近四年上海高考解析几何试题
近四年上海高考解析几何试题
近四年上海高考解析几何试题一(填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
5221 ( 2005春季7 ) 双曲线的焦距是 . 9x,16y,162 (2005年3) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的A(1,2)P(x,y)xoyOP,OA,4轨迹方程是
__________。解答:设点P的坐标是(x,y)，则由知OP,OA,4
x，2y,4,x，2y,4,0
3 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是，，y,,3x10,0
b__________。解答:由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，，y,,3x,310,0a
2y222，因此双曲线的方程是 a,1,b,3x,,1a，b,109
,,，x12cos,4 (2005年6) 将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是
__________。 ,,y,2sin,,
22解答: (x,1)，y,4
2225 (2006春季5) 已知圆和直线. 若圆与直线没l:3x，y，5,0C:(x，5)，y,r(r,0)Cl有公共
r 点，则的取值范围是 . (0,10)
6 (2006春季11) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐
P(2,1)yxlA、BO标原
点，则三角形面积的最小值为 . 4. OAB
227 (2006年2) 已知圆,4,4，,0的圆心是点P，则点P到直线,,1,0的距离yxxyx
是 ;
|201|,,2 解:由已知得圆心为:，由点到直线距离公式得:; P(2,0)d,,211，8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(,2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则3
该椭圆的标准方程是 ;
2b,4,
2,abc,,2,23,2y,,x2解:已知为所
求; ,,,,，,a161,,222164abc,,,,,F(23,0),,,
,5,9 (2006年8)在极坐标系中，O是极点，设点A(4，)，B(5，,)，则?OAB的面积是 ; 36
,,,55 解:如图?OAB中， ,,，,,,,,OAOBAOB4,5,2(()),366
15, (平方单位); ,,,S45sin5,AOB26
210 (2006年11) 若曲线,||，1与直线,，没有公共点，则、分别应满足的条件yyxkxbkb
是 (
xx，,1,0,2 解:作出函数的图象， yx,，,||1,,，,xx1,0,
如右图所示:所以，; kb,,,0,(1,1)
211 (2007春季6) 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线的焦点的距离xOyy,4x为6，
则点P的横坐标 . 5. x,
212 (2007春季7) 在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共xOyx,4,yx,m点，则
实数 . 2. m,
13 (2007年2) 若直线与直线平行，则lxmy: 210，，,lyx:,,3112
2 ( m,,3
22xy14 (2007年8) 以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程,,145
是
2 ( y,12(x，3)
2215 (2007年11) 已知P为圆上 x，(y,1),1
任意一点(原点除外)，直线 OOP
的倾斜角为弧度，记( d,|OP|,
在右侧的坐标系中，画出以()，d ,
为坐标的点的轨迹的大致图形为
22xy16 (2008春季7) 已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为P,,12a9
. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 . PF,3PF,FF、530xy,,2112
17 (2008春季12) 已知，直线:和. 设l:lxly,,0,:0AB(1,2),(3,4)x，
3y,,10123
3是上与两点距离平方和最小的点，则?的面积是 BPlPPPA、(1,2,3)i,ii1232二(选择题:每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
218 (2005年15) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标y,4x
之和等于5，则这样的直线
( B )
A(有且仅有一条 B(有且仅有两条 C(有无穷多条 D(不存在
2解答:的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1)将(1)代入抛物线方
y,4xy,k(x,1)k,0
2222程可得，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是 kx,(2k，4)x，k,0
22423k，2534，选B ,,k,,k,,23k
219 (2006春季13) 抛物线的焦点坐标为 y,4x
( B )
(A). (B). (C). (D). (0,1)(1,0)(0,2)(2,0)
22yx20 (2006春季15) 若，则“”是“方程表示双曲线”的
( A ) ,,1k,Rk,3k,3k，3
(A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.
(C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.
22xy21 (2008春季14) 已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为4，则等于
( D ) ，,1my102,,mm
(A)4. (B). (C). (D). 587
三(解答题:解答下列各题必须写出必要的步骤.
22 ( 2005春季22) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分.
第3小题满分5分.
