控制工程 第二章
控制工程基础第二章参考答案
第二章 参考答案2-1 （1） 不是 （2） 是 （3） 不是 （4） 不是 2-2 (a))()()(3)(2222t u t u dtt du RC dt t u d C R i o o o =++ (b) )()()()()()()()(2211222121222111222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (c ) )()()()()()(33221312221t u R dtt du C R R t u R R dt t du C R R R R R i i o o +=++++(d))()()()()()()()(1211222121211211222121t u dtt du C R C R dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (e))()()()()()()()(221222121211222222121t u dtt du R C C dt t u d C C R R t u dt t du C R C R C R dt t u d C C R R i i i o o o +++=++++ (f) )()()()()()()(22121221t u R dtt du L t u R R dt t du L C R R dt t u d CL R i i oo o +=++++ 2-3 (a) )]()([)()()(23213121t u R dtt du C R R t u R dt t du C R R R R i i o o +=++－(b) )()()()(4141232022213210t u R R t u R R dt t du C R R R dt t u d C C R R R R i o o o －=++ (c))]()()([)(32321t u R R dtt du C R R t u R i i o ++=－(d) )()()()()(221122212121t u dt t du C R C R dt t u d C C R R dt t du C R i i i o +++=－ (e) )()()()(2412222142t u dtt du C R C R dt t u d C C R R o o o +++ )}()(])([)({21213224223221432132t u dtt du R R C C R R C R dt t u d R R C C R R R R R R i i i +++++++=－ 2-4 (a) dt t dx f dt t dx f f dt t x d m i o o )()()()(12122=++ (b) dt t dx f k t x k k dt t dx f k k i o o )()()()(12121=++ (c) )()()()()(121t x k dt t dx f t x k k dt t dx f i i o o +=++ (d) )()()()()()(112121t x k dtt dx f t x k k dt t dx f f i i o o +=+++2-5 (a))(1)()()()(1)()()(2112212221211*********t u C C dt t du C R C R dt t u d R R t u C C dt t du C R C R C R dt t u d R R i i i o o o +++=++++ (b))()()()()()()()(2112212221211211212221t x k k dtt dx k f k f dt t x d f f t x k k dt t dx k f k f k f dt t x d f f i i i o o o +++=++++ 由(a)(b)两式可以看出两系统具有相同形式的微分方程，所以(a)和(b)是相似系统。
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
《控制工程》传递函数
1．系统由单变量非线性函数所描述
df 1 d2 f Dx + Dx 2 f ( x) f ( x0 ) + dx x 2! dx 2 0 x0 1 d3 f + 3! dx 3 D x 3 + LL f ( x0 ) +
y= f (x) y(t):输出 x(t):输入 df Dx dx x 0 df Dx dx x 0
1、机械平移系统（即m、c、k系统）
第二章 传递函数
原则：根据牛二定律列写相应的动力学方程
y(t)
质量m
m
Fm m(t ) y
y2
弹簧k
y1
k
压弹簧：Fk=k(y1-y2) 拉弹簧： Fk=k(y2-y1)
压：说明y1要大于y2，这才有压的效果 其中y1与y2之差为弹簧的净形变量
阻尼c
y1 c y2
( ( an X 0n) (t ) + an1 X 0n 1) (t ) + … + a0 X 0 (t )
X0(t)——系统输出
bm X i( m) (t ) + bm1 X i( m1) + … + b0 X i (t )
Xi(t)——系统输入
3．根据系统微分方程对系统进行分类 1）线性系统：方程只包含变量X0(t)、Xi(t)的各阶导数 a．线性定常系统：an…a0 ；bm…b0为常数 b．线性时变系统：an…a0 ；bm…b0为时间的函数
第二章 传递函数
一、定义
定义：对于单输入、单输出线性定常系统，当输入 输出的初始条件为零时，其输出量的拉氏变 换与输入量的拉氏变换之比。 设线性定常系统的微分方程为：
a n x(0n)( t ) + a n 1 x(0n 1)( t ) + L + a0 x0( t )
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
控制工程基础第2章答案
第2章系统的数学模型（习题答案）2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、 特性、输出与输入关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间 模型等。
2.2什么是线性系统？其最重要的特性是什么？解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。
线性系统的一个最重要的特性就是 它满足叠加原理。
