第一讲：集合与命题(教师版)

总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。

应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60%

左右。

2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，

对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。

3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。

4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。

高频考点一览：

一、 试题特点分析：

1.

突出对思维能力的考查。

【2014年北约】已知()01,2,...,i x i n >=1

1.n

i i x ==∏求证：))

1

1.n

n

i i x =≥

∏

【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值n n n

i n H G =

≤=

??

∑

≤n i n ≤?

?∑n

i ≤∑n

i ??≤∑

1n n

i i

n

n

??

≤+=

∑∑，

即)

1

+

≤))

1

n

n

i

i

x

≤∏

法二：由

1

1.

n

i

i

x

=

=

∏

及要证的结论分析，由柯西不等式得))2

1

1

i

i

x

x

?

≥

?

?

，

从而可设1

i

i

y

x

=，且

11

1

1.

n n

i

i

i i

y

x

==

==

∏∏从而本题也即证))

1

1.

n n

i

i

y

=

≥

∏

从而))2

1

1

n n

i

i i

x

x

?

+≥

?

?

∏

，即))21

n n

i i

i

x y≥

∏，

假设原式不成立，即))

1

1

,

n n

i

i

x

=

<

∏则))

1

1.

n

n

i

i

y

=

<

∏

从而))21

n n

i i

i

x y<

∏，矛盾.得证.

2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。

【2014年北约】10、已知实系数二次函数()

f x与()()()

,

g x f x g x

=和()()

30

f x

g x

+=有两重根，()

f x有两相异实根，求证：()

g x没有实根.

【解析】设()2,

f x ax bx c

=++()2,

g x dx ex f

=++

则由()()

f x

g x

=，可得

()()()()()()

2

20,40.

a d x

b e x

c f b e a

d c f

-+-+-=?=----=

由()()

30

f x

g x

+=可得

()()()()()()

2

2

3330,34330.

a d x

b e x

c f b e a

d c f

+++++=?=+-++=

化简得22

3124,

b e a

c df

+=+即()

22

434

e d

f ac b

-=-又240.

b ac

->

240.

e df

∴-<()

g x

∴没有实根.

二、应试和准备策略

1.注意知识点的全面

数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。

2.注意适当补充一点超纲内容

如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。

3.适当做近几年的自主招生的真题

俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。

总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。

第一讲：集合与命题（教师版）

一、知识补充：容斥原理

基本公式:(1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)； (2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B ∩C)

问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？

解：设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学},则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28,且card(A ∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)

二．抽屉原理

抽屉原理的基本形式

定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其

中至少有两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

例1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：

至少有两个点之间的距离不大于.

分析：5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形

三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其

距离便不大于。

以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。

如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么∠PQN=∠C，∠QNP=∠A 因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP ≥∠PQN，而∠QMP≥∠QNP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以 PQ

≥PM。显然BC≥PQ，故BC≥PM。由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。

三、针对性训练

1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，

例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，

的交替和是2。那么，对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。

解：集合{1，2，3，4，5，6，7}的子集中，除去{7}外还有个非空子集合，

把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设这是把结合为一组，显然，每组中，“交替

和”之和应为7，共有组.所以,所有“交替和”之和应该为

。

2．n元集合具有多少个不同的不交子集对？

分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。

解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是k个元素，第二个子集就由其余n-k个元素组成，可能的情况是

种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为种，那么k从o变到n，总的情况可能就是。如果子集对是无序的，即两个子集相同但

次序不同的子集对不认为不同，则对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子

集对，因此有个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集

对的总数为

分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。

解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对

的总数，以下同解法一。

3.以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P 中的元素有奇数,有偶数；③－1?P；④若x，y∈P,则x＋y∈P。试判断实数0和2与集合P的关系。

解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则)

kx∈

∈

P

k

(N

（1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－y x＝|y|x (|y|∈N) 故x y,－y x∈P,由④, 0＝(－y x)+x y∈P。

（2）2?P 。若2∈P ，则P 中的负数全为偶数，不然的话，当－（12+k ）∈P （N k ∈）时，－1＝（－12-k ）＋k 2∈P ，与③矛盾。于是，由②知P 中必有正奇数。设),( 12,2N n m P n m ∈∈--，我们取适当正整数q ，使

