初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式；
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7.因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法.
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：
一、提公因式法.
如多项式am+bm+cm=m(a+b+c),
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
二、运用公式法.
运用公式法，即用
a2-b2=(a+b)(a-b),
a2±2ab+b2=(a±b)2,
a3±b3=(a±b)(a2ab+b2)
写出结果．
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：am+an+bm+bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑
两组之间的联系。
解：原式=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！
=(m+n)(a+b)
思考：此题还可以怎样分组？
此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx
解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。第二、三项为一组。
解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by)
=2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b)
=(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y)
练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：x2-y2+ax+ay
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a)
例4、分解因式：a2-2ab+b2-c2
解：原式=(a2-2ab+b2)-c2
=(a-b)2-c2
=(a-b-c)(a-b+c)
注意这两个例题的区别！
练习：分解因式3、x2-x-9y2-3y4、x2-y2-z2-2yz
综合练习：（1）x3+x2y-xy2-y3（2）ax2-bx2+bx-ax+a-b
（3）x2+6x y+9y2-16a2+8a-1（4）a2-6ab+12b+9b2-4a
（5）a4-2a3+a2-9（6）4a2x-4a2y-b2x+b2y
（7）x2-2x y-xz+yz+y2（8）a2-2a+b2-2b+2ab+1
（9）y(y-2)-(m-1)(m+1)（10）(a+c)(a-c)+b(b-2a)
（11）a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)+2abc（12）a3+b3+c3-3abc
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：x2+5x+6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12
解：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2?313
=(x+2)(x+3)1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：x2-7x+6
解：原式=x2+[(-1)+(-6)]x+(-1)(-6)1-1
=(x-1)(x-6)1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式(1)x2+14x+24(2)a2-15a+36(3)x2+4x-5
练习6、分解因式(1)x2+x-2(2)y2-2y-15(3)x2-10x-24
（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2+bx+c
条件：（1）a=a a a c
1211
（2）c=c c a c
1222
（3）b=a c+a c b=a c+a c
12211221
分解结果：ax2+bx+c=(a x+c)(a x+c)
1122
例7、分解因式：3x2-11x+10
分析：1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：3x2-11x+10=(x-2)(3x-5)
练习7、分解因式：（1）5x2+7x-6（2）3x2-7x+2
（3）10x2-17x+3（4）-6y2+11y+10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：a2-8ab-128b2
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
解：a2-8ab-128b2=a2+[8b+(-16b)]a+8b?(-16b)
=(a+8b)(a-16b)
练习8、分解因式(1)x2-3xy+2y2(2)m2-6mn+8n2(3)a2-ab-6b2
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2x2-7x y+6y2例10、x2y2-3xy+2
1-2y把xy看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
解：原式=(x-2y)(2x-3y)解：原式=(x y-1)(x y-2)
练习9、分解因式：（1）15x2+7x y-4y2（2）a2x2-6ax+8
综合练习10、（1）8x6-7x3-1（2）12x2-11xy-15y2
（3）(x+y)2-3(x+y)-10（4）(a+b)2-4a-4b+3
（5）x2y2-5x2y-6x2（6）m2-4mn+4n2-3m+6n+2
（7）x2+4x y+4y2-2x-4y-3（8）5(a+b)2+23(a2-b2)-10(a-b)2（9）4x2-4x y-6x+3y+y2-10（10）12(x+y)2+11(x2-y2)+2(x-y)2思考：分解因式：abcx2+(a2b2+c2)x+abc
五、主元法.
