大学物理第二章 机械波
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第2章 机械波
一．基本要求
1．理解机械波产生的机制和波动的特征。
2．掌握简谐波的概念以及描述简谐波的物理量：波长、周期、波速和相位。
3．掌握波函数的建立过程，能根据任一点的振动方程写波函数，并理解波函数的物理意义．掌握振动曲线和波形曲线的区别和联系，能够从波形曲线获取有关信息。
4．理解波的能量以及与能量有关的物理量：能量密度、波的强度．掌握振动的能量和波的能量的差异。
5．了解惠更斯原理，并能用它解释波的衍射、反射和折射。
6．掌握波的迭加原理，特别波的干涉，以及干涉的特例——驻波。 7．掌握多普勒效应。
二．内容提要和学习指导
（一）机械波的基本概念
1．定义：机械振动在弹性媒质中传播形成机械波。
2．产生的条件：①产生振动的波源；②传播振动的弹性媒质；
3．分类：①按振动方向分为：纵波和横波；②按波面形状分为：平面波、球面波和柱面波等；③按频率分为：次声波(ν<20Hz)、声波(20Hz <ν<2?104Hz)、超声波(ν>2?104Hz)；④按波源是否谐振分为：简谐波和非简谐波。 （二）波动的描述
1．描述波的基本物理量：
（1）波的周期T （频率ν、圆频率ω）：1/2/T νπω==，波场中各质元振动的周期，由波源决定，与介质无关，它反应波在时间上的周期性．．．．．．．．．．．．。 （2）波速u ：单位时间内振动所传播的距离．它决定于介质的弹性性质和介质的密度，与波源无关．值得注意的是：波速与质元的振动速度是两个不同的概念；（理想的流体中只能传播纵波，其波速ρ/K u =
；固体中横波的波速ρ/G u =，纵波的波速
ρ/E u =；柔软的轻绳中只能传播横波，其波速μ/T u =）；
（3）波长uT λ=：沿波的传播方向两个相邻同相点之间的距离，或者说波在一个周期内向前传播的距离．它反应波在空间上的周期性．．．．．．．．．．．．
． （4）波的相位：设0x =处的质元在t 时刻的振动相位是0t ωφ+，波沿x 轴正（反） 向传播，则位于x 处的质元在t 时刻的振动相位为0(/)t x u φωφ=+ ；
2．波动的几何描述：①波线：表示波的传播方向的直线或曲线；②介质中位相相同的点构成的面叫等相面，位置在波的最前方的等相面称为波前或波面；③在各向同性均匀介质中，波线与波面正交；④沿波线单位长度上完整波的个数称为波数，2/k πλ= 称为角波
数，2/k n πλ= 称为波矢量（n
是沿波传播方向的单位矢量）；
3．波动的解析函数描述：
（1）平面波的微分方程 0122222=??-??t
u x ξ
ξ，其解满足叠加原理。应用动力学的规律，
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导出不同介质中平面波方程，可以给出波速。2
u =弹性模量/质量密度。
此方程的重要性在于：任意物理量ξ，不管它是力学量位移（对机械波），还是其它量，如
电场强度E ，磁场强度H
等，只要它对坐标和时间的关系满足这个方程，这一物理量就必
定以平面波的形式传播，其中u 就代表这种波的传播速度。正是由于此方程是线性微分方程，才决定了由此方程解出的波函数必定遵守叠加原理。
（2）平面简谐波的波函数 沿x 轴正向传播：00(,)cos[()]cos[2()]x t x
x t A t A u T ξωφπφλ
=-+=-+； 沿x 轴反向传播：00(,)cos[()]cos[2(
)]x t x
x t A t A u T ξωφπφλ
=++=++； 物理意义：给定0x x =，波函数给出坐标0x x =的质元的振动方程，其图示是振动曲线；指定0t t =，波函数给出0t 时刻不同坐标x 的质元的位移，其图示为0t 时刻的波形曲线（注意振动曲线和波形曲线的区别）；
（3）由振动方程写波函数的关键：沿着波的传播方向，相位依次滞后
2x x u
ω
π
φλ
?=
?=
?；
4．波动的图线描述——波形曲线
以横坐标表示x ，纵坐标表示ξ，在t 固定的情况下，绘出的ξ随x 变化的曲线称为波形曲线．波形曲线表示在某一时刻各质元离开平衡位置的位移随质元平衡位置的变化关系。从波形曲线可获如下信息：①由波形曲线和波的传播方向能判断任意质点的振动情况；②由不同时刻的波形曲线能判断波的传播方向；③由波形曲线和波的传播方向能写出波函数；
5．波的能量特征
（1）介质质元的能量：①动能)(sin 21222u
x
t A V E k -=
ωω?ρ；②势能 )(sin 21222u x
t A V E p -=ωω?ρ；③总能222sin ()x E VA t u
ρω=?-；
（2）波的能量密度222sin ()x w A t u ρω=-，平均能量密度221
2
w A ρω=；
（3）波的能流密度222
sin ()wu A u t kx ρωω==- ，平均能流密度2212
I A u ρω= ；
（4）能量特点：①动能和势能同相变化，在最大位移处同时为零，在平衡位置处同时最大；②总能量随时间变化，质元在不断地吸收和放出能量，质元的机械能不守恒；③能量
以速度u
向前传播；
（5）波的吸收：介质对波的吸收可用衰减系数α描述，α取决于介质的吸收性质。波振幅衰减规律：x
e
A A α-=0；波强度按x
e
I I α20-= 规律减弱。
（6）声波、超声波、次声波、声强级：
频率在20000~20Hz 的机械纵波称为声波。频率高于20000Hz 的机械波称为超声波,
153
频率低于20Hz 的机械波称为次声波。强度为I 的声波声强级定义为
)/lg(100I I L I = ,其单位为分贝（dB ）
。其中122
010/I w m -=。 关于波的描述的总结：
①波是振动状态的传播，传播速度是u ；②波是振动相位的传播，传播速度是u
；
③波是波源信息的传播，传播速度是u ；④波是波面沿波线传播，传播速度是u
；
⑤波是波形曲线的传播，传播速度是u ；⑥波是波源能量的传播，传播速度是u
。 （三）波的衍射、反射和折射
1．基本原理：①惠更斯原理：波传到的各点都可看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波波面的包迹就是新波面；②用惠更斯原理作图法可得波的衍射、反射和折射定律。
2．波的衍射：波遇到障碍物时，改变直线传播方向，进入障碍物阴影区域中传播。 3．波的反射定律：反射线、入射线和界面法线在同一平面内，且反射角等于入射角。
