高中数学必修5三角函数课件
三角函数
??
???
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.
第一象限角的集合为{}
36036090,k k k αα?<+∈Z
第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z
第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z
第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z
终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z
终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z
终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z
3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z
4、已知α是第几象限角,确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为
n
α
终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r
α=
. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=
,1180π
= ,180157.3π??=≈ ???
.
P x
y
A
O
M T
8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则
l r α=,2C r l =+,211
22
S lr r α==.
9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是(
)
220r r x y =
+>,则sin y r α=
,cos x r α=,()tan 0y
x x
α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,
第四象限余弦为正.
11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT .
12、同角三角函数的基本关系:()22
1sin cos 1αα+=
()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-;()
sin 2tan cos α
αα
= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?
?== ??
?.
13、三角函数的诱导公式:
()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-.
口诀:函数名称不变,符号看象限.{符号看象限,就是把α看作是某一个锐角(例如30°、45°、60°之类),然后π+α、π-α、-α就看作是π与这个锐角相加减或者相反后的角,然后根据这个角在第几象限,来判断三角函数的正负。例如把α看作是30°,所以π+α为210°第三象限角,所以sin 为负、cos 为负、tan 为正,也就是诱导公式二了。结论:当把把α看作是某一个锐角时,π+α、π-α、-α就分别为第三、第二、第四象限角了,又例如:sin (3π+α)先化成sin 【2π+(π+α)】,再化成sin (π+α),因为π+α第三象限角,而第三象限角的sin 为负,所以sin (π+α)=-sin α,用等式表示为sin (3π+α)=sin 【2π+(π+α)】=sin (π+α)=-sin α}
()5sin cos 2π
αα??-=
???,cos sin 2παα??-= ???. ()6s i n c o s
2παα??
+= ???
,cos sin 2παα??
+=- ???
.
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.(这里的符号看象限,跟上面的一样道理,不同的是π减小到一半而已,其他没变,同样把α看作是某一个锐角,然后来判断)
14、函数sin y x =的图象上所有点向左(右)平移?个单位长度,得到函数()sin y x ?=+的图象;再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
ω
倍(纵
坐标不变),得到函数()sin y x ω?=+的图象;再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ω?=A +的图象.
函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1
ω
倍(纵坐标不变),
得到函数
sin y x ω=的图象;再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左(右)平移
?
ω
个单位长度,得到函数()sin y x ω?=+的图象;再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的A 倍(横坐标不变),得到函数()sin y x ω?=A +的图象. 函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质: ①振幅:A ;②周期:2π
ω
T =
;③频率:12f ω
π
=
=T ;④相位:x ω?+;⑤初相:?. 函数()sin y x ω?=A ++B ,当1x x =时,取得最小值为min y ;当2x x =时,取得最大值为max y ,则()max min 12y y A =-,()max min 12y y B =+,()21122
x x x x T
=-<.
sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 R R
,2x x k k ππ??
≠+∈Z ????
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最值
当
22
x k π
π=+
()
k ∈Z 时,max 1y =;当
22
x k π
π=-
()
k ∈Z 时
,
min 1y =-.
当()2x k k π=∈Z 时,
max 1
y =;当
2x k ππ=+
()k ∈Z 时,min 1y =-.
既无最大值也无最小值
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数
奇函数
单调性
2,222k k ππππ?
?-+???
? ()k ∈Z 上是增函数;
32,222k k ππππ?
?++???
?()k ∈Z 上是减函数.
[]()
2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在[]2,2k k πππ+
()k ∈Z 上是减函数.
在,22k k ππππ?
?-+ ??
?
()k ∈Z 上是增函数.
函
数
性 质
对称性
对
称
中
心()(),0k k π∈Z
对
称轴()2
x k k π
π=+∈Z
对
称
中
心
(),02k k ππ??+∈Z
???
对称轴()x k k π=∈Z 对
称
中
心
(),02k k π??
∈Z ???
无对称轴
三角恒等变换知识点 1、同角关系: ⑴商的关系:①sin tan cos y x θθθ=
= ②cos cot sin x y θ
θθ
== ③sin cos tan y r θθθ=
=? ④cos sin cot x
r
θθθ==? ⑵倒数关系:tan cot 1θθ?=
⑶平方关系:2
2
sin cos 1θθ+=
2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+ ? (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+)
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
- ? (()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-)
3、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
2
2tan tan 21tan α
αα
=
-
4、万能公式:
①22tan sin 21tan θθθ=+ ②22
1tan cos 21tan θ
θθ
-=+ ③22tan tan 21tan θθθ=- 5、)sin(cos sin 22?θθθ++=
+b a b a
解三角形知识点
1.正弦定理:
2sin sin sin a b c
R A B C
===或变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 2.余弦定理: 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C
?=+-?=+-??=+-? 或 222222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=??
