兰州一中实验班招生数学试题

201２年兰州一中实验班招生试题

数 学

满分15０分,时间1２0分钟

一、选择题：本大题共８小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1.相交两圆的公共弦长为6，两圆的半径分别为

32和5,则这两圆的圆心距等于（ )

Ａ.2 B ．７ Ｃ.２或 6 Ｄ.１或7

2．如图,在等腰Rt △AB Ｃ中，∠Ｃ=90o ，A Ｃ＝6，D 是AC 上一点,若tan ∠DB Ａ=

5

1

，则AD 的长为( ) A . 2 Ｂ．3 C .2 Ｄ.1

３.已知n m ,是方程0122

=--x x 的两根，且8)763)(147(2

2

=--+-n n a m m ，则a

的值等于 ( ）

A ．－5

B .５ Ｃ. -9 D .９

４．如图,已知正方形A ＢCD 的边长为4 ,E 是B Ｃ边上的一个动点，AE ⊥E Ｆ， EF 交DC 于F , 设BE=x ,FC=y ,则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( ）.

5．若实数x ,y 满足2

2

4250,x y x y +--+=则

32x y y x

+- 的值是( )

A.1

B.

3

22

+ C ．3－22 D.3 +22 6．二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数x

c

b a y +-=在同一坐标系内的图象大致为( ）

7.小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校,所用的时间与路程如图所示．如果返回时,上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ) A.8.6分钟 B.9分钟 C ．12分钟 ? D.16分钟

8．方程x 2＋2x -１＝0的根可看成函数y ＝x +２与函数1

y x

=

的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x ３

+x －1=0的实根x 所在范围为( ）

A ． 102x -

<< B.112x << C ．1

02x << D ．3

12

x <<

二、填空题(把答案填在题中的横线上.6小题，每小题6分,共36分）

9．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为２1元,则标价为 元．

1０.已知R ｔΔAB Ｃ中,斜边B Ｃ上的高ＡD=4，cosB=

5

4

，则A Ｃ= _＿_____ . １1．某厂第一季度共生产钢190吨,二、三月份共生产钢1５0吨,则平均每月的增长率是_______＿.

1２．如图，ＡＢ与CD 相交于E ，DA ∥ＥＦ∥BC,且AE ：EB=1：2,△ADE 的面积为１,则△AEF 的面积是___＿__＿_＿.

y x

O y x

O y x

O C.

y x

O D.

1

- 1

O x

y

第6题图

1３．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘,转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为４的概率是＿

____________.

14.将半径为

4ｃｍ的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆

柱(如图示）,当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是__＿＿_______cm. 120°

1

2

1 2

答案

一、选择题

１.D ２.A 3．Ｃ 4.Ａ ５.D 6．B 7．C 8.B 二、填空题

9． ２8 １0． ５ 11． ５0％ 1２.

23 1３. 1

3

1４. 1 三、解答题(解答时,必须写出必要的解题步骤.６小题，共74分)

15． (本题满分12分)已知关于x 的方程014)3(22

2

=--+--k k x k x .

（１)若这个方程有实数根，求k 的取值范围;

（2）若这个方程有一个根为1,求k 的值;

（3)若以方程014)3(22

2

=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数x

m

y =

的图象上，求满足条件的m 的最小值． 解: （1)由题意得△=()[]()

144322

2

--?---k k k ≥0

化简得 102+-k ≥0,解得k ≤5．…………….4分

（２）将１代入方程，整理得2

660k k -+=,解这个方程得 13k =，

23k =…………….8分

（３）设方程014)3(22

2=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，

根据题意得12m x x =.又由一元二次方程根与系数的关系得2

1241x x k k =--,

那么()52142

2

--=--=k k k m ,所以，当k ＝２时ｍ取得最小值-5……….1２分

?１6.（本题满分12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工厂２0１1年1 月的利润为２00万元.设２0１1年1 月为第1个月，第x 个月的利润为ｙ万元.由于排污超标，该厂决定从2011年1 月底起适当限产,并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降,从1月到５月，y 与ｘ成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图）.

⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式.

⑵治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到2０１1年1月的水平？ ⑶当月利润少于１0０万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月?