4．波的折射定律：折射线、入射线和界面法线位于同一平面内，且
1
2
sin sin u i u γ=。 5．振幅关系：定义波阻Z u ρ=，设平面波由波阻为1Z 的介质向波阻为2Z 介质垂直
入射到两介质交界面上，则：反射波振幅为1211
12
()Z Z A A Z Z -'=+，透射波振幅为11
2122Z A A Z Z =+；
反射系数为22111221112()I A Z Z R I A Z Z ''-===+，透射系数2
212
12112
2212)
(4Z Z Z Z A Z A Z I I T +===。 ①1=+T R ；②21,Z Z 互换，R 和T 不变；③21Z Z =，则：1,0==T R ；④2
1Z Z >>或21Z Z <<，则：0,1=≈T R ；⑤12Z Z <，1
A '和1A 反号，表示在反射点反射波发生了位相π的突变，这种情况称为“半波损失”。
（四）波的相干叠加
1．干涉的概念：几列波在空间相遇时，在叠加区域内各质元的合振幅不随时间变化； 2．干涉条件：同频率、同振向、同相位（或相位差恒定） 3．干涉点的合振幅：φ?++=
cos 2212
221A A A A A （其中212/r φφφπλ?=--?）；
→波场的强度分布：φ?cos 22121I I I I I ++=
4．干涉加强和减弱的条件：
（1）相位差表述：①2k φπ?=时，干涉加强；②(21)k φπ?=+时，干涉减弱； （2）波程差表述（2010φφ=）①22
r k
λ
?=时，加强；②(21)
2
r k λ
?=+时，减弱；
5．干涉的特例——驻波：传播方向相反的等振幅相干波叠加形成驻波，其标准波函数
为：(,)2cos(2/)cos x t A x t ξπλω=
驻波的特征：
（1）振幅特征：①振幅2cos 2/A x πλ是x 的周期函数且不随t 而变；②相邻两波节
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（或相邻两波腹）之间的距离为2/λ；
（2）相位特征：①波幅两侧对应处等幅同相；②波节两侧对应处等幅反相；③相邻两波节之间各点的振动同相；④驻波中没有相位的传播，驻波不是波，而是一种振动模式；
（3）能量特征：①波腹处无势能，波节处无动能；②当各点位移最大时，只有势能，且波节处势能密度最大；③当各点位移为零时，只有动能，且波腹处动能密度最大；④在相邻的两波节间动能和势能相互转换，平均能流为零，驻波中没有能量的传播。
关于驻波的总结：驻波不是行波，而是一种特殊的振动。因为：驻波没有振动状态的传播；没有振动相位的传播；没有波形曲线的传播；没有波动能量的传播。
（4）在有边界的物体上（如各种管弦乐器），只能存在频率离散的驻波简谐振动，这些 离散的简振频率称为本征频率，其中最低频称为基频，其它频率是基频的整数倍，依次称为二次，三次，···谐频。系统以基频或谐频作简谐振动称为系统的简正模式。当系统所受的驱动力频率等于某个简正模频率时，这个模式的振动就会被激发。系统的振动可以是各种简正模式的叠加。如两端固定、长为L 的弦上可形成弦驻波：(1,2,)2n u
n
n L
ν==??? （四）多普勒效应
观察者或波源相对于介质运动时，观察者接收到的波频率不等于波源频率的现象，称为多普勒效应．观察者接收到的频率与波源频率的关系为：r
r s s
u v u v νν±=
±。此式中正负号规定为：由观察者指向波源为正方向，若观察者和波源的运动方向与正方向相同，则上式中取正号；若观察者和波源的运动方向与正方向相反，则上式中取负号。
当点波源在介质中运动速度s v 大于这种介质中的相速时，波面形成以点波源位置为顶点的圆锥面。此锥体称为马赫锥。这种波称为冲击波。设波源运动速度s v ，波速为u ，
u v M s /= 为马赫数。马赫锥的顶角α为M /1)2/sin(=α
三．习题解答和分析
2.1．已知波函数为)01.05.2(cos 20x t y -=π，式中单位分别为cm 和s 。求波长、周期、波速。 【解】)(20001.02cm ==
π
πλ；)(8.05.22s T ==
ππ；200250(/)0.8u cm s T λ===。 2.2．波在空气、水、钢中的传播速度分别为340、1500、5300m/s ，试求频率为600Hz 的声波和频率为Hz 5102?的超声波在空气、水、钢中传播时的波长。
【解】u λν=→/u λ
ν=。当Hz 600=ν时，
在空气中：)(57.0600340m ==λ；在水中：)(5.26001500m ==λ；在钢中：)(83.8600
5300
m ==λ。
当Hz 5102?=ν
时，
在空气中：)(7.11023405mm =?=
λ
；在水中：)
(5.71021500
5
mm =?=λ；在钢中：)(5.2610253005mm =?=λ。 2.3．一列横波沿绳传播，其波函数为))(0.2200(2sin 02.0SI x t y -=π。求：（1）此横波的波长、频
率、波速和传播方向；（2）绳上质元振动的最大速度并与波速比较。
【解】（1）0.02sin 2(200 2.0)0.02cos[2(200 2.0)/2]y t x t x πππ=-=--→
155
200()Hz ν=，1/20.5()m λ==，100(/)u m s λν==，波沿x 轴正向传播。
（2）质元振速8cos 2(200 2.0)dy
v t x dt
ππ=
=-→max 825.12(/)v m s u π== 。
2.4．一平面简谐波以0.8m/s 的速度沿x 轴正向传播。在x =0.1m 处，质元的振动方程为
))(0.10.4sin(01.0m t y +=，试写出此平面简谐波的波函数。
【解】在
x 轴上任取一点p ，则：①p 点的振动圆频率为
4.0ω=；②若介质无吸收，则p 点的振幅为0.01m ；③p 点的振
动比
A
点滞后，滞后的时间为
s x 8
.01
.0-→滞后的相位为0.1
4.0
0.8
x -→p 点的振动相位为0.1
[4.0() 1.0]0.8
x t --
+→p 点的振动方程为
0.1
0.01sin[4.0() 1.0]0.8
x y t -=-
+)5.10.50.4sin(01.0+-=x t （m ） 此即所要求的波函数，此式对x 轴上的任意点都成立。
