2010届高三高考复习数学专题学案：《立体几何初步》——《平面的基本性质》1
高级中学高中数学 4平面的基本性质(1)学案(无答案)苏教版必修
平面的基本性质（1）学案班级学号姓名学习目标（1）了解平面的概念、掌握平面的画法及其表示法；（2）初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；（3）了解平面的基本性质：公理1、公理2、公理3，并能简单应用性质解决一些简单的问题．课堂学习一、重点难点重点：平面的概念及其表示；三种语言相互之间的转化；平面的基本性质．难点：平面的基本性质及其简单应用．二、知识建构1．平面的概念：2．平面的画法及其表示方法：3．图形语言、符号语言、文字语言的相互转化：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
符号表示：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
符号表示：公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示：三、典型例题例1.将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： ⑴点A 在平面α内，但不在平面β内；⑵直线a 经过平面α外一点M ； ⑶直线l 在平面α内，又在平面β内。
（即平面α和β相交于直线l ．）例2.把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表示出来．例3．将下列符号语言转化为图形语言： ⑴A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；⑵a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p = ，c αβ= ．例4.如图，ABC ∆中，若BC AB ，在平面α内，判断AC 是否在平面α内．例3．如图PQ 分别是正方体ABCD -1111D C B A 的棱AA 1, CC 1上的点。
⑴画出BQ,PQ 分别与平面A 1B 1C 1D 1的交点；⑵画出过B,P,Q 三点的平面与平面1111D C B A 的交线.课后复习1.空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线, 那么这四点中 ( ) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线2.若两个不重合的平面有公共点，则公共点个数是 （ ） A.1个 B.2个 C. 1个或无数个 D.无数个且在同一条直线Z 上3.下面四个说法中，正确的是 （1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 （2）若M α∈，M β∈，l αβ= ，则M l ∈（3）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内4.下列说法正确的是 （1）平面α的长是4米，宽是3米.（2）平面α与平面β若有公共点, 就不止一个;（3）线段MN 在平面α内，线段MN 所在的直线不一定在平面α内（4）因为平面型斜屋面不与地面相交, 所以屋面所在的平面不与地面相交. 5.下列叙述中正确的是 A .因为α∈P ,α∈Q ,所以PQ α∈. B.因为α∈P β∈Q 所以PQ αβ=C.因为AB α⊂，C AB ∈， D AB ∈，所以CD α∈.D.因为AB α⊂，AB β⊂，所以A ∈()αβ 且B ∈αβ .6.用符号表示“点A 在直线l 上，在平面α外” .7.如图所示，用符号表示下列关系：A 平面ABC, A 平面BCD, BD 平面ABD ， BD 平面ABC, 平面ABC 平面ACD= .， =BC . （以下各题请做在作业本上） 8.分别根据下列条件划出相应的图形： （1）α∈P ,α∈Q l P ∈,l Q ∈（2）βα =l ，ABC ∆顶点l A ∈，α∈B ，B l ∉,C β∈,l C ∉.9. 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形。
平面的基本性质教案(1)
课题：10.1平面的基本性质课题：10.1平面的基本性质【教学目标】1.知识目标：理解和掌握平面的三个基本性质，并学会应用性质进行一些简单的分析和判断。
2. 能力目标：通过实例和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力。
通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。
3.情感目标：（1）通过创设主题式故事情境，增强学习兴趣。
（2）结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念教育。
（3）通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】平面的基本性质。
因为研究空间图形时，往往将有关点、线归结到一个平面内，再利用平面图形的性质解决。
所以要求学生对基本性质有较深刻的理解。
【教学难点】平面的基本性质的掌握与运用。
因为平面的基本性质既抽象又枯燥，而中职幼师专业的学生想象和思维都较弱，所以掌握与运用三个平面的基本性质会有一定的难度。
【教学方法】遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起。
进行思考、交流，师生共同讨论等学法。
根据中职学生想象能力、思维能力较弱的特点，尽量从直观入手，因此考虑通过创设既靠近生活，又体现数学本质，并且能从情感上激发学生主动、深入思考的有效情境（主题式故事情境）作为载体的启发式教法。
【教学过程】图9−5公理1作为判断和证明直线是否在平图9−8反映了只要“两面共一点”，就两面共一线，且过这一点，线唯把信封的一角竖立在桌面上，那么信封所在平面和桌面所在平面只交于一点，对吗？如图：在长方体ABCD—A1B1C1D1是棱A1B1上的中点，画出C1三点所确定的平面α与长方体表面的交线。
平面的基本性质(一)教案
平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ] 2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。
高中高三数学《平面及其基本性质》优秀教学案例
3.教师要进行全面、客观的评价，关注学生的个体差异，激发学生的学习潜能。
4.定期进行阶段性的评价，了解学生的学习进度，调整教学策略，确保教学目标的实现。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的平面图形，如墙面、桌面、操场等，引导学生观察和思考这些图形的特点和性质。
3.培养学生勇于面对困难和挑战，具备解决问题的信心和毅力，养成良好的学习习惯。
4.引导学生认识到数学知识在日常生活和社会发展中的重要作用，激发他们的社会责任感和使命感。
