4.1.2 圆的一般方程
合集下载
4.1.2圆的一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0 的形式
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆， 我们把它叫做圆的一般方程.
思考1：圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？
标准方程： 图形特征一目了然，明确地指出了圆心和半径； 一般方程： 突出了代数方程的形式结构， （1）x2和y2系数相同，都不等于0； （2）没有xy这样的二次项.
2 2
(2) x2 y 2 2 2
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
D E D E 只有一解 x , y , 它表示一个点 ( , ) 2 2 2 2
2 2 （3）当 D E 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
没有实数解，它不表示任何图形.
圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
（1）是 圆心（1，-2）半径3
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
（2）是 圆心（3，-1）半径 2 3
【解析】(1) 圆的方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆心为(2，－3)，选 D.
(2)方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才表示圆．
(3)以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－ 4x＋8y＋4＝0，故 F＝4.
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
4.1.2圆的一般方程
解析 由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋52y＋ ＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－54× ＜0， 2
∴a＝2不符合题意.
2
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
∴过O、A、B的圆方程为:
A. .O
.B .C
x
x2 y2 8x 6y 0
将C(7，1)代入方程：72 12 8 7 61 0成立.
∴ O、A、B、 C 四点共圆，圆心(4 ， 3) ，半径5 .
圆(心x(
4D)2，
E( y)
、 3半)2径
5D2
2
.
E
2
4F
.
22
2
例1.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1
E2 4F 2
为半径的圆；
(2) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程只有实数解
x
D 2
、y
E 2
，方程表示一个点
(
D 2
，
E 2
)
；
(3) 当 D2 E2 4F 0 时，
方程没有实数解 ，因而它不表示任何图形 .
综上：当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示一个圆，
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0比较突出了方 程形式上的特点（：1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0；
4.1.2圆的一般方程
反过来给出一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程,它表示
的曲线一定是圆吗?
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程? 这个方程是不是表示圆?
上页 下页 结束
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?
这个方程是不是表示圆? D 2 E 2 D2 E 2 4F 答: 得到的方程为: ( x ) ( y ) , 2 2 4 D E 2 2 (1)当D +E -4F>0时, 该方程表示以 ( , )为圆心, 2 2 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆; 2 D E 2 2 (2)当D +E -4F=0时, 方程只有实数解 x , y , 2 2 即只表示一个点 ( D , E );
上页 下页 结束
练习2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解: 设所求方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上,
5D+E+F=-26 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 2D-8E+F=-68 22+(-8)2+2D-8E+F=0
2+12+5D+E+F=0 5
解得:D=-4,E=6,F=-12, 所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0. 配方得(x-2)2+(y+3)2=25, ∴圆心为(2,-3),半径为5.
的曲线一定是圆吗?
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程? 这个方程是不是表示圆?
上页 下页 结束
问题1:把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,将得到怎样的方程?
这个方程是不是表示圆? D 2 E 2 D2 E 2 4F 答: 得到的方程为: ( x ) ( y ) , 2 2 4 D E 2 2 (1)当D +E -4F>0时, 该方程表示以 ( , )为圆心, 2 2 1 D 2 E 2 4F 为半径的圆; 2 D E 2 2 (2)当D +E -4F=0时, 方程只有实数解 x , y , 2 2 即只表示一个点 ( D , E );
上页 下页 结束
练习2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
解: 设所求方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上,
5D+E+F=-26 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 2D-8E+F=-68 22+(-8)2+2D-8E+F=0
2+12+5D+E+F=0 5
解得:D=-4,E=6,F=-12, 所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0. 配方得(x-2)2+(y+3)2=25, ∴圆心为(2,-3),半径为5.
4.1.2圆的一般方程
只有在D2+E2-4F>0时，方程表示圆心 D E 为 ( , ) 半径为r 1 D 2 E 2 4 F 的圆。
2 2Biblioteka 2小结 （2）利用待定系数法求圆的方程，对于 已知条件容易求出圆心坐标和半径或需 用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆 的标准方程，否则用圆的一般方程。
互化例子
x
思考： 1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？ 2.圆心和半径能直接求出吗？ 3.怎样求出圆的方程？ 4.怎样求出支柱A2P2的长度？
解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
答：支柱A2P2的长度约为5.39m.
小结 （1）任何一个圆的方程都可以写 X2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，但是方 程X2+y2+Dx+Ey+F=0的曲线不一定 是圆，
§圆的一般方程
引入新课
将圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开， 可得：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0 它是关于x、y的二元二次方程.
如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 到方程X2+y2+Dx+Ey+F=0 ，这说明 圆的方程还可以表示成另外一种 非标准方程的形式.
例题分析 例1、已知 ABC顶点的坐标A(4,3), B(5,2),C(1,0)求 ABC外接圆的方程， 并求这个圆的半径和圆心坐标.
1 2
例题分析
例2、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的 中点M的轨迹方程，
4.1.2_圆的一般方程
解:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将O, M1, M2 的坐标代入圆的方程,得: 方法:待定系数法
F 0, D E F 2 0, 4 D 2 பைடு நூலகம் F 20 0,
和配方法 解得:F=0,D=-8,E=6.
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,
圆的一般方程
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是否还可以表示成其他
形式？这是一个需要探讨的问题.