2.5．一平面简谐波的波函数为5cos[(345)]()y t x cm π=-+，试求：（1）t =5s 时，介质中任一点的位移；（2）x =4cm 处质点的振动规律；（3）t =3s 时，x =
3.5cm 处质点的振动速度。 【解】（1）
55cos[(3545)]5cos(4)t s y x x ππ==?-+=(cm )
（2）
45cos[(3445)]5cos(3)x cm y t t ππ==-?+=-（cm ）
（3）15sin[(345)]dy
v t x dt
ππ=
=--+→33.50t s x cm v ===
2.6．如图所示，已知t =0的波形曲线（实线所示），波沿ox 方向传播。经过t =0.5s 后，波形曲线如图中虚线所示。已知波的周期1T
s ≥，试根据图中的条件写出波函数，并求出1x cm =处
质元的振动方程。
【解题分析】解此类题时，往往先选取一点（这一点可以是任意一点，但为了简单常选择原点）写出其振动方程，然后根据这一点的振动方程写波函数．
【解】第一步：先写出原点处质点的振动方程。由图可知，振幅
cm A 5=，波长cm 4=λ，经过
0.5s 后波向前传播/4λ，所以周期s T 2=．在0=t 时刻，原点处的质点在平衡位置并将向y 轴负方
向运动，所以此质点的初相为/2π
．故原点处质点的振动方程为：5cos(/2)()y t cm ππ=+ 。
第二步：写波函数。由于波沿x 轴正向传播，故波函数为：
5cos[(/21/2)]()y t x cm π=-+。
cm x 1=处质元的振动方程为：15cos()()x cm y t cm π==。
2.7．已知平面简谐波的波函数为
)24(cos x t A y +=π。
（1）写出t =4.2s 时各波峰位置的坐标表示式，并计算此时离原点最近的一个波峰的位置，该波峰何时通过原点？（2）画出t =4.2s 时的波形曲线。
156
【解】（1） 4.2cos[2(8.4)]t s
y A x A π==+=
→4.8-=k x
（m ）
，),2,1,0( ±±=k →离原点最近的波峰的位置m x 4.0-=；
波以2(/)
u
m s λν==沿
x 轴负方向传播→此波
峰通过原点的时刻为0.44.2 4.0()2
t s =-=
（2）s t 2.4=时的波形曲线如图。
2.8．已知波函数为
)2/(2cos 2x t y -=π，试画出x =0和4/λ=x 两点的振动曲线。如何由其
中一条曲线获得另一条曲线？其物理意义是什么？ 【解】)2/(2cos 2x t y -=π
→02cos 2x y t π==，
/40.52cos[2(1/4)]x m
y t λπ===-，振动曲线如图所
示。将0=x 处质点的振动曲线向t 轴的正方向平移0.25s ，即得0.5x m =处质点的振动曲线。其物理
意义是：振动状态沿x 轴正向传播，传播速度为0.5/0.252(/)u
m s ==。
2.9．铁路沿线的A 处在进行施工爆破，所产生的声波沿钢轨传到另一处B 的仪器中．由仪器的记录知第二个波（横波）比第一个波（纵波）迟到5s 。已知钢轨的杨氏模量25/102mm N E ?=，切变模量25/1075.0mm N G ?=，密度3/8.7cm g =ρ．试求：（1）横波和纵波在钢轨中的传播速度；（2）A 、B 两地间的钢轨长度。
【解】（1）u
横33.10110()m s =
≈?，u
纵35.06410()m s =≈?；
（2）设A 、B 两地间的钢轨长度为L →L u =横t ，L u =纵(5)t -→40()L km ≈。
2.10．平面简谐波场中质元的振动能量和自由谐振子的振动能量有何不同？为什么？
【答】自由谐振子的能量不随时间变化，其机械能守恒。原因是对自由谐振子只有保守内力做功。平面简谐波场中质元的振动能量为222()sin (/)W
V A t x u ρωω?=?-，可见其机械能不守恒，它随时
间作周期性变化，变化的周期是质元简振周期的一半。其原因是周围质元作用在该质元上的外力做功，使得该质元不断地接收能量和放出能量，能量随着波动以速度u
向前传播。
2.11．弹性波在介质中传播速度为s m u /103=，振幅m A 4100.1-?=，频率Hz 310=ν。若该介质的密度为3/800m kg =ρ，求：（1）该波的平均能流密度；（2）每分钟垂直通过一面积24104m s -?=的总能量。 【解】（1）2212I u A ρω=24233)100.1()102(108002
1-??????=π52
1.5810[/()]J m t ≈?? （2）Ist W
=60104106.145????=-33.7910()J =?。
2.12．一线波源发射柱面波，设介质为不吸收能量的各向同性的均匀介质，试求（1）波的强度和离开
题2.11
图
157
波源距离的关系；（2）振幅和离开波源的距离有何关系？
【解】（1）以线波源为轴作两个同轴等高的圆柱面，由于媒质各向同性，且不吸收能量，则在单位时间内流过第一个柱面的能量必流过第二个柱面，即
h r I h r I 221122ππ=→1221//I I r r =；
（2）因为2A I
∝
，所以12/A A =
2.13．一声波点波源发射的平均功率为10P W =，均匀地向各个方向传播，问距离声波点波源多远处，声音的强度级为60分贝和10分贝？
【解】22
10
44P I r r ππ==
，0
10lg
I
L I = ，12
10
-=I （w / m 2
）
→r =
160L =→1892()r m ≈；210L =→2282()r km ≈。
2.14．两列相干波到达相遇点的强度分别为1I 和2I ，相遇点的总强度为φ?cos 22121I I I I I ++=，若12I I =，则干涉相长点的总强度14I I =。这种情况是否违背能量守恒定律？
【答】这并不违背能量守恒定律。因为有干涉相长点，就必有干涉相消点，总体上能量守恒。 2.15．在同一介质中有A 和B 两个等振幅相干波源，其振动圆频率为ω，相位差为π。两波源相距为s 。设由它们激起的波是沿AB 连线传播的平面波，波速均为u 。求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。 【解】设A 的振动方程为：
t A y A ωcos =；则B 点的振动方程为：)cos(