+-?=???+-=
??
.
3.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.
4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
5.解题中利用ABC ?中A B C π++=,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如:sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222
A B C A B C A B C
+++===.
平面向量知识点
1平面向量的坐标运算:
(1) 若()()1122,,,a x y b x y == ,则()1212,a b x x y y ±=±±
(2) 若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =--
(3) 若a =(x,y),则λa
=(λx, λy)
(4) 若()()1122,,,a x y b x y == ,则1221//0a b x y x y ?-=
(5) 若()()1122,,,a x y b x y ==
,则1212a b x x y y ?=?+?
若a b ⊥
,则02121=?+?y y x x
2两个向量的数量积:
已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a
︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b
的数量积(或内积) 规定00a ?=
类型1:已知角度的化简求值
1.=+-)12
sin
12(cos
)12sin
12(cos
π
π
π
π
( )
2.44cos
sin 88
ππ-等于( ) 3..
48cos 78sin 24cos 6sin ???的值为( ) 4.求=11
5cos 114cos 113cos 112cos
11
cos
π
ππππ
( ) 5.4cos 2sin 22+-的值等于( ).
6.代数式sin15cos75cos15sin105o
o
o
o
+= . 7.2cos10°-sin20°
sin70°的值是 ( )
8.
=?
-?10cos 3
10sin 1 .
9.求值:o
o o o
o o 80
cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin -+ 10.求()
2
3tan123
sin124cos 2-- 的值. 11.=-+0
tan50tan703tan50tan70
12.
???+?+?19tan 11tan 19tan 311tan 3=
类型
2.未知角度的求值与化简
1.已知x 为第三象限角,化简=-x 2cos 1( ) A.
x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-
2.已知x ∈(-π2,0),cosx =4
5
,则tan2x 等于 ( )
A .724
B .-724
C .247
D .-247
3.已知α∈(0,π),且sin α+cos α=1
5,则tan α的值为 ( )
A .-43
B .-43 或-34
C .-34
D .43 或-34
4. 已知1
sin cos 3
αα+=
,则sin 2α=( ) A .8
9
- B .21- C . 21 D .89
5. 已知2cos 23
θ=
,则44
cos sin θθ-的值为( ) A .23-
B .2
3
C .49
D .1
6、已知32,244x k k ππππ?
?∈-+ ??
?()k Z ∈,且3cos 45x π??
-=- ???
,则cos 2x 的值是
( ) A 、725-
B 、2425-
C 、2425
D 、7
25
7、已知12sin 41342x x ππ
π????+=<<
? ?????,则式子
cos 2cos 4x x π??- ???
的值为( ) A 、1013- B 、2413 C 、513 D 、12
13- 8、已知
1cos sin 21cos sin x x
x x
-+=-++,则sin x 的值为 ( ) A 、45 B 、45- C 、35- D 、155
-
9.已知θ为第二象限角,2
25sin sin 240θθ+-=,则cos
2
θ
的值为( ).
A .5
3-
B .5
3±
C .
2
2 D .5
4±
10.设0)3cos )(sin sin cos 2(=++-x x x x ,则x
x
x tan 12sin cos 22++的值为( ).
A .
5
8 B .
8
5 C .
5
2 D .
2
5 11.
=?+α
α
ααcos2cos cos212sin22( ) A. αtan B. αtan2 C. 1 D.
2
1 12.已知0cos 2sin =+θθ,求θ
θ
θ2cos 12sin 2cos +-的值.
13.已知α12.已知cos θ+cos 2θ=1,则sin 2θ+sin 6θ+sin 8θ=
14.f(x)=sinx cosx
1+sinx +cosx
的值域为
15.等式sin α+3cos α=4m -6
4-m 有意义,则m 的取值范围是 ( )
A .(-1,73)
B .[-1,73]
C .[-1,73]
D .[―7
3
,―1]
16.已知sin α+sin β=m,cos α+cos β=2.(1)求实数m 的范围.(2)当m 取最小值时,求sin(α+β)的值.
17.已知不等式()26
32sin
cos 6cos 04442
x x x f x m =+--≤对于任意的
566
x ππ
-
≤≤恒成立,则实数m 的取值范围是( ). A.3m ≥ B.3m ≤ C.3m ≤- D.33m -≤≤
类型3:两角和与差的诱导公式的运用
1.下列命题中不正确...
