千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第100炼 利用同构特点解决问题 修改后 教师版
第100炼 利用同构特点解决问题
一、基础知识：
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程
()0f x =的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
（3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,A x y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与
()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题：
1．（2015天津十二校联考）设,x y R ∈，满足()()()()5
5
12sin 13
12sin 11
x x x y y y ?-++-=??-++-=?? ，则x y +=（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6 答案：B
思路：本题研究对象并非,x y ，而是
()()
1,1x y --，进而可变形为
()()()()()()5
5
121sin 11121sin 11
x x x y y y ?-+-+-=?
?-+-+-=-??，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解
解：()()()()5
5
12sin 1312sin 11
x x x y y y ?-++-=???-++-=??()()()()()()5
5
121sin 11121sin 11
x x x y y y ?-+-+-=?
?-+-+-=-?? 设()5
2sin f t t t t =++，可得()f t 为奇函数，由题意可得：
()()11
11
f x f y -=???
-=-?? ()()11f x f y ∴-=-- ()112x y x y ∴-=--?+=
2．若函数(
)f x m =
在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ??
>≥????
，则实数m 的取
值范围是_____________ 答案：10,2
m ??∈ ??
?
思路：注意到()f x 是增函数，从而得到()(),22a b f a f b ==
，即2
2
a m b
m ==，发现
两个式子为,a b 的同构式，进而将同构式视为一个方程，而,a b 为该方程的两个根，m 的取值只需要保证方程有两根即可 解：
()f x 为增函数
()(),22a b f a f b ∴==
?2
2
a m
b m ==
,a b ∴
2x m =
在[)1,+∞
上的两个根，即2
x
m =有两个不同的根
令)201t t x t =
≥?=+
所以方程变形为：()()221112122m t t t t =+-=-+，结合图像可得：10,2m ??∈ ???
3．设,a b
R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充要又不必要条件 答案：C 思路：观察a a
b b 可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数()f x x x =，分析
其单调性。()22
,0
,0
x x f x x x x x ?>?==?-
即a b a a b b ，所以是充要条件
4．若1201x x <<<，则（ ） A. 2
121ln ln x x e
e x x ->- B. 1221ln ln x x e e x x ->-
C. 1
221x x x e
x e > D. 1221x x x e x e <
答案：C
思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将12,x x 分居在不等式两侧后都具备同构的特点， 所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在()0,1的单调性即可
解： A 选项：2
1212121ln ln ln ln x x x x e
e x x e x e x ->-?->-，设()ln x
f x e x =-
()'
11
x x
xe f x e x x
-∴=-=，设()1x g x xe =-，则有()()'10x g x x e =+>恒成立，所
以()g x 在()0,1单调递增，所以()()010,110g g e =-<=->，从而存在()00,1x ∈，使得()00g x =，由单调性可判断出：
()()()()()()''''000,,00,,1,00x x g x f x x x g x f x ∈?> ，所以()f x 在
()0,1不单调，不等式不会恒成立
B 选项：12
122112ln ln ln ln x
x x x e e
x x e x e x ->-?+>+，设()ln x f x e x =+可知()
f x 单调递增。所以应该()()12f x f x <，B 错误
C 选项：121
2
2112
x x x x e e x e x e x x >?>，构造函数()x e f x x =，()()'
2
1x x e f x x -=，则()'0f x <在()0,1x ∈恒成立。所以()f x 在()0,1单调递减，所以()()12f x f x >成立
D 选项：12
1
2
2112
x x x x e e x e x e x x
，同样构造()x e f x x =，由C 选项分析可知D 错误
5．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
()()()11xf x x f x +=+，则20152f ??
???
的值是（ ）
A. 0
B. 12
C. 1
D. 5
2
答案：A
思路：观察条件可变形为：
()()11
f x f x x x
+=
+，从而得到等式左右的结构均为
()f t t
的形式，
且括号内的数间隔为1。所以
201520131122222015201311
2222
f f f f ????????
- ? ?
? ?????????====-
。因为()f x 为偶函数，所以1122f f ????=- ? ?????，由11221122f f ????
- ? ?
????=-
可得11022f f ????=-= ? ?????，进而
20152015200201522
f f ??
?
????=?= ???
6．如果()
[)5533cos sin 7sin cos ,0,2θθθθθπ-<-∈，那么θ的取值范围是________ 答案：544
ππ??
???
， 思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin ,cos θθ的项分居在不等号两侧：5
3
5
3
cos 7cos sin 7sin θθθθ+<+，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数()5
3
7f x x x =+，能够
判断()f x 是奇函数且单调递增。所以不等式
()()cos sin f f θθ<等价于cos sin θθ<，
即sin cos 004πθθθ?
?->?-> ???
，所以()224k k k Z π
πθππ<-<+∈，结合[)0,2θπ∈，可得544
ππ
θ??
∈ ???
，
7．如图，设点()00,P x y 在直线()
,01,x m y m m m =≠±<<且为常数上，过点P 作双曲线2
2
1x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，求证：直线AB 过某一个定点
答案：设()()1122,,,A x y B x y ，PA 的斜率为k 则()11:PA y y k x x -=-，联立方程()11221
y y k x x x y -=-???
-=??消去y 可得： ()2
2111x kx kx y -+-+=????，整理可得：
()()()2
2211111210k x k y kx x y kx ------= ，因为PA 与双曲线相切
所以()
()()()2
2
2
221111441410k
y kx k y kx k ?=-+--+-=
()()2
2114410y kx k ∴-+-=
()()22222
22111111112101210k x kx y y k x k kx y y -++-=?--++=
22111x y -= 222211111,1x y y x ∴-=+=代入可得： 222111120y k x y k x -+=即()2
110y k x -=
即1
1
x k y =
()1
11111
:1x PA y y x x y y x x y ∴-=
-?=- 同理，切线PB 的方程为211y y x x =-
()0,P m y 在切线,PA PB 上，所以有011022
1
1y y mx y y mx =-??
=-? ,A B ∴满足直线方程01y y mx =-，而两点唯一确定一条直线