πω+=t A y B 。 在AB 连线上任取一点P ，P 到A 的距离为x ，则由A 发出的波t 时刻在P 点的相位为()x
t u
ω-，由B 发出的波t 时刻在P 点的相位为()s x t u ωπ--+。两列波到达P 点时的相位差为(2)s x u
ω
?π?=--。 P 点因干涉而静止→
(2)(21)s x k u ωππ--=-→(2)2s x k u
ω
π-= →2s u
x k πω
=- （k 为整数，且s x ≤≤0）
2.16．如图所示，一列振幅为A 频率为ν的平面简谐纵波沿x 轴正向以速度u 传播。（1）t =0时，在原点o 处的质元由平衡位置向x 轴正向运动，试写出此波的波函数；（2）若经分界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反射波的波函数。 （3）合成波的波函数，并求在x 轴上因迭加而静止的各点的位置。
【解】（1）由题意可知：原点o 处质元振动的初相位为/2π
-，其振动方程为：
1cos(2/2)o y A t πνπ=-→入射波的波函数为：1cos[2(/)/2]y A t x u πνπ=--
（2）入射波在P 点引起的振动为
1cos[23/2/2]cos[2]P y A t A t πνπππν=--=；因为波从
波疏媒质入射到波密媒质分界面上，反射波在反射点处相位跃变π（半波损失） →反射波在P 点引起的振动为
2cos[2]P y A t πνπ=+
题2.16图
158
→反射波的波函数为
23/4
cos[2()]cos[2(/)/2]x y A t A t x u u
λπνππνπ-=+
+=+- （3）两列传播方向相反的等振幅相干波叠加形成驻波：
12cos[2(/)/2]cos[2(/)/2]y y y A t x u A t x u πνππνπ=+=--++- 2cos(2/)cos(2/2)A x u t πνπνπ=-
对于因干涉而静止的各点：cos(2/)
0x u πν=→(21)/4x k λ=+ （1,0,1,2,k =-- ）
。 2.17．一驻波的波函数为0.04cos(10)cos(50)()y x t SI ππ=。求：（1）形成此驻波的两行波的振幅和波速；（2）相邻两波节间的距离；（3）30
2.010t s -=?时，20 1.010x m -=?处的质元的振动速度。
【解】（1）0.04cos(10)cos(50)2cos(2)cos(2)x
t
y x t A T
ππππ
λ
== →0.02()A m =；0.2()m λ
=；0.04()T s =；0.2
5(/)0.04
u m s T
λ
=
=
=； （2）相邻两波节间距为/20.1()m λ=；
（3）0.04cos(10)cos(50)y x t ππ=→/2cos(10)sin(50)v dy dt x t πππ==- →0
232cos(10 1.010)sin(50 2.010) 1.85(/)x x t t v m s πππ--===-????≈-。
2.18．两根完全相同的琴弦，它们的基频都是400Hz 。若将一弦中的张力逐渐增加，问需要增加百分之几才能产生每秒4拍的拍频？
【解】弦中基频为2u L ν=
=224T L λν=；
设基频为400 Hz 和404 Hz 时，绳中的张力分别为T 1和T 2→
22
212
1404400 2.01%400T T T --==。 2.19．一声源的频率为1080Hz ，相对地面以30m/s 的速率向右运动。在其右方有一反射面相对地面以65m/s 的速率向左运动。设空气中的声速为331m/s ，求：（1）声源所发出的声波在声源前方和后方的波长； （2）静止于空气中的观察者所测得的反射波的频率和波长。 【解】1080s
Hz ν=，30/s v m s =，65/v m s =反，331/u m s =。
（1）声源前方的波长1
33130
0.279()1080
s
s s
u v uT v T m λν--=-=
=
≈
声源后方的波长233130
0.334()1080
s
s s
u v uT v T m λν++=+=
=
≈
（2）反射面先作为一个接收器，接收到的的频率为s s
u v u v νν+=
-反
反
，然后作为一个以频率ν反振动
以速度v 反运动的波源发出反射波。所以空气中的观察者所测得的反射波的频率和波长分别为：
159
331396
10801768()266301R s u v u u Hz u v u v u v ννν+?=
=??=?≈---?反s 反反反；
0.187()R
u
m λν'=
≈。
2.20．火车以72km/h 的速度驶向一静止的观察者，机车鸣汽笛2s 之久，问观察者听到的笛声将持续多长时间？已知声速为为340m/s 。 【解】20/s
v m s =，340/u m s =，2s t s ?=。
R s s u u v νν=
-→11
R s s u T u v T =-→
s
R s u v T T u
-=→
s
R R s s u v t T t T u
-?==?→ 1.88()s
R
s u v t t s u
-?=
?≈。 2.21．如图所示，飞机在上空以200m/s 作水平直线飞行，发出频率为2000Hz 的声波。静止在航线正下方的地面观察者可以用多普勒效应确定其飞行高度。观察者测得，飞机在从仰角α飞到仰角β的过程中，经历的时间为4s ，测出的频率从2400Hz 降为1600 Hz 。已知声波在空气中的速度为330m/s ，试求飞机的飞行高度。
【解】飞机在仰角α点，测量频率为
1cos R s s u u v ννα=
-→11
cos R S s R u v νν
αν-=?0.275≈→cot 0.286α≈；
飞机在仰角β点，测量频率为
2cos R s s u u v ννα
=
+→22cos S R s R u v νν
βν-=?0.4125≈→cot 0.453β≈；
由图可得：(cot cot )vt h αβ=+，所以2004
1082()cot cot 0.2860.453
vt h m αβ?=
=≈++。
2.22．如图所示，音叉P 沿半径r =8m 的圆以角速度ω=4 rad/s 作匀速圆周运动。音叉发出频率为Hz 5000=ν的声波，声波的速度为u =330m/s 。观察者M 与圆周共面，与圆心o 的距离为d =2r 。试问：当θ角为多大时，观测到的频率为最高频率或最低频率？最高频率或最低频率是多大？
