高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法

例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322

?-=+的最大值和最小值．

解析：34)3

22(32

+

--=x

y ，当01≤≤-x 时，122

1≤≤x

．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3

4max =

y ． 二、判别式法

对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值． 例２：已知012442

2

=-++-x x xy y ，求y 的最值．

解析：由已知，变形得0)1()12(242

2

=-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有

0)1(16)12(422≥---y y 故 4

5≤

y ． 因此 4

5

max =

y ，无最小值． 例3：若x 、R y ∈且满足：022

2

=-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2

2

=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有

0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤

x ．即 8

1max =x ． 同理，0)()12(2

2

=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有

0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8

1

min -=y ．

注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法

例4：已知函数1

1

3452

2+++=x x x y ，求y 的最值． 解析：函数式变形为：0)1(34)5(2

=-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ，

0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．

因此 7max =y ，1min -=y ． 例5：已知函数)(1

2R x x b

ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01

2

22

=-+-?+=+?++=

b y ax yx b ax y yx x b ax y

∵R x ∈ ∴0)(4)(2≥---=?b y y a ，即0442

2≤--a by y

由题意：0430)4)(1(]4,1[2

≤--?≤-+?-∈y y y y y 0161242

≤--?y y 所以124=b ，162

=a ，即3=b ，4±=a

注意：判别式求函数的值域或已知值域求参数，把转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥?，从而求得原函数的值域或参数的值.形如

2

2221

121c x b x a c x b x a y ++++=

(1a 、2a 不同时为0)，常用此法求得 例6：在2

0π

≤

≤x 条件下，求2

)sin 1()

sin 1(sin x x x y +-=

的最大值．

解析：设x t sin =，因0(∈x ，

)2

π

，故 10≤≤t ，则2

)

1()

1(t t t y +-=

即 0)12()1(2

=+-++y t y t y

因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2

≥+--=?y y y 即 8

1≤y 将81=

y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以8

1max =y 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2

=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将8

1

=

y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、代换法 (一)局部换元法 例7：求函数4

2

2++=

x p x y 的最值．

解析：令42

+=x t ，则2≥t ，函数t

p t x p x y 4

4

22-+

=++=

当8≥p 时，424

-≥-+

=p t

p t y ，当4-=p t 时取等号

当8

()4(2

21121t p t t p t y y -+--+

=-＝+-)(21t t

)(41221t t t t p --＝)4

1)((2121t t p t t ---，因为 212t t <≤，8

-=-t t p t t y y ，所以t

p t y 4

-+=在[2，)∞+递增． 故 2

242p p y =-+

≥ 所以 当8≥p 时，42min -=p y ，无最大值； 当8

min p

y =

，无最大值． 例8：求函数x x y 21-+=的最值．

解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2

1

2≤+--=t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值． 例9：已知20≤

≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．

解析：2

)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin

则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2

12

2-++=a a t y

当2=

t 时，2122max +

+=a a y ；当a t -=时，)1(2

12

min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．

(二)三角代换法(有时也称参数方程法)

例10：已知x 、y R ∈，412

2

≤+≤y x ．求2

2

y xy x u ++=的最值． 解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)

因 412

2

≤+≤y x ，故 412

≤≤t

)2sin 2

1

1()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u

故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12

=t 且12sin -=θ时，2

1max =

u ． 例11：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设2

2y x S +=，则

max

1S +

m in

1S =____

解析：令αcos S x =，αsin S y =，则

5sin cos 54=-ααS S

ααα2sin 2545

cos sin 545-=

-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，1310

2

545min =+

=y ．

所以

5

8101310311min

max

=+=

+

S S ． 例12：求函数x x a y )(2

2

-= (a x ≤||)的最值．

解析：令αcos a x =，则ααααcos sin cos sin 2

322a a a y =?=

又令ααcos sin 2=t ，则ααααα22224

2cos 2sin sin 2

1cos sin

??==t

274

)3cos 2sin sin (213222=++≤ααα

932932≤≤-

∴t 即有 3

39

32932a y a ≤≤- 所以3

max 9

32a y =

，3min 932a y -= 注意：利用重要不等式时，要满足“一正二定三相等” 例13：已知x 、y R ∈且x y x 6232

2

=+，求y x +的最值．

解析：化x y x 6232

2

=+为123)1(22

=+-y x ，得参数方程为??

?

?

