高考数学玩转压轴题专题4.1复杂的三视图问题

专题4.1 复杂的三视图问题

一．方法综述

三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.

三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.

还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱

柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.

根据几何体的三视图确定直观图的方法：

（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；

（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；

（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；

（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；

（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱。

对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体。二．解题策略

类型一构造正方体（长方体）求解

【例1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体三视图，则该几何体的体积为（ ） 64.A 364.B 16.C 3

16.D 【答案】 D

【指点迷津】由三视图求几何体的体积是高考常考内容，关键有三视图得到原几何体。由三视图可在棱长为4的正方体中截得该几何体三棱锥。 【举一反三】

1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A.

16 B.13 C.1

2

D.1 【答案】 B

【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC ，其中点A 为中点，所以

6

1

1112131V ABC -P =????=。故选B 。

2、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

34.A 3

8

.B 328.C 324.D 【答案】B

3、【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A ）32（B ）23（C ）22（D ）2 【答案】B

【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD ，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以该四棱锥的最长棱的长度为32222222=++=l 。故选B 。

类型二 旋转体与多面体组合体的三视图

【例2】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是

28π

3

，则它的表面积是( ) A.17π

B.18π

C.20π

D.28π

【举一反三】

1、(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )

A. 13＋23π

B.13＋23π

C.13＋26π

D.1＋26

π 【答案】 C

【解析】由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为2

2

，从而该几何体的体积为13×12

×1＋12×43π×? ????223＝13＋26π.故选C 。

2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A、1

3

π

+ B、

2

3

π

+C、

1

2

3

π

+ D、

2

2

3

π

+

【答案】A

【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2

1111

12(12)1

2323

Vππ

=??+?????=+，故选A.

类型三与三视图相关的外接与内切问题

【例3】如图，一个三棱锥，它的三视图如图，求该棱锥的（Ⅰ）全面积；（Ⅱ）内切球体积；（Ⅲ）外接球表面积．

【答案】(1) 2

12

48+；(2)

343

)2

4(

363π

-

；(3)

4

289π

．

（3）设外接球球心M，半径R,M在高PE所在直线上，因为4<32

所以()(2

22

432

R R

-+=,解得R=

17

4

，所以外接球表面积为

4

289π

。

6

4

3

6

6

3

俯视图

6

4

3

侧视图

【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取三棱锥ABC

P-中的位置关系和数量关系，从而求得三棱锥的全面积.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径。

【举一反三】

1、如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

π

200

.Aπ

150

.Bπ

100

.Cπ

50

.D

【答案】 D

2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )

A．23π B. 8

3

π

C．43 D.

16

3

π

【答案】 D

【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面ADC⊥平面ABC,△ADC为等边三角形.取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DE⊥AC,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥EB.由图中数据知

AE=EC=EB=1,DE= ,AD= =2=DC=DB,AB=BC= ,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为

O,则它落在高线DE上,连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+OE2,AO=DO=DE-OE= -OE,所以AO= ,故球O的

半径为,故所求几何体的外接球的表面积S=4π()= π,故选D.

3、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )

A．12π B．43π C．3π D．123π

类型四与三视图相关的最值问题

【例476的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为

（A）2（B）3（C）4 （D）5

【答案】 C

【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面。根据题意，用长方体的棱

长表示a+b ，用不等式22

22a b a b ++≤

求其最值。

【举一反三】

1、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ） A.32 732.B C.64 764.D 【答案】C

【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，

其中，

平面

，B D CD ⊥。作，BD //EC ，且

、交于点，连接，则

。设

，根据图中的几何关系，有

，，两式联立消去得

，再由均值不等式

，得

。

故选C 。

2、若某几何体的三视图如图所示，这个几何体中最长的棱长为 ，几何体的体积为 。

【答案】33，

316

3、某三棱锥的三视图如图所示． （1）该三棱锥的体积为__________．

（2）该三棱椎的四个面中，最大面的面积是__________．

【答案】 8 234

【解析】三棱锥的底面积13462S =??=，11

64833

V Sh ==??=， 其四个面的面积分别为

113462S =??=，22211533422S =??+=，2231

434102

S =??+=，

(

)2

2

4

1

42522234

2

S=??-=，∴面积最大为234．

三．强化训练

1．【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

（A）62（B）6（C）62（D）4

【答案】 B

4

C

A B

D

2.【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

【答案】A

【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为()118

2224412333

ππ???+??=+，故选A 。

3.【2018广西贺州桂梧高中联考】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ） A.

163 B. 8 C. 203

D. 12 【答案】C

4.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A ．10

B ．12

C ．14

D ．16

【答案】B

【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内

只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为1

2(24)2122

?+??

=，故选B. 5、一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为9π，则它的表面积是( )

A ．27π

B ．36π

C ．45π

D ．54π

【答案】C

6、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的棱长不可能为（ ）

A 、34 41.

B 23.

C 17.D

【答案】 C

【解析】由三视图可在正方体中截得该几何体，其中A A 4

1

G A 11=

，正方体棱长为4，所以GB=5，BC=4，41932AG AC GC 22=+=+=，34B D 24C D 17G D 111===，，。所以不可能为23。故

选C 。

7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________. 【答案】13

6

π

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3

）是

A ．

12

+π

B ．

32+π C ．12

3+π D ．

32

3+π

【答案】A

【解析】该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组成的几何体，高都是3，

12

)122121(3312+=??+???=ππV ，选A ．

9.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .

【答案】π

22

+

10、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

俯视图

侧视图

正视图

3

1

1

【答案】

11、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A.

16

3

π B.

19

3

π C.

19

12

π D.

4

3

π

【答案】 B