(1)求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程; (2,0)(,2,,2)
22yx(2)已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，A(a,b,0)、B，,1CkCl22ab
的中点为. 证明:当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上; ABMMl
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步
骤，并在图中标出椭圆的中心.
22yx[解](1)设椭圆的标准方程为，，，,1a,b,022ab
22yx22 ? ，即椭圆的方程为，，,1a,b，422b，4b
4222 ? 点()在椭圆上，? ，解得或(舍)，，,1,2,,2b,4b,,222b，4b
22yx2 由此得，即椭圆的标准方程为. …… 5分，,1a,884
[证明](2)设直线的方程为，…… 6分 y,kx，ml
ykxm,，,,22 与椭圆的交点A()、B()，则有， x,yx,yCyx,1122，,122,ab, 222222222 解得， (b，ak)x，2akmx，am,ab,0
2222222222 ? ，? ，即 . ,b，ak,m,b，ak,,0m,b，ak
222akm2bm则， x，x,,,y，y,kx，m，kx，m,121212222222b，akb，ak
22,,akmbm,, ? MAB中点的坐标为. …… 11分 ,,222222,,，，bakbak,,
22MAB ? 线段的中点在过原点的直线上. …… 13分 bx，aky,0
[解](3)
如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，ABABC、DCDM、N连接直线;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和，并C、DABMN1111分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆CDMNMNABM、NMNO1111111111中心. …… 18分
23 (2005年19)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分(
22xy 如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，AB，,13620
点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，( PAPF,x
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于
，求椭圆上的点到点M的距离的最小值( MBd
[解](1)由已知可得点A(,6，0)，F(4，0)
设点P的坐标是，由已知得 (x,y),则AP,{x，6,y},FP,{x,4,y}
22,xy，,13,2 则2x，9x,18,0,x,或x,,6.3620,22,(x，6)(x,4)，y,0,
3535由于 y,0,只能x,,于是y,3,？点P的坐标是(,3).2222
(2)直线AP的方程是设点M的坐标是(m，0)，则M到直线AP的距离x,3y，6,0.
|m，6|是， 2
|m，6|于是椭圆上的点到点M的距离d有 (x,y),|m,6|,又,6,m,6,解得m,2,2 549222222 d,(x,2)，y,x,4x，4，20,x,(x,)，15,992
9由于 ,6,x,6,？当x,时,d取得最小值15.2
24 (2006春季20) (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针
22yx方向)的轨迹方程为，变轨(即航天器运行轨迹，,110025
由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、
64,, 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟D(8,0)A(4,0)、B(6,0)M0,,,7,,
踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;
(2)试问:当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天xA、B
器发出变轨指令,
642[解](1)设曲线方程为， y,ax，7
641由题意可知，0,a,64，. .……4分？a,,77
1642 曲线方程为. ……6分？y,,x，77
(2)设变轨点为，根据题意可知 C(x,y)
22,yx，,1,(1),,10025 ,1642,,,，,(2)yx,77,
92得，或y,,(不合题意，舍去). y,44y,7y,36,04
. ……9分？y,4
得或(不合题意，舍去). 点的坐标为，……11分 (6,4)？x,6x,,6C
.答:当观测点测得距离分别为时，应向航天器|AC|,25,|BC|,425、4A、BAC、BC
发出变轨指令. (14)
分
25 (2006年20)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
2在平面直角坐标系O中，直线与抛物线,2相交于A、B两点( yxyxl,,,,,,
(1)求证:“如果直线过点T(3，0)，那么,3”是真命题; lOA,OB
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由(
2[解](1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y=2x于点A(x,y)、B(x,y). l1122 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点
A(3,)、B(3,lll6
,). ?=3; 6OA,OB
2yx,2, 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由
ykx,,(3)llk,0,ykx,,(3),
11222得又 ? ， xyxy,,,kyykyy,,,,,,260611221222
12 ?， OAOBxxyyyyyy,，,，,()3121212124
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题; lOA,OB
2(2)逆命题是:设直线交抛物线y=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点
T(3,0).lOA,OB
1该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3, OAOB2 2直线AB的方程为:，而T(3,0)不在直线AB上; yx,，(1)3
2说明:由抛物线y=2x上的点A (x,y)、B (x,y) 满足=3，可得yy=,6，或
yy=2， OA,OB11221212
如果yy=,6，可证得直线AB过点(3,0); 12
如果yy=2，可证得直线AB过点(,1,0),而不过点(3,0). 12
26 (2007春季17. (14分) 求出一个数学问题的正确结论后～将其作为条件之一～提出与原来问题有关的新问题～我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如～原来问题是“若正四棱锥底面边长为4～侧棱长为3～求该正四棱锥的
体积”.求出体1616积后～它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4～体积为～求侧棱长”,33
16也可以是“若正四棱锥的体积为～求所有侧面面积之和的最小值”. 3
试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个
xOyP(2,1)3x，4y,0有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
评分说明:
(?) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (?) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.
|3,2，4,1|[解] 点到直线的距离为. …… 4分 (2,1)3x，4y,0,2223，4
“逆向”问题可以是:
(1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 3x，4y,0
|3x，4y| [解] 设所求轨迹上任意一点为，则， P(x,y),25
所求轨迹为或. …… 14分 3x，4y,10,03x，4y，10,0
(2) 若点到直线的距离为2，求直线的方程. …… 10分 P(2,1)l:ax，by,0l
|2a，b|2 [解] ，化简得，或， ,24ab,3b,0b,04a,3b22a，b
所以，直线的方程为或. …… 14分 3x，4y,0lx,0
意义不大的“逆向”问题可能是:
(3) 点是不是到直线的距离为2的一个点, …… 6分 P(2,1)3x，4y,0
|3,2，4,1| [解] 因为， ,2223，4
是到直线的距离为2的一个点. ……10分所以点P(2,1)3x，4y,0
(4) 点是不是到直线的距离为2的一个点, …… 6分 Q(1,1)3x，4y,0
|3,1，4,1|7 [解] 因为， ,,22253，4
所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 Q(1,1)3x，4y,0
(5) 点是不是到直线的距离为2的一个点, …… 6分 P(2,1)5x，12y,0
|5,2，12,1|22 [解] 因为， ,,222135，12
所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 P(2,1)5x，12y,0
27 (2007春季18)(14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，在直角坐标系中，设椭圆 xOyy
22yx的左右两个焦点 C:，,1(a,b,0)22ab
分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭F、FFxl122x 圆相交，其中一个交点为. ，，M2,1C
(1) 求椭圆的方程; C
(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求?的面积.
B(0,,b)FBNBFCCN21
y [解] (1) [解法一] 轴，的坐标为.…… 2分，，？l,x？F2,02
21,2,，,1,,4,a,22 由题意可知得 ,,abx 2b,2.22,,ab,,2,,
22yx？所求椭圆方程为. …… 6分，,142
[解法二]由椭圆定义可知
. 由题意，. …… 2分 MF，MF,2aMF,1？MF,2a,11221
22又由?可知，， MFF，，(2a,1),22，1Rta,012
22yx222？，又，得. 椭圆的方程为. …… 6分？a,2a,b,2b,2C，,142
(2)直线的方程为. …… 8分 BFy,x,22
,,,2,yx2,22由得点的纵坐标为. …… 10分 N,yx3，,1,,42,
,,128,,又，. …… 14分 222FF,22？S,，，，,12,FBN1,,233,,
28 (2007年21)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分(
2222xyyx我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作
“果，,1(0)x?，,1(0)x?2222abbc
222圆”，其中，，( a,b，ca,0b,c,0
如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的FyFFAABBx1212021
y 交点( B2
(1)若是边长为1的等边三角形，求?FFF012 . F2“果圆”的方程; . x F O bAA012, (2)当时，求的取值范围; AABB. 1212a F1
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” B1的弦(试研究:是否存在实数，使斜率为的“果圆” kk
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上,若存在，求出所有可能的值;若不存在，说明理由( k
2222？解:(1) ， FcFbcFbc(0)00，，，，，,,,，，，，012
22222？,,，,,,,,FFbccbFFbc121，，，，0212
374222222 于是，所求“果圆”方程为，cabc,,，,，xyx，,1(0)?447
422( yxx，,1(0)?3
22(2)由题意，得，即( a,b,2b,aa，c,2b
b42222222 ，，得,( ？(2b),b，c,a？a,b,(2b,a)a5
21,,bb242222, 又( ( b,c,a,b？,？,，,,2,,a252a,,
2222xyyx (3)设“果圆”的方程为，( ，,1(0)x?，,1(0)x?C2222abbc
( 记平行弦的斜率为k
22xy当时，直线与半椭圆的交点是 ytbtb,,()??，,1(0)x?k,022ab
2222,,,,yxtt，与半椭圆的交点是
( P，,1(0)x?Qat1,，,,ct1，,,,,2222,,,,bcbb,,,,
2,22act,xy,x,,1,2 的中点满足得 ( ？MPQ，
()xy，，,1,2b22ba,c,,,yt,，,,,2,,
2acacbacb,,,,，22,,2 ， ( ？？a,2b,,,b0,,222,,
综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上( k,0
22xy 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是B，,1(0)x?k,0kl122ab
2223,,2kabkabb,( ，,,222222kabkab，，,,
2b 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一
椭y,,xlk2ka圆上(
当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上( k,0
29 (2008春季18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系中，分别为直线与xOyAB、xy，,2
2轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点F到直线的
ABABypxp,,2(0)CCxy、
距离.
[解] 由已知可得，…… 3分 ABC(2,0),(0,2),(1,1)
2 解得抛物线方程为. …… 6分 yx,
1,, 于是焦点. …… 9分 F,0,,4,,
1，,02724？F 点到直线AB的距离为. …… 12分 ,82
30 (2008春季22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，
第2小题满分6分，
第3小题满分8分.
2 已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为zxbxc，，,20
. Pzz(Re,Im)z
22(1)若在直线上，求证:在圆:上; PC(1)1xy,，,(,)bc20xy，,z1
222(2)给定圆:(，)，则存在唯一的线段满足:?若P()xmyr,，,sCmr、,Rr,0z
在圆上，则在线段上;? 若是线段上一点(非端点)，则在圆上. 写
ssPC(,)bc(,)bcCz
的表达式，并说明理由; 出线段s
(3)由(2)知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一(表sC
中是(1)中圆的对应线段). sC11
22[证明](1)由题意可得，解方程，得，……
zbbb,,,,,2i20bc，,xbxb，,,2202分
22 点或，？Pbbb,,,,2Pbbb,,,,,2，，z，z，
22 将点代入圆的方程，等号成立，在圆:上. …… 4分？PCPC(1)1xy,，,z1z1
22(2)[解法一] 当，即时，解得， ,,0zbcb,,,,ibc,
22 ？点或， Pbcb,,,Pbcb,,,,，，z，z，
22222 由题意可得，整理后得，…… 6分 (),,，,,bmcbrcmbrm,,，,2
2222 ，， . ,,,,40bc()bmcbr，，,,？,,,,，bmrmr(,)，，
22 ？线段为: ，. scmbrm,,，,2bmrmr,,,,，[,]
若是线段上一点(非端点)，则实系数方程为 s(,)bc
222. xbxmbrmbmrmr，,，,,,,,,，220,(,)
2222此时，且点、在圆上.…… 10,,0CPbrbm,,，,()Pbrbm,,,，,()，，z，z，分
2 [解法二] 设是原方程的虚根，则， (i)2(i)0xybxyc，，，，,zxy,，i
xb,,,?,解得 ,22yxbxc,，，2,?,
222 由题意可得，. ? ()xmyr,，,
22 解?、?、? 得. …… 6分 cmbrm,,，,2
以下同解法一.
[解](3)表一
线段与线段的关系 ssmr、的取值或表达式得分 1 ssm,1所在直线平行于所在直线 r,11， 12分
22ss， rm,,,(1)1m,1所在直线平分线段 115分
22 145，,mrs，，线段与线段长度相等 s118分
近四年上海高考解析几何试题
近四年上海高考解析几何试题 近四年上海高考解析几何试题一(填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 5221 ( 2005春季7 ) 双曲线的焦距是 . 9x,16y,162 (2005年3) 直角坐标平面中，若定点与动点满足，则点P的A(1,2)P(x,y)xoyOP,OA,4轨迹方程是 __________。解答:设点P的坐标是(x,y)，则由知OP,OA,4 x，2y,4,x，2y,4,0 3 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是，，y,,3x10,0 b__________。解答:由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，，y,,3x,310,0a 2y222，因此双曲线的方程是 a,1,b,3x,,1a，b,109 ,,，x12cos,4 (2005年6) 将参数方程(为参数)化为普通方程，所得方程是 __________。 ,,y,2sin,, 22解答: (x,1)，y,4 2225 (2006春季5) 已知圆和直线. 若圆与直线没l:3x，y，5,0C:(x，5)，y,r(r,0)Cl有公共 r 点，则的取值范围是 . (0,10) 6 (2006春季11) 已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐 P(2,1)yxlA、BO标原 点，则三角形面积的最小值为 . 4. OAB 227 (2006年2) 已知圆,4,4，,0的圆心是点P，则点P到直线,,1,0的距离yxxyx
是 ; |201|,,2 解:由已知得圆心为:，由点到直线距离公式得:; P(2,0)d,,211，8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(,2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则3 该椭圆的标准方程是 ; 2b,4, 2,abc,,2,23,2y,,x2解:已知为所 求; ,,,,，,a161,,222164abc,,,,,F(23,0),,, ,5,9 (2006年8)在极坐标系中，O是极点，设点A(4，)，B(5，,)，则?OAB的面积是 ; 36 ,,,55 解:如图?OAB中， ,,，,,,,,OAOBAOB4,5,2(()),366 15, (平方单位); ,,,S45sin5,AOB26 210 (2006年11) 若曲线,||，1与直线,，没有公共点，则、分别应满足的条件yyxkxbkb
高中数学解析几何中的基本公式
解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比 为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --= λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 21211k k k k +-，]2 ,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
浙江高考数学复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题学案
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题 高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真 题 感 悟 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO → ，求证：1λ＋1μ 为定值. 解 (1)因为抛物线y 2 ＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2 ＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由? ????y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2 ×1>0， 解得k <0或0 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴， 则=AB 。 y //AB 轴， 则=AB 。 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为 λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 第十一讲 解析几何范围最值问题 解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 一、几何法求最值 【例1】 抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足＋＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线的方程； (2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值． [满分解答] (1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)． 由????? y ＝kx －2，x 2＝－2py ， 得x 2＋2pkx －4p ＝0 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 所以＋＝(－4，－12)，所以??? ? ? －2pk ＝－4，－2pk 2 －4＝－12， 解得? ???? p ＝1，k ＝2.故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y . (2)设P (x 0，y 0)，依题意，知当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大． 对y ＝－12x 2求导，得y ′＝－x ，所以－x 0＝2，即x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，即P (－2，－2)． 此时点P 到直线l 的距离d ＝ |2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2 ＝45＝4 5 5. 由? ???? y ＝2x －2， x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，则x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4， |AB |＝ 1＋k 2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋22·(－4)2－4·(－4)＝4 10. 于是，△ABP 面积的最大值为12×4 10×4 55＝8 2. 二、函数法求最值 【示例】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝ 2 3 ，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程； (2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由． (1)由e ＝c a ＝ a 2－ b 2 a 2＝ 23，得a ＝3 b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2 b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2， 2（2019黄浦一模）. 双曲线2 2 12 y x -=的渐近线方程为 2（2019奉贤一模）. 双曲线22 13y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =u r ，则u v = 2（2019金山一模）. 抛物线24y x =的准线方程是 2（2019浦东一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标为 3（2019杨浦一模）. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为 4（2019静安一模）. 若直线22(273)(9)30a a x a y -++-+=与x 轴平行，则a 的值是 4（2019普陀一模）. 若直线l 经过抛物线2 :4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r ， 则直线l 的方程为 5（2019徐汇一模）. 已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >） 的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是 6（2019崇明一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是 6（2019松江一模）. 已知双曲线标准方程为2 213 x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 7（2019闵行一模）. 已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离 为 7（2019崇明一模）. 圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 8（2019虹口一模）. 双曲线22 143 x y -=的焦点到其渐近线的距离为 8（2019奉贤一模）. 椭圆2214x y t +=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 9（2019静安一模）. 以两条直线1:20l x y +=和2:350l x y ++=的交点为圆心，并且与直线315x y ++相切的圆的方程是 12（2019徐汇一模）. 已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22 :(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分 别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是 椭圆22 194 x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ?+?u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为 12（2019黄浦一模）. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为 3 π 的两条直线，且与圆心 为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l 解析几何中的基本公式 解析几何学（analytic geometry ）是借助坐标系，用代数方法研究几何对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫坐标几何。由法国数学家笛卡儿和费马等人创建，其思想来源可上溯到公元前两千年。 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则2 12212)()(y y x x AB -+-= 平行线间距离：若0C By Ax :l , 0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2221B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++οο 则P 到l 的距离为： 2 2B A C By Ax d +++= οο 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则： 2 122))(1(x x k AB -+= 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222121y y y x x x 变形后： y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 若直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，则l1到l2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k1，k2都存在且k1k2≠－1 ， 21121tan k k k k +-= α 若l1与l2的夹角为θ，则=θtan 2 12 11k k k k +-，]2,0(π∈θ 注意：（1）l1到l2的角，指从l1按逆时针方向旋转到l2所成的角，范围),0(π l1到l2的夹角：指 l1、l2相交所成的锐角或直角。 （2）l1⊥l2时，夹角、到角=2π 。 （3）当l1与l2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面 ] 20[π ∈ββα，，的夹角； （4）l1与l2的夹角为θ，∈ θ] 20[π ，，其中l1//l2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l1到l2的角)0(π∈θθ，， 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l1与直线l2的的平行与垂直 1（2018松江二模）. 双曲线22 219 x y a - =（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a = 1（2018普陀二模）. 抛物线212x y =的准线方程为 2（2018虹口二模）. 直线(1)10ax a y +-+=与直线420x ay +-=互相平行，则实数a = 2（2018宝山二模）. 设抛物线的焦点坐标为(1,0)，则此抛物线的标准方程为 3（2018奉贤二模）. 抛物线2y x =的焦点坐标是 4（2018青浦二模）. 已知抛物线2x ay =的准线方程是14 y =-，则a = 4（2018长嘉二模）. 已知平面直角坐标系xOy 中动点(,)P x y 到定点(1,0)的距离等于P 到定直线1x =-的距离，则点P 的轨迹方程为 7（2018金山二模）. 若某线性方程组对应的增广矩阵是421m m m ?? ??? ，且此方程组有唯一 一组解，则实数m 的取值范围是 8（2018静安二模）. 已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,4) M a -(0)a >到焦点F 的距离为5，则该抛物线的标准方程为 8（2018崇明二模）. 已知椭圆22 21x y a +=（0a >）的焦点1F 、2F ，抛物线22y x =的焦 点为F ，若123F F FF =uuu r uuu r ，则a = 8（2018杨浦二模）. 若双曲线22 21613x y p -=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p = 9（2018浦东二模）. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为 米 10（2018虹口二模）. 椭圆的长轴长等于m ，短轴长等于n ，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 10（2018金山二模）. 平面上三条直线210x y -+=，10x -=，0x ky +=，如果这三条直线将平面化分为 六个部分，则实数k 的取值组成的集合A = 10（2018青浦二模）. 已知直线1:0l mx y -=，2:20l x my m +--=，当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 11（2018奉贤二模）. 角α的始边是x 轴正半轴，顶点是曲线2225x y +=的中心，角的 终边与曲线2225x y +=的交点A 的横坐标是3-，角2α的终边与曲线22 25x y +=的交点 是B ，则过B 点的曲线2225x y +=的切线方程是 （用一般式表示） α 3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点 P 的轨迹方程为 4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 4（2020宝山二模）. 已知双曲线22 22:1x y C a b -=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C 的渐近线方程是 4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22 :1412 x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别 为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为 5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为 5（2020青浦二模）. 双曲线22 144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是 6（2020金山二模）. 已知双曲线2 221x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实 数a = 7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线 :210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线 (1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为 8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是 9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，???，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、???、1n n B A -、n n A B ， 记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞ = 9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则 当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米） 解析几何中的基本公式 1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：? ? ?=+=0)y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=2221 21y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 解析几何最值问题的赏析 丹阳市珥陵高级中学数学组：李维春 教学目标：１．掌握解析几何中图形的处理方法和解析几何中变量的选择； ２．掌握利用基本不等式和函数的思想处理最值问题． 重点难点：图形的处理和变量的选择及最值的处理． 问题提出： 已知椭圆方程：14 32 2=+y x ，A ，B 分别为椭圆的上顶点和右顶点。过原点作一直线与线段AB 交于点G ，并和椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 问题分析： 1、 图形的处理： 不规则图形转化为规则图形（割补法） ABF ABE AENF S S S ??+= BEF AEF AENF S S S ??+= 2、 变量的选择： （1） 设点：设点),(00y x E 则),(00y x F --，可得到二元表达式； （2） 设动直线的斜率k （可设AF,BF,EF,AE,BE 中任意一条直线的斜率），可得 一元表达式。 3，最值的处理方法： （1） 一元表达式可用基本不等式或函数法处理； （2） 二元表达式可用基本不等式或消元转化为一元表达式。 X 问题解决： 解法一： 由基本不等式得62 24)34(2322 02000==+≤+=y x y x S 时取“＝” 当且仅当0032 y x = 解法二： 00000 0(,),(,),(0,0)x y F x y x y -->>设E ，四边形的面积为S (0,2),A B 因为,12 y += 20x +-=即1d =点E 到直线的距离：00( ,)x y 因为E 在直线AB 的上方，0020x ->所以1d =所以2d =点F 到直线的距离：00(,)x y --因为F 在直线的下方2d =所以)(21)(212121d d AB d AB d AB S +=+=002S x =+所以AB =因为00(,)F x y 又因为22134 x y +=在椭圆上22004312x y +=所以max S =所以 新课标立体几何解析几何常考题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明：在ABD ?中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1 //,2 EH BD EH BD = 同理，1 //,2 FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 ° 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =??⊥?=? 同理， AD BD DE AB AE BE =? ?⊥?=? 又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE 又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H G F E D C B A E D B C 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设 11111 A C B D O ?=，连结1AO ∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴? ∥面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D （2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111 A C B D ⊥∵， 1111B D A C C ∴⊥面 1 11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又 1111 D B AD D ?= A 1 E D 1 C 1 B 1 D C B A S D C B A D 1O D B A C 1 B 1 A 1 C 1 / 26 一、直线与方程 ★1、直线的倾斜角及斜率： （1）倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的范围是[)π，0. （2）斜率：①倾斜角不是2 π 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即αtan =k （2 π α= 时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：()211 21 2x x x x y y k ≠--= . ★2、直线的方程：点方向式： v y y u x x 0 0-= -（过点()00,y x ，方向向量()v u ,） 点法向式：()()000=-+-y y b x x a （过点()00,y x ，法向量()b a ,） 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 截矩式： 1x y a b +=（与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ） 一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 高考数学基础知识回顾：解析几何 基础知识 2 / 26 ★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：01=++C By Ax 与02=++C By Ax ；（2）垂直直线系：01=++C By Ax 与02=+-C Ay Bx ；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l ；②当 :1111=++c y b x a l ， :2222=++c y b x a l 时， //122121=-?b a b a l l ； 0212121=+?⊥b b a a l l ★★4、直线的夹角公式：（1）对直线0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ， 2 2 2 22 12 121212121||| |||| |cos |cos b a b a b b a a d d +?++= ?==θα；（2）对直线111:b x k y l +=， 222:b x k y l +=，2 12 11tan k k k k +-= α ★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离为 2 2 00B A C By Ax d +++= ；（2 ）点在直线的同侧或异侧的问题：令δ= ，当两点在直线l 的同侧，则它们的δ同号；当两点在直线l 的异侧，则δ异号；（3）两平行线间的距离公式： 0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 为2 2 21B A C C d +-= ★6、线性规划：①设出所求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可行域；①运用图解法求出最优解． 