【解】假设P 作逆时针匀速圆周运动，其速率为rω。由几何关系可知： 当θ＝60?时，oP ⊥PM ，P 相对于M 的分离速率最大，观测频率最小，0
min
456()M u Hz u r ννω?=
≈+；
当θ＝－60?时，oP ⊥PM ，P 相对于M 的接近速率最大，观测频率最大，0max 554()M u Hz
νν?=≈； 2.23．一架超音速飞机以马赫数为2.3的速度在5000m 高空水平飞行，声速按330m/s 计。（1）空气中马赫锥的半顶角是多大？（2）飞机从人头顶上飞过后经多长时间人才能听到飞机产生的声音？ 【解】作如图示马赫锥。设t 时刻飞机位于A 点并发出一个波，人位于B 点；在t +Δt 时刻，波到达B ′点和C 点，飞机到达D 点。由图可知：
2.21题
题2.23图
160
（1）1sin s u v M
α=
=→1
111sin sin 25.772.3
M α--==≈? （2）cos u t AC AB α?==→(cos )/(5000cos 25.77)/33013.6()t AB u s α?=?=??≈
因为AB AB '≈，可以认为飞机从人头顶上飞过后经13.6s 人才听到了飞机产生的声音。
2.18由多个非相干声源发出的声波在相遇点叠加，相遇点的波强度等于各波源所发声波的强度之和。问：（1）如果五个相同的喇叭同时广播，相遇点的声强级比用一个喇叭时强多少分贝？（2）若声强级在（1）的基础上再加大一倍，应有多少个喇叭？
【解】设一个喇叭广播时场点的强度为I 1→场点的声强级为11010lg(/)L I I =；
N 个喇叭广播时场点的强度为NI 1→场点的声强级为10110lg(/)10lg N L NI I N L ==+；
（1）5110lg57()L L L dB ?=-=≈；
（2）52N L L '=→101010lg(/)210lg(5/)N I I I I '=?→21010(/)(5/)N I I I I '= →1
25
I N I '=
→若一个喇叭在场点引起的声强级是0，即10I I =，则：25N '=。 2.19A 、B 为两线性波的始点，其振动表达式各为
)(2cos 1.01cm t x π=；))(2cos(1.02cm t x ππ+=，
它们传到P 处相遇迭加。已知波速s cm v /20=， P A=40cm ，PB=50cm ，试求两波传到P 处时的位相差 ，以及合振动的振幅。
2.19 A 、B 为两线性波的始点，其振动表达式各为)(2cos 1.01cm t x π=；))(2cos(1.02cm t x ππ+=，它们传到P 处相遇叠加．已知波速s cm v /20=，P A=40cm ，PB=50cm ，试求两波传到P 处时的位相差以及合振动的振幅．
【解】两波源A 、B 频率相同，都为ν=1Hz ；振动方向相同；相差π
?=?，恒定．所以两波源为相
干波源．
由A 传来的波在P 点的相位为
ππππλ
π
π421
2040
2222-=??-=-
t t PA t
由B 传来的波在P 点的相位为
πππππλ
π
ππ421
2050
2222-=??-
+=-
+t t PB t
可见P 点的两分振同相，相差0=??，合振动振幅为两分振动振幅之和，即A =0.2cm ．
机械波产生的条件是什么？什么是横波？什么是纵波？
A
B
P
2.19题图
161
【答】机械波产生的条件：①产生振动的波源；②传播振动的弹性介质。质元的振动方向与波的传播方向垂直的波称为横波。质元的振动方向与波的传播方向平行的波称为纵波。
什么是波速？质元振动的速度和波速是否相同？波速由什么决定？
【答】波速就是：①振动状态的传播速度；②振动相位的传播速度；③波源信息的传播速度；④波面沿波线的传播速度；⑤波形曲线的传播速度；⑥波源能量的传播速度。 波速与质元的振动速度不同。波速由介质的惯性和弹性决定。
什么是简谐波？平面简谐波波函数具有怎样的物理意义？ 【答】简谐波：形成波动的各质元都作简谐振动。 平面简谐波的波函数0(,)cos[(/)]x t A t x u ξωφ=-+的物理意义是：给定0x x =，波函数给出坐
标0x x
=的质元的振动方程，其图示是振动曲线；指定0t t =，波函数给出0t 时刻不同坐标x 的质元的
位移，其图示为0t 时刻的波形曲线（注意振动曲线和波形曲线的区别）；
平面波方程012222
2=??-??t
u x ξξ具有怎样的意义？此方程的线性和波叠加原理有何关系？ 【答】此方程的重要性在于：任意物理量ξ，不管它是力学量位移（对机械波），还是其它量，如电场强度
E ，磁场强度H
等，只要它对坐标和时间的关系满足这个方程，这一物理量就必定以平面波的形式传播，
其中u 就代表这种波的传播速度。
正是由于此方程是线性微分方程，才决定了由此方程解出的波函数必定遵守叠加原理。
【例3】设在某一时刻，一个向右传播的平面简谐横波的波形曲线的一部分如图中实线所示，试分别说明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 各质点在该时刻的运动方向．在4
1
周期前后，此波的波形曲线又是怎样
【解】（1）有两种方法．
方法一：由同一时刻的v-x 曲线判断． 由波函数)2cos()
,(0φλ
π
ωξ+-
=x t A t x ，可得各质点速度v 与其平衡位置x 的函数关系为
162
)2
2cos(),(0π
φλ
π
ωω+
+-
=x t A t x v
说明该时刻各质点速度的位相比各自位移的位相超前2
π，
由此可画出v-x 曲线如图(a)中虚线所示，从v-x 曲线可看出：A 、B 、H 、I 速度为负；C 、G 速度为0；D 、E 、F 速度为正．
方法二：对比该时刻和下一时刻的波形曲线．
下一时刻的波形曲线图（b ）中虚线所示，要使波形曲线由图（b ）中实线所示演变为虚线所示，则A 、B 、H 、I 应向下运动；D 、E 、F 应向上运动；C 、G 在最大位移处，速度应为0．
（2）经过1/4周期后波形曲线沿着波的传播方向移动1/4个波长，故1/4周期后波形曲线如图(c)中虚线所示．
大学物理机械波习题及答案解析