?=+=θθsin 26cos 1y x )sin(210

1sin 26cos 1?θθθ++=+

+=+∴y x 故 2101)(max +=+y x ，2

101)(min -=+y x ． (三)均值换元法

例14：已知1=+b a ，求证：4

4b a +的最小值为

8

1

．

解析：由于本题中a 、b 的取值围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们

可以令t a +=

21，t b -=2

1

，(R t ∈)，则 222222222244)2

1

()21(2])21()21[(2)(t t t t b a b a b a -+--++=-+=+

222

2)41(2)221(t t --+=

)281()4241(4

242t t t t +--++=

8

123814

2≥++=t t

∴4

4b a +的最小值为81．在0=t 即2

1==b a 时取等号

四、三角函数有界法

对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x 例15：求函数x x y 2

cos 22sin -=的最值． 解析：1)4

2sin(212cos 2sin cos 22sin 2

--=--=-=π

x x x x x y

因为 1|)4

2sin(|≤-π

x ，故

当1)42sin(=-

π

x 时，12max -=y ；当1)4

2sin(-=-π

x 时，12min --=y ． 五、均值不等式法

例16：在任意三角形求一点，使它到三边之积为最大．

解析：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，三角形一点P 到三边的距离分别为x 、y 、z

S cz by ax 2=++ (定值) 3

)3

(cz by ax cz by ax ++≤??∴

即 abc

S xyz 2783

≤ (cz by ax ==时取等号)

因此，当此点为三角形的重心时(这时PAB ?、PBC ?、PAC ?面积相等)，它到三边之积为最大．

例17：有矩形的铁皮，其长为30cm ，宽为14cm ，要从四角上剪掉边长为x cm 的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

解析：依题意，矩形盒子底边长为)230(x - cm ，底边宽为)214(x - cm ，高为x cm ．

∴盒子容积x x x x x x x V )7)(15(4)214)(230(--=--＝ (显然：015>-x 、07>-x 、

0>x )

设x bx b ax a ab

V )7)(15(4

--=

0(>a ，)0>b 要用均值不等式．则 ??

?=-=-=+--x bx b ax a b a 71501 解得：41=a ，43

=b ，3=x ．从而 576)4

3421)(4415(364≤--=

x x

x V 故矩形盒子的最大容积为576 3

cm ． 也可：令bx x ax a ab V )7)(15(4--=

或bx ax a x ab

V )7)(15(4

--= 注意：均值不等式应用时，要注意等号成立的条件(一正二定三相等)，当条件不满足时要灵

活运用拆项、凑项、凑系数、平方等技巧凑配系数，适当时可以用待定系数法来求． 例18：已知1sin sin sin 2

2

2

=++γβα(α、β、γ均为锐角)，那么γβαcos cos cos 的最大值等于__________

解析：因α、β、γ均为锐角，所以γβαcos cos cos γβα222cos cos cos =

9

6

2)3sin 1sin 1sin 1()3cos cos cos (32223222=

-+-+-=++≤γβαγβα 当且仅当3

1

sin sin sin

222

=

==γβα时取等号，故γβαcos cos cos 的最大值为9

6

2． 例19：求函数x b x a y 2

2cos sin +=

的最小值(a 、b +

∈R )． 解析： x

b

x a y 2

2sin sin +=x x ab b a x b b x a a 2222cot tan 2tan cot ++≥+++= ab b a 2++=

当且仅当x btg x actg 2

2= 即 b

a

x tg =

2

时，函数y 取得最小值ab b a 2++ 六、单调性法

(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值 例20：求函数x x y cos 1sin 1+=

在0(，)2

π的最小值．

解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x

x x x x x x x x y 当4

π=

x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以

22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y

另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断 (二)形如x

b

a x y +=

的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］递增，在ab -[，)0递减， 在0(，ab ］递减，在ab [，)∞+递增． (2) 0b 时，函数在-∞(，)0递减，在0(，)∞+递减． (4) 0>a ，0

例21：求函数x

x x x y 2

22

2

cos sin 161

cos sin 4+

=的最值． 解析：函数x x x x y 2222cos sin 161cos sin 4+=x

x 2sin 412sin 22

+

= 令x t 2sin 2

=，则0[∈t ，]1，于是 t t y 41+=在0(，]21递减，在2

1[，]1递增．

所以当21=t ，即8

1cos sin 2

2=x x 时，1min =y ；无最大值．

例22：求函数x

x

x y sin 1cos sin 22+-=的最大值．

解析：y )1

sin 2

()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=

x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤

t y 2

-+

=在0(，)∞+递增．所以在0(，]2也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ． 七、平方开方法