1不等式与线性规划-拔高难度-讲义
不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（><≠，
，≥，，…）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等
式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）a b b a >?<（反身性或对称性） 2）a b >，b c a c >?>（传递性） 3）a b a c b c >?+>+
4）,a b c d >>，则a c b d +>+．
5）a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 6）00a b c d >>>>，
，则ac bd >． 7）0a b >>，则(,1)n n
a b n n +>∈>N ．
8）0a b >>
,1)n n +∈>N
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
2.分式不等式的解法
1）
()
0()()0()f x f x g x g x >??> 2）
()
0()()0()f x f x g x g x ≥??≥且()0g x ≠ 3）
()()()
(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠?>?-> 3.无理不等式的解法
12()0
()()0()[()]
f x
g x g x f x g x ?≥?>?≥??>?或()0
()0f x g x ≥??
22()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ?≥?
?≥??
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两
点间的距离
2）当0c >时，||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+
①公式法|()|()()()f x g x f x g x >?>或()()f x g x <- |()|()()()()f x g x g x f x g x
②平方法 ③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1）将()f x 最高次项的系数化为正数；
2）将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 推论：如果a b ，
，是正数，那么
2
a b
+，当且仅当a b =时，有等号成立． 四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数,x y 的不等式（或方程）组成的不等式组成为,x y 的约束条件．
不等式组25003x y x y x -+≥??
+≥??≤?
就是,x y 的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数,x y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为,x y 的线
性约束条件，不等式组230236035150x y x y x y -->??
+-
就是,x y 的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式．
如：已知,x y满足约束条件
43
3525
1
x y
x y
x
-≤-
?
?
+≤
?
?≥
?
，分别确定,x y的值，使2
z x y
=+取到最大值和最
小值使z'2
z x y
=+
和z'=
4.线性目标函数：目标函数为变量,x y的一次解析式．如上例中，2
z x y
=+为线性目标
函数，而z'=
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解(),x y．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线0
ax by
+=（目标函数为z ax by
=+）
2.移：平行移动直线0
ax by
+=，确定使z ax by
=+取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一．选择题（共2小题）
1．（2018春?台州期末）已知a，b∈R，a+b=2．则+的最大值为（）A．1 B．C．D．2
【解答】解：a，b∈R，a+b=2．
则+=
===，
令t=ab﹣1=a（2﹣a）﹣1=﹣（a﹣1）2≤0，
则=，
令4﹣2t=s（s≥4），即t=，
可得==，
由s+≥2=8，
当且仅当s=4，t=2﹣2时上式取得等号，
可得≤=，
则+的最大值为，
故选：C．
2．（2018春?海淀区校级期中）设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）A．a2+3＞2a B．a2+b2＞0
C．a3+b3≥a2b+ab2D．a+≥2
【解答】解：A：将不等式转化为a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2＞0恒成立，A对．B：a2+b2≥0，B错
C：将不等式转化为a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）不一定大于等于0，C错．
D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
3．（2016秋?东湖区校级期末）已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是[0，]．
【解答】解：由x2+y2=2x，得y2=2x﹣x2≥0，
∴0≤x≤2，x2y2=x2（2x﹣x2）=2x3﹣x4．
设f（x）=2x3﹣x4（0≤x≤2），
则f′（x）=6x2﹣4x3=2x2（3﹣2x），
当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增；
当＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（，2）上单调递减，
∴当x=时，函数取得极大值，也是最大值，f（）=，
当x=0、x=2时，f（x）=0，
∴函数f（x）的值域为[0，]，
即0≤x2y2≤．
故答案为：[0，]．
4．（2018春?定州市校级期末）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x ﹣3y+5），则x+y=．
【解答】解：由f（t）=lnt﹣t+1的导数为：
f′（t）=﹣1=，
当t＞1时，f′（t）＞0，f（t）递增，
当0＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）递减，
可得f（t）的最大值为f（1）=0，
即有lnt≤t﹣1，
则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5）
≤x+2y﹣3﹣1+2x﹣3y+5﹣1=3x﹣y，
当且仅当x+2y﹣3=2x﹣3y+5=1时，取得等号，
则x=，y=，
可得x+y=，
故答案为：．
5．（2017?浙江模拟）已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是1．
【解答】解：a，b∈R，且a≠﹣1，
则|a+b|+|﹣b|≥=|a+1+﹣1|≥|2﹣1|=1，当且仅当a=0时取等号．
故答案为：1．
6．已知函数f（x）=x2﹣|x|，集合P={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，则y=f（x）
的最小值为﹣，在平面直角坐标系内集合P所表示的区域的面积是2+π．【解答】解：∵f（x）=x2﹣|x|=（|x|﹣）2﹣，
∴当|x|=时，函数f（x）取得最小值为﹣，
由f（x）+f（y）≤0得x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，
即（|x|﹣）2+（|y|﹣）2≤，
当x≥0，y≥0时，不等式等价为（x﹣）2+（y﹣）2≤，
则对应图象为以（，）为圆心，半径为的圆内部分，
则三角形OAB的面积S==，半圆的面积S=（）2=，
则第一象限部分的面积S=+，
则集合P对应区域为第一象限的4倍，
即总面积S=4×（+）=2+π，
故答案为：﹣，2+π
7．（2015?南昌模拟）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，]．
【解答】解：直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，
根据约束条件画出可行域如图：
平面区域是一个三角形，
就是图中阴影部分，
所以k∈（﹣∞，﹣2）∪（0，]
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，]．
三．解答题（共9小题）
