高考数学压轴大题--解析几何

高考数学压轴大题--

解析几何

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考数学压轴大题-解析几何

1. 设双曲线C ：1:)0(1222

=+>=-y x l a y a

x 与直线相交于两个不同的点A 、B.

（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：

（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.12

5

=求a 的值.

解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组

??

???=+=-.1,

12

22y x y a

x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 （1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①

.120.0)1(84.012

24

2

≠<-+≠-a a a a a a 且解得所以

双曲线的离心率

).,2()2,2

6

(

2

2

6

,120.11122

+∞≠>∴≠<<+=

+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a

a

a e

（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A

.

12

5

).1,(125

)1,(,

12

5

212211x x y x y x =-=-∴=由此得

由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，

13

17

,060289

12,,.12125.

1212172222

2

222

2

2=

>=

----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以

2. 已知)0,1(,)0,1(21F F -为椭圆C 的两焦点，P 为C 上任意一点，且向量21PF PF 与向量的

夹角余弦的最小值为3

1

.

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过1F 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，求OMN ?（O 为原点）的面积的最大值及

相应的直线l 的方程. 解：(Ⅰ)设椭圆的长轴为2a ,

∴a PF PF 221=+ 2221==c F F

2

12

22

124cos PF PF PF PF ?-+=

θ

=

2

12122124

2)(PF PF PF PF PF PF ?-?-+

=1244212-?-PF PF a 又

21212PF PF PF PF ?≥+

∴2

21a PF PF ≤?

即31

211244cos 2

22=-=--≥a

a a θ ∴32=a ∴椭圆方程为12

32

2=+

y x (Ⅱ) 由题意可知NM 不可能过原点,则可设直线NM 的方程为:my x =+1 设),(11y x M ),(22y x N

()1111212

OMN F OM F ON S S S OF y y ???=+=+=2121

y y -

22

1,32

1.x y x my ?+

=???=-?

063)1(222=-+-y my

即 044)32(22=--+my y m . 由韦达定理得:

324221+=+m m y y 324

2

21+-=?m y y ∴212212

214)(y y y y y y -+=-

= 3216)32(162222+++m m m =2

22)32()

1(48++m m

令12+=m t , 则1≥t

∴2

21y y -=41448)12(482

++=+t

t t t .

又令t

t t f 1

4)(+=, 易知)(t f 在[1,+∞）上是增函数,

所以当1=t ,即0=m 时)(t f 有最小值5.

∴2

21y y -有最大值3

16

∴OMN S ? 的面积有最大值332.

直线l 的方程为1-=x .

3. 椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率e

C (-1，0)的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足：CA =BC λ (2λ≥)．

(Ⅰ)若λ为常数，试用直线l 的斜率k (k ≠0)表示三角形OAB 的面积． (Ⅱ)若λ为常数，当三角形OAB 的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．

(Ⅲ)若λ变化，且λ= k 2＋1，试问：实数λ和直线l 的斜率()k k ∈R 分别为何值时，椭

圆E 的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．

解：设椭圆方程为22

221+=x y a b

(a ＞b ＞0)，

由e =c

a

a 2=

b 2+

c 2得a 2=3 b 2，

故椭圆方程为x 2＋3y 2= 3b 2． ①

(Ⅰ)∵直线l ：y = k (x ＋1)交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，并且CA =BC λ (λ≥2)， ∴(x 1+1，y 1) =λ(-1-x 2，-y 2)， 即12121(1)x x y y λλ+=-+??=-? ②

把y = k (x +1)代入椭圆方程，得(3k 2+1)x 2+6k 2x +3k 2-3b 2= 0， 且 k 2 (3b 2-1)+b 2＞0 （*），

∴x 1+x 2= -2

2631k k +， ③

x 1x 2=22

2

3331k b k -+， ④ ∴O A B S ?=12|y 1-y 2| =12|λ+1|·| y 2| =|1|

2

λ+·| k |·| x 2+1|．

联立②、③得x 2+1=22

(1)(31)

k λ-+，

∴O A B S ?=11λλ+-·2||

31

k k + (k ≠0)．

(Ⅱ)O AB S ?=

11λλ+-·2||

31

k k + =1

1λλ+-·11

3||||

k k +

≤

1

1λλ+- (λ≥2)．

当且仅当3| k | =

1||k ，即k =时，O AB S ?取得最大值，此时x 1+x 2= -1． 又∵x 1+1= -λ( x 2+1)，

∴x 1=11λ-，x 2= -1

λλ-，代入④得3b 2

=22

1(1)λλ+-．此时3b 2≥5，,k b 的值符合(*) 故此时椭圆的方程为x 2＋3y 2

=22

1(1)λλ+-(λ≥2)．

(Ⅲ)由②、③联立得：

x 1=2

2(1)(31)

k λ

λ--+-1， x 2=

2

2

(1)(31)

k λ-+-1， 将x 1，x 2代入④，得23b =22

4(1)(31)

k λ

λ-++1． 由k 2=λ-1得23b =

2

4(1)(32)

λ

λλ--+1 =

43

2212

(1)(1)(32)λλλ??+??---??

＋1．

易知，当2λ≥时，3b 2是λ的减函数，

故当2λ=时，23b 取得最大值3． 所以，当2λ=，k =±1(符合(*))时，椭圆短半轴长取得最大值，

此时椭圆方程为x 2 + 3y 2 = 3．

4. 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （I ）求椭圆的离心率；

（II ）设M 为椭圆上任意一点，且(,)OM OA OB λμλμ=+∈R ，证明22μλ+为定值.

解：（I ）设椭圆方程为),0,(),0(122

22c F b a b

y a x >>=+

则直线AB 的方程为1,22

22=+-=b

y a x c x y 代入.

化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a . 令),,(),,(2211y x B y x A

则 .,22

22

2222122

221b

a b a c a x x b a c a x x +-=+=+

),,(2121y y x x ++=+由与+-=),1,3(共线，得

.0)()(32121=+++x x y y

.

3

6

,

3

6.3,232.2

3,0)()2(3,,222

22

222121212211===-=∴==+=

+∴

=++-+∴-=-=a c e a

b a

c b a c b

a c a c x x x x c x x c x y c x y 故离心率所以即又 （II ）证明：由（I ）知2

2

3b a =，所以椭圆122

22=+b

y a x 可化为22233b y x =+.

),,(),(),(),,(2211y x y x y x y x μλ+==由已知得设

??

?+=+=∴.,

2121y y y x x x μλμλ

),(y x M 在椭圆上，

.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ

即 .3)3(2)3()3(221212222

221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 由（I ）知.21

,23,23222221c b c a c x x ===+

22222

1222121212123.833()()

a c a

b x x

c a b x x y y x x x c x c -∴==+∴+=+-- .0329233)(3422

22

2121=+-=

++-=c c c c c x x x x 又22222

2212133,33b y x b y x =+=+又，代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1.

5. 已知椭圆2

212

x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点.

（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；

（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与

x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.

解：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=- 圆过点O 、F ，

∴圆心M 在直线1

2

x =-上。

设1

(,),2M t -则圆半径

13()(2).22

r =---=

由,OM r =

得3,2

=

解得t =

∴

所求圆的方程为2219

()(.24

x y ++=

（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠

代入2

21,2

x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=

直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根。 记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y 则2

1224,21

k x x k +=-+

AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001

().y y x x k

-=--

令0,y =得

222002222211

.

2121212421

0,0,

2

G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-<<

∴点G 横坐标的取值范围为1

(,0).2

-

6. 已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,

向量OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为

2212

12()()0x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0时，求p 的值。 (I)证明1:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?= 12120x x y y ∴?+?=

设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?= 即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

整理得:221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径 证明2:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?=

12120x x y y ∴?+?= (1)

设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则 即

21

1221

1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径 证明3:

22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-

2

2

2

2

22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+ 整理得: 0OA OB ?= 12120x x y y ∴?+?=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为

2222121212121

()()[()()]224

x x y y x y x x y y ++-+-=-+-

展开并将(1)代入得: 221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径

(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

22

2

x x x y y y +?=???

+?=?? 22

1

1222,2(0)y px y px p ==> 22

12122

4y y x x p ∴=

又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22

12122

4y y y y p ∴-?=

12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=- 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y

y y y y p p p

+==+=

++-221(2)y p p =+

所以圆心的轨迹方程为222y px p =- 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

22221

|(2)2|

y p y

d +-

===22=

当y=p 时,d 5=

2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

12122

2

x x x y y y +?=???

+?=?? 22

1

1222,2(0)y px y px p ==> 22

12122

4y y x x p

∴= 又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22

12122

4y y y y p ∴-?=

12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=- 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p =+

所以圆心的轨迹方程为222y px p =-

设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0

的距离为5

,则2m =± 因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,

所以当x-2y-2=0与222y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0

的距离最小值为

5

22

220(2)

2(3)x y y px p --=??=-?

将(2)代入(3)得222220y py p p -+-= 2244(22)0p p p ∴?=--= 0

2.

p p >∴=

解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

22

2

x x x y y y +?=???

+?=?? 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

1212|()|x x

y y d +-+=

22

11222,2(0)y px y px p ==> 2212122

4y y x x p

∴= 又因12120x x y y ?+?= 1212x x y y ∴?=-? 22

12122

4y y y y p ∴-?=

12120,0x x y y ?≠∴?≠ 2124y y p ∴?=-

2212122221|()()|

y y y y d +-+∴=

=22=

当122y y p +=时,d

5=

2p ∴=.

