《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案

（第2页，共19页）

试卷一：

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、1、下列各式正确的是（）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=??;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===??; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=??;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =

3、下列说法不正确的是（）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n

f x 是可测函数

（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D) ?

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'

E =______,o

E =______,E =______.

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

得分

（第3页，共19页）

_________________________________，则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. （填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举

反例说明.(5分×4=20分)

1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E

f x >?

得分

（第4页，共19页）

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，

是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0

ln()lim cos x

x n e xdx n

∞-+?

得分

（第5页，共19页）

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数

,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

得分

（第6页，共19页）

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim 0n n

n me ?=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集

F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测

函数。(鲁津定理的逆定理)

（第7页，共19页）

试卷一答案：

试卷一（参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D

二、1．? 2、[]0,1； ? ； []0,1 3、***()()m T m T E m T CE =?+?

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=??

-????

∑成一有界数集。

三、1．错误……………………………………………………2分

例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密 ………………………..5分

2．错误…………………………………………………………2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ，故其为不可数集 ……………………….5分 3．错误…………………………………………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………………………………………………..5分

4．错误…………………………………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?…5分

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分

（第8页，共19页）

因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]

120,101

()3

f x dx x dx ==??…8分

2．解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

，则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分

又因'

2ln 1ln 0t t t t -??=< ???，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………………4分从而使得ln 3

|()|(1)3x n f x x e -≤+…………………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………………………………8分

五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =?=?

B M B ∴??是无限集，可数子集 …………………………2分 .A A M

M ∴?是可数集， ……………………………….3分

(\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=?=?=????=?=且…………..5分

,.E B B c ∴∴=………………………………………………6分

2．,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使……….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥………………………………………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥在点连续，

x E ∴∈…………………………………………………………5分

E ∴是闭集.…………………………………………………….6分

（第9页，共19页）

对1ε=，0δ??，使对任意互不相交的有限个(,)(,)i i a b a b ?

当1

()n

i i i b a δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f b f a =-<∑………………2分

将[,]a b m 等分，使

i i i x x

δ-=-<∑，对:T ?101i x z z -=

()()1k

i i i f z f z -=-<∑

，所以

()

f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函

数……………………………….5分所以

()1,

i x x f V -≤从而

()b

f m

V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界变差函

数…………………………………………………………..6分 4、()f x 在E 上可积lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞

?≥==+∞=……2分

据积分的绝对连续性，

0,0,,e E me εδδ?>?>??<，有

|()|e

f x dx ε

对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>??>≥<，从而|()|n

n e n me f x dx ε?≤

lim 0n n

n me ?=…………………6分

．

n N ?∈存在闭集

()1

,,()2n n n

F E m E F f x ?-<

在

F 连

续………………………………………………………………2分令1n

k n k

F F ∞∞

===

，则

,,,()

n n n k

x F k x F n k x F f x ∞

=?∈??∈??≥∈?在F 连

续…………………………………………………………4分又对任意k ,()[()][()]n n n k

n k

m E F m E F m E F ∞

∞

==-≤-?=?-

()2

n k n k

m E F ∞

=≤-<

∑…………………………………………….6分

（第10页，共19页）

故()0,()m E F f x -=在F E ?连续…………………………..8分又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上的可测函数………………………………………………………..10分

试卷二：

《实变函数》试卷二

专业________班级_______

姓名学号

注意事项

1、本试卷共6页。

2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（） (A) M (B) N (C) M N ? (D) ?

2. 下列说法不正确的是( )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点

题号

一二三四五总分得分

得分

（第11页，共19页）

(D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；

4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集；（B ）可数个零测集的并是零测集；（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11

[,2],1,2,

n A n n n

=-=，则=∞

→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

? ???∑

4、鲁津定理：______________________________________________________

_______________________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________________________

_____________________________________________________________________________________________则称()F x 为[],a b 上

得分

（第12页，共19页）

的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

得分

（第13页，共19页）

四.解答题(8分×2=16分)

1、设,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -

可积，若可积，求出积分值。

2、求极限 1

3220lim sin 1n nx

nxdx n x

→∞

得分

（第14页，共19页）

五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，

})(|{c x f x E >= 是一开集.