解：⑴①当1≤x ≤５时，设k

y x

=

,把(１，２00)代入,得200k =，即200

y x

=

；…………….2分 ②当5x =时，40y =，所以当x >5时,4020(5)2060y x x =+-=-；…………….4分

⑵当y =200时，２０ｘ－６０=20０,x=13,所以治污改造工程顺利完工后经过13-5＝8个月后,该厂利润达到200万元;…………….８分 ⑶对于200

y x

=

，当ｙ=1００时，x ＝2;对于y =２0x -6０,当y =100时,x =8，所以资金紧张的时间为8－2=６个月． (2)

１7.(本题满分12分）数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题:

1＋2+３+４+5+…+９９+100=?

高斯很快得出了答案,他的计算方法是: 1＋２+3+4+5+…+99+100＝(1+100）+（2+９9)＋（3＋98）+…+(4９＋52)+(50+５1)=50 × 101＝5０50

(1) 请你利用上述方法或用其它的方法求ｓ=1＋3+5+7+…+[２(n –１）–１]+(2ｎ–1)的计算公式;

(２）如图，第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中的中间三角形连结三边中点而得到的,依次类推……

分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数，由此推测出第n 个图形中三角形的个数,并求出

第一个图形到第ｎ个图形的三角形个数

之和．

解:(1）ｓ=n ２

． (6)

（2)第二个图形中三角形的个数５； …………….7分 第三个图形中三角形的个数9; …………….8分 第四个图形中三角形的个数13; …………….9分 第n 个图形中三角形的个数4ｎ–3; ……………10分

第一个图形到与第n 个图形的三角形个数之和为２n 2–ｎ. …………….1２分

?18．（本题满分１2分）（１)如图,A 、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂到河堤的距离ＡC 为1k ｍ,Ｂ工厂到河堤的距离B Ｄ为２ｋm ,经测量河堤上C 、Ｄ两地间的距离为６km .现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A 、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C 地多远的地方??(2)通过以上解答,充分展开联想，运用数形结合思想构造图形,尝试解决下面问题：若22

1(9)4y x x =++-+ ，当ｘ为何值时,

ｙ的值最小,并求出这个最小值．

解：（1）延长A Ｃ到E,使CE ＝ＡC,连接EB 交CD 于点P ，则点P 就是污水处理厂所在

① ② ③ ……

第17题图

的地方（画出图形)．

设CP=x,则ＤP=6-ｘ,

由点A 与点E 的对称性可知∠APC ＝∠EPC ， 又由对顶角相等可知∠ＢP Ｄ=∠EPC, ∴∠APC ＝∠BPD,

又∵∠A ＣP ＝∠BDP=90°, ∴△ＡCP ∽△BDP ，

∴

AC CP

BD DP =

∴126x x

=-, 解得x=2,

所以,污水厂应建在距离C 地2ｋm 处;…………6分 (2）仿照（1）中建立图形,

使ＡC=１,CD ＝9,ＢD=2，设ＣＰ=ｘ, 则221(9)4y x x =+-+中的21x +即是图中的AP 2(9)4x -+即是图中

的BP.

所以221(9)4y x x =

+-++ＢP 的最小值,

仿照(１）中找到点A 关于直线C Ｄ的对称点E,连接EB,与ＣD 的交点就是所求的点P. 由△A ＣP ∽△BDP,得AC CP

BD DP

= ∴

129x

x

=

-， 解得x ＝３,

所以当ｘ=3时，221(9)4y x x =

++-+有最小值,

最小值是2231(93)4310y =++-+= ．…………….１２分

?１９．(本题满分1３分)如图，⊙O 的半径为１,点P 是⊙O 上一点,弦AB 垂直平分线段O Ｐ,点D 是APB 上任一点(与端点A 、

Ｂ不重合)，ＤE ⊥AB 于点E,以点D 为圆心、D Ｅ长为半径作⊙Ｄ，分别过点Ａ、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点Ｃ．

(1)求弦ＡB 的长；

（２）判断∠AC Ｂ是否为定值,若是,求出∠ACB 的大小;否

则，请说明理由;

(3）记△ABC 的面积为S ，若2

S

DE =43，求△ABC 的周长.

解：(1）连接OA ，取O Ｐ与A Ｂ的交点为F ,则有ＯＡ=１.