8．（2017春?天津期中）解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．【解答】题：不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0化为（mx+2）（x﹣1）＞0；当m≠0时，不等式对应方程为（x+）（x﹣1）=0，
解得实数根为﹣，1；
当m＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；
当﹣2＜m＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且1＜﹣，
∴不等式的解集为（1，﹣）；
当m=﹣2时，﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，其解集为?；
当m＜﹣2时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且﹣＜1，
∴不等式的解集为（﹣，1）；
当m=0时，不等式化为2（x﹣1）＞0，解得x＞1，
∴不等式的解集为（1，+∞）；
综上，m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；
﹣2＜m＜0时，不等式的解集为（1，﹣）；
m=﹣2时，不等式的解集为?；
m＜﹣2时，不等式的解集为（﹣，1）；
m=0时，不等式的解集为（1，+∞）．
9．（2018?江苏）若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，
∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4
是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，
∴x2+y2+z2的最小值为4
10．（2017?甘肃一模）已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q （x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．
【解答】解：（1）当m=2时，
（x＞0）
令f′（x）＜0，可得＜＜或x＞2；
令f′（x）＞0，可得＜＜，
∴f（x）在，和（2，+∞）上单调递减，在，单调递增
故
极大
（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则＞，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）时，f′（x）＞0
此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；
②当m=1时，则，故x∈（0，1），有＜恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则＜＜，
故，时，f′（x）＜0；，时，f′（x）＞0
此时f（x）在，上单调递减，在，单调递增
（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）
即 ?
∵x1≠x2，由不等式性质可得＜恒成立，
又x1，x2，m＞0
∴＜?＞对m∈[3，+∞）恒成立
令，则＞
对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，
∴
故
从而“＞对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“＞”
∴x1+x2的取值范围为，
11．（2016?上海模拟）对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g={x|f（x）＞g（x）}．（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g；
（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果
＞＞
．求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f＞g={x|x＜﹣1或x＞3}；
（2）方法一：
＞＞＞，
＞
＞，
由
＞＞＞，或
＞
，，其中＞
＞
，
则＞在R上恒成立，
令，，a＞﹣t2﹣t，＜，∴a≥0时成立．
对于
＞
，，其中＞
以下只讨论a＜0的情况
对于＞，
=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以＞即＞?＜，∴＞=?＞
综上所述：＞
方法二（2）
＞＞＞，
＞
＞，
由
＞＞＞，或
＞
，，其中＞a≥0．显然
＞恒成立，
即x∈Ra＜0时，＞，在x≤1上恒成立
令，，＞，，
所以，＞＞
综上所述：＞．
12．（2017秋?腾冲县校级期中）已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜log a；
（3）|g（x+2）﹣2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）==2，
∴2+a==3，
∴a=1…4分
（2）f（x）＜log a? ＜=0…6分
?0＜x+1＜1?﹣1＜x＜0
?不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}…8分
（3）|g（x+2）﹣2|=2b
?|2x+1﹣2|=2b?|2x﹣1|=2b…10分
若x＜0，0＜2x＜1，
∴﹣1＜2x﹣1＜0；
∴0＜|2x﹣1|＜1；
若x＞0，则2x＞1，
∴2x﹣1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，）…12分
13．（2018?南通一模）已知a＞1，b＞1，求+的最小值．
【解答】解：∵a＞1，b＞1；
∴a﹣1＞0，b﹣1＞0；
∴，；
两式相加：；
∴；
当且仅当，且时“=”成立；
即a=b=2时，取得最小值8．
14．（2017秋?杨浦区校级期末）已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．
（1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，
当t=0时，不等式为log2（﹣2x2+3x）＜0，即0＜﹣2x2+3x＜1，
等价于＜
＞
，
解得＜＜
＜或＞
，
即0＜x＜或1＜x＜；
∴不等式的解集为（0，）∪（1，）；
（2）不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0有解，
∴0＜﹣2x2+3x+t＜1，
化为2x2﹣3x＜t＜2x2﹣3x+1；
设f（x）=2x2﹣3x，x∈R，
∴f（x）min=f（）=﹣，且f（x）无最大值；
∴实数t的取值范围是（﹣，+∞）．
15．（2017春?张家口期中）设关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（1）设不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0的解集为A，集合B=[﹣2，2），求A∩B；（2）若x＞1，求的最小值．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}
∴，解得；
（1）不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0可化为3x2﹣7x﹣6＞0，
由3x2﹣7x﹣6＞0解得＜或x＞3，
即，，；
又B=[﹣2，2），∴，；
（2）∵x＞1，∴x﹣1＞0，
则
=
=，
当且仅当x=3时等号成立，
即的最小值为3．
16．（2016秋?济南期末）已知a＞0，a≠1且log a3＞log a2，若函数f（x）=logax 在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）判断函数g（x）=1﹣的奇偶性；
（2）解不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x）．
【解答】解：（1）∵a＞0，a≠1且log a3＞log a2，
∴a＞1，
又∵函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
∴log a2a﹣log a a=1，
即log a2=1，解得a=2；
∵函数g（x）的定义域为R，
且g（x）=1﹣=1﹣=，
∴g（﹣x）===﹣=﹣g（x），
∴g（x）是定义域R上的奇函数；
（2）不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x），＜
，
∴
＞
解得1＜x＜，
故所求不等式的解集为（1，）
基本不等式与线性规划
基本不等式与线性规划
不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为 正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ．4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +
6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值 为 ． 8.若1 1. 不等式2560x x -++≥的解集是______________________________ 2. ()21680k x x --+<的解集是425x x x ??<->???? 或，则k =_________ 3. 不等式20ax bx c ++>的解集为{} 23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是___ 4. 若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________ 5. 已知点（2 ， 1）和点（－4 ， 5）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则 m 的取值范围 为_________ 6. 若?????≥+≤≤2 22y x y x ，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是______________ 7. 已知x ，y 满足?????≥-+≥≥≤-+0320 ,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________ 8. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为___________ 9. 、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥??-+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和 最小值分别是___________ 10. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0)取得最小值 的最优解有无数个，则a 的值为___________ 11. 若不等式kx 2-2x+6k<0(k ≠0). (1)若不等式解集是{x|x<-3或x>-2}，求k 的值； (2)若不等式解集是R ，求k 的取值。 12. 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少送180t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6t 的A 型卡 车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元.请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只调配A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少？ 不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定 三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为 ． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为 ． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为 ． 4.下列函数中，最小值为22的是 （ ） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为 ． 8.若1 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 线性规划及基本不等式 一、知识梳理 （一）二元一次不等式表示的区域 1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________ 2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域. 当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域. 3、问题1:画出不等式组?????≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值 注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z=0，画出直线l0. 3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. （3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得 （二）基本不等式 1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成 立2.、已知x 为正数，求2x+x 1 的最小值 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 一 体验高考 1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束 条件?? ? ??≥≤--≤-+m x y x y x 03203,则实数m 的最大值为( B ) (A)21 (B)1 (C)2 3 (D)2 解析:∵x+y-3=0和y=2x 交点为(1,2), ∴只有m ≤1时才能符合条件,故选B. 2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C ) (A)lg(x 2+4 1)>lg x(x>0) (B)sin x+ x sin 1 ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) (C)x 2+1≥2|x|(x ∈R ) (D) 1 1 2 +x >1(x ∈R ) 解析:当x>0时,x 2+41≥2·x ·2 1 =x, 故lg(x 2+41)≥lg x(x>0), 当且仅当x=2 1 时取等号,因此A 不对, B 中由于x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正、负不确定, 因此sin x+ x sin 1≥2或sin x+x sin 1 ≤-2,故B 不正确, C 中,由基本不等式x+y ≥2xy (x>0,y>0)知x 2+1≥22x =2|x|,故C 一定成立, 而D 中,由于x 2≥0,则x 2+1≥1.因此0<1 1 2+x ≤1. 从而D 不正确,因此选C. 3.(2011年高考湖南卷,理10)设x,y ∈R,且xy ≠0,则(x 2+21y )(21x +4y 2 )的最小值为 . 解析:(x 2+ 21y )(21x +4y 2)=1+4x 2y 2 +221y x +4 =5+(4x 2y 2+ 221y x )≥5+22 22 214y x y x =5+2×2=9. 当且仅当4x 2y 2=221y x 即x 2y 2=2 1时取得最小值9. 答案:9 二备考感悟 1.命题与备考 (1)不等式解法常与二次函数、集合等知识交汇在一起命题;基本不等 式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相互交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式成立的条件. (2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范围问题,有时也会与函数、平面向量、解析几何等相互交汇考查,求解此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域. 2.小题快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界且目标函数是线性的,则目标函数的最值就在其区域边界的顶点处取得. 三热点考向突破 考向一 不等式的解法 解不等式的常见策略 1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax 2+bx+c>0(a>0),再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解; 3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化 不等式 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ． 传递性 a b >且b c a c >?>． 加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+． 乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>． 乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>． 倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4. 利用重要不等式求最值的两个命题： 命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b=时，和a ＋b 有最小值2. 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值 42s . 