将圆的标准方程 ( x - a) + ( y - b) = r 展开得
2
2
2
x2 + y 2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r 2 = 0
二元二次方程
表示圆的一般方程
应用举例
例1：求过点M（-1，1），且圆心与已知圆C：x2+y2-4x+ 6y-3=0相同的圆的方程.
解:将已知圆的方程化为标准方程(x-2)2+(y+3)2=16.
圆心C的坐标(2,-3),半径为4,故所求圆的半径为
r | CM | (2 1) 2 (3 1) 2 5
【解析】配方得
不是圆
( x 1)2 ( y 2)2 1
不一定是圆
x y Dx Ey F 0
2 2
分析方程 x + y + Dx + Ey + F = 0 所表示的轨迹
D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F ) + (y + ) = (*) 配方可得 ( x + 2 2 4 D E 2 2 , - ) 为圆心， （1）当 D + E - 4F > 0 时，方程 (*) 表示以 (2 2 1 D 2 + E 2 - 4 F 为半径的圆. 2 2 2 （ 2 ） 当 D + E - 4F = 0 时 ， 方 程 (*) 只 有 一 个 实 数 解
4.1.2 圆的一般方程
[名师批注] AP 垂直于 x 轴 时及 x＝0 时容 易漏掉.
y－2 y 2 2 · ＝－ 1 ，即 x ＋ y －x－ x－ 1 x
2y＝0(x≠0，且 x≠1)．(8 分)
返回
经检验，点 (1,0) ， (0,0) 适合上 式．(10 分) 综上所述，点 P 的轨迹是以
1 ，1为圆心， 以 2
求轨迹方程的常用方法
1、直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直
角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足
的关系式.
2、代入法（相关点法）：若动点P（x,y）随着圆
上的另一动点Q（ x1,y1 ）运动而运动，且x1,y1可
用x,y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，
即得动点P的轨迹方程.
课时小结
得的弦长等于6的圆的一般方程.
[典例] (12 分)已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，求经过 点 A(1,2)的圆的弦的中点 P 的轨迹．
返回
[解题流程]
欲求弦的中点 P 的轨迹，需先求出点 P 的轨迹方程.
画出图形，结合圆的弦的 中点的性质，由 AP⊥OP 建立关系求解．
设动点 P 的坐标x， y―→由 AP⊥OP―→ 讨论 AP 垂直于 x 轴情形―→列 kAP· kOP＝ －1 的关系式―→检验―→得出结论
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程 的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 的圆心坐标为,半径长为.
4． 是圆 内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）
A. B. C. D.
5．求下列各方程表示的圆的圆心和半径长：
① ；② ；
③
6．已知圆C： ，过坐标原点 作弦 ，求 中点的轨迹方程。
（2）方程 表示什么图形？.
（3）方程 又表示什么图形?.
2.将 展开得：.
3.方程 在什么条件下表示圆?
二、新课导学：
1.在方程 中，记 ，则
当 时，方程表示；
当 时，方程表示；
当 时，方程；
2.方程 （ ）表示圆，则该圆的圆心坐标为
；半径为；该方程叫做圆的一般方程.
3、典型例题
例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心及半径.
(1) (2) 4x2+4y2-4x+圆的方程，并求圆心坐标和半径．
四、反馈练习
1．方程 表示圆的条件是（）
A. B. C. D.
2．判断下列方程表示什么图形：
（1） 表示；
（2） 表示；
（3） 表示.
3．求下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长.
(1) 的圆心坐标为，半径长为.
课题
4.1.2圆的一般方程
课时
2
学习目标
（1）掌握圆的一般方程的特点；能判断一个缺 项的二元二次方程是否是圆的方程；
（2）能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能写出圆心的坐标和半径；
重点难点
熟练掌握求圆的方程的方法；
初步学会求一些简单的轨迹方程的方法.
一、课前准备：
预习教材 的内容.
1.（1）方程 表示什么图形?.
4． 是圆 内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（）
A. B. C. D.
5．求下列各方程表示的圆的圆心和半径长：
① ；② ；
③
6．已知圆C： ，过坐标原点 作弦 ，求 中点的轨迹方程。
（2）方程 表示什么图形？.
（3）方程 又表示什么图形?.
2.将 展开得：.
3.方程 在什么条件下表示圆?
二、新课导学：
1.在方程 中，记 ，则
当 时，方程表示；
当 时，方程表示；
当 时，方程；
2.方程 （ ）表示圆，则该圆的圆心坐标为
；半径为；该方程叫做圆的一般方程.
3、典型例题
例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,求出圆的圆心及半径.
(1) (2) 4x2+4y2-4x+圆的方程，并求圆心坐标和半径．
四、反馈练习
1．方程 表示圆的条件是（）
A. B. C. D.
2．判断下列方程表示什么图形：
（1） 表示；
（2） 表示；
（3） 表示.
3．求下列方程表示的圆的圆心坐标和半径长.
(1) 的圆心坐标为，半径长为.
课题
4.1.2圆的一般方程
课时
2
学习目标
（1）掌握圆的一般方程的特点；能判断一个缺 项的二元二次方程是否是圆的方程；
（2）能将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能写出圆心的坐标和半径；
重点难点
熟练掌握求圆的方程的方法；
初步学会求一些简单的轨迹方程的方法.
一、课前准备：
预习教材 的内容.
1.（1）方程 表示什么图形?.