5.培养学生具备正确的价值观，将所学知识用于造福人类，为国家的科技进步和社会发展贡献力量。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解和掌握平面及其基本性质，我将创设丰富多样的教学情景，让学生在具体的情境中感受几何知识的魅力。例如，通过引入建筑设计、地图制作等实际案例，让学生体会到平面几何知识在实际生活中的应用。同时，利用多媒体教学手段，展示动态的几何图形变换，激发学生的学习兴趣，提高他们的空间想象力。
4.培养学生运用几何图形、符号和逻辑推理表达数学思维的能力，提高解题技巧。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生积极参与课堂讨论，培养他们主动发现问题和解决问题的能力。
2.运用生活实例、实际问题等情境导入，激发学生的兴趣，使他们能够将平面几何知识与实际应用紧密结合。
3.教学过程中，注重培养学生的空间想象力和几何直观能力，提高他们对几何图形的分析和判断能力。
2.提醒学生认真完成作业，通过作业巩固所学知识，提高自己的几何素养。
五、案例亮点
1.生活化的情景导入
高中数学 第1章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质高一数学教案
[探究问题]
1．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
[提示]由下边的图可知它们不是相交于一点，而是相交于一条直线．
2．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．试问CE，D1F，DA三线是否交于一点？为什么？
③A a，a α⇒A α；④A∈a，a α⇒A α.
A．1B．2
C．3D．4
D[①不正确，如a∩α＝A；②不正确，“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．]
2.如图所示，点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的交点的个数是______个．
①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
用符号表示为： ⇒AB α．
②公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
用符号表示为： ⇒α∩β＝l且P∈l．
③公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B，A l，B l
点线共面问题
【例2】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相交，证明：这四条直线共面．
思路探究：法一： → →
→
法二： → →
[证明]如图．
法一：∵a∥b，∴a，b确定平面α.
又∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴l上有两点A，B在α内，即直线l α.
2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[解]已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
高中数学 第1章 立体几何初步 3 平面的基本性质(1)教学案(无答案)苏教版必修2 教学案
某某省泰兴中学高一数学教学案(120)必修 2 平面的基本性质(1)班级某某目标要求1、理解平面的基本概念，掌握它的基本画法，会用图形、文字和符号语言描述点、直线、平面及其位置；2、了解公理1、公理2，并能使用它们解释生活中的一些现象；3、初步学习几何中的证明．重点难点重点：使用符号语言及公理1、公理2的正确理解和使用；难点：公理1、公理2的正确理解和使用．典例剖析例1、（1）已知平面α与平面β相交，且lαβ=，试画出图形；（2）用符号语言表示“点C在直线AB上，直线AB与平面α交于点P，C不在平面α内”，并画出图形；（3）将判断：“Pl P lPααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭且”改写成文字语言叙述．例2、已知：如图，三角形ABC在平面α外，A,,AB P BC Q AC R ααα===， 求证：P 、Q 、R 三点共线．例3、：三个平面两两相交，得到三条交线，求证：如果其中有两条交线交于一点，那么第三条交线必通过这一点． 学习反思 公理1：；它的作用为：判断直线是否在平面内、点是否在平面内；公里2：______________________________________________________________________它的作用为：只要两个平面有一个公共点，就可判定这两个平面必相交于过这个点的一条直线； 两平面的公共点必在它们的交线上． 课堂练习1、用符号语言表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”, _________________.2、判断下列叙述的真假 ①、因为,P Q αα∈∈, 所以PQ α∈②、因为,P Q αβ∈∈, 所以PQ αβ=③、因为,,,AB C AB D AB α⊂∈∈ 所以CD α∈ ④、因为,AB AB αβ⊂⊂, 所以()A αβ∈且()B αβ∈3、若,,,A B A l B l αα∈∉∈∈，那么直线l 与平面α有个交点．4、用符号语言表示“平面α与平面β的交线为a ，直线a 不在平面γ内，点P 在β内，点P 不在α内”： ． 5、在正方体1111ABCD A B C D -中，Ｐ为棱1BB 中点，画出由11,,A C P 三点所确定的平面α与长方体表面的交线．某某省泰兴中学高一数学作业(120)班级 某某得分1、若,,,a b c a b M αβαβ⊂⊂==，则点M 与直线c 关系为________________.2、用符号语言表示语句“直线,a b 相交于平面α内的一点M ”3、一个平面把空间分成部分；两个平面把空间分成部分；三个平面把空间分成部分．4、下列推理正确的是（1）,,A A l l B B l ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭（2）,,A A AB B B αβαβαβ∈∈⎫⇒=⎬∈∈⎭（3）a A A a αα⊂⎫⇒∉⎬∉⎭ (4)a A a A ββ⊂⎫⇒∉⎬∉⎭5、根据条件画出下列图形： （1）,,,A B A l B l αα∈∉∈∈；（2）l αβ=，ΔABC 的顶点,,,,A l B B l C C l αβ∈∈∉∈∉．C 1A 1CBA6、用符号语言叙述下列图形.7、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， 点P 在棱1CC 上，点M 在棱1BB 上． （1）画出直线AP 和平面1111A B C D 的交点E ； （2）作出平面ACM 和平面1111A B C D 的交线l ．8、如图，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，求证： 若EH 与FG 所在的两条直线相交于点P ，则P 必在BD 所在的直线上．PHGFEDCBAbaAαlaNMβαγβαabc OPC 1B 1A 1A9、1O 是正方体1111ABCD A B C D 的上底面1111A B C D 的中心，M 是对角线1A C 和截面11B D A 的交点．求证：1,,O M A 三点共线．O 1M D 1C 1B 1A 1DCBA。
