2012年全国初中数学竞赛决赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，||||a b b c ++可以化简为（ ）．

（A ）2c -a （B ）2a -2b （C ）-a （D ）a

2．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y =x b

（b ≠0 ）的图象有

两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．

（A ）（2，3） （B ）（3，－2）

（C ）（－2，3） （D ）（3，2） 3．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ）

21

4

a - （C ）12 （D ）14

4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的

概率为0123p p p p ，，，，则0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 .

7．如图，正方形ABCD 的边长为

E ，

F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .

8．如果关于x 的方程x 2+kx +4

3k 2－3k +9

2= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，

那么

2012

2

20111x x 的值为 ．

9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 .

10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ，交点为E . 作BF ⊥EC ，并与 EC 的延长线交于点F . 若AE = AO ， BC = 6，则CF 的长为 .

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知二次函数232y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关

于x 的方程2320x m x m +

+++=（）的两个实数根的倒数和小于9

10

-．求m 的取值范围．

12．如图，⊙O 的直径为AB ，⊙O 1过点O ，且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点，OC 与⊙O 1交于点D ，且OD CD >．点E 在OD 上，且DC DE =，BE 的延长线与⊙O 1交于点F ，求证：△BOC ∽△1DO F ．

13．已知整数a ，b 满足：a －b 是素数，且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时，求a 的最小值.

14．求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足

12201

x x x <<< ，且122012

122012

n x x x +++= .

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．C

解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知

0b a c <<<，且b c >，

所以

||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．

2．D

解：由题设知，2(3)a -=?-，(3)(2)b -?-=，所以263

a b ==，.

解方程组2

3

6y x y x

?=??

?

?=??

，

，得32x y =-??=-?

，； 32.x y =??=?，

所以另一个交点的坐标为（3，2）.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

3．D

解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为

1(1)(1)(2)34244

a a

b a b a b

+++++++++=

， 中位数为 (1)(1)442

24a a b a b ++++++=

， 于是 4423421

444

a b a b ++++-=.

4．D

解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数. 由题设可得

2(2)2()x n y y n x n +=-??

+=-?

，

， 消去x 得 (2y －7)n = y +4， 2n =

7

215

17215)72(-+=-+-y y y .

因为

15

27

y -为正整数，所以2y －7的值分别为1，3，5，15，所以y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1；x 的值分别为14，7，6，7．

5．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以01239891036363636

p p p p ====，，，，因此3p 最大．

二、填空题 6．7＜x ≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x －2，3(3x －2)－2 = 9x －8，3(9x －8)－2 = 27x －26，3(27x －26)－2 = 81x －80.

由已知得

27x －26≤487， 81x －80＞487.

解得 7＜x ≤19.

容易验证，当7＜x ≤19时，32x -≤487 98x -≤487，故x 的取值范围是 7＜x ≤19．

7．8

解：连接DF ，记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ，所以

2

1

AD AN DN BF NF BN ===， 由此得2AN NF =，所以2

3

AN AF =.

在Rt △ABF 中，因为2AB a BF a ==，，所以

AF ，

于是 cos AB BAF AF ∠=

=. 由题设可知△ADE ≌△BAF ，所以 AED AFB ∠=∠，

0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠= . 于是 cos AM AE BAF =?∠=

，

23MN AN AM AF AM =-=

-=，

4

15

MND AFD S MN S AF ??==. 又21

(2)(2)22

AFD S a a a ?=??=，所以248

1515

MND AFD S S a ??==.

因为a 8MND S ?=.

8．3

2

-

解：根据题意，关于x 的方程有

?=k 2－4239

(3)42

k k -+≥0，

由此得 (k －3)2≤0．

又(k －3)2≥0，所以(k －3)2=0，从而k =3. 此时方程为x 2+3x +

4

9

=0，解得x 1=x 2=3

2

-.

故

2012

2

20111x x =

2

1

x =23-．

9．8

解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知

23130a b +=，

由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)

2

m m a b +++=

，所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是

0≤130(1)(2)b m m =-++≤43，

87≤(1)(2)m m ++≤130，

由此得 8m =，或9m =.

当8m =时，405b a ==，；当9m =时，2035b a ==，，55

22

a b a +>=

，不合题设.

故8m =．

10．

2

2

3 解：如图，连接AC ，BD ，OD .

由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD ,

所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ，因此

BC BA

CF AD

=. 因为OD 是⊙O 的半径，AD = CD ，所以OD 垂直平分AC ，OD ∥BC ， 于是

2DE OE

DC OB

==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.

由△AED ∽△CEB ，知DE EC AE BE ?=?．因为3

22

BA AE BE BA ==，， 所以 3

2322

BA AD AD BA ?=

?，BA =22AD ，故 AD CF BC BA =

?

=2=. 三、解答题

11．解： 因为当13x -<<时，恒有0y <，所以

2

3420m m ?=+-+>（）（），

即

2

10m +>（），所以1m ≠-． …………（5分）

当1x =-时，y ≤0；当3x =时，y ≤0，即

2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0，

且 233(3)2m m ++++≤0，

解得m ≤5-．

…………（10分）

设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，

，由一元二次方

程根与系数的关系得

()121232x x m x x m +=-+=+，．

因为

12119

10

x x +<-，所以 121239

210

x x m x x m ++=-<-+， 解得12m <-，或2m >-．

因此12m <-．

…………（20分）

12． 证明：连接BD ，因为OB 为1O 的直径，所以

90ODB ∠=?．又因为DC DE =，所以△CBE 是等腰三角

形．

…………（5分）

设BC 与1O 交于点M ，连接OM ，则90OMB ∠=?．又因为OC OB =，所以

22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．

…………（15分）

又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ，等腰△1DO F 的顶角，所以

△BOC ∽△1DO F ．

…………（20分）

13．解：设a －b = m （m 是素数），ab = n 2（n 是正整数）. 因为 (a +b )2－4ab = (a －b )2， 所以 (2a －m )2－4n 2 = m 2，

(2a －m +2n )(2a －m －2n ) = m 2.

…………（5分）

因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数，且2a －m +2n ＞2a －m －2n (m 为素数)，所以

2a －m +2n =m 2，2a －m －2n =1

.

解得 a =2(1)4m +，n =21

4

m -.

于是 b = a －m =2

14

m -（）

.

…………（10分）

又a ≥2012，即2

(1)4

m +≥2012.

又因为m 是素数，解得m ≥89. 此时，a ≥4

1)(892

+=2025.

当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =. 因此，a 的最小值为2025.

…………（20分）

14．解：由于122012x x x ，，　，都是正整数，且122012x x x <<< ，所以

1x ≥1，2x ≥2，…，2012x ≥2012．

于是 122012

122012n x x x =

+++

≤12

20122012122012+++= ． …………（10分）

当1n =时，令12201220122201220122012x x x ==?=? ，，　，，则

122012

1220121x x x +++= . …………（15分）

当1n k =+时，其中1≤k ≤2011，令 1212k x x x k === ，，　，，

122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-?,，，则

1220121220121

(2012)2012k k x x x k

+++=+-?

- 1k n =+=． 综上，满足条件的所有正整数n 为122012 ，　

，　，　． …………（20分）