汽车机械基础：2.3圆轴扭转的分析

此时轴的扭矩图如图2-40。
Tn
可见轴内的最大扭矩值比原来减小了。因此，传动轴上 主动轮和从动轮安装位置不同，轴所受的最大扭矩也就 不同，显然，两者相比后者较合理。
3.扭转时的应力分析 取一等截面圆轴如图2-41 ，在其表面上画四条
圆周线和四条与轴线平行的线。然后，在其圆轴 两端分别作用一外力偶矩M，使圆轴产生扭转变 形。
MO Fn Fnh Fnr cos 56.4N m
例2-7 如图2-37所示为一等截面齿轮轴，已 知轴的转速n=955 r/ min，主动轮A的输入功 率P1=68 kW，从动轮B、C的输出功率分别是 P2=46 kW和P3=22 kW。求轴上各截面的扭 矩，并画出扭矩图。
图2-37 例2-7图
图2-41 圆轴的扭转变形
在变形微小的情况下，可观察到如下现象： 1）纵线倾斜了相同的角度，原来轴表面上的
小方格变成了歪斜的平行四边形如图3-32b； 2）圆周线围绕轴线旋转一个微小的角度，圆
周线的长度、形状和两圆周线间的距离均保持 不变； 3）轴的直径和长度都没有改变。
圆轴扭转的平面假设 ：原为平面的横截面变 形后仍保持为平面，只是各横截面相对地转过 了一个角度。
扭转变形的受力特点：杆件受到一对大小相等 、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶作 用。
变形特点：两力偶作用面之间的各横截面都绕 轴线产生相对转动。
扭转角：任意两横截面相对转过的角度，称为 扭转角，用φ表示。 如图2-34。
图2-34 扭转变形
2.3.2 内力分析与应力分析
1.外力偶矩的计算
向垂直，其大小与该点到圆心的距离成正比。如图 2-42。图a为实心轴截面，图b为空心轴截面
图2-42 圆轴扭转时切应力分析
任意一点任力的计算公式为：
式中
p
T Ip
(2-20)
τρ——横截面上任意一点切应力； T——横截面上的扭矩；
ρ——所求应力点到圆心的距离；
Iρ——横截面对形心的极惯性矩。是一个只与截面 的形状和尺寸有关的几何量，单位为mm4或mm4
圆轴扭转的分析
【任务描述】
汽车转向盘轴、汽车传动轴、齿轮轴 等在工作过程中处于怎样的受力状态，分 别承受哪种力的作用？它们是如何保证安 全工作的？
【学习目标】
1.描述圆轴扭转变形的受力特点和变形特点； 2.学会外力偶矩的计算； 3.能够应用截面法计算圆轴扭转时横截面上的
内力——扭矩； 4.能够绘制扭矩图； 5.学会圆轴扭转横截面上切应力的计算及分布
规律。
6.学会圆轴扭转的强度条件并能够进行强度计 算。
【知识准备】
2.3.1扭转变形的受力特点及变形特点 在工程实际中，经常会看到一些发生扭转变形的
杆件，如汽车的传动轴（如图2-33a），汽车转 向盘轴（如图2-33b）、电动机轴、搅拌器轴、 车床主轴等。
a) 汽车传动轴
b) 汽车转向盘轴
图2-33 扭转轴
由结果可知扭矩的符号都为正。
（3） 扭矩图。根据上述结果画出扭矩图，如 图2-39。
Tn
图2-39 扭转图
扭矩数值最大值发生在AB段。
讨论：若将A轮与B轮相互调换，会怎样？ A轮与B轮相互调换后，则轴的左右两段内的
扭矩分别是 T1 MB 460 N m T2 MC 220 N m
工程中，对于作用于轴的外力偶矩一般不直接给 出，通常是根据轴传递的功率和轴的转速算出。 功率、转速和外力偶矩之间的换算关系为：
式中
P Me 9550 n
(2-19)
P——轴传递的功率，单位为kW；
n——轴的转速，单位r/min。
Me——外力偶矩，单位是N·m
2．扭矩与扭矩图
1）扭矩
扭转时横截面的内力 —— 扭矩（T n）
(2-25)
（2）实心圆截面
IP
π D4 32
WP
π D3 16
式中α=d/D为横截面内外径之比。 (2-26) (2-27)
2.3.3圆轴扭转的强度计算 由前所述，等截面圆轴扭转时，最大应力发生在最
大扭矩截面的外周边各点，变截面轴扭转时最大应 力则发生在扭矩与抗扭截面系数之比最大的那个截 面上，所以对变截面轴而言，应根据扭矩与抗扭截 面系数的比值来判断其危险截面。 等截面圆轴扭转时的强度条件为
。
I
2dA
A
任意一点切应力的计算公式为： p
T Ip由上式可知ຫໍສະໝຸດ 当ρ=R时，令Wp
Ip R
max
TR Ip
(2-22)
(2-21)
则有
max
T Wp
(2-23)
Wp称为扭转截面系数，单位为m3或mm3。
常用截面极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp 的计算公式 （1）空心圆截面
(2-24) α=d/D为横截面内外径之比。
解：（1）外力偶矩。根据轴的转速和输 入与输出功率计算外力偶矩：
（2）扭矩。在集中力偶MA与MB之间和MB与 MC之间的圆轴内，扭矩是常量，分别假设为 正的扭矩Tn1和Tn2。如图2-38
MA
Tn1
Tn2
MC
1
2
图2-38 转矩
由平衡方程可以求得
Tn1 M A 680 N m Tn2 MC 220 N m
根据平面假设，可得出以下结论：
（1）由于相邻截面相对地转过了一个角度，即横 截面间发生旋转式的相对错动，出现了剪切变形， 故截面上有切应力存在。
（2）由于相邻截面间距不变，所以横截面没有正 应力。又因半径长度不变，切应力方向必与半径垂 直。
圆轴扭矩的应力——切应力 切应力的分布规律是各点的切应力与横截面半径方
求扭矩的方法——截 面法（如图2-35）
取左、右段为研究对象 ，结果相同，但方向相 反。
图2-35 扭矩计算
为了使截面两侧求出的转矩的符号一致，故规定扭 矩的正负号，采用右手螺旋定则确定：
右手四指顺着扭矩的方向握住圆轴轴线，大拇指伸 直时的指向与横截面的外法线方向一致时扭矩为正 值；反之为负值。如图2-36所示。
图2-36 扭转的正负号
2）扭矩图
当轴上同时有几个外力偶作用时，杆各截面上的扭 矩则须分段求出。为了确定最大扭矩的所在位置， 以便找出危险截面，在工程实际中常用一个图形来 表示沿轴长各横截面上的扭矩随横截面位置的变化 规律，这种图形称为扭转图。
取平行于轴线的横坐标x表示各截面位置，垂直于 轴线的纵坐标Tn表示相应截面上的扭矩，正扭矩画 在x轴的上方，负扭矩画在x轴的下方。