知能综合检测(十四)

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知能综合检测(十四)
（40分钟 60分）
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.抛物线y＝-(x＋2)2－3的顶点坐标是( )
(A)(2，-3) (B)(-2，3)
(C)(2，3) (D)(-2，-3)
2.(2012·德阳中考)设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，
当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是( )
(A)c=3 (B)c≥3
(C)1≤c≤3 (D)c≤3
3.(2012·乐山中考)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一
象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是( )
(A)0＜t＜1 (B)0＜t＜2
(C)1＜t＜2 (D)-1＜t＜1
4.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线
组成的.为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设
一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如
图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )
(A)50 m (B)100 m (C)160 m (D)200 m
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下
平移2个单位，所得图象的关系式为y=x2-2x+3，则b的值
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为_________.
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图象，根
据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④b2+8a＞4ac中正确
的是_________ (填写序号).
三、解答题(共30分)
7.(14分)(2012·珠海中考)如图，二次函数y=(x-2)2+m的图象与y
轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已
知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的关系式；
(2)根据图象，写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.

【探究创新】
8.(16分)对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y
都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：
y=x2+2x+2).
(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的关系式
________. (不必证明)
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(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线?若存
在,请写出其中一条抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.

答案解析
1.【解析】选D.抛物线y=-(x+2)2-3是顶点式，根据其特点可知抛物
线的顶点为(-2，-3).
2.【解析】选B.∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时，总有y≤0,∴函数
图象过(1，0)点,
即1+b+c=0 ①
∵当1≤x≤3时，总有y≤0.
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0 ②
①②联立解得：c≥3.
3.【解析】选B.∵y=ax2+bx+1过点(-1，0)且图象的顶点在第一象限，
∴二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象开口向下,即a＜0,如图所示：

把(-1,0)代入y=ax2+bx+1得a-b+1=0 ①,
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由t=a+b+1 ②，①+②得t=2a+2，
由a＜0得t＜2；
由二次函数的图象知对称轴x＞0，所以抛物线和x轴的另一个交点
在(1，0)的右边，即当x=1时，y＞0，即a+b+1＞0，所以t＞0，所
以0＜t＜2，故选B.
4.【解析】选C.建立如图所示的坐标系，设抛物线的关系式为y＝ax
2

＋0.5，将(1，0)代入得a＝-0.5，所以抛物线的关系式为y＝-0.5x
2

＋0.5，分别将x＝0.2和0.6代入，求得y值为0.48，0.32，所以一
个防护栏需不锈钢支柱长为2×(0.48＋0.32)＝1.6(m)，则这条防护栏
需要不锈钢支柱的总长度为1.6×100＝160(m).

5.【解析】由题意得抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为(1，2),所以根据
平移得出抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标是(-2，4)，由于平移前后二
次项系数不变,所以原抛物线为y=(x+2)2+4,展开得b=4.
答案：4
6.【解析】由图象知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,所以c<0，
①错误;因为当x=1时,抛物线在x轴的下方,所以a+b+c＜0,②正确;
因为a>0，b<0，所以-b>0,2a-b>0,③错误;因为抛物线与x轴有两个
交点,所以b2-4ac>0.又因为a>0，所以-8a<0,所以b2-4ac>-8a,所以
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b2+8a＞4ac,④正确.
答案：②④
【归纳整合】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与a，b，c的符号的关系
1.a决定抛物线的开口方向;当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物
线开口向下.
2.a，b决定对称轴的位置：a，b同号,对称轴在y轴左侧,a，b异号,
对称轴在y轴右侧,b=0，对称轴为y轴.
3.c决定抛物线与y轴的交点位置：c>0,交点在y轴的正半轴上;c=0，
交点是原点;c<0，交点在y轴的负半轴上.
4.当x=1时,a+b+c=y;当x=-1时,a-b+c=y.
7.【解析】(1)将点A(1，0)代入y=(x-2)2+m得，
(1-2)2+m=0，1+m=0，m=-1，
则二次函数关系式为y=(x-2)2-1.
当x=0时，y=4-1=3，
故C点坐标为(0，3)，
由于C和B关于对称轴对称，
设B点坐标为(x，y)，
令y=3，有(x-2)2-1=3，
解得x=4或x=0(舍去)，
故B点坐标为(4，3).
设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
把A(1，0)，B(4，3)代入y=kx+b得，
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kb04kb3，，解得k1b1






，
，

则一次函数关系式为y=x-1.
(2)∵A,B坐标分别为(1，0)，(4，3)，
∴当kx+b≥(x-2)2+m时，1≤x≤4.
8.【解析】(1)如y=221111xx,yxx8.2222
(只要写出一个符合条件的函数关系式即可)
(2)不存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线.假设存在符合条
件的抛物线,
则对于y=ax2+bx+c,
当x=0时,y=c,当x=1时,y=a+b+c,
由整点抛物线定义知：c为整数,
a+b+c为整数,∴a+b必为整数.
又当x=2时,y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整数,
∴2a必为整数,从而a应为12的整数倍.
∵a≠0,∴｜a｜≥12,
∴不存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线.