高等数学A
《高等数学A》课程教学大纲
(216学时，12学分)
一、课程的性质、目的和任务
高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；
5、无穷级数(包括傅立叶级数)；
6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题
的能力。
二、总学时与学分
本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。
三、课程教学基本要求及基本内容
说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。
高等数学A(一)
一、函数、极限、连续、
1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
2. 理解复合函数和反函数的概念。
3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。
4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。
6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、
单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。
8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。
9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。
二、一元函数微分学
1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
3.了解高阶导数的概念。
4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。
6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。
7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。
8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。
10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。
11.了解求方程近似解的二分法和切线法。
三、一元函数积分学
1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。
2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导，掌握牛顿
(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。
4. 掌握定积分的换元法和分步积分法。
5. 了解广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法。了解广义积分的比较审敛法和极限审敛法，了解广义积分的绝对收敛与条件收敛的概念。
6. 了解函数及其主要性质。
7. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法、抛物线法)。
8. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。
高等数学A(二)
四、向量代数与空间解析几何
1. 会计算二阶、三阶行列式。
2.理解空间直角坐标系。
3.理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。
4.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
5.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
6.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
7.了解空间曲线的参数方程和一般方程。
8.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
五、多元函数微分学
1.理解多元函数的概念。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。
4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)
的偏导数。
7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求
它们的方程。
8. 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解最小二乘法。
9. 了解二元函数的泰勒公式。
10. 了解向量函数与矢端曲线的概念，了解向量函数的导向量与微分的概念。
六、多元函数积分学
1. 理解二重积分、三重积分的概念及性质。
2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。了解重积分的换元法。
3. 理解两类曲线积分的概念、性质及相互间关系，掌握两类
曲线积分的计算方法。
4. 掌握格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件。
5. 理解两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系，会计算
两类曲面积分。
6. 掌握高斯公式，了解曲面积分与曲面形状无关的条件。
7. 了解斯托克斯(Stokes)公式。
8. 了解数量场、向量场及向量微分算子 的概念，了解散度、旋度的概念及其计算公式，了解无源场、无旋场及调和场的概念。
9. 会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理
量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等)。
高等数学A (三)
七、无穷级数
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和函数的概念，熟悉无穷级
数基本性质及收敛的必要条件。
2. 掌握几何级数和p--级数的收敛性。
3. 了解正项级数的比较审敛法和极限审敛法，掌握正项级数
的比值审敛法。
4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。
5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。了解绝对收敛级数的一些基本性质。
6. 理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。了解函数项级数的一直收敛性。
7. 掌握比较简单的幂级数收敛域的求法。
8. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质。
9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10.会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
11.了解幂级数在近似计算上的简单应用。
12.了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。
八、常微分方程
1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)
方程，了解用变量代换求解方程的思想。
3. 会解全微分方程，能观察出最简单的积分因子。
4. 会用降阶法解下列方程：
，和.
5. 了解一阶微分方程解的存在性与唯一性定理及求近似解的步骤。了解奇解的概念。
6. 理解线性微分方程解的结构，了解常数变易法。
7. 掌握常系数齐次线性方程的解法，会求自由项形如
和
的常系数非齐次线性方程的特解。
8. 了解常系数线性方程组及尤拉(Euler)方程的解法。
9. 了解幂级数解法及勒让德(Legendre)函数。
10. 会用微分方程解一些简单的几何问题和物理问题。
四、学时分配
五、教材与教学参考书
教材：《高等数学》(第五版)上、下册，
同济大学应用数学系主编，高等教育出版社
参考书： 1. 《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社
2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社
3. 《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社
4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社
5. 《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社
《高等数学B》课程教学大纲
(180学时，10学分)
一、课程的性质、目的和任务
高等数学B是工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得：1.函数与极限；2.一元函数微积分学；3.向量代数和空间解析几何；4.多元函数微积分学；5.无穷级数(包括傅立叶级数)；6.常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、总学时与学分
本课程安排分为高等数学B(一)、B(二)两学期授课，总学时为
90+90，学分为5+5。
三、课程教学的基本要求及基本内容
说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。
高等数学B(一)
一、函数、极限、连续
1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
2. 理解复合函数和反函数的概念。
3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。
4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
5. 理解极限的概念(对极限的-N、-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出求N或不作过高的要求。)，掌握极限四则运算法则及换元法则。
6. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。
7. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。
8. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
9. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。
二、一元函数微分学
1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
3. 了解高阶导数的概念。
4. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。
6. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。
7. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。
8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。
10. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。
11. 了解求方程近似解的二分法和切线法。
三、一元函数积分学
1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。
2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。
3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿
(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。
4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。
5. 了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。
6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。
7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。
四、向量代数与空间解析几何
1. 会计算二阶、三阶行列式。
2. 理解空间直角坐标系。
3. 理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。
4. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
5. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
6. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
7. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。
8. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
高等数学B(二)
五、多元函数微分学
1. 理解多元函数的概念。
2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。
4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。
7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。
8. 了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
六、多元函数积分学
1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。
2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。
3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
4. 会计算两类曲线积分。
5. 掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。
6. 了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。
7. 了解散度、旋度的计算公式。
8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。
七、无穷级数
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
2. 掌握几何级数和p-级数的收敛性。
3. 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。
5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收
敛的关系。
6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。
8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
10. 会利用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
11. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。
12. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在和上的函数展开为傅里叶级数，并会将
定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。
八、常微分方程
1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
2. 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。
3. 会解全微分方程。
4. 会用降阶法解下列方程：。
5. 理解二阶线性微分方程解的结构。
6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
7. 会求自由项形如、的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
五、教材与教学参考书
教材：《高等数学》(第五版)上、下册，
同济大学应用数学系主编，高等教育出版社
参考书： 1. 《微积分》上、下册，同济大学应用数学系编，高等教
育出版社
2. 《工科数学分析基础》上、下册，马知恩王绵森主编，高等教育出版社
3. 《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社
4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社
5. 《高等数学例题与习题》同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社
高等数学下试题及参考答案
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
(完整版)高等数学(下)知识点总结
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 2 1 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程
高等数学下册知识点
高等数学下册知识点 《高等数学C2》考试大纲 一、考试内容与重点分布 1、向量代数与空间解析几何 (1) 空间向量的数量积与向量积计算方法(☆); (判断题2分, 计算题6分) ,,cos 是一个数量z z y y x x b a b a b a b a b a ++=?=?θ ，是个向量 注意：两者的运算律要会。 (2) 空间曲面方程的识别; (选择题3分) 几种常见的二次曲面 (3) 平面与直线方程及其求法(☆). (判断2分, 填空题3分, 计算题6分) Ⅰ、平面的几种方程形式： (1)点法式：过点),,(000z y x ，法向量为}C B,A,{=n 的平面方程： k j i x a y a z a x b y b z b =?b a
-+-y B x x A ()(00)()00=-+z z C y ； (2) 一般式：0=+++D Cz By Ax ，其中},,{C B A =n ； (3) 截距式： 1=++c z b y a x ，其中平面与坐标轴交点),0,0(),0,,0(),0,0,(c b a ； (4) 三点式：002020 2010 101000 =---------z z y y x x z z y y x x z z y y x x ， 其中),,(000z y x ，),,(111z y x ，),,(222z y x 为平面上不在一条直线上的三点． Ⅱ 、 直线的几种方程形式： (1) 点向式：p z z n y y m x x 000-=-=-，其中),,(000z y x 为 直线上定点，},,{p n m =s 为直线的方向向量； (2) 参数式：?? ???+=+=+=；pt z z nt y y m t x x 000,, (3) 两点式：1 21121121z z z z y y y y x x x x --=--=--， 其中),,(111z y x ，),,(222z y x 为直线上不重合的两点； (4) 一般式：???=+++=+++,0, 02222 1111D z C y B x A D z C y B x A 其中此二平面不平行． 注：线与线、线与面、面与面垂直或平行时直线的方向向量和平面的法向量之间的关系。 2、多元函数的微分学 (1) 二元函数极限求法(☆); （选择题3分, 计算题6分）
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ）
(A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
高等数学A(下册)期末考试试题