11、（如图）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线

)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（1）若6ED DF =，求k 的值； （2）求四边形AEBF 面积的最大值．

11．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2

214

x y +=，

直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>． 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中1x < 且12x x ，满足方程22

(14)4k x +=，

故21x x =-=

．① 由6ED DF =知01206()x x x x -=-

，得021215(6)77x x x x =+==；

由D 在AB 上知0022x kx +=，得02

12x k

=+．

所以

212k =+， 化简得2242560k k -+=， 解得23k =或3

8

k =．6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为

1h =

=

，

2h =

=

． 9分

又AB ==，所以四边形AEBF 的面积为

121()2S AB h h =+ 1

5

2

5(1

4k =

+

=

= ≤ 当

21k =，即当1

2

k =

时，上式取等号．所以S 的最大值为 12分

解法二：由题设，1BO =，2AO =． 设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，

210y y =->，

故四边形AEBF 的面积为 BEF AEF S S S =+△△ 222x y =+

9分

=

=

= 当222x y =时，上式取等号．所以S

的最大值为． 12分

12

、已知椭圆(222:13x y E a a +

=>的离心率1

2

e =. 直线x t =（0t >）与曲线E 交于不同的两点,M N ,以线段MN 为直径作圆C ,圆心为C ． (1) 求椭圆E 的方程；

(2) 若圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABC ?的面积的最大值.

12、（1）解：∵椭圆()222:133x y E a a +

=>的离心率1

2

e =,

12=. …… 2分 解得2a =. ∴ 椭圆E 的方程为22

143

x y +

=． …… 4分 （2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)C t t <<．

由22

,1,43x t x y =???+

=?? 得2

2

1234t y -=. ∴ 圆C

的半径为2r =． …… 6分 ∵ 圆C 与y 轴相交于不同的两点,A B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，

∴

0t <<

07

t <<．

∴

弦长||AB === …… 8分

∴ABC ?

的面积1

2S =? …… 9分

)

2127

t =

-)2

21272

t +-≤

7

=. …… 12分

当且仅当=

，即

7

t=时，等号成立.

∴ABC

?

的面积的最大值为

7

．…… 14分

解法2：依题意，圆心为(,0)(02)

C t t

<<．

由22

,

1,

43

x t

x y

=

?

?

?

+=

??

得

2

2

123

4

t

y

-

=.∴圆C

的半径为r=．…… 6分∴圆C的方程为

2

22

123

()

4

t

x t y

-

-+=．

∵圆C与y轴相交于不同的两点,A B，且圆心C到y轴的距离d t=，

∴

0t<<

7

t<<．

在圆C的方程

2

22

123

()

4

t

x t y

-

-+=中，令0

x=

，得y=

∴

弦长||

AB=．（资料来源：数学驿站 https://www.360docs.net/doc/0e16344048.html,）…… 8分∴ABC

?

的面积

1

2

S=?…… 9分

)2

127

t

=

-

)22

127

2

t

+-

≤

7

=. ……

12分

=，即

7

t

=时，等号成立. ∴ABC

?的面积的最大值为

．

15、已知椭圆∑：122

22=+b

y a x （0>>b a ）的上顶点为)1 , 0(P ，过∑的焦点且垂直长轴的

弦长为1．若有一菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆∑上，该菱形对角线BD 所在直线的斜率为1-．

⑴求椭圆∑的方程；

⑵当直线BD 过点)0 , 1(时，求直线AC 的方程；

⑶（本问．．只作参考，不计入总分．．．．．．．．．．）当3

π

=∠ABC 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 15、解：⑴依题意，1=b ……1分，解12222=+b y a c ……2分，得a b y 2

||=……3分，所以

122=a b ，2=a ……4分，椭圆∑的方程为14

22

=+y x ……5分。 ⑵直线BD ：1)1(1+-=-?-=x x y ……7分，设AC ：b x y +=……8分，由方程组

?????=++=1

4

2

2y x b

x y 得0)1(24522=-++b bx x ……9分，当05)1(454)2(2

22>-=-??-=?b b b 时……10分，),(11y x A 、),(22y x C 的中点坐标为

54221b x x -=+，5

222121b

b x x y y =++=+……12分，ABCD 是菱形，所以AC 的中点在BD 上，所以

1545+=b b ……13分，解得3

5

-=b ，满足052>-=?b ，所以AC 的方程为3

5

-=x y ……14分。

⑶（本小问不计入总分，仅供部分有余力的学生发挥和教学拓广之用）因为四边形

ABCD 为菱形，且3

π

=

∠ABC ，所以BC AC AB ==，所以菱形ABCD 的面积

22

3

AC S ?=

，由⑵可得2122122122122)(2)(2)()(x x x x y y x x AC +=-=-+-= 2

222125

32532)1(548)58(28b b b x x ?-=-??--

?=-，因为5||

3

1653223=?。