12|2|->-?n m q ，则负奇数P n qm ∈-+-)12(2。前后矛盾。

4.若321,,S S S 为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-

（1） 证明：三个集合中至少有两个相等。

（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？

证明：（1）若j i S y S x ∈∈,，则i k S x y x y S x y ∈-=--∈-)(,所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。

否则，设321,,S S S 中的最小正元素为a ，不妨设1S a ∈，设b 为32,S S 中最小的非负元素，不妨设,2S b ∈则b －a ∈3S 。

若b ＞0,则0≤b －a ＜b ，与b 的取法矛盾。所以b =0。

任取,1S x ∈因0∈2S ,故x －0＝x ∈3S 。所以?1S 3S ，同理3S 1S ?。所以

1S =3S 。

（3） 可能。例如1S =2S ={奇数}，3S ={偶数}显然满足条件，1S 和2S 与3S 都无

公共元素。

5.设{}{}G a a a a A S ?==100321,,,,,200,,3,2,1 ，且A 具有下列性质：（1）对任意

1001≤≤≤j i ，恒有201≠+j i a a ；

（2）10080100

1

=∑=i i a 。 试证A 中的元素为奇数的个数是4的倍数，且∑=100

1

2i i a 为定值.

证明：考虑{

}{}{}101,100,,199,2,200,110021===G G G ，每个集合中取一个元素，但注意到2+4+…+200=10100≠10080，不妨设不属于A 的偶数为k a a a ,,,21 ，则相应的奇数k a a a ---201,,201,20121 应在A 中，且对应差的和为20.

6．(2010年江苏五校)已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，

n ＞2），l (A )表示a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )的所有不同值的个数．

（1）已知集合P ＝{2，4，6，8}，Q ＝{2，4，8，16}，分别求l (P )，l (Q )； （2）若集合A ＝{2，4，8，…，2n }，求证：l (A )＝n (n －1)2

；

（3）求l (A )的最小值．

解：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得

l (P )＝5，

由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得

l (Q )＝6 ．

（2）证明：因为a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )共有

n (n －1)

2

项，所以l (A )≤

n (n －1)

2

．

又集合A ＝{2，4，8，…，2n }，不妨设a m ＝2m ，m ＝1，2， …，n ．

a i ＋a j ，a k ＋a l (1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n )，

当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i ＋a j ＜2 a j ＝2j ＋1≤a l ＜a k ＋a l ，即a i ＋a j ≠a k ＋a l ， 当j ＝l ，i ≠k 时，a i ＋a j ≠a k ＋a l ，因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i ＋a j ＝a k ＋

a l ．

即所有a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )的值两两不同，因此l (A )＝

n (n －1)2

．

（3）不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1＋a 2＜a 1＋a 3＜…＜a 1＋a n ＜a 2＋a n ＜a 3＋a n ＜…＜a n －1＋a n ，

故a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )中至少有2n －3个不同的数，即l (A )≥2n －3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，…，a n 成等差数列，考虑a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )，根据等差数列的性质，

当i ＋j ≤n 时， a i ＋a j ＝a 1＋a i ＋j －1； 当i ＋j ＞n 时， a i ＋a j ＝a i ＋j －n ＋a n ；

因此每个和a i ＋a j (1≤i ＜j ≤n )等于a 1＋a k (2≤k ≤n )中的一个，或者等于a l ＋a n (2≤l ≤n －1)中的一个．

故对这样的集合A ，l (A )＝2n －3，所以l (A )的最小值为2n －3． 数.

7．通信工程中常用n 元数组123(,,,)

n a a a a ……表示信息，其中0i a =或1，i n N ∈、．设123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，(,)d u v 表示u 和v 中相对

应的元素不同的个数．

（１）(0,0,0,0,0)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)1d u v =； （２）(1,1,1,1,1)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)3d u v =；

（３）令0

(0,0,00)

n w =个……，123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，求证：(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥． 解：()15；

()23510C =；

()3记u v 、中对应项同时为0的项的个数为p ，对应项同时为1的项的个数为

q ，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n p q --；()p q N p q n ∈+≤、，．

(,)d u w 即是u 中1的个数，(,)d v w 即是v 中1的个数，(,)d u v 是u v 、中对应

项一个为1，一个为0的项的个数。

于是有(,)d u v n p q =--

u v 、中1一共有2()q n p q +--个，即(,)(,)d u w d v w n p q +=-+

所以有(,)(,)(,)20d u w d v w d u v q +-=≥ 于是(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥．