为( )图421A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数【解析】 由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 【答案】 A教材整理 3 函数建模案例阅读教材P 125～P 130整节课的内容，完成下列问题． 函数建模 (1) 定义用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模． (2) 过程我国1999～2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：【解】画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．如图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，得k＝0.677 7，b＝8.206 7.因此，所求的函数关系式为y＝f(x)＝0.677 7x＋8.206 7.[小组合作型]300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图422(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图422(2)的抛物线表示．(1) (2)图422(1)写出图422(1)表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )； 写出图422(2)表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )． (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大． (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)【导学号：04100078】【精彩点拨】 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式．【尝试解答】 (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200＜t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)， 将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)．(2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200t －2＋100＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100.当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100. 当200＜t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200t －2＋100＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100.当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．[再练一题]1. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ 【解】 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－x －，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获得利润为S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x －10x －15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－x －2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，当x ＝30时，S 取最大值12 000，又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上，当x ＝60时，S 取最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10(单位：m/s)，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 【精彩点拨】 理清各个量的含义，代入运算．【尝试解答】 (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，代入题中给出的函数关系式，可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位．(2)将耗氧量Q ＝80代入题中给出的函数关系式，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15.即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.1. 指数模型在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量y ，可以用下面的公式y ＝N (1＋p )x表示．解决平均增长率的问题，要用到这个函数式．2. 对数模型对数模型函数可设为y ＝k log a x ＋b .利用条件确定系数，对数模型函数解题的关键是对数运算 .[再练一题]2. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)．如图423所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：图423(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？【解】 (1)设药物释放过程中即t ∈(0,0.1)时，y 与t 的函数关系式为y ＝kt ， 将(0.1,1)代入y ＝kt ，得1＝0.1k ，所以k ＝10，y ＝10t .t ∈[0.1，＋∞)时，将(0.1,1)代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a ，得＝1，a ＝110.故所求函数关系式为：y ＝(2)由(1)知，当t ∈[0.1，＋∞)时，y 为t 的减函数．令，所以t －110＞12，所以t ＞35.即35小时，也就是36分钟后，学生才能回到教室． [探究共研型]探究 1 【提示】 依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的拟合函数的探索方法为： (1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的、可能的函数模型的解析式； (3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题．探究 2 今有一组试验数据如下表所示：A ．u ＝log 2tB ．u ＝2t－2 C ．u ＝t 2－12D ．u ＝2t －2【提示】 可以先描出各点(如图)，并利用数据点直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．由图可知，图像不是直线上的点，排除选项D ；图像不符合对数函数的图像特征，排除选项A ；当t ＝3时，2t－2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4，由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．故选C.某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)【精彩点拨】 先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．【尝试解答】 设投资额为x 万元时，获得的利润为y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资A 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资B 种商品的利润y 万元与投资额x 万元之间的函数关系．设二次函数的解析式为y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 一次函数的解析式为y ＝bx .把x ＝1，y ＝0.65代入y ＝－a (x －4)2＋2(a ＞0)， 得0.65＝－a (1－4)2＋2，解得a ＝0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝－0.15(x －4)2＋2表示．把x ＝4，y ＝1代入y ＝bx ，得b ＝0.25，故前六个月所获纯利润关于月投资B 种商品的金额的函数关系可近似地用y ＝0.25x 表示．令下月投入A ，B 两种商品的资金分别为x A 万元、x B 万元，总利润为W 万元，得W ＝y A ＋y B ＝－0.15(x A －4)2＋2＋0.25x B ，其中x A ＋x B ＝12，则W ＝－0.