一、选择题： 1．3147：一平面简谐波沿Ox 正方向传播，波动表达式为 (SI)，该波在t = 0.5 s 时刻的波形图是 ［ B ］ 2．3407：横波以波速u 沿x 轴负方向传播。t 时刻波形曲线如图。则该时刻 (A) A 点振动速度大于零 (B) B 点静止不动 (C) C 点向下运动 (D) D 点振动速度小于零 ［ ］ 3．3411：若一平面简谐波的表达式为 ，式中A 、B 、C 为正值常量，则： (A) 波速为C (B) 周期为1/B (C) 波长为 2π /C (D) 角频率为2π /B ［ ］ 4．3413：下列函数f (x 。 t )可表示弹性介质中的一维波动，式中A 、a 和b 是正的常量。其中哪个函数表示沿x 轴负向传播的行波？ (A) (B) (C) (D) ［ ］ 5．3479：在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为（λ 为波长）的两点的振 动速度必定 ] 2)42(2cos[10.0π +-π=x t y ) cos(Cx Bt A y -=)cos(),(bt ax A t x f +=)cos(),(bt ax A t x f -=bt ax A t x f cos cos ),(?=bt ax A t x f sin sin ),(?=λ 21 x u A y B C D O x (m) O 2 0.1 0 y (m) ( A ) x (m) O 2 0.1 0 y (m) ( B ) x (m) O 2 - 0.1 0 y (m) ( C ) x (m) O 2 y (m) ( D ) - 0.1 0
(A) 大小相同，而方向相反 (B) 大小和方向均相同 (C) 大小不同，方向相同 (D) 大小不同，而方向相反 ［ ］ 6．3483：一简谐横波沿Ox 轴传播。若Ox 轴上P 1和P 2两点相距λ /8（其中λ 为该波的波长），则在波的传播过程中，这两点振动速度的 (A) 方向总是相同 (B) 方向总是相反 (C) 方向有时相同，有时相反 (D) 大小总是不相等 ［ ］ 7．3841：把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则 (A) 振动频率越高，波长越长 (B) 振动频率越低，波长越长 (C) 振动频率越高，波速越大 (D) 振动频率越低，波速越大 ［ ］ 8．3847：图为沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 0时刻的波形。若波的表达式以余弦函数表示，则O 点处质点振动的初相为： (A) 0 (B) (C) (D) ［ ］ 9．5193：一横波沿x 轴负方向传播，若t 时刻波形曲线如图所示，则在t + T /4时刻x 轴上的1、2、3三点的振动位移分别是： (A) A ，0，-A (B) -A ，0，A (C) 0，A ，0 (D) 0，-A ，0. ［ ］ 10．5513：频率为 100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小 于波长的两点振动的相位差为，则此两点相距 (A) 2.86 m (B) 2.19 m (C) 0.5 m (D) 0.25 m ［ ］ 11．3068：已知一平面简谐波的表达式为 （a 、b 为正值常量），则 (A) 波的频率为a (B) 波的传播速度为 b/a (C) 波长为 π / b (D) 波的周期为2π / a ［ ］ 12．3071：一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图所示。则坐标原点O 的振动方程为 (A) (B) π21ππ 23π 31)cos(bx at A y -=]2)(cos[π+'-=t t b u a y ] 2)(2cos[π -'-π=t t b u a y x u a b y O 5193图 x y O u 3847图
大学物理习题答案--第一章
第一章作业解 1-7液滴法是测定液体表面张力系数的一种简易方法。将质量为m 的待测液体吸入移液管，然后让液体缓缓从移液管下端滴出。可以证明 d n mg πγ= 其中，n 为移液管中液体全部滴尽时的总滴数，d 为液滴从管口落下时断口的直径。请证明这个关系。 证：当液滴即将滴下的一刻，其受到的重力与其颈部上方液体给予的张力平衡 F g m =' d r L F πγπγγ===2 n m m = '， d n m πγ= 得证：d n mg πγ= 1-8 在20 km 2的湖面上下了一场50 mm 的大雨，雨滴半径为1.0 mm 。设温度不变，雨水在此温度下的表面张力系数为7.3?10-2N ?m -1。求释放的能量。 解：由 S E ?=?γ 雨滴落在湖面上形成厚为50 mm 的水层，表面积就为湖面面积，比所有落下雨滴的表面积和小，则释放的表面能为： )4(2 S r n E -?=?πγ 其中，3 43 r Sh n π= 为落下的雨滴数，r 为雨滴半径 J r h S E 8 3 3 6 2 1018.2)110 0.110503( 102010 3.7)13( ?=-???????=-=?---γ 1-9假定树木的木质部导管为均匀的圆柱形导管，树液完全依靠毛细现象在导管内上升，接触角为45°，树液的表面张力系数1 2 10 0.5--??=m N γ。问要使树液到达树木的顶部，高 为20 m 的树木所需木质部导管的最大半径为多少？ 解：由朱伦公式：gr h ρθ γcos 2= 则：cm gh r 5 3 2 10 6.320 8.91012 /210 0.52cos 2--?=??????= = ρθ γ 1-10图1-62是应用虹吸现象从水库引水的示意图。已知虹吸管粗细均匀，其最高点B 比水库水面高出m h 0.31=，管口Ｃ又比水库水面低m h 0.52=，求虹吸管内的流速及Ｂ点处的
大学物理习题复习资料第二章
[习题解答] 2-1 处于一斜面上的物体，在沿斜面方向的力F作用下，向上滑动。已知斜面长为5.6m，顶端的高度为3.2m，F的大小为100N，物体的质量为12kg，物体沿斜面向上滑动的距离为4.0 m，物体与斜面之间的摩擦系数为0.24。求物体在滑动过程中，力F、摩擦力、重力和斜面对物体支撑力各作了多少功？这些力的合力作了多少功？将这些力所作功的代数和与这些力的合力所作的功进行比较，可以得到什么结论？ 解物体受力情形如图2-3所示。力F所作的功 ； 摩擦力 图2-3 ,摩擦力所作的功 ； 重力所作的功 ; 支撑力N与物体的位移相垂直，不作功，即 ； 这些功的代数和为 .