例11、分解因式：x 2-3xy-10y2+x+9y-25-2
解法一：以x为主元2-1解：原式=x2-x(3y-1)-(10y2-9y+2)(-5)+(-4)=-9
=x2-x(3y-1)-(5y-2)(2y-1)1-(5y-2)
=[x-(5y-2)][x+(2y-1)]1(2y-1)
=(x-5y+2)(x+2y-1)-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)
解法二：以y为主元1-1解：原式=-10y2-y(3x-9)+(x2+x-2)12
=-[10y2+(3x-9)y-(x2+x-2)]-1+2=1
=-[10y2+(3x-9)y-(x-1)(x+2)]2(x-1)
=-[2y+(x-1)][5y-(x+2)]5-(x+2)
=-(2y+x-1)(5y-x-2)5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)
练习11、分解因式(1)x2-y2+4x+6y-5(2)x2+xy-2y2-x+7y-6
(3)x2+xy-6y2+x+13y-6(4)a2+ab-6b2+5a+35b-36
六、双十字相乘法。
定义：双十字相乘法用于对Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F型多项式的分解因式。条件：（1）A=a a，C=c c，F=f f
121212
（2）a c+a c=B，c f+c f=E，a f+a f=D
122112211221
即：a c f
111
a c f
222
a c+a c=B，c f+c f=E，a f+a f=D
122112211221
则Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=(a x+c y+f)(a x+c+f)
111222例12、分解因式（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2
（2）x2+xy-6y2+x+13y-6
解：（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2
应用双十字相乘法：x-5y2
x2y-1
2x y-5xy=-3xy，5y+4y=9y，-x+2x=x
∴原式=(x-5y+2)(x+2y-1)
。 ) - ( x + ) - 6] ( ∴原式= x 2 （t 2 -2) - t - 6] = x 2 2t 2 - t - 10
2 x 2 (2t - 5)(t + 2)= x 2
2 x + - 5 ? x + + 2 ?
1 x x = x ·
2 x + - 5 ?·x · x + + 2 ? = 2 x 2 - 5x + 2 x 2 + 2 x + 1)
2 1 x x 解：原式= x 2 x 2 - 4 x + 1 + ? = x 2 ?? x 2 + ? - 4 x - ? + 1? ( )
（2） x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13 y - 6 应用双十字相乘法： x - 2 y
3
x 3 y - 2
3xy - 2 x y = xy ， 4 y + 9 y = 13 y ， - 2 x + 3x = x
∴原式= ( x - 2 y + 3)( x + 3 y - 2)
练习 12、分解因式（1） x 2 + xy - 2 y 2 - x + 7 y - 6
（2） 6 x 2 - 7 x y - 3 y 2 - xz + 7 yz - 2 z 2
七、换元法。
例 13、分解因式（1） 2005 x 2 - (2005 2 - 1) x - 2005
（2） ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) + x 2
解：（1）设 2005= a ，则原式= ax 2 - (a 2 - 1) x - a
= (ax + 1)( x - a)
= (2005 x + 1)( x - 2005)
（2）型如 abcd + e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式= ( x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5x + 6) + x 2
设 x 2 + 5x + 6 = A ，则 x 2 + 7 x + 6 = A + 2 x ∴原式= ( A + 2 x ) A + x 2 = A 2 + 2 A x + x 2
= ( A + x) 2 = ( x 2 + 6 x + 6) 2
练习 13、分解因式（1） ( x 2 + xy + y 2 ) 2 - 4 x y( x 2 + y 2 )
（2） ( x 2 + 3x + 2)(4 x 2 + 8x + 3) + 90 （3） (a 2 + 1) 2 + (a 2 + 5) 2 - 4(a 2 + 3) 2
例 14、分解因式（1） 2 x 4 - x 3 - 6 x 2 - x + 2
观察：此多项式的特点——是关于 x 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称” 这种多项式 属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式= x 2
(2 x 2
- x - 6 - 1 1 +
x x 2
) = x 2 [2( x 2 + 1 1 x 2 x 1 1 设 x + = t ，则 x 2 + = t 2 - 2 x x 2
[
)
= ? 2 ?? ? ?
?? ? ? ? ? ? ( )(
? ? ? ? = ( x + 1) 2 (2 x - 1)( x - 2)
（2） x 4 - 4 x 3 + x 2 + 4 x + 1
? ?
4 1 ? ?? +
x x 2 ? ?? 1 ? ? 1 ? ? x 2 ? ? x ? ?
