2020-2021郑州市高三理科数学第二次质量检测及答案

当 m > 0 时， F′(1) < 0，当 x → +∞, F′(x) → +∞ ，所以存在 x* ∈ (1, +∞) ， F′(x*) = 0 ，
当 x ∈ (1, x*) ， F′(x) < 0，F (x) 单调递减， F (x) < F (1) = 0. 不符合题意.
综上， m ≤ 0 .
………………6 分
≥ x − 2 + x + a ≥ ( x + a) − ( x − 2) = a + 2 ，等号成立条件是 x = 2 ， ………………8 分
∴
f
(
x
) min
= a + 2 ，∴a
+
2
≥
a2
−
2a
+
4 ，解得：1 ≤
a
≤
2，
∴实数 a 的取值范围为[1, 2] ．
………………10 分
，同理
yN
=
6 y2 x2 + 2
，
= yM yN
= 36 y1 y2 (x1 + 2)(x2 + 2)
= 36 y1 y2 (my1 + 3)(my2 + 3)
36 y1 y2 m2 y1 y2 + 3m( y1 + y2 ) + 9
=
m2
36
−9 3m2 + 4
−9
3m2 + 4
+
3m
−6m 3m2 +
F′(x) =(x +1)ex − 2e − m, F′(x) 在[1, +∞) 上单调递增， F′(1)= − m ， ………………4 分 x
当 m ≤ 0 时，F′(1) ≥ 0，F′(x) ≥ F′(1) ≥ 0 ，F (x) 在[1, +∞) 上单调递增，F (x) ≥ F (1) ≥ 0.
h′(x) =(x +1)ex − ex[(x2 + 3x +1) ln x + x +1] =−ex (x2 + 3x +1) ln x ， ……………10 分
所以 h(1) = 0 ，且当 x ∈ (0,1) ， h′(x) > 0，h(x) 单调递增，当 x ∈ (1，+ ∞) ， h′(x) < 0，
则 OE 为直角梯形 ABCD 的中位线，故 BC ⊥ OE ． ……………2 分
又 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD ， 平 面 PAD I 平 面 ABCD = AD ，
PO ⊥ AD ，所以 PO ⊥ 平面 ABCD ，PO ⊥ BC ，又 PO I OE = O ，
所以 BC ⊥ 平面 PEO ， ………………4 分
an =
(n +1)an − nan−1 (n ≥ 2),
2
2
………………4 分
即 (n −1)an
= nan−1,
a=n n
an−1= L= n −1
a=1 1
1, 所以 an = n.
………………6 分
（2） bn
=(−1)n+1
2n+1 n(n +1)
= (−1)n+1( 1 n
+
1) n +1
2020-2021 郑州市第二次质量预测理科数学评分参考
一、选择题
BCDAA 二、填空题
BDCAD BB
13. y = x; 14.-3; 15. 2; 16. (0, e].
三、解答题
17. 解：（1）由题意 Sn = (n +21)a= n ，Sn−1
nan−1 (n ≥ 2), 两式相减得， ………………2 分 2
128
3= 2000)
C43
⋅
14= 3 ⋅ 34
3， 64
P= (Y
400= 00)
= 14 4
1 ， ………………9 分 256
则Y 的分布列为：
Y
20000
22000
26000
32000
40000
81
27
27
3
1
P
256
64
128
64
256
故 E (Y ) =2000× 81 + 22000× 27 + 26000× 27 + 32000× 3 + 40000× 1
(3m2 + 4) y2 + 6my − 9 =0 ， ………………7 分
设 P、Q 点坐标为 (x1, y1), (x2 , y2 ), 则= y1 + y2
3m−62= m+ 4 , y1 y2
−9
，
3m2 + 4
直线 AP 的方= 程为 y
x1
y1 +
2
(
x
+
2)
，令
x
= 4 ，得 yM
=
6 y1 x1 + 2
综上所述：不等式
f
(x)
≥
5
的解集为
(
−∞,
0]
U
8 3
,
+∞
.
………………5 分
（Ⅱ）
f
(x) ≥ a2
− 2a + 4 恒成立等价于
f
(
x
) min
≥ a2
− 2a + 4 ，
………………6 分
Q f (x) = 2x − 4 + x + a = x − 2 + x − 2 + x + a
−
1
x
+
3
y
−
由 2 2
2 2
z
= 0, ………………10
分
y = 0
r
uuur r
可= 取 n ( 2, 0, −1) ， cos = < PA, n >
uuur r = uuPurA⋅ nr
6.
| PA | ⋅ | n | 3
故直线 PB 与平面 PCD 夹角的正弦值为 6 ． 3
………………12 分
−3x + 3, x < −1
①当 x ≥ 2 时，由 3x − 3 ≥ 5 得： x ≥ 8 ，∴ x ≥ 8 ；
3
3
②当 −1 ≤ x < 2 时，由 −x + 5 ≥ 5 得： x ≤ 0 ，∴−1 ≤ x ≤ 0 ；
③当 x < −1时，由 −3x + 2 ≥ 5 得： x ≤ −1，∴ x ≤ −1； ………………4 分
所以四年内生产维护费用总和Y 的可能取值为 20000、22000、26000、32000、40000，
则
P (Y
=20000)
=C40
⋅
3 4
4
=81 256
，
P (Y
=
22000) =
C41
⋅
1 4
⋅
3 4
3
=
27 ， 64
= P (Y
2= 6000)
C42
1 4
2= 43 2
27 ，= P (Y
，………………8
分
T2021
=(1 +
1) 2
−
(1 2
+
1)+(1 33
+
1) 4
+L
−( 1 + 1 )+( 1 + 1 ) 2020 2021 2021 2022
= 1+ 1 = 2023 . 2022 2022
………………12 分
18. 解：（1）设 AD 、BC 的中点分别为 O、E，连接 PO 、OE 、EP ，
4
+
9
=
−9.
………………9 分
（3） S∆AMN =
1 2
⋅ 6⋅ |
yM
−
yN
|=
3|
yM
+
9 yM
|≥ 3⋅ 2
yM
⋅
9 yM
= 18.
当且仅当 yM =3, yN = −3 或 yM = − 3, yN = 3 时等号成立. ………………12 分
20. （1） X 服从正态分布 N (280, 25) ，所以 P ( X < 2= 65) 1− 0.99= 74 0.0013 ，…2
256
64
128
64
256
= 22750.
………………12 分
21.（1）当 a = 2e ，不等式 f (x) ≥ mx − m 即为 xex − 2e ln x − e ≥ mx − m ， …………2 分 令 F (=x) xex − 2e ln x − e − m(x −1), x ∈[1, +∞)
h(x) 单调递减， h(x)= max h= (1) 0 ，此时 =x0 1,=a 2e.
………………12 分
22. （Ⅰ） ρ=
4
2 sinθ ⋅
2 + cosθ ⋅ 2
2 2
−
2
cosθ=
4sinθ + 2 cosθ ， …………2 分
= ρ 2 4ρ sinθ + 2ρ cosθ ，∴ x2 + y2 = 4 y + 2x ， ………………4 分
e=
c= a
1, 2
1
19.解：（1）由题意知，
a2
+
9 4b2
= 1, 解得 a2 =4，b2 =3 ，
………………4 分
a2 − b2 = c2 ,
椭圆 C 的方程为 x2 + y2 = 1. ………………5 分 43
（2）显然直线 l 斜率不为 0，设直线 l 方程为=x my +1 ，与 x2 + y2 = 1 联立得： 43
（2） f (x) =xex − a ln x − e ， f ′(x) =(x +1)ex − a ， f ′(x) 在 (0, +∞) 上单调递增， x
当 x → 0, f ′(x) → −∞ ， x → +∞, f ′(x) → +∞ ， 所 以 存 在 唯 一 的 正 数 x0 ∈ (0, +∞) ， f ′(x0 ) = 0 ， ………………7 分 当 x ∈ (0, x0 ) ， f ′(x) < 0，f (x) 单调递减，当 x ∈ (x0，+ ∞) ， f ′(x) > 0，f (x) 单调递增， f (x)m=in f (x0=) x0ex0 − a ln x0 −=e x0ex0 − x0 (x0 +1)ex0 ln x0 − e ， ………………8 分 令 h(=x) xex − x(x +1)ex ln x − e, x ∈ (0, +∞)
又 PE ⊂ 平面 PEO ，故 BC ⊥ PE ，又 E 为 BC 中点，所以 PB = PC .……………5 分
（2）在 AB 上取一点 F，使得 AB = 4 AF ，则 OF ， OE ， OP 两两垂直，以 O 为原点，
射线 OF ， OE ， OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
P(0, 0,
2 2
)
，
A(
1 2
,
−
1 2
,
0)
，
C(−
1 2
,
3 2
,
0)
，
D(−
1 2
,
1 2
,
0)
，
…6 分
从而：
uuur PA
=( 1
,
−
1
,
−
2
),
uuuቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ PC
=(−
1
,
3
,
−
2
),
uuur DC
=(0,1, 0) ，
8分
22 2
22 2
设平面 PCD 的法向量为 nr = ( x, y, z ) ，
2
（舍去）， ………………8 分
所以 sin2 α − sinα cosα=
sin2 α sin 2
− α
sinα cos + cos2 α
α=
tan2 α tan 2
− α
tan α= +1
2. 5
……10 分
3x − 3, x ≥ 2
23.（Ⅰ）由题意得： f ( x) = 2x − 4 + x +1 = −x + 5, −1 ≤ x < 2 ， ………………2 分
2
分
P ( X ≥ 265) = 1− 0.0013 = 0.9987. ………………4 分
至少一个零件尺寸小于 265 的概率为1− (0.9987)10 = 1− 0.9871 = 0.0129. ……5 分
（2）四年内正常维护费为 5000 × 4 =20000 元， ………………6 分
故障维修费第一次 2000 元，第二次 4000 元，第三次 6000 元，第四次 8000 元，
∴圆 C2 的直角坐标方程是 x2 + y2 − 2x − 4 y = 0 .……………5 分
（Ⅱ）因为曲线 C1 与 C2 有且仅有一个公共点，说明直线=y tan α ⋅ x + 5 与圆 C2 相切，
C2 圆心为（1，2），半径为
5 ，则
| tanα +3 | 1+ tan2 α
=
5 ，解得 tanα 2 或 tanα 1