物体所受合力为 , 合力的功为 . 这表明，物体所受诸力的合力所作的功必定等于各分力所作功的代数和。 2-3物体在一机械手的推动下沿水平地面作匀加速运动，加速度为0.49 m?s-2 。若动力机械的功率有50%用于克服摩擦力，有50%用于增加速度，求物体与地面的摩擦系数。 解设机械手的推力为F沿水平方向，地面对物体的摩擦力为f，在这些力的作用下物体的加速度为a，根据牛顿第二定律，在水平方向上可以列出下面的方程式 , 在上式两边同乘以v，得 , 上式左边第一项是推力的功率()。按题意，推力的功率P是摩擦力功率fv的二倍，于是有 . 由上式得 , 又有
, 故可解得 . 2-4有一斜面长5.0 m、顶端高3.0 m，今有一机械手将一个质量为1000 kg的物体以匀速从斜面底部推到顶部，如果机械手推动物体的方向与斜面成30 ，斜面与物体的摩擦系数为0.20，求机械手的推力和它对物体所作的功。 解物体受力情况如图2-4所示。取x轴沿斜面向上，y轴垂直于斜面向上。可以列出下面的方程 ,(1) ,(2) . (3) 根据已知条件 , . 由式(2)得 图2-4 . 将上式代入式(3)，得 . 将上式代入式(1)得
大学物理题库-振动与波动
振动与波动题库 一、选择题（每题3分） 1、当质点以频率ν 作简谐振动时，它的动能的变化频率为（ ） （A ） 2v （B ）v （C ）v 2 （D ）v 4 2、一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为cm 12，周期为s 2。当0=t 时, 位移为cm 6，且向x 轴正方向运动。则振动表达式为（ ） (A) ）（3 cos 12.0π π-=t x （B ） ）（3 cos 12.0π π+=t x （C ） ）（3 2cos 12.0π π-=t x （D ） ） （32cos 12.0π π+=t x 3、 有一弹簧振子，总能量为E ，如果简谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的四倍，则它的总能量变为 （ ） （A ）2E （B ）4E （C ）E /2 （D ）E /4 4、机械波的表达式为()()m π06.0π6cos 05.0x t y +=，则 （ ） （Ａ） 波长为100 ｍ （Ｂ） 波速为10 ｍ·ｓ-1 （Ｃ） 周期为1/3 ｓ （Ｄ） 波沿x 轴正方向传播 5、两分振动方程分别为x 1=3cos (50πt+π/4) ㎝ 和x 2=4cos (50πt+3π/4)㎝，则它们的合振动的振幅为（ ） (A) 1㎝ （B ）3㎝ （C ）5 ㎝ （D ）7 ㎝ 6、一平面简谐波，波速为μ=5 cm/s ，设t= 3 s 时刻的波形如图所示，则x=0处的质点的振动方程为 （ ） (A) y=2×10－ 2cos (πt/2－π/2) (m) (B) y=2×10－ 2cos (πt + π) (m) (C) y=2×10－ 2cos(πt/2+π/2) (m) (D) y=2×10－ 2cos (πt －3π/2) (m) 7、一平面简谐波，沿X 轴负方向 传播。x=0处的质点 的振动曲线如图所示，若波函数用余弦函数表示，则该波的初位相为（ ） （A ）0 （B ）π (C) π /2 (D) － π /2 8、有一单摆，摆长m 0.1=l ，小球质量g 100=m 。设小球的运动可看作筒谐振动，则该振动的周期为（ ） (A) 2π （B ）32π （C ）102π （D ）52π 9、一弹簧振子在光滑的水平面上做简谐振动时，弹性力在半个周期内所做的功为 [ ] (A) kA 2 （B ）kA 2 /2 （C ）kA 2 /4 （D ）0
大学物理机械波知识点总结
大学物理机械波知识点总结 【篇一：大学物理机械波知识点总结】 高考物理机械波知识点整理归纳 机械振动在介质中的传播称为机械波(mechanical wave)。机械波和电磁波既有相似之处又有不同之处，机械波由机械振动产生，电磁 波由电磁振荡产生;机械波的传播需要特定的介质，在不同介质中的 传播速度也不同，在真空中根本不能传播，而电磁波(例如光波)可以 在真空中传播;机械波可以是横波和纵波，但电磁波只能是横波;机械 波和电磁波的许多物理性质，如：折射、反射等是一致的，描述它 们的物理量也是相同的。常见的机械波有：水波、声波、地震波。 机械振动产生机械波，机械波的传递一定要有介质,有机械振动但不 一定有机械波产生。 形成条件 波源 波源也称振源，指能够维持振动的传播，不间断的输入能量，并能 发出波的物体或物体所在的初始位置。波源即是机械波形成的必要 条件，也是电磁波形成的必要条件。 波源可以认为是第一个开始振动的质点，波源开始振动后，介质中 的其他质点就以波源的频率做受迫振动，波源的频率等于波的频率。介质 广义的介质可以是包含一种物质的另一种物质。在机械波中，介质 特指机械波借以传播的物质。仅有波源而没有介质时，机械波不会 产生，例如，真空中的闹钟无法发出声音。机械波在介质中的传播 速率是由介质本身的固有性质决定的。在不同介质中，波速是不同的。
下表给出了0℃时，声波在不同介质的传播速度，数据取自《普通高 中课程标准实验教科书-物理(选修3-4)》(2005年)[1]。单位v/m s^- 1 传播方式和特点 质点的运动 机械波在传播过程中，每一个质点都只做上下(左右)的简谐振动，即，质点本身并不随着机械波的传播而前进，也就是说，机械波的一质 点运动是沿一水平直线进行的。例如：人的声带不会随着声波的传 播而离开口腔。简谐振动做等幅震动,理想状态下可看作做能量守恒 的运动.阻尼振动为能量逐渐损失的运动. 为了说明机械波在传播时质点运动的特点，现已绳波(右下图)为例进 行介绍，其他形式的机械波同理[1]。 绳波是一种简单的横波，在日常生活中，我们拿起一根绳子的一端 进行一次抖动，就可以看见一个波形在绳子上传播，如果连续不断 地进行周期性上下抖动，就形成了绳波[1]。 把绳分成许多小部分，每一小部分都看成一个质点，相邻两个质点间，有弹力的相互作用。第一个质点在外力作用下振动后，就会带 动第二个质点振动，只是质点二的振动比前者落后。这样，前一个 质点的振动带动后一个质点的振动，依次带动下去，振动也就发生 区域向远处的传播，从而形成了绳波。如果在绳子上任取一点系上 红布条，我们还可以发现，红布条只是在上下振动，并没有随波前 进[1]。 由此，我们可以发现，介质中的每个质点，在波传播时，都只做简 谐振动(可以是上下，也可以是左右)，机械波可以看成是一种运动形 式的传播，质点本身不会沿着波的传播方向移动。
