求极限13种方法
求极限的 13种方法(简叙)
龘龖龍 极
限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终, 极限思想亦是高等数学的核心与 基础, 因此,全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。 本篇较为全面地介绍了
求数列极限与函数极限的各种方法,供同学参考。
一、利用恒等变形求极限
利用恒等变形求极限是最基础的一种方法,但恒等变形灵活多 变,令人难以琢磨。常用的的恒等变形有:分式的分解、分子或分母
有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
n
例 1、求极限 lim (1 a)(1 a 2
)...(1 a 2
) ,其中 a 1 n
分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立,
n
因为 (1 a)(1 a 2
)...(1 a 2
)
1
(1 a)(1 a)(1 a 2 )...(1 a 2
1a
1
2 2
2
n
(1 a 2)(1 a 2
)...(1 a 2
) 1a
1 2
n 1
11a
(1 a 2
)
2
2n
0,从而 lim (1 a)(1 a 2
)...(1 a 2
)=
n
1 a
二、利用变量代换求极限
利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式,从而减少运算量, 提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
此, 应先对其进行恒等变形。
n 时
2n 1
2
n 1
a 2
例 2、求极限 lim x 1
,其中 m,n 为正整数。
x 1n
x 1
分析 这是含根式的( 0
)型未定式,应先将其利用变量代换进行化
简,再进一步计算极限
1
解 令 t x mn
,则当 x 1时,t 1
三、利用对数转换求极限
原式
=
lim e
(cos x 1)csc 2
x e
xo 四、利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例 4、求极限 l n im n n !
n n n
分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时,可考虑使 用夹逼准则。 解 因为 o n n
! 1 2 n 1 n 1
,
n n n n n n 且不等式两端当趋于无穷时都以 0为极限,所
以 l n im n n !
=0 n n n
五、利用单调有界准则求极限
利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式
原式=l t im
1 t
t
lim (t 1)(t t 1
(t 1)(t n1
m1
t n 2
... 1) t m 2
...
t n1
t n 2 ... 1 t m 1 t m 2 (1)
利用对数转换求极限主要是通过公式 u v
e lnuv
,进行恒等变形,特别
的情形,在( 1 )型未定式时可直接运用 (u 1)
v
e
例 3、求极限
l x im o
(cosx)
csc 2
x
1
2 sin x lim
2
2
x 0
sin 2
x n 1 f (x n )的数列极限。在确定
l n
im x n 存在的前提下,可由方程
A=f(A) 解出 A ,则
l n
im x n =A 。
n n
1a
例 5、设 a 0,x
1
0,x
n 1
(3x
n 3
)
,(n=1,2,?),求极限 l n im
x n
4 x n
n
分析 由于题中并未给出表达式,也无法求出,故考虑利用单调有界 准则。
1a
解 由a 0,x 1 0,x n1
(3x n 3)易知 x n 0
4 x n 3 n
根据算术平均数与几何平均数的关系,有
数列 x n 有下界 4
a ,即对一切 n 1,有 x n a
x x n n 1 1
4
(3 x a n 4) 14(3 a
a ) 1
所以 x n 1 x n ,即数列单调减少。由单调有界准则知数列 x n
有极限 现设
l n
im
x n =A, 则由极限的保号性知 A a
0.
