2020高考数学分项汇编 专项11 排列组合、二项式定理(含解析)文
排列组合二项式定理
排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个元素只能使用一次。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。
排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。
与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。
组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。
二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。
a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。
二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
【备战2020】(北师大版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(原卷版)
【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理（原卷版）1. 【2005高考北京理第7题】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（ ）A ．B ．C ．D ．484121214C C C 484121214AA C 33484121214A C C C 33484121214A C C C 【答案】A考点：排列组合。
2. 【2006高考北京理第3题】在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为1,2,3,4,5奇数的共有（）（A ）36个（B ）24个（C ）18个（D ）6个【答案】B3.【2007高考北京理第5题】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种4. 【2009高考北京理第6题】若为有理数），则 5(1,a a b =+a b +=（ ）A ．45B ．55C ．70D ．80【答案】C考点：二项式定理及其展开式.5. 【2009高考北京理第7题】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【答案】B考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识.6. 【2010高考北京理第4题】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )A ． B ． C ． D ．8289A A 8289A C 8287A A 8287A C 【答案】A 考点：排列组合.7. 【2012高考北京理第6题】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 6【答案】B考点：排列组合.8. 【2005高考北京理第11题】的展开式中的常数项是 . （用数字作答）61(xx -【答案】15考点：二项式定理。
(新课标Ⅱ版)高考数学分项汇编专题11排列组合、二项式定理(含解析)理
专题11 排列组合、二项式定理一．基础题组1. 【2014新课标，理13】 ()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 【答案】122. 【2010全国2，理14】若(x －a x)9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. [答案]：13. 【2006全国2，理13】在(x 4+x1)10的展开式中常数项是 .(用数字作答)【答案】:45二．能力题组1. 【2013课标全国Ⅱ，理5】已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【答案】：D2. 【2011新课标，理8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D【解析】3. 【2010全国2，理6】将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种 B．18种 C．36种 D．54种【答案】：B4. 【2005全国3，理3】在8)1x的展开式中5x的系数是（）-x(+)(1A．－14 B．14 C．－28 D．28【答案】B【解析】三．拔高题组1. 【2012全国，理11】将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种【答案】A【解析】如图由于每行、每列的字母都互不相同，故只须排好1,2,3号格即可，显然1号格有3种选择，2,3号格均有两种选择，所以不同的排法共有3×2×2＝12种．2. 【2005全国3，理11】不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【解析】3. 【2012全国，理15】若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________．【答案】：564. 【2005全国2，理15】在由数字0, 1, 2, 3, 4, 5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____________个．【答案】192 【解析】首先由这6个数构成的四位数个数为(千位不为0)：P(5,1)×P(5,3)=300，能被5整除的尾数为0或5，尾数为0的一共有：P(5,3)=60，尾数为5的千位不能为0，一共有：P(4,1)*P(4,2)＝4×4×3＝48，所以不能被5整除的数共有：300－60－48＝192个.5. 【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．。