高三数学平面的基本性质1
课题：9．1平面的基本性质(一)教学目的：1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2理解平面的无限延展性3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系4教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图教学过程：一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？二、讲解新课：1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）a βαB A βB AαβB A ααβa 图 2A （1）3①在立体几何中，常用平行四边形表示平面当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等4空间图形是由点、线、面组成的空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄（平面α外的直线a ）表示α⊄a （平面α外的直线a ）表示a α=∅或a α=三、讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，bc p =，αβ=解：说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）例2 将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l ） 解：（1）A ∈α，A ∉β； （2）M ∈a ，M ∉α；（3）l ∈α，l ∈β（即α β＝l ）例3 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形答案：右图四、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． （ ）（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）（3）一个平面的面积为20 cm 2． （ ）（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ）答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．3．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．(4)(3)(2)(1)4．如图所示，用符号表示以下各概念：①点A 、B 在直线a 上 ；②直线a 在平面内 ；点C 在平面内 ；③点O 不在平面内 ；直线b 不在平面内 ．答案：①,A a B a ∈∈ ②,a C αα⊂∈ ③,O b αα∉⊄ 5．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要 几根木棍，才可能使桌面稳定？答案： ①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根五、小结 ：平面的概念；平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换六、课后作业：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内；（3）平面α与平面β相交于直线l ，且l 经过点P ；（4）直线l 经过平面α外一点P ，且与平面α相交于点M 七、板书设计（略）八、课后记：(3)(2)(1)。
高三数学高考《立体几何初步》专题学案平面的基本性质
R P QαCBA第1课时 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ．求证：点C 1、O 、M 共线．证明：A 1A ∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C ⇒O ∈面A 1C ⇒O ∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O ⇒O ∈面BC 1D O 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上∴C 1、O 、M 共线变式训练1：已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平行．提示：反证法．例2. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面．证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂β A ∈a, B ∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ， A即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上．∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．例3. 若△ABC 所在的平面和△A 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1) AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1分别在同一个平面内；(2) 如果AB 和A 1B 1，BC 和B 1C 1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1) ∵AA 1∩BB 1＝0，∴AA 1与BB 1确定平面α，又∵A ∈a ，B ∈α，A 1∈α，B 1∈α，∴AB ⊂α，A 1B 1⊂α，∴AB 、A 1B 1在同一个平面内同理BC 、B 1C 1、AC 、A 1C 1分别在同一个平面内(2) 设AB∩A 1B 1＝X ，BC∩B 1C 1＝Y ，AC∩A 1C 1＝Z ，则只需证明X 、Y 、Z 三点都是平面A 1B 1C 1与ABC 的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面；(2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF ∥A 1B A 1B ∥D 1C∴EF ∥D 1C ∴E 、F 、D 1、C 四点共面(2) 面D 1A∩面CA ＝DA∴EF ∥D 1C 且EF ＝21D 1C∴D 1F 与CE 相交 又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面AC ∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1) 若a 、b 、c 三线共点P ，但点p ∉d ，由d 和其外一点可确定一个平面α又a∩d ＝A ∴点A ∈α ∴直线a ⊂α同理可证：b 、c ⊂α ∴a 、b 、c 、d 共面(2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点∵a ∩b ＝Q ∴a 与b 可确定一个平面β又c ∩b ＝E ∴E ∈β同理c ∩a ＝F ∴F ∈β∴直线c 上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c ⊂βO C 1B 1A 1ABCABECDFA 1B 1C 1D 1同理可证：d ⊂β 故a 、b 、c 、d 共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线，为什么?