高等数学A(下册)期末考试试题 大题 一 二 三 四 五 六 七 小题 1 2 3 4 5 得分 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a r 、b r 满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ?=r r ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数13n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 五、（本题满分10分）
高等数学(A)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z += 在柱面x y x 222≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数)()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平 面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
高等数学(下)课后习题答案
高等数学（下） 习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则
222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得14 9 z= 即所求点为M（0，0， 14 9 ）. 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：()() ++=++ a b c a b c. 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2,3. u v =-+=-+- a b c a b c试用a , b, c表示23. u v - 解： 232(2)3(3) 224393 5117 u v -=-+--+- =-++-+ =-+ a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D 1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接， 试以AB=c，BC=a表示向量 1 D A, 2 D A, 3 D A和 4 D A. 解： 11 1 5 D A BA BD =-=-- c a 22 2 5 D A BA BD =-=-- c a 33 3 5 D A BA BD =-=-- c a 44 4 . 5 D A BA BD =-=-- c a 11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M的投影为M'，则 1 Pr j cos604 2. 2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量
高等数学A(下)期末复习题
高等数学A(下)期末复习题 一、 选择题 1. 设函数22 (,)xy z f x y x y == +，则下列各式中正确的是 （ ） A.(,)(,)y f x f x y x = B.(,)(,)f x y x y f x y +-= C.(,)(,)f y x f x y = D.(,)(,)f x y f x y -= 2．设)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f （ ） 。 A. )ln(2y x - B. )ln(y x - C. )ln (ln 2 1 y x - D. )ln(2y x - 3. 若=--=+)2 , 1( , ) , (2 2f y x x y y x f 则 （ ）。 A. 31 B. 3 1 - C. 3 D. 3- 4．设2 2),(y x x y x f += ，则 =)1 ,1(y x f （ ） A.222y x xy + B. 222y x y x + C. 22y x xy + D. 2 22 2y x y x + 5. 2 (,)(0,0)(1)x y xy Lim x →+=（ ）. A. 0 B. 1 C. ∞ D. 不存在 6．极限1 1lim 2 2 2 20 ++-+→→y x y x y x ＝（ ）。 A. -2 B. 2 C. 不存在 D. 0 7.二重极限442 20 0lim y x y x y x +→→的值（ ）. A.0 B.1 C. 2 1 D.不存在 8.2 (,)ln()f x y xy =的定义域是（ ）. A. {(,)|1}x y x y +≤ B. {(,)|01}x y x y <+≤
高数下册知识点
高等数学（下）知识点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离 公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 γβα,, 4） 方 向 余 弦 ： r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα
高等数学（下）知识点 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θ cos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规 则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：
最新2012--2013高等数学下a卷汇总
2012--2013学年高等数学下A卷
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2012—2013学年第2学期《高等数学》下试卷A 院别__________班级__________姓名__________学号__________ 核分人签名_____________ 一、填空。(每空3分共15分) 1．微分方程x xe y ='''的通解是 2．过两点M(3，-2，1)和N （-1,0，2）的直线方程 3．交换积分次序=?? -y d y x f dx x 1 010 ),(____________________ 4．设D 为圆域π≤+22y x ，则=+??dxdy y x D )sin(22 5．判断级数∑ ∞ =+11 ! n n n 的敛散性为 二、 单项选择题(每小题3分共15分) 1．二重极限 2 2)0,0(),(lim y x xy y x +→值为 （ ） A ．0 B ． 2 1 C ．1 D ．不存在
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 2. 空间曲线t x cos = t y sin = t z = 在2 π= t 处的切线的 方向向量是 （ ） A ．)2,1,0(π ； B ．)1,0,1(-； Ｃ．)1,0,1(； Ｄ．)2 ,0,1(π 。 3．曲线积分?=-l ydx xdy 21 （ ） 其中Ｌ为沿422=+y x 顺时针方向一周 A ．π2- B ．π4- C ．π4 D ．0 4．已知曲面)0(1:2 2 ≥--=∑z y x z 则= ++++?? ∑ dS y x z y x 2 2 22441（ ） A. 2π B. π C.1 D. π21 5．.已知22),(y x y x y x f -=-+则=??+??y y x f x y x f ) ,(),(（ ） A ．y x 22- B. y x + C. y x 22+ D. y x - 三、 解答下列各题（每小题7分共35分） 1. 设042 2 2 =-++z z y x ，求22x z ??
高等数学a)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ??1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(1 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面 x y x 22 2≤+内的那部分面积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ?- θπ π ρ ρθcos 20 22 2 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2 d d (D ) ??- θ π πρρθcos 202 2 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+121n n n (C ) ∑∞ =+111sin n n (D ) ∑∞ =13! n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
北京科技大学高等数学下册试题
高等数学试题 一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B .
A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明： （1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。
高数下A试题及答案
高等数学A （下） 课程考试试题参考解答 一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 22y x dx e dy -； (B) 23y x dx e dy +； (C) 23y x dx e dy -； (D) 23y e dx x dy -． 2. 球面2221x y z ++= 在点( 22 P 处的切平面方程是【 D 】 ． (A) 0x y -=； (B) 0x y +=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2 (,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】 ． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数1 n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π； (B) 3π -； (C) 4 π； (D) 4π -． 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +? = 32R π .
3. 设???? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4π=x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π=x 收敛于1)4(=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33(,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设()2 2 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22L xy dy x ydx -? ，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 22,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ， 将上式两端逐项积分，得
高等数学下试题及答案
高等数学（II ）试题（A ） 一 填空 （每小题3分 共15分 ） 1 曲面 221z x y =+- 在点 (2,1,4)的切平面的方程为___________。 2 设隐函数 (,) z z x y =是由方程 2 z y e x z e ++=确定的，则 _________0,0 z x y x ?===?。 3 设∑是平面 1x y z + +=在第一卦限部分， 则 ()__________x y z dS ∑ ++=??。 4 设 ()f x 周期为2π，且 ,0(),0 x e x f x x x π π?≤<=? -≤
高等数学(下)A附标准答案
湖北工业大学理学院2012-2013学年二学期 课程考试试卷答案(A 卷) 课程名称：高等数学 考试时间：120分钟 年级：xxx 级 专业：xxx 题目部分，（卷面共有20题，96分，各大题标有题量和总分） 一、选择（5小题，共15分） 1、设向量,-=+ A 、 -= B 、 += C 、 a b ?=0 D 、 a b ?=0 答案：C 2、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的： A 、必要而非充分条件； B 、充分而非必要条件； C 、充分必要条件； D 、既非充分又非必要条件。 答案：A 3、设Ω为半球体x 2+y 2+z 2≤R 2,z ≥0.f (t )是(－∞,+∞)上严格单调增加的奇函数，则 A 、 ()0f x z dv Ω+>??? B 、()0f x z dv Ω +α) A 、发散； B 、条件收敛；
C 、绝对收敛； D 、敛散性与α有关。 答案：C 二、填空（5小题，共15分） 6、椭球面x y z 22249361++=的三个半轴长分别为____，_____，_____。 答案：2，3，6 7、函数z x x y =+ln 22的间断点为???????。 答案：y 轴上的所有点。 8、函数z x y =+22在闭域D x y :+≤1上的最小值是_______。 答案：z z min (,)==000 9、根据二重积分的几何意义221D x y dxdy --??=___________.其中D ：x 2+y 2≤1. 答案：π 10、设3lim 1 =+∞→n n n a a ，则幂级数∑∞=02n n n x a 的收敛半径是。 答案：3 三、计算（7小题，共42分） 11、一平面与平面π1632120:x y z +++=平行，且到原点的距离为1，求此平面的方程。 答案：设所求平面方程为6320x y z D +++=， 则原点到此平面的距离为 d D D =++=36947。 由条件d =1，解得D =±7， 故所求平面为：63270x y z ++±= 12、求极限lim x y x xye xy →→-+00 416。
历年高等数学A(下)试卷和解答
福州大学工科《大学数学（三）》试题A （050113） 一．单项选择（每小题2分，共10分） 1．下列级数中为条件收敛的是（ ）。 （A ）1(1) n n +∞ =-∑ （B ）211(1)n n n +∞ =-∑ （C ）1 (1)(1)2n n n n i +∞=+-∑ （D ）211(1)ln(1)n n n +∞ =-+∑ 2．设[]()()F f t ω=F ，则[]()f t '=F （ ）()F ω。 （A ）ω- （B ）ω （C ）j ω （D ）j ω- 3．z =∞为函数1 ()sin f z z z =的（ ）。 （A ）一级极点 (B)二级极点 (C)可去奇点 (D)本性奇点 4．积分0sin t dt t +∞?=( )。 （A ）0 （B ）2 π （C ）π （D ）2π 5．方程52310z z +-=在12z <<内的根的数目为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 二．填空（每小题2分，共10分） 1．函数1 ()1 z f z e =-的极点z = 。 2．留数Res ,(1)z e z z ?? ∞? ?-?? = 。 3．设1,02 ()122,1 2 x x f x x x ?≤≤??=??-<
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目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵ 、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：
关于高等数学A一期末试题及答案
济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 高等数学A （一） 考试时间 2013 年 12 月 31 日 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-?10 2 11dx x 2 π . (5) =? ∞ +12 1 dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 2 1 . (2) 设x x x f tan )(= ，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=? )()(. (C) )0()())((0 f x f dt t f x -='?. (D) )())((0 x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21 -++--→x x x x x .解： ) 13)(2() 13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ (2) 22 )2(sin ln lim x x x -→ππ.解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2 22 x x x x x x x --=-→ →ππππ