排列组合、二项式定理(附答案)
排列组合、二项式定理(附答案)第六章：排列组合与二项式定理一、考纲要求：1.掌握加法原理和乘法原理，能够用这两个原理解决简单的问题。
2.理解排列和组合的意义，掌握排列数和组合数的计算公式以及组合数的性质，并能够用它们解决简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能够用它们计算和论证简单的问题。
二、知识结构：加法原理和乘法原理排列和组合排列数和组合数的公式和应用二项式定理和二项式系数的性质和应用三、知识点、能力点提示：1.加法原理和乘法原理是排列组合的基础，掌握这两个原理为处理排列和组合中的问题提供了理论根据。
2.排列和排列数公式是中学代数中的独特内容，研究对象和研究方法与前面掌握的知识不同，解题方法比较灵活。
历届高考主要考查排列的应用题，通常是选择题或填空题。
3.组合和组合数公式是历届高考中常出现的题型，主要考查排列组合的应用题，通常是选择题或填空题。
组合数有两个性质：对称性和递推关系。
4.二项式定理和二项式系数的性质是高中数学中的重要内容，主要考查计算和论证方面的问题，通常是选择题或证明题。
3a4的值为(。
)A.4B.6C.8D.10解：根据二项式定理，展开(2x+3)的四次方可得：2x+3)4= C412x)4+ C422x)3(3)+ C432x)2(3)2+ C442x)(3)3+ C453)416x4+96x3+216x2+216x+81将(2x+3)表示成a+a1x+a2x+a3x+a4x的形式，可得：a+a1x+a2x+a3x+a4x= C4a4+ C41a3x+ C42a2x2+ C43ax3+ C44x416a4+96a3x+216a2x2+216ax3+81x4 由此可得：a+a2a3a4C4a4+ C42a2+ C43a+ C4416a4+216a2+81又因为(2x+3)的系数为1，所以a=2，代入上式可得：a+a2a3a416(2)4+216(2)2+81=8故选C.例21：有两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是多少？解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座，所以应有$P_8$种不同的入座法。
2020高考数学最后冲刺 排列、组合、二项式定理
最后冲刺【高考预测】1.正确运用两个基本原理2.排列组合3.二项式定理4.在等可能性事件的概率中考查排列、组合5.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题6.利用二项式定理证明不等式易错点1 正确运用两个基本原理1．（2020精选模拟）已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→B满足f(1)<f(2)<f(3)<f(4),则这样的映射f的个数为（）A．C47A33 B．C47 C．77 D．C7473【错误解答】∵f(1)<f(2)<f(3) <f(4)，且f(1)<f(2)<f(3)<f(4)的值为{1，2，3，4，5，6，7}中的某4个，∴这样的映射有C47个，∴选B【错解分析】C47中的任何一种方法都没有完成组成映射这件事情，因为只找到1、2、3、4的象，而5、6、7的象还没有确定。
误是没有选出水平最高的两人，错误地认为这种淘汰赛最后的两人就是水平最高的两人，实际上第二名有可能在第一轮或第二轮就被第一名淘汰了。
【正确解答】先将8人分成4对进行比赛，胜者进入第二轮，需要4场比赛，将进入第二轮的四人分成2对进行比赛，胜者进入第三桦，需要2场比赛，进入第三轮的2人进行比赛，胜者为第一名，需一场比赛；将第一轮、第二轮、第三轮被第一名淘汰的选手共3人决出第一名，需2场比赛。
∴至少需要4+2+1+2=9场比赛。
3．（2020精选模拟）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_________种（用数字作答）。
【错误解答】因为每一步都有两种可能，所以共有25=32种方法，又由于这32种方法中质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同，∴质点不同的运动方法共有16种，填16。
【错解分析】质点落在（3，0）与不在（3，0）的可能相同是错误的，错误的原因是分析问题的能力较差，没有转化的思想，也没有分类讨论的思想。
(湖北版)高考数学分项汇编 专题11 排列组合、二项式定理(含解析)理
考点：二项式定理的通项公式，容易题. 14. 【2015 高考湖北，理 3】已知 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二
项式系数和为（ ）
A. 212
B． 211
C． 210
D． 29
3
2
【答案】D
【解析】因为 (1 x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以 Cn3 Cn7 ，解得 n 10 ， 所以二项式 (1 x)10 中奇数项的二项式系数和为 1 210 29 .
A. 1
B.0
C.1
D. 2 2
9.【2010 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 6】现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每
同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A． 54
B. 65
5 6 5 4 3 2
C.
2
【答案】A
D. 6 5 4 3 2
【解析】
试题分析：因为每位同学均有 5 种讲座可选择，所以 6 位同学共有 5 5 5 5 5 5 56 种，故 A 正确.