∵弦ＡＢ垂直平分线段OP ,∴OF ＝

12OP =1

2

,A Ｆ＝BF ． 在Rt △OAF 中，∵AF ＝2

2

OA OF -=2

211()2-＝3

,∴

ＡB =2A Ｆ＝3．…………….４分

(２）∠ACB 是定值．

理由:由(1)易知,∠AOB =120°,

因为点D 为△AB Ｃ的内心,所以，连结A Ｄ、BD ,则∠CAB =2∠DA Ｅ,∠CBA =2∠D ＢＡ，

因为∠D ＡE ＋∠D ＢA =

1

2

∠AOB =60°，所以∠CAB ＋∠CBA =120°,所以∠ACB =60°；…………….8分

（3)记△ABC 的周长为l ,取AC ,BC 与⊙D 的切点分别为G ,H ,连接DG ,DC ，D Ｈ，则有DG =ＤH ＝DE ，DG ⊥AC ,ＤH ⊥BC .

F C P

D O

B

A

E

H G

∴ABD ACD BCD S S S S ???=++

=

12ＡB ?DE ＋12ＢC ?ＤH +12ＡＣ?DG ＝12(AB ＋BC ＋AC ) ?DE =1

2

ｌ?DE ． ∵2

S DE ＝43,∴21

2l DE

DE ＝43,∴l =83DE.

∵ＣＧ，ＣH 是⊙D 的切线，∴∠GC Ｄ=1

2

∠ACB ＝30°, ∴在Rt △C ＧD 中,CG ＝

tan30DG =3

=3D Ｅ,∴C Ｈ=ＣG ＝3DE ．

又由切线长定理可知AG =ＡE ,BH =BE ，

∴l ＝A Ｂ＋BC +ＡC ＝23+23DE ＝83DE ,解得DE =1

3,

∴△A ＢＣ的周长为83

．……………．1３分

?20.（本题满分13分）如图,设抛物线C 1:()512

-+=x a y ，

C ２:()512

+--=x a y ,C １与Ｃ2的交点为A , B ,点A 的

坐标是)4,2(,点Ｂ的横坐标是-２. （1)求a 的值及点B 的坐标；

（２)点D 在线段ＡＢ上,过D 作x 轴的垂线，垂足为点Ｈ,

在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过Ｃ2顶点M 的 直线为l ，且l 与ｘ轴交于点N ．

① 若l 过△ＤＨＧ的顶点G ,点D 的坐标为(１, 2）,求点Ｎ的横坐标；

② 若l 与△DH Ｇ的边ＤG 相交，求点N 的横坐标的取值范围.

解:（１）∵ 点A )4,2(在抛物线Ｃ1上,∴ 把点Ａ坐标代入()512

-+=x a y 得 a =1. …………….2分

∴ 抛物线Ｃ1的解析式为422

-+=x x y ， 设Ｂ(-２，ｂ）， ∴ ｂ＝－４, ∴ B （-２,-4) . …………….4分 （2）①如图1,

∵ M （1, ５)，D (1， 2), 且DH ⊥x 轴,∴ 点M 在DH 上,MH =５. 过点Ｇ作G Ｅ⊥DH ，垂足为E,

由△DHG 是正三角形,可得EG ＝3, EH =１, ∴ ME ＝4. 设N （ x , 0 )， 则 ＮH ＝x －1,

由△M ＥG ∽△MHN ,得

HN

EG

MH ME =

, ∴ 1354-=x ， ∴ =x 134

5+, ∴ 点N 的横坐标为134

5

+． …………….8分

② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2,

直线l 与DG 交于点G ，此时点N 的横坐标最大． 过点G ，M 作x 轴的垂线，垂足分别为点Q ，F , 设N （x ,0),

∵ Ａ (2, 4）, ∴ G （322+, ２), ∴ NQ =322--x ,ＮF =1-x , ＧQ =2, ＭF ＝5. ∵ △ＮGQ ∽△ＮMF ，

∴

MF GQ

NF NQ =

, ∴

52

1322=---x x ， ∴ 3

8310+=x . …………….10分

当点D 移到与点B 重合时,如图３， 直线l 与DG 交于点Ｄ，即点Ｂ, 此时点Ｎ的横坐标最小.

∵ B （－2, －4)， ∴ H (－2, 0), Ｄ(－2, -４）, 设Ｎ(x ，0）,

∵ △BHN ∽△MFN , ∴ MF

BH

FN NH =

, ∴

5412=-+x x ， ∴ 3

2

-=x . ……12分

∴ 点Ｎ横坐标的范围为 3

2

-≤x ≤38310+. …1３分

图2

图3

图4