的是( ).. A .存在这样的α和β的值,使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ B .不存在无穷多个α和β的值,使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+ C .对于任意的α和β,都有βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ D .不存在这样的α和β值,使得βαβαβαsin sin cos cos )cos(-≠+ 2.若)sin(32cos 3sin 3?+=-x x x ,(,)?∈-ππ,则?等于( ). A .-
6
π
B .
6
π C .
56
π D .56
π-
3.若均βα,为锐角,==+=
ββααcos ,5
3
)(sin ,552sin 则( ) A.
552 B. 2552 C. 25
5
2552或 D. 552- 4、已知3cos 5α=-
,,2παπ??
∈ ???
,12sin 13β=-,β是第三象限角,则()cos βα-的值是 ( ) A 、3365-
B 、6365
C 、5665
D 、1665
- 5、已知α和β都是锐角,且5sin 13α=,()4
cos 5
αβ+=-,则sin β的值是
( ) A 、
3365 B 、1665 C 、5665 D 、63
65
6、设()()12
cos sin sin cos 13
x y x x y x +-+=,且y 是第四象限角,则2y tan 的值是
( ) A 、23±
B 、32±
C 、32-
D 、2
3
- 7、已知0,4πα?
?
∈ ??
?
,()0,βπ∈,且()1tan 2αβ-=
,1
tan 7
β=-,则2αβ-的值是 ( ) A 、56π- B 、23π- C 、 712π- D 、34
π
-
8.已知0<α<π2,tan α2+cot α2=52,则sin(α-π
3)的值为
9、已知1
sin 3
x =
,()sin 1x y +=,则()sin 2y x += 10.函数y =5sin(x +20°)-5sin(x +80°)的最大值是 。 11.已知βα,3(
,)4π∈π,5
3
)sin(-=+βα,12sin()413βπ-=,则cos()4απ+= . 12.已知3
1
cos cos ,41sin sin =+=
+βαβα,则)tan(
βα+的值为 . 13.已知βα,为锐角,的值为则βαβα+=
=
,5
1cos ,10
1cos .
14.已知α为第二象限角,且 sinα=,415求1
2cos 2sin )
4sin(+++ααπ
α
15.已知02
π
α<<
,15tan
2
2tan
2
α
α
+
=
,试求sin 3πα?
?- ??
?的值.
16.已知1tan 42πα??
+=- ???
,试求式子2sin 22cos 1tan ααα--的值.
17.已知αβαβαπαβπ
sin2,5
3
)(sin ,1312)(cos ,432
求-=+=-<
<<.
18. 已知7
1
tan ,21)tan(),,0(),4
,
0(-==
-∈∈ββαπβπ
α且, 求)2tan(βα-的值及角βα-2.
类型4:解三角形
1. 在ABC ?中,a 1,b 2,A 30,=== 则B =( )
A . 45
B 45
或135
C 135
D 无解
2. 在ABC ?中,若(a b c)(b c a)3bc,+++-=则A 等于( ) A 30
B 150
C 60
D 120
3.△ABC 中,若60A =
,3a =,则s i n s i n s i n a b c
A B C +-+-等于 ( ) A 2 B 12 C 3 D 3
2
4.在△ABC 中,已知2sinAcosB =sinC ,则△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .正三角形
5.在△ABC 中,若B A B A cos cos sin sin ,则△ABC 一定为( ). A .等边三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .钝角三角形
6.在△ABC 中,已知tan A +B
2
=sinC ,则以下四个命题中正确的是 ( )
(1)tanA ·cotB =1.(2)1<sinA +sinB ≤2.(3)sin 2
A +cos 2
B =1.(4)cos 2
A +cos 2
B =sin 2
C .
A .①③
B .②④
C .①④
D .②③ 7.在△ABC 中,sinA +cosA =
2
2
,AC =2,AB =3,则tanA= ,△ABC 的面积为 8.在ABC ?中,已知tanA ,tanB 是方程2
3720x x -+=的两个实根,则tan C = .
9.△ABC 中,已知的值求sinC ,13
5
B c ,53cosA ==
os
10.在ABC ?中,1tan A 4=,3tan B .5
= (1)求角C 的大小. (2)若ABC ?最大边的边长为17,求最小边的边长.
11.在△ABC 中,已知ab c b a c b a 3))((=-+++,且2c o s s i n s i n ,A B C =试确定△ABC
的形状.
类型5:与平面向量有关三角函数
1、某物体受到恒力是()
1,3F = ,产生的位移为()sin ,cos s t t =-
,则恒力物体所做的
功是 ( ) A 、31+ B 、2 C 、22 D 、3
2、已知向量()2cos ,2sin a ??= ,()90,180?∈
,()1,1b = ,则向量a 与b 的夹角为
( )
A 、?