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. （6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

（第15页，共19页）

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.（8分）设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ?，使|()()|b

a f x x dx ?ε-

试卷二（参考答案及评分标准）

一、1，C 2, C 3, B 4, C 5, A 二、1，()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤

4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

（第16页，共19页）

5，对任意0,0εδ>?>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间

(),,1,2,

,,i i a b i n =只要()1

n i i i b a δ=-<∑，就有1

|()()|n

i i i F b F a ε=-<∑

三、1．错误……………………………………………………2分

记(0,1)中有理数全体12{,,}R r r =12

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??==??=

?为，

中无理数，

显然[01]0111?-是，到（

，）上的映射。……………………………5分 2．正确……………………………………………………………2分设i E 为零测度集， *

)0i i i m E m E ∞

∞==≤≤=∑，所以，*

(

)0i i m E ∞

因此，

i i E ∞

=是零测度集。………………………………………5分

3．错误……………………………………………………………2分

例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]

()1,2,

0,(,)

n x n f x n x n ∈?==?∈+∞

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞ 且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.………………5分 4．错误…………………………………………………………2分

例如：cos ,01,

()20,0.

x x f x x

x π?

<≤?=??=?显然是[]0,1的连续函数。如果对[]0,1取分划11

:01221

T n n <

<<<

<<-，则容易证明 21111

|()()|n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10()V f =∞…………………5分

（第17页，共19页）

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集………………………………………3分因为()f x 是有界可测函数，所以()f x 在

[]

0,1上是L -可积

的…………………………………. …………………………….6分

因为()f x 与x ..a e 相等, 进一步，[]10,101

()2

f x dx xdx ==??……8分

2设322

()sin 1n nx

f x nxdx n x

=+，则易知当n →∞时，

()0n f x →…………………………………………………………2分

又22

|()|1n nx

f x n x ≤

+………………………………………………4分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的……………6分故有0

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………………………8分

五、1．,()x E f x c ?∈>………………………………………..1分

()f x 在x 点连续，∴对()0,(,),f x c U x εδ=->?当(,)y U x δ∈时，

有()()f y f x ε-<…………………………………………3分 ()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>，y E ∴∈……5分因此(,)U x E δ?，从而E 为开集………………………………..6分 2．对任何正整数

，由条件存在开集,

n G E ?使

()n m G E n

……………………………………………………1分令1

n n G G ∞

，则G 是可测集…………………………………3分

又因*()m G E -*1

()n m G E n ≤-<

对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，即M G E =-是一

零测度集，所以也可

（第18页，共19页）

测.…………………………………………………………………5分由()E G G E =--知，E 可测。…………………………………6分 3、易知()()x

a g x f V =是[],a

b 上的增函数………………………2分

令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有

1212121212121()()()()[()()]

()[()()]|()()|[()()]0

x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥

所以()h x 是[],a b 上的增函数……………………………………4分

因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限增函数…………. ……………………………………………………….6分

4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于任意的k Z +∈，存在可测

集

k E E

?，

()

n f x 在

E 上一致收敛于()f x ，且

(\)k m E E k

<…………………………………………………3分令*

1k k E E ∞

，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……………5分

(\)(\

)(\)k k k m E E m E E m E E k

∞

==≤<

，k=1,2

所以*(\)m E E 0=………………………………………………8分 5、证明：设[||],n e E f n =>由于

()f x 在E 上..a e 有限，故

0,()n me n →→∞………………………………………………..2分

由积分的绝对连续性，对任何0,N ε?>?，使

（第19页，共19页）

|()|4

N e N me f x dx ε

?≤<

?………………………………………4分

令\N N B E e =，在N B 上利用鲁津定理，存在闭集N N F B ?和在1R 上的连续函数()x ?使（

1）

(\);4N N m B F N

（2）

x F ∈时，()()f x x ?=，且

sup |()|sup |()|N

x F x R x f x N ?∈∈=≤……………………6分

所以

\|()()||()()||()()||()||()||()()|24

N N

e B e e B F N

f x x dx f x x dx f x x dx

f x dx x dx f x x dx N me N N

?????ε

-≤-+-≤++-≤

+?+?

≤

?????

……………………...8分