3
2
7.【2011
年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷
11】
x
3
1 x
18
的展开式中，含
x15
的项的系数为
.（结果用数值表示）
8.【2011 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷 15】给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色，
n 4 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当 n=6 时，
4.【2008 年普通高等学 校招生全国统一考试湖北卷 14】明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时
高考数学专题11排列组合、二项式定理-高考数学高频考点与最新模拟(解析版).docx
高频考点一两个计数原理的应用例1、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示)．法二：所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”，由〈1〉知共有21种，而给6个相连正方形着黑色、白色的方案共有26种，故所求事件的种数为：26－21＝43.答案：21 43 高频考点二 排列组合例2、由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ( )A ．72B ．96C ．108D ．144高频考点三 二项式定理例3、(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ( )A ．－40B ．－20C ．20D ．401．两个基本原理 (1)分类加法计数原理； (2)分类乘法计数原理； 2．排列 (1)定义；(2)排列数公式：A mn ＝n ！n －m ！(n ，m ∈N ，m ≤n )；3．组合(1)定义；(2)组合数公式；(3)组合数的性质：C m n ＝C n －m n (m ，n ∈N ，且m ≤n )；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (m ，n ∈N ，且m ≤n )．4．二项式定理(a ＋b )n 展开式共有n ＋1项，其中r ＋1项T r ＋1＝C r n a n －r b r.5．二项式系数的性质二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn 这n ＋1个组合数． 二项式系数具有如下几个性质： (1)对称性、等距性、单调性、最值性； (2)C r r ＋C r r ＋1＋C r r ＋2＋…＋C r n ＝C r ＋1n ＋1； C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n； C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1；C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ·2n －1等．（2013·新课标I 理）9、设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8【答案】B ；【解析】2mm a C =，21m m b C +=，因为221137m m m m C C +=，解得m=6.【学科网考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力. （2013·新课标Ⅱ理）（5）已知（1+a x ）(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =（A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（2013·浙江理）14、将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）【答案】480【解析】此题中的B A ,和C 都是特殊元素，要对特殊的位置和特殊元素首先考虑，在分类讨论时要注（2013·浙江理）11、设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________。
2020年高考数学试题分类汇编 专题排列组合、二项式定
2020年高考试题数学（理科）排列组合、二项式定理一、选择题:1.(2020年高考全国卷理科7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。
511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x.故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 3．(2020年高考天津卷理科5)在6x x ⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．38【答案】C【解析】因为1r T +=666((rr x C x-⋅⋅,所以容易得C 正确. 4.(2020年高考陕西卷理科4)6(42)()xx x R --∈的展开式中的常数项是（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项. 【答案】C【解】62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr rx xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．5.(2020年高考重庆卷理科4) ()13nx +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =（A ）6 (B)7 (C) 8 (D)9 答案：B解析： ()13n x +的通项为()13rrr n T C x +=，故5x 与6x 的系数分别为553n C 和663n C ，令他们相等，得：()()56!!335!5!6!6!n n n n =--，解得n =712.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn= （A ）415 （B ）13 （C ）25 （D ）23答案：D解析：基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)23515n C ==⨯=从选取个，.其中面积为2的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)；其中面积为4的平行四边形的为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)； m=3+2=5故51153m n ==. 7．(2020年高考福建卷理科6)（1+2x ）3的展开式中，x 2的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．10【答案】B 二、填空题:1. (2020年高考山东卷理科14)若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 【答案】4【解析】因为6162(rrr r a T C xx-+=⋅⋅-,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.2. (2020年高考浙江卷理科13)（13）设二项式)0()(6>-a xa x 的展开式中3x 的系数为A,常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 。
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(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编专项11 排列组合、
二项式定理（含解析）文
〔〕
A、 33
B、 29
C、23
D、19
2. 【2018高考北京文第5题】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为
〔〕
A、8
B、24
C、48
D、120
3. 【2006高考北京文第4题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有
A.36
B.24
C.18
D.6
4. 【2007高考北京文第5题】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互
不相同的牌照号码共有〔 〕
Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C 个 Ｄ．242610A 个
5. 【2005高考北京文第8题】五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，那么不同的承建方案共有( )
〔A 〕1444C C 种 〔B 〕1444C A 种 〔C 〕44C 种 〔D 〕44A 种
〔用数字作答〕
)
数字作答〕
【答案】10 32。