解：假设AC 、BD 不异面，则它们都在某个平面α内，则A 、B 、C 、D ∈α.由公理1知AC α⊂≠,BD α⊂≠.这与已知AB 与CD 异面矛盾，所以假设不成立,即AC 、BD 一定是异面直1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．。
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第1课时 平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．
公理2
如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)． 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面． 推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面． 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C 与平面BDC1交于O ，AC 、BD 交于点M ． 求证：点C1、O 、M 共线． 证明：
A1A ∥CC1⇒确定平面A1C A1C ⊂面A1C
⇒O ∈面A1C ⇒
O ∈A1C
面BC1D∩直线A1C ＝O ⇒O ∈面BC1D O 在面A1C 与平面BC1D 的交线C1M 上 ∴C1、O 、M 共线
变式训练1：已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平行． 提示：反证法．
例2. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面． 证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂β A ∈a, B ∈b
b ∥
c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β
所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面
A
R P Q
α C
B
A
变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R
点．求证：P 、Q 、R 共线． 证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ，
即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上． ∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．
例3. 若△ABC 所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O ，求证： (1) AB 和A1B1、BC 和B1C1分别在同一个平面内；
(2) 如果AB 和A1B1，BC 和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．
证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A ∈a ，B ∈α，A1∈α，B1∈α，∴AB ⊂α，A1B1⊂α，∴AB 、A1B1在同一个平面内 同理BC 、B1C1、AC 、A1C1分别在同一个平面内
(2) 设AB∩A1B1＝X ，BC∩B1C1＝Y ，AC∩A1C1＝Z ，则只需证明X 、Y 、Z 三点都是平面A1B1C1与ABC 的公共点即可．
变式训练3：如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 为AB 中点，F 为AA1中点， 求证：(1) E 、C ．D1、F 四点共面； (2) CE 、D1F 、DA 三线共点．
证明(1) 连结A1B 则EF ∥A1B A1B ∥D1C
∴EF ∥D1C ∴E 、F 、D1、C 四点共面 (2) 面D1A∩面CA ＝DA ∴EF ∥D1C 且EF ＝21
D1C
∴D1F 与CE 相交 又D1F ⊂面D1A ，CE ⊂面AC ∴D1F 与CE 的交点必在DA 上 ∴CE 、D1F 、DA 三线共点．
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．
证明：(1) 若a 、b 、c 三线共点P ，但点p ∉d ，由d 和其外一点可确定一个平面α 又a∩d ＝A ∴点A ∈α ∴直线a ⊂α
O
C
B A
A
B
C
A
B
E
C
D
F
A 1
B 1
C 1
D 1
同理可证：b、c⊂α ∴a、b、c、d共面
(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点
∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β
又c∩b＝E ∴E∈β
同理c∩a＝F ∴F∈β
∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上∴c⊂β
同理可证：d⊂β 故a、b、c、d共面
由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面
变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?
解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，则A、B、C、D∈α.由公理1知ACα
⊂
≠
,
BDα
⊂
≠
.
这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面直线。
1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．
2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．
3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．。