注意：使用重要不等式求最值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或 积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有 结论：ax 2+bx+c>0 ? 2 0040 a a b a c >?=?-0 △=0 △<0 图象 ax 2+bx+c=0的解 x=x 1或x=x 2 x=x 1=x 2=-b/2a 无实数解 ax 2+bx+c>0解集 {x ︱x 线性规划与基本不等式 1．若222x y x y ????+? ≤，≤，≥，则目标函数2z x y =+的取值范围是（ ） Ａ．[26]， Ｂ．[25]， Ｃ．[36]， Ｄ．[35]， 2．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+??+??? ≥，≥，≤．则24z x y =+的最大值为（ ） Ａ．5 Ｂ．38- Ｃ．10 Ｄ．38 3．若变量x ，y 满足约束条件30101x y x y y -+≤??-+≥??≥? ，则z ＝2x ＋y －4的最大值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．5 4．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x --??+取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ ） Ａ．14 Ｂ．35 Ｃ．4 Ｄ．53 8．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23 x y +的最小值为（ ) 高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题 3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5） 1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ） A ．6- B ．4- C ．2 D ． 答案：B 2、设变量y x ,满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( ) A ．-3 B ．2 C ．4 D ．5 【答案】C 3、点(x ，y )满足??? x ＋y －1≥0， x －y ＋1≥0， x ≤a ， 若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是 ( ) A ．1 B ．－1 C ．－3 D ．3 选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1. C 5、设0,0 x y x y +≥?? -≥?与抛物线2 4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，) ,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( ) A. 1- B. 0 C. 2 D. 3 6、若不等式组0 3434 x x y x y ≥??+≥? ?+≤?， 所表示的平面区域被直线4 3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3 4 7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x x y x m ≥?? +≤??≥? ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ．17 考点：简单线性规划 基本不等式 1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_____________． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( ) A.24 5 B.28 5 C ．5 D ．6 5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.????－∞，14 B.????0，14 C.??? ?－1 4，0 D.? ???－∞，1 4 题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例 1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：????y x ＋z x ????x y ＋z y ???? x z ＋y z ≥8. 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝ 1. 求证：1a ＋1b ＋1c ≥9. 题型二 利用基本不等式求最值 例 2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的 最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． (1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则 x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.9 2 D.112 题型三 基本不等式的实际应用 1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0 线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222 x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2， 过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260 302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域， △ABC 的面积即为所求， 由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得 到整点个数为13个，选 D 四,求非线性目标函数的最值 例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则 z=x 2 +y 2 的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 不等式与线性规划 考情解读 (1)在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题．(2)多与集合、函数等知识交汇命题，以填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形?f (x )g (x ) ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； ②当0a g (x )?f (x ) 不等式练习 一、选择题： 1．设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=u u u r u u u r ,若OP AB PA PB ?≥?u u u r u u u r u u u r u u u r ,则实数λ 的取值范围 是（ ） A ．112 λ≤≤ B ．211λ≤ C ．1212λ≤≤ D ．2211λ≤≤2．不等式ax 2+bx +2＞0的解集是(－3 1,21)，则a －b 等于 （ ） A ．－4 B ．14 C ．－10 D ．10 3．不等式22x a -＜2x +a (a ＞0)的解集是 （ ） A ．｛x ｜－2 a ＜x ＜a } B ．｛x ｜x ＞0或x ＜－54a } C ．｛x ｜－a ≤x ＜－5 4a 或0≤x ＜a } D ．｛x ｜0＜x ≤a ＝ 4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆 客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N)为二次函数关 系(如图)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5．设函数f (x )=x 3+x ,x ∈R,若当0≤θ≤2 π时， f (m sin θ)+f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(－∞,0) C ．(－∞,2 1) D ．(－∞,1) 6．若不等式x +2xy 2≤a (x +y )对一切正数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．2 12+ D ．22+1 7．函数y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图6—17所示，则（ ） A ．a >0,b >0,c >0 B ．a >0,b >0,c <0 C ．a <0,b <0,c >0 D ．a <0,b <0,c <0 8．已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0)，α、β为方程f(x)=x 的两根，且0<α<β< α 1 ，0 高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析 一、高考要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。 2.一元二次不等式 （1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。 （2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。 （2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 4.基本不等式： （1）了解基本不等式的证明过程。 （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析 【规律总结】 全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律： （1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。 （2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。 （2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。 不等式及线性规划 1．设变量x ，y 满足约束条件????? x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0， 则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( ) A ．6 B ．19 C ．21 D ．45 2．设x ，y 满足约束条件????? x ＋3y ≤3，x －y ≥1， y ≥0， 则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3设x ，y 满足约束条件????? 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0， y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A ．－15 B ．－9 C ．1 D ．9 4．若x ，y 满足约束条件????? x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0， y ≤0， 则z ＝3x ＋2y 的最大值为______. 5．若x ，y 满足约束条件????? x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0， x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为______. 6.下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a 4—简单的线性规划、基本不等式 知识块一：求目标函数的最值 归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一：求线性目标函数的最值 1．设x ，y 满足约束条件???? ? x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 解析：选B 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8. 2．若x ，y 满足???? ? y ≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0， 则z ＝3x ＋y 的最小值为 ________. 解析：根据题意画出可行域如图，由于z ＝3x ＋y 对应的直线斜率为－3，且z 与x 正相关，结合图形可知，当直线过点A (0,1)时，z 取得最小值1. ! 答案：1 角度二：求非线性目标的最值 3．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组???? ? 2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜 率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－1 3 D ．－12 解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－1 3. 线性规划常见题型及解法 一．基础知识： (一)二元一次不等式表示的区域 二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线. 由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点（0，0）。 （二）线性规划 (1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数. 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示. (2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. (3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行 (4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. 2.设z =0，画出直线l 0. 3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解. 线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 二、求可行域的面积 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 第1讲 基本不等式与线性规划 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解. 真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋ 4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当 3 600 x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 30 2.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件???x －2y ＋4≥0， 2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0， 那么x 2＋y 2的取值范 围是________. 解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方. 由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2 )min ＝45； 点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是???? ?? 45，13. 答案 ???? ??45，13 3.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x ＋? ?? ??12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x ) －6恒成立，则实数m 的最大值为________. 解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立. 又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2 f （x ）·4 f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0） ＝4， ∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 4 4.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________. 解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝ tan B ＋tan C tan B tan C －1 ， 所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A . 因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2，不等式与线性规划
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