1
a 1
a
对式子
x
n 1 4(3x n x 3
) 两边同时取极限得 A
4(3A
A 3)
解得 A=4 a
,即l n im
x n =4 a
(已舍去负根)
六、利用等价无穷小求极限
利用等价无穷小求极限是求极限极为重要的一种方法,也是最为简 便、快捷的方法。 学习时不仅要熟记常用的等价无穷小,还应学会灵
x
n 1
4
1
(x n x n x
n x a n 3
) 4 x n x n x n
x a n 3
4
a
所以,
活应用。同时应注意:只有在无穷小作为因式时,才能用其等价无穷小替换。
例 6、求极限 lim
sin sin( x 1)
x 1
ln x
分析 此题中 sin(x-1),sinsin(x-1),lnx 均为无穷小,而均作为因式,故 可以利用等价无穷小快速求出极限。 解 当 x 1 时,
x 1 0,则sin sin(x 1) ~ sin(x 1)~x 1,lnx ln(1 x 1)~ x 1
故原式 =lim x 1
1
x 1
x 1
七、利用导数定义求极限
满足 f'(x 0 )存在。
sin(a )
例 7、求 lim[ n ]n ,其中 0 a 1。
n
sina
分析 初步可判断此题为( 1 )型未定式,先通过公式 u 行恒等变形,再进一步利用导数定义求得极限。
1
1 sin(a )
sina( 1
) lim nln[ n
]
解 lim[ n ]n =e
n
sina
n
si na
sin(a 1
) ln sin(a 1
) lnsi na
而 lim n ln[ n ] lim n
n sina n
1
n 1
ln sin(a ) lnsina
由导数的定义知, lim n
表示函数 lnsinx 在 x=a 处的导
n
利用导数定义求极限适用于 (a lim b) 0
f(x 0 a) f(x 0 b)
型极限,
ab
并且需要
ln u v
e , 进
1
sin(a )
数。即lim n ln[ n ] [ln sin x]' x a cota 。n sina 八、利用洛必达法则求极限
利用洛必达法则求极限适用于 0, ,0 型未定式,其它类型未定式也
可通过恒等变形转化为 0
, ,0 型。洛必达法则使用十分方便, 但使
用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。
注:连续两次使用洛必达法则
九、利用微分中值定理求极限
利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理, 即
f (a) f (b)
f '( ),其中 (a ,b ) 。
ab
x sin x
例 9、求极限 lim e e
x 0
x sin x
分析 若对函数 f(x ) e x
,在区间 sin x,x 上使用拉格朗日中值定理 x sinx
则: e e
e ,其中 ( sinx, x ) x sin x
x sin x
解 由分析可知 e e
e ,其中 ( sinx,x )
x sin x
又 x 0时,有 sinx 0,sixn
x,故 0
x sinx
所以 lim e e =lim e 1
x 0 x sinx x 0
十、利用泰勒公式(麦克劳林公式展开式)求极限
利用泰勒公式 (麦克劳林公式展开式) 求极限是求极限的又一极为重 要的方法。与其它方法相比,泰勒公式略显繁琐,但实用性非常强。
例 8、求极限
lim
cosx cos3x
2 x
原式 =lim
sin x 3sin
3x cosx 9cos3x
2
例10、求极限l x im0arctan x arcsin x
tan x sin x
分析若使用洛必达法则,计算起来会相当麻烦;同时分子并非两因
式之积,等价无穷小也不适用,此时可以考虑用泰勒公式。
3
解 当x 0时,由于 arctanx x x
3 o(x 3
)
13 tanx sin x tan x(1 cosx) ~ x 2 33
[x x o(x 3)] [x x o(x 3
)] 故 原式 =lim
3 6 x 0 1 3
x
2 十一、利用定积分的定义求极限
由定积分的定义知, 如果 f(x) 在 a ,b 上可积,那么,我们可以对
a ,b
用特殊的分割方法(如 n 等分),并在每一个子区间特殊地取点(如 取每个子区间的左端点或右端点) ,所得积分和的极限仍是 f(x) 在
a ,
b 上的定积分。所以,如果遇到某些求和式极限的问题,能够将
其表示为某个可积函数的积分和, 就能用定积分来求极限。 这里关键 在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。 例 11、求极限 lim 1
(sin sin 2
sin
(n 1)
)
n
n n n n 解 从和式 1(sin sin 2
sin
(n 1)
) 看,若选被积函数为 sin x ,
n n n n 则因分点 1与 n 1
当n 时分别趋于 0与1,故积分区间为 0,1.
nn
将 0,1 等分,则有 x i 1
,从而有 :
n
原式= lim 1(sin sin 2
sin (n 1) )= sin xdx 1 cos x o 2
n n n n n 0
十二、利用级数收敛的必要条件求极限 级数具有以下性质:
若级数 u n 收敛,则 lim u n 0 。所以对于某些极限 lim f ( n),可以将
函 nn
n1
x 3
,a r c sxi n x
o(x 3
1 x 3
o(x 3
) 2
1 13 x
数f(n) 作为级数f(n) 的一般项,只需证明级数f(n) 收敛,便有
n 1 n 1
lim f ( n), =0. n
n n
解 令 u n
n
2 ,对于正项级数 u n ,有 (n!) n 1
n 故 lim n 2
=0 n
(n!) 2
十三、利用幂级数的和函数求极限
相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的
值。
例 13、求极限 lim(1 2 3
2
n
n 1
) n 3 32
3
n 1 分析 若构造幂级数 nx n 1
,则所求极限恰好是此级数的和函数在
n1
13
处的值
解 考虑幂级数 nx n1
设 s(x)= nx n 1
,于是
n1
n
x 1
s(x)= ( x n
)' ( )' 2 , x ( 1,1), n 1 1 x (1 x)
从而
原式=n 13n n 1 s(3) 94
例 12、求极限 l im n (n!)