B 、45?-
C 、135?-
D 、45?+
3. 已知A 、B 、C 是ABC ?三内角,向量(1,3),m =-
(cos ,sin ),n A A = 且m.n=1 (1)求角A; (2)若22
1sin 23,cos sin B
B B
+=--求tanC .
4.已知()
3sin ,cos a x x ωω=- ,()cos ,cos b x x ωω= ()0ω>,令函数()f x a b = ,
且()f x 的最小正周期为π. (1) 求ω的值;
(2) 求()f x 的单调区间.
5.将函数()2
23cos 2sin 252cos 23sin cos x x f x x x x -=++-的图像按向量,26a π??
=- ???
平移,得到函数()g x 的图像.
(1) 化简()f x 的表达式,并求出函数()g x 的表示式; (2) 指出函数()g x 在,22ππ??
-
???
?上的单调性;
高中数学三角函数知识点(复习)
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合: . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式:. 4、扇形面积公式:. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: 2、 设点为角终边上任意一点,那么:(设),,, 3、 ,,在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 5、特殊角0°,30°,45°,60°, 1、平方关系:. 2、商数关系:. 3、倒数关系: §1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限”) 1、 诱导公式一: (其中:)
2、 诱导公式二: 3、诱导公式三: 4、诱导公式四: 5、诱导公式五: 6、诱导公式六: §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为:
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程: 对称中心 对称轴方程: 对称中心
1、记住正切函数的图象: 2、记住余切函数的图象:
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角:{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角:{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角:{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角:{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角:{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角: {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角:{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角: {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制:弧长等于半径时,所对的圆心角为1弧度的圆心角,记作1rad . 7、角度与弧度的转化:01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长:l R α=?;面积:211 22 S l R R α=?=?,注意:这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦:sin y r α=;余弦cos x r α=;正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标,r = 2、三角函数值对应表: 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 1rad =π 180°≈°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1。(2)商数关系:αα cos sin =tan α (z k k ∈+≠ ,2 ππ α) 6.诱导公式:记忆口诀:2 k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ' ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数(初等函数二) ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{ } 360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{ } 360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{ } 180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{ } 18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{ } 90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{ } 360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 2 1122 S lr r α= = . 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r r =>, 则sin y r α= ,cos x r α= ,()tan 0y x x α= ≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=M P ,cos α=O M ,tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系:()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化: ,23600π= ,1800 π= 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式:r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: 记忆口诀:一全正,二正弦,三两切,四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1 (2)商数关系:ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式: 记忆口诀:把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. x y O — + + — + y O — + + — 三角函数常见题 1、A,B,C为三角形内角,已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC,求角A 解:1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明:(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆,原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A,B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时,y有最小值1此时{x|x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时,y有最小值1此时{x|x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC,若(2c-b)tanB=btanA,求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1.根据解析式研究函数性质 例1(天津理)已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ,. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求函数()f x 在区间π3π84?? ????,上的最小值和最大值. 【相关高考1】(湖南文)已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?. 求:(I )函数()f x 的最小正周期;(II )函数()f x 的单调增区间. 【相关高考2】(湖南理)已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?,1()1sin 22g x x =+. (I )设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴,求0()g x 的值.(II )求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间. 2.根据函数性质确定函数解析式 例2(江西)如图,函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ,,≤≤的图象与y 轴相交于点(0,且 该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值; (2)已知点π02A ?? ??? ,,点P 是该函数图象上一点,点00()Q x y ,是PA 的中点,当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ,时,求0x 的值. 【相关高考1】(辽宁)已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ,(其中0ω>),(I )求函数()f x 的值域;(II )(文)若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ,求函数()y f x =的单调增区间. 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 r y =α sin ; r x = αcos ; x y = α tan ; y x = α cot ; x r = α sec ;. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角:顺时针防线旋转正角:逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合:{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:Z k k ∈-=,βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则α与角β的关系:Z k k ∈-+=,βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则α与角β的关系:Z k k ∈+=,βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则α与角β的关系:Z k k ∈++=, 90180βα 4. 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ,则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式: 1rad =(π 180)°≈57.30° 1°=180 π 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角:? ?? ? ??∈+< 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值: 2.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:s in 2α+ cos 2α=1。(2)商数关系:α α cos sin =tan α (z k k ∈+≠ ,2 ππ α) 6.诱导公式:记忆口诀:2 k παα±把的三角函数化为的三角函数,概括为:奇变偶不变,符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. 口诀:函数名称不变,符号看象限. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2παα??+= ???,cos sin 2παα??+=- ??? . 口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、(2009)函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π 的偶函数 2、(2008)已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈,则()f x 是( ) A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.(2009浙江文)已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能...是( ) 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.(2009江西卷文)函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A .2π B . 32π C .π D .2 π 6.(2009全国卷Ⅰ文)如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称, 那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.(2008海南、宁夏文科卷)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( ) A. -3,1 B. -2,2 C. -3, 3 2 D. -2, 32 8.(2007海南、宁夏)函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ,的简图是( ) 二.填空题 1.(2009宁夏海南卷文)已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示,则 712 f π ?? = ??? 。 2.(2009年上海卷)函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.(2009辽宁卷文)已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω = 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. 角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z (2)终边与角α相同的角可写成α+k ·360°(k ∈Z ).终边与角α相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z (3)弧度制 ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ③半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= ④若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 2.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P (x ,y ) ,它与原点的距离为( r r = ,那么角α的正弦、余弦、 正切分别是:sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x .(三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦) 3.特殊角的三角函数值 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 数学必修4三角函数常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α αcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α α α α2 tan 1tan 22tan -= 45 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± 7、两角和差正切公式的变形: tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=ααtan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4 π -α) 8 10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变,符号看象限。” sin (π-α) = sin α, cos (π-α) = -cos α, tan (π-α) = -tan α; sin (π+α) = -sin α cos (π+α) = -cos α tan (π+α) = tan α sin (2π-α) = -sin α cos (2π-α) = cos α tan (2π-α) = -tan α sin (-α) = -sin α cos (-α) = cos α tan (-α) = -tan α sin (2π-α) = cos α cos (2 π-α) = sin α sin (2π+α) = cos α cos (2 π+α) = -sin α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+,x ∈R 及函数cos()y x ω?=+,x ∈R(A,ω,?为常数,且A ≠0,ω>0)的周期2T π ω = ;函数 tan()y x ω?=+,,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T π ω = . 解三角形知识小结和题型讲解 一、 解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理 在运用余弦定理的计算要准确,同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○ 1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=(注:二倍角的关系) ○2),2 sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○ 1B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>; ○2三内角成等差数列0 120,60=+=?C A B 2(ABC ) sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 222 222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B a c a b c C ab +-=+-= +-= 三角函数知识点 一.考纲要求 考试内容3 要求层次 A B C 三角函数、 三角恒等 变换、 解三角形 三角函数 任意角的概念和弧度制 √ △ 弧度与角度的互化◇ √ 任意角的正弦、余弦、正切的定义 √ 用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切 √ 诱导公式 √ △ 同角三角函数的基本关系式 √ 周期函数的定义、三角函数的周期性 √ 函数sin y x =,cos y x =,tan y x =的图象 和性质 √ 函数sin()y A x ω?=+的图象 √ 用三角函数解决一些简单的实际问题◇ √ 三角 恒等 变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 √ 二倍角的正弦、余弦、正切公式 √ 简单的恒等变换 √ 解三角形 正弦定理、余弦定理 √ △ 解三角形 √ △ 二.知识点 1.角度制与弧度制的互化:,23600π= ,180 π= 1rad =π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°= 180 π≈0.01745(rad ) 2.弧长及扇形面积公式 弧长公式:r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 3.任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边上一点p (x,y ), r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号: sin α cos α tan α 4、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin 2α+ cos 2α=1。 (2)商数关系: ααcos sin =tan α(z k k ∈+≠,2 ππ α) 6.诱导公式:奇变偶不变,符号看象限 ()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=,()()tan 2tan k k παα+=∈Z . ()()2sin sin παα+=-,()cos cos παα+=-,()tan tan παα+=. ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=,()tan tan αα-=-. ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-,()tan tan παα-=-. ()5sin cos 2π αα??-= ???,cos sin 2παα?? -= ??? . ()6sin cos 2π αα??+= ???,cos sin 2παα?? +=- ??? . x y + cos sin 2παα-=O — — + x y O — + + — + y O — + + — (3) 若 o | 三角函数典型例题 1 .设锐角ABC ?的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC ?为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6? ? cos sin 6A A π?? =++ ??? & 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ?? ?. 2 .在ABC ?中,角A . B .C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C . (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C . - 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA . ∵0 三角函数知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180 π =,180157.3π?? =≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α== . 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r r =, 则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 12、同角三角函数的基本关系:()22 1sin cos 1αα+= 三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:2 11||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y = αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号: 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o高中数学三角函数知识点总结(非常好用)
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