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x A －1962＋0.15· ⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6(0≤x A ≤12)，则当x A ＝196≈3.2万元时，W 取得最大值，0．15·⎝ ⎛⎭⎪⎫1962＋2.6≈4.1万元，此时x B ＝536≈8.8(万元)．即投资A 商品3.2万元，投资B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：作图：根据已知数据作出散点图；选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；利用所求得的函数模型解决问题.[再练一题]3. 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系(见下表)：(1)y 与x 的一个函数关系式y ＝f (x )；图424(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．【解】 根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(x ∈N )．经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上， 故所求函数关系式为y ＝－3x ＋150(x ∈N )．(2)依题意有P ＝y (x －30) ＝(－3x ＋150)(x －30) ＝－3(x －40)2＋300，∴当x ＝40时，P 有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.1. 某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km ，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a )，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图像大致为( )A B C D【解析】 由题意可知，s 是关于时间t 的一次函数，所以其图像特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图像应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图像下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C.【答案】 C2. 国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：( )A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元【解析】 由题意可知，当x ＝1200时，y ＝7.00元，故选C.【答案】 C3. 已测得(x ，y )的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1.若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．【解析】 对于甲：x ＝3时，y ＝32＋1＝10，对于乙：x ＝3时，y ＝8，因此用甲作为拟合模型较好．【答案】 甲4. “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－N 90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数，则当N ＝40时，t ＝________.(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)【导学号：04100079】【解析】 当N ＝40时，则t ＝－144lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4090＝－144lg 59＝－144(lg 5－2lg 3)＝36.72.【答案】 36.72分钟5.图425要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图425，窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积S 最大，窗户应具有怎样的尺寸？【解】 由题意得窗框总长l ＝π2x ＋x ＋2y ， ∴y ＝2l －π＋x 4，∴S ＝π8x 2＋xy ＝π8x 2＋x ·2l －π＋x 4＝－π＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l π＋42＋l 2π＋.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，y ＝2l －π＋x 4＞0， 得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2l π＋2， 当x ＝2l π＋4时，S max ＝l 2π＋， 此时y ＝l π＋4＝x 2， 所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．。
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解 总成本C与产量x的关系 C=200 000+300x 单位成本P与产量x的关系
200 000 P= + 300 x
销售收入R与产量x的关系 R=500x 利润L与产量x的关系 L=R-C=200x-200 000
L=R-C=200x-200 000 若x<1000,L<0; 若x=1000,L=0; 若x>1000,L>0;
O 10 20 30
2)
40 温度/(℃) 温度 ℃
对实验数据分析得到一个函数 描点,用折线连接得到一个新函数 定义域扩大到区间[4,38] 这是个环境温度与人体代谢的近似函数,它 的函数图像可以帮助我们更好地把握环境 温度与人体代谢的关系 代谢率 185J/(h·m 代谢率/4
2)
60 则 y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2 =na2-2(a1+a2+…+an)a+a12+a22+…+an2 由二次函数的性质知
− 2(a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an ) 当a = − 时 2n
y取得最小值，即最佳近似值
1 a = (a1 + a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + an ) n
促销后销售量M与原销售量a、 M＝a(1+10%)n 礼品价格n的函数关系 促销后单个商品的利润N与 N＝100-80-n 礼品价值n的函数关系 利润与礼品价格n的函数关系
y=M·N=1.1na(20-n),0≤n≤20
2.在测量某物理的过程中,因仪器和观察的 误差,使得n次测量分别得到a1,a2···,an,共n个 数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似 值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与 各数据差的平方和最小.依此规定,请用 a1,a2,···,an表示出a.
这组数据能说明什么？
对于环境温度只 有唯一的人体代 谢率与之对应
决定
函数关系
将实验值在直角坐标系中表示出来. 并用折线把它们连接起来 环境温度与代谢率 ①小于20℃的范围内是下降 ②大于30℃的范围内是上升 代谢率/4 代谢率 185J/(h·m ③20℃～30℃较稳定 60 ④环境温度太低或太 50 40 高,有较大影响 30
实际问题的 函数刻画
复习回顾
选定初始区间 取区间的中点
如何利用二分法求 方程的近似解?
是
中点函数 值为零 否
M
N 是 否
结束
问题1 当人的生活环境温度改变时,人体代 谢率也有相应的变化,下表给出了实验的一 级数据
环境温度 代谢率/4 1858J/(h·m2) 4 60 10 44 20 40 30 40.5 38 54
O
10 20
30
40 温度/(℃) 温度 ℃
问题2 某厂生产一种畅销的新型工艺品,为 此更新专用设备和制作模具花去了200 000 元,生产每件工艺品的直接成本为300元,每 件工艺品的售价为500元,产量x对总成本C, 单位成本P,销售收入R以及利润L之间存在 什么样的函数关系?表示了什么实际含义?
画出R与C的图像
R(C) 500 000 200 000 1 0000 x R C
200 000 P= + 300 x
x增加 P减少
问题3 如图,在一条弯曲的河道上,设置了六个 水文监测站.现在需要在河边建一个情报中心, 从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通 讯电缆,怎样刻画专用通讯电缆的总长度?
小结
用数学刻画实际问题
读懂问题
根据实际问题特征和掌握数学特征 建立实际问题与数学问题的联系
A B C D D E E F F
b c d
Ae B C
f
把变直的河道当作数轴,A,B,C,D,E,F的 坐标就可以用0,b,c,d,e,f表示 情报中心位置的数值用x 表示 所需电缆总长度 f(x)=|x|+|x-b|+|x-c|+|x-d|+|x-e|+|x-f|
A B C
x
D
E
F
1.商店的一种商品每个进价80元,零售价100 元.为了促进销售,开展购一件商品赠送一个 小礼品的活动,在一定的范围内,礼品价格每 增加1元,销售量增加10%.求利润与礼品价格 n之间的函数关系.