1 1
设 x - = y ，则 x 2 + = y 2 + 2
x x 2 ∴原式= x 2 y 2 - 4 y + 3 = x 2 (y - 1)(y - 3)
- 1)( x - - 3) = x 2 - x - 1 x 2 - 3x - 1)
?mn = -6
比较对应的系数可得： ?b - a = 5 ，解得： ?b = 3 或 ?b = -3
?ab = -6 ?m = 1 ?m = -1
= x 2( x -
练习 14、（1） 6 x 4 + 7 x 3 - 36 x 2 - 7 x + 6 （2） x 4 + 2 x 3 + x 2 + 1 + 2( x + x 2 )
八、添项、拆项、配方法。
例 15、分解因式（1） x 3 - 3x 2 + 4 解法 1——拆项。
解法 2——添项。
原式= x 3 + 1 - 3x 2 + 3
原式= x 3 - 3x 2 - 4 x + 4 x + 4
= ( x + 1)( x 2 - x + 1) - 3( x + 1)( x - 1) = x( x 2 - 3x - 4) + (4 x + 4) = ( x + 1)( x 2 - x + 1 - 3x + 3) = x( x + 1)( x - 4) + 4( x + 1) = ( x + 1)( x 2 - 4 x + 4)
= ( x + 1)( x 2 - 4 x + 4)
= ( x + 1)( x - 2) 2
= ( x + 1)( x - 2) 2
（2） x 9 + x 6 + x 3 - 3
解：原式= ( x 9 - 1) + ( x 6 - 1) + ( x 3 - 1)
= ( x 3 - 1)( x 6 + x 3 + 1) + ( x 3 - 1)( x 3 + 1) + ( x 3 - 1) = ( x 3 - 1)( x 6 + x 3 + 1 + x 3 + 1 + 1) = ( x - 1)( x 2 + x + 1)( x 6 + 2 x 3 + 3)
练习 15、分解因式（1） x 3 - 9 x + 8
（2） ( x + 1) 4 + ( x 2 - 1) 2 + ( x - 1) 4
（3） x 4 - 7 x 2 + 1
（4） x 4 + x 2 + 2ax + 1 - a 2
（5） x 4 + y 4 + ( x + y) 4
（6） 2a 2b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 - a 4 - b 4 - c 4
九、待定系数法。
例 16、分解因式 x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13 y - 6
分析：原式的前 3 项 x 2 + xy - 6 y 2 可以分为 ( x + 3 y )( x - 2 y) ，则原多项式必定可分为 ( x + 3 y + m )( x - 2 y + n )
解：设 x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13 y - 6 = ( x + 3 y + m )( x - 2 y + n )
∵ ( x + 3 y + m )( x - 2 y + n ) = x 2 + xy - 6 y 2 + (m + n) x + (3n - 2m ) y - mn ∴ x 2 + xy - 6 y 2 + x + 13 y - 6 = x 2 + xy - 6 y 2 + (m + n) x + (3n - 2m ) y - mn
?m + n = 1
?
?m = -2 对比左右两边相同项的系数可得 ?3n - 2m = 13 ，解得 ?
?n = 3 ?
∴原式= ( x + 3 y - 2)( x - 2 y + 3) 例 17、（1）当 m 为何值时，多项式 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果 x 3 +ax 2 + bx + 8 有两个因式为 x + 1 和 x + 2 ，求 a + b 的值。
（1）分析：前两项可以分解为 ( x + y)( x - y) ，故此多项式分解的形式必为 ( x + y + a)( x - y + b ) 解：设 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 = ( x + y + a)( x - y + b )
则 x 2 - y 2 + mx + 5 y - 6 = x 2 - y 2 + (a + b ) x + (b - a) y + ab
?a + b = m ?a = -2 ?a = 2 ? ? ?
? ? ? ∴当 m = ±1 时，原多项式可以分解；
当 m = 1时，原式= ( x + y - 2)( x - y + 3) ；
∴ ?b = 2 + 3c ，解得 ?b = 14 ， ?2c = 8 ?c = 4 当 m = -1 时，原式= ( x + y + 2)( x - y - 3)
（2）分析：x 3 +ax 2 + bx + 8 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如 x + c 的一次二项式。
解：设 x 3 +ax 2 + bx + 8 = ( x + 1)( x + 2)( x + c)
则 x 3 +ax 2 + bx + 8 = x 3 +(3 + c) x 2 + (2 + 3c) x + 2c
?a = 3 + c ?a = 7 ? ?
? ?
∴ a + b =21
练习 17、（1）分解因式 x 2 - 3xy - 10 y 2 + x + 9 y - 2 （2）分解因式 x 2 + 3xy + 2 y 2 + 5x + 7 y + 6 （3）已知： x 2 - 2 x y - 3 y 2 + 6 x - 14 y + p 能分解成两个一次因式之积，求常数 p 并且分解因式。 4） k 为何值时， x 2 - 2 x y + ky 2 + 3x - 5 y + 2 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。