二、圆与方程 ★1、圆的方程：（1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ；（2）一般方程 02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆心?? ? ??--2,2E D ，半径2422F E D -+，能形成圆的充要条件是 0422>-+F E D ；（3）参数方程：???+=+=θ θ sin cos r b y r a x ，圆心()b a ,，半径为r ． 1．12F F 、是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF ?的最大值是 ． 2．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________； 以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +3 2 y =1的公共点有_______个. 3.P 是抛物线y 2=x 上的动点，Q 是圆(x-3)2+y 2 =1的动点，则｜PQ ｜的最小值为 . 4．若圆012222=-+-+a ax y x 与抛物线x y 2 1 2 =有两个公共点。则实数a 的范围为 . 5．若曲线y =与直线(2)y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围 是 . 6．圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________. 7．经过两圆（x+3）2 +y 2 =13和x+2 （y+3）2 =37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程为____________ 8.双曲线x 2 －y 2 ＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是___________. 9．已知A （0，7）、B （0，－7）、C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是___________. 10．设P 1（2，2）、P 2（－2，－2），M 是双曲线y = x 1 上位于第一象限的点，对于命题①|MP 2|－|MP 1|=22；②以线段MP 1为直径的圆与圆x 2+y 2=2相切；③存在常数b ，使得M 到直线 y =－x +b 的距离等于 2 2 |MP 1|.其中所有正确命题的序号是____________. 11．到两定点A （0，0），B （3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ） A.椭圆 B.AB 所在直线 C.线段AB D.无轨迹 12．若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2 -x y 的最小值为（ ） A.1 B.－1 C.－ 3 23 D.以上都不对 13已知F 1（－3，0）、F 2（3，0）是椭圆m x 2+n y 2 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F 1PF 2＝ 3 π 2时，△F 1PF 2的面积最大，则有（ ） A.m =12，n =3 B.m =24，n =6 C.m =6，n = 2 3 D.m =12，n =6 14.P 为双曲线C 上一点，F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，过双曲线C 的一个焦点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是( ) 12. A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 三、解答题 解析几何中的基本公式 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++ 则：2 2 21B A C C d +-= 注意点：x ，y 对应项系数应相等。 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为：2 2 B A C By Ax d +++= 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消y ：02 =++c bx ax ，务必注意.0>? 若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x 则：2122))(1(x x k AB -+= 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ， 则??? ????λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，P 为AB 中点且??????? +=+=222 121y y y x x x 变形后：y y y y x x x x --=λ--= λ21 21或 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα 适用围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2 11 21tan k k k k +-= α 若l 1与l 2的夹角为θ，则= θtan 2 1211k k k k +-，]2,0(π ∈θ 注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。 （2）l 1⊥l 2时，夹角、到角= 2 π 。 （3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→ →，，夹角b a ； （3）直线l 与平面]2 0[π∈ββα，，的夹角； （4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2 0[π，，其中l 1//l 2时夹角θ=0； （5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，， 直线的倾斜角α与斜率k 的关系 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直 （1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2? k 1=k 2 ②l 1⊥l 2? k 1k 2=－1 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零 l 1//l 2? 2 1 2121C C B B A A ≠ =； l 1⊥l 2? A 1A 2+B 1B 2=0； 解析几何中求参数取值范围的方法_答题技巧 近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法： 一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式 曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-aa,-bb,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法. 例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0) 求证:-a2-b2a a2-b2a 分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解. 解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1 又∵线段AB的垂直平分线方程为 y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 ) 令y=0得x0=x1+x22 a2-b2a2 又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点 -aa, -aa, x1x2 以及-ax1+x22 a -a2-b2a a2-b2a 例2 如图,已知∵OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若12 2 ,求向量OF与FQ的夹角的取值范围. 分析:须通过题中条件建立夹角与变量S的关系,利用S的范围解题.2020高考数学专题复习-解析几何专题
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