lim u
n 1
n u n
lim
(n 1)n 12 n ((n 1)!)2
(n!n )2
l n im (n 1)n
n n n n (n 1)n n
1 1 e lim(1 )n
lim 0 n n n 1 n n 1 0 1,由比值审敛法知,级数 u n 收敛
当数列本身就是某个级数的部分和数列时,
求该数列的极限就成了求 由于 l n im
a a n n
1
lim n 1
n n
1, 故当x ( -1,1) 时,该级数收敛 li
n
关于计算极限的几种方法
目录 摘要 (1) 引言 (2) 一.利用导数定义求极限 (2) 二.利用中值定理求极限 (2) 三.利用定积分定义求极限 (3) 四.利用施笃兹公式 (4)
五.利用泰勒公式 (5) 六.级数法 (5) 七.结论 (6) 参考文献 (6)
内容摘要
引言: 极限是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代,极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术,就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生,极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的,因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪,由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作,才将其置于严密的理论基础之上,从而得到举世一致的公认。 数学分析中的基本概念的表述,都可以用极限来描述。如函数()x f y =在 0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。 一.利用导数定义求极限 据文[]1定理1导数的定义:函数)(x f 在0x 附近有定义,对于任意的x ?, 则)()(00x f x x f y -?+=? 如果x x f x x f x x ?-?+=→?→? ) ()(lim lim 000 0存在,则此极限值就 称函数)(x f 在点0x 的导数记为 )('0x f .即x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )('0000在这 种方法的运用过程中。首先要选好)(x f ,然后把所求极限。表示成)(x f 在定点0x 的导数。 例1:求a x x a a x x a a a a x --→lim 解:原式0)(lim lim 1lim 0---?=---=-→→→a x x a a x a a x a x x a a a x x a a a a x a a a a a x x a x x ,令a x x a y -=, 当a x →时,0→y ,故原式a a a a a a a y y a ln |)'(0=?== 一般地,能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求,值得注意的是许
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要,就是说在一定区间内,函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限,还有数列极限,(区别在于数列极限发散,是一般极限的一种) 二、求极限的方法如下: 1 .等价无穷小的转化,(一般只能在乘除时候使用,在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在) e的X次方-1 或者(1+x)的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2.罗比达法则(大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提,必须是 X趋近而不是N趋近!所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限,当然n趋近是x趋近的一种情况而已,是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!必须是函数的导数要存在!必须是 0比0 无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0 注意:罗比达法则分为3种情况 0比0,无穷比无穷的时候直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了;0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方;对于(指数幂数)方程,方法主要是取指数还取对数的方法,这样就能把幂上的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了,(这就是为什么只有3种形式的原因, LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0) 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意!!!!) E的x展开,sina 展开,cos 展开,ln1+x展开,对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则,最大项除分子分母!!!!!!!!!!! 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候,尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了!!! 6.夹逼定理(主要对付数列极限!) 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式,放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用(对付数列极限,q绝对值符号要小于1) 8.各项的拆分相加(来消掉中间的大多数,对付的还是数列极限) 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系,已知Xn 的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的,应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限) 11.还有个方法,非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的
几道经典极限问题
1、设0,01>>a x ,)(211n n n x a x x +=+,证明:}{n x 收敛并求其极限。 证明:显然0>n x ,又a x a x x n n n ≥+= +)(211(中学中不等式) 又1)1(2121≤+=+n n n x a x x ,所以}{n x 单调减少,有下界,故}{n x 收敛,令A x n n =∞→lim ,由 )(21A a A A +=,则a A =。 2、求20cos 2cos cos 1lim x nx x x n x -→。 解答: +-+-=-→→→2 020202cos cos cos lim cos 1lim cos 2cos cos 1lim x x x x x x x nx x x x x n x 2 10cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim x nx x x x n x x n n x --+-→,而21cos 1lim 20=-→x x x , 2020202cos 1lim 2cos 1cos lim 2cos cos cos lim x x x x x x x x x x x x -=-=-→→→, 因为22~cos 1x a x a -,所以22)2(41~2cos 1x x x =-,于是12cos 1lim 2 0=-→x x x , 同理 ,233cos 2cos cos 2cos cos lim 230=-→x x x x x x x , 2cos 2cos cos )1cos(2cos cos lim 2 10n x nx x x x n x x n n x =---→ , 所以原式4 )1(22221+=+++= n n n 。 3、设0,0>>b a ,求][lim 0x b a x x ?+→。 解答:令θ+=n x b ,其中10<<θ,当+→0x 时,+∞→n ,则θ+=n b x , 于是a b n n a b x b a x n x =?+=?∞→+→)(lim ][lim 0θ。 4、⑴证明:当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。