2012年考研数学真题(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请

将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. (1) 曲线221

x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e

e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -

(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )

(A) 若极限00(,)lim x y f x y x y

→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2200(,)lim x y f x y x y

→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限00(,)lim x y f x y x y

→→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则极限2200

(,)lim x y f x y x y →→+存在 (4)设2

0sin (1,2,3)k x K e xdx k π==?I 则有 ( ) (A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<

(5)设1100C α?? ?= ? ???,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?= ? ???

,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的

为( )

(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα

(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ???

.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则

1Q AQ -= ( )

(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( ) (A)

15 (B) 13 (C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )

(A) 1 (B) 12 (C) 12

- (D)1- 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =

(10)2

0x =? (11)(2,1,1)()|z grad xy +y

= (12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2

y ds ∑

=?? (13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为

(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()

11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15) 证明2

1ln cos 1(11)12

x x x x x x ++≥+-<<- (16) 求函数222(,)x y f x y xe

+-=的极值 (17) 求幂级数22044321n n n n x n ∞=+++∑

的收敛域及和函数 (18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y t

π=?≤<<若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面

积。

(19) 已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d L

J x y x x x y y =++-?