2.3图（题2.3）中三图分别表示了三个机械系统。
求出它们各自的微分方程 ,图中X i 表示输入位移,X o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。
V.)题图2.3解：①图（a ）:由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得整理得将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得于是传递函数为CJAlX® 二q越JK+C J+Q②图(b):其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为X,方向朝下；而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：消去中间变量x,可得系统微分方程对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为③图(c):以.的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程:移项整理得系统微分方程屮(K+陥鴛+辭对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即则系统传递函数为I.(s)2.4试建立下图(题图2.4)所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点， 其中电压U r (t)和位移X r (t)为输入量；电压U c (t)和位移X c (t)为输出量；k ,k i 和k 2为弹簧弹 性系数；f 为阻尼系数。
题图2.4【解】：(a)Ur= C Jdt + u cUc = R i消去中间变量， 整理得：RC dU c +u c dt"du r =RC rdt方法二：U c (s )RRCs“du c 丄 “du r 二RC + u c = RCdt cdtU r (S )R +1RCs + 1方法设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组:CsX r (t) X c (t)U c (t)CR i(b)k ik 2X r (t)X c (t) (d)R 2 U r (t)C(c)(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足 a F =0,则有:题图2.5【解】:可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。
控制工程基础第2章
yky1不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。 又例如：元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) 线性元件
元件的数学模型为：
y(t ) y(t ) x(t ) b 不是线性元件
• 2.重要特点：对线性系统可以应用迭加性和 齐次性，对研究带来了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几 个外作用单独求响应，加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时， 其响应的数值也增加若干倍。就可以采用单 位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位 斜坡等）对系统进行分析——简化了问题。
duC (t ) i (t ) C dt 由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)
duC (t ) d uC (t ) ur (t ) RC LC uC (t ) 2 dt dt
2
整理成规范形式
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) 即LCuC
0
lim
0
2 2 1 1 s s s (1 e ) lim (1 1 ) 1 s 1! 2! 0 s
例2-6.求指数函数
0 at st
f (t ) e
0 ( a s ) t
at
的拉氏变换
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换 L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
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实际系统具有非线性 非线性理论不完善 非线性系统不适合于叠加原理 系统简化：非线性因素影响很小时可以忽略 切线法：系统变量发生微小偏移时
线性化的可能性（如何线性化）
应用举例
系统简化
(t ) Ti (t ) mglsin o (t ) ml o
2
sin o o
(t ) mgl ml o (t ) Ti (t ) o
单位阶跃函数 指数函数 正弦函数与余弦函数 幂函数
例2.3求单位阶跃函数 解：
f (t ) 1(t )
的象函数。
st st L[1(t )] 1(t )e dt e dt 0 0
1 st 1 e 0 s sபைடு நூலகம்
列写微分方程的步骤
划分环节，确定系统的输入量和输出量 根据系统所遵循的基本定律，依次列写
出各环节的方程 消中间变量，得到只含输入、输出量的 标准形式
3 微分方程的线性化
线性系统：系统的数学模型表达式为线性。 非线性系统：用非线性方程描述的系统。 线性化的必要性（为什么线性化）
n
i1 i2
i3 i4
8
基尔霍夫电压定律
（Kirchhoff's voltage law ）
在集总参数电路中，任一时刻，对任意回 路，按一定方向绕行一周，回路中各支路 电压的代数和为零。即：
u t 0
k 1 k
9
m
例2.1 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输 入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。
st 解： L[ (t )] 0 (t )e dt 0 st (t )e dt 0
(t )e 0 0
s 0
dt 1
常用信号的拉氏变换（P410）
（单位）脉冲函数 （单位）阶跃函数 指数函数
(t )
1 ( t)
1
1 S
时间域：微分方程、差分方程和状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
2 控制系统的微分方程
研究对象
机械系统
直线运动 旋转运动
电气系统 流体系统
实例
–质量-弹簧-阻尼系统 –无源电路网络 –有源电路网络 –电枢控制直流电动机
质量-弹簧-阻尼系统（牛顿第二定律）
重复应用导数性质,可以推论二阶,直至 n 阶导数的象函数为：
L[ f ' ' (t )] s 2 F (s) sf (0 ) f ' (0 )
L[ f (t )] s F (s) s
n n
n1
f (0 ) s
n2
f (0 )
f n1 (0 )
例2.6
有理分式的拉氏反变换
N (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm F ( s) n (n m) n 1 D(s) s a1s an1s an
化成典型函数的象函数叠加的形式，根据拉氏变换表， 即可写出相应的原函数。 两个概念
x(t ) * y(t ) x(t ) y( )d ,
0
L[ x(t ) * y(t )] X (s)Y (s)
4 拉氏变换的反变换
Inverse Transforms
1 a j st f (t ) F ( s)e ds 2j a j f (t ) L1[ F ( s)]
其他函数
dX ( s) L[tx(t )] ds
x(t ) L X ( s)ds t s
n d X ( s) n n L[t x(t )] (1) dsn
x(t T ) x(t ),
t
1 L[ x(t )] 1 e sT
T
0
x(t )e sT dt
基尔霍夫电流定律
（Kirchhoff’s current law）
在集总参数电路中，任一时刻，流入任意 节点的电流之和等于流出该节点的电流之 和。数学表示为：
i t i t
入 出
若流出节点的电流规定为正，流入节点的电 流为负，则可以表示为：
i t 0
k 1 k
0
x(t )e dt
st
S是一个具有正实部的复变数，ReS>0
拉氏变换存在的条件
t>0时，x(t)对于任何t都有固定单值，且分段连续； t<0时，x(t)=0 定义式中积分有界：
即
0
x(t )e dt
t
，其中为正实数，且 Re S
原函数和象函数
2 简单函数的拉氏变换
微分定理(Time Differential)
d L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0 ) dt dn L[ n f (t )] s n L[ f (t )] dt s n 1 f (0 ) s n 2 f ' (0 ) sf ( n 2) (0 ) f ( n 1) (0 ) dn n L[ n f (t )] s L[ f (t )] dt
e
t
1 sa
幂函数
正弦函数 余弦函数
t
n
sin(t) cos(t)
s2 2 s s2 2
n! s n 1
3 拉氏变换的性质
•叠加原理
•微分定理
•积分定理
•衰减定理
•延时定理
•终值定理
•时间比例尺度的改变
叠加原理（线性性质 Linear Properties）
L[af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
例2.4求指数函数
t
f (t ) e
t
的象函数。
t st 解： L(e ) e 0 e dt ( s ) t ( s )t e e dt ( s ) 0 0
1 s
例2.5 求单位脉冲函数
f (t ) (t ) 的象函数。
(t )
D(s) s 2 5s 6 0 的根为 p1 2, p2 3,
4s 5 F ( s) (s 2)(s 3)
1 2 s2 s3
(1 2 ) s 31 2 2 2 s 5s 6
1 2 4 31 2 2 5
解得
1 3 2 7
3 7 这样 F ( s ) s2 s3
f (t ) (3e
2t
7e
3t
) 1(t )
留数法
m m 1 b s b s bm 1s bm N ( s) 0 1 F ( s) n n 1 D( s ) s a1s an 1s an
m m 1
1
s p1
1
2
s p2
n1
s pn 1
p2 t
n
s pn
pn t
f (t ) L [ F (s)] 1e
p1t
2e
n e
例
解：
4s 5 求 F ( s) 2 的原函数 f s 5s 6
（零初始条件）
证明
d d st L[ f (t )] f (t )e dt e st df (t ) 0 dt 0 dt
e
st
f (t ) f (t ) d (e st )
0 0 0
f (0 ) s f (t ) e st dt sL[ f (t )] f (0 )
§2.1 系统的数学模型
系统的模型
实物模型：实际系统的比例缩放 物理模型：对实物模型的简化或抽象 数学模型：物理模型的数学描述
三者之间的关系：物理模型来源于实 物模型，其简化程度影响着数学模型 的建立。
1 数学模型概述
概念：描述系统输入、输出量以及内部各变量 之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及 参数与性能之间的内在联系。 分类：数学模型包括稳态模型和动态模型 表示方法：
as
终值定理(Final-value Theorem)
lim
t
f (t ) lim sF ( s)
s 0
当f(t)为周期函数时，终值定理失 效
初值定理(Initial-value Theorem)
lim
t 0
f (t ) lim sF ( s)
s
时间比例尺度的改变
t L[ f ( )] aF (as ) a
f 2 (t ) (t ) 的象函数。
(b)
d 由于 (t ) 1(t ), 所以 dt
1 L[ ( t )] s 0 1 s
积分定理
L[ f (t )] f 1 (0 ) L[ f (t )dt] s s
例2.7
利用积分性质求单位斜坡函数
控制工程基础
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
Mathematical Models of Control Systems
§2.1 系统的数学模型 §2.2 拉氏变换及其反变换 §2.3 传递函数 §2.4 典型环节的传递函数 §2.5 系统的方块图及其联接 §2.6 绘制实际物理系统的函数方框图 §2.7 应用MATLAB确定系统模型