大学物理第十章答案讲解
第十章 一、填空题 易：1、质量为0.10kg 的物体，以振幅1cm 作简谐运动，其角频率为1 10s -，则物体的总能量为， 周期为 。（4510J -?，0.628s ） 易：2、一平面简谐波的波动方程为y 0.01cos(20t 0.5x)ππ=-( SI 制)，则它的振幅为 、角频率为 、周期为 、波速为 、波长为 。（0.01m 、20π rad/s 、 0.1s 、 40m/s 、4m ） 易：3、一弹簧振子系统具有1.0J 的振动能量，0.10m 的振幅和1.0m/s 的最大速率，则弹簧的倔强系数为 ，振子的振动角频率为 。（200N/m ，10rad/s ） 易：4、一横波的波动方程是y = 0.02cos2π(100t – 0.4X )( SI 制)则振幅是_________，波长是_ ，频率是 ，波的传播速度是 。（0.02m ，2.5m ，100Hz ，250m.s -1） 易：5、两个谐振动合成为一个简谐振动的条件是 。（两个谐振动同方向、同频率） 易：6、产生共振的条件是振动系统的固有频率与驱动力的频率 （填相同或不相同）。（相同） 易：7、干涉相长的条件是两列波的相位差为π的 （填奇数或偶数）倍。（偶数） 易：8、弹簧振子系统周期为T 。现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体，作成一个新的弹簧振子，则其振动周期为 T 。（T ） 易：9、作谐振动的小球,速度的最大值为,振幅为 ,则 振动的周期为 ;加速度的最大值为 。（ 3 4π ，2105.4-?）
易：10、广播电台的发射频率为 。则这种电磁波的波长 为 。（468.75m ） 易：11、已知平面简谐波的波动方程式为 则 时，在X=0处相位为 ，在 处相位为 。 (4.2s,4.199s) 易：12、若弹簧振子作简谐振动的曲线如下图所示,则振幅; 圆频率 ;初相 。(10m, 1.2 -s rad π ,0) 中：13、一简谐振动的运动方程为2x 0.03cos(10t )3 π π=+ ( SI 制)，则频率ν为 、周期T 为 、振幅A 为 ， 初相位?为 。(5Hz , 0.2s , 0.03m , 23 π) 中：14、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的震动方程分别为10.05cos(4)()x t SI ωπ=+和20.05cos(1912)()x t SI ωπ=+， 其合成运动的方程x ＝ ；()12 cos(05.0π ω- =t x ) 中：15、A 、B 是在同一介质中的两相干波源，它们的 位相差为π，振动频率都为100Hz ，产生的波以10.0m/s
大学物理复习题答案(振动与波动)
大学物理1复习题答案 一、单选题（在本题的每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内） 1．一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和 T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为'T 1和'T 2。则有 ( B ) A ．'T T >11且 'T T >22 B ．'T T =11且 'T T >22 C ．'T T <11且 'T T <22 D ．'T T =11且 'T T =22 2．一物体作简谐振动，振动方程为cos 4x A t ?? =+ ?? ? πω，在4 T t = （T 为周期）时刻，物体的加速度为 ( B ) A. 2ω 2ω C. 2ω 2ω 3．一质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为/2A -，且向x 轴的正方向 运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ( D ) A A A A A A C) A x x A A x A B C D 4. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动方程为 )cos(1αω+=t A x ．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二 个质点正在最大正位移处．则第二个质点的振动方程为 ( B ) A. )π21cos( 2++=αωt A x B. )π21 cos(2-+=αωt A x ． C. )π2 3 cos( 2-+=αωt A x D. )cos(2π++=αωt A x ．
5．波源作简谐运动，其运动方程为t y π240cos 10 0.43 -?=，式中y 的单位为m ，t 的单 位为s ，它所形成的波形以s m /30的速度沿一直线传播，则该波的波长为 ( A ) A ．m 25.0 B ．m 60.0 C ．m 50.0 D ．m 32.0 6．已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： ( B ) A ．cos x t ππ??=+ ???2 2233 B ．cos x t ππ??=+ ??? 42233 C ．cos x t ππ??=- ???22233 D ．cos x t ππ??=- ??? 42233 二． 填空题（每空2分） 1． 简谐运动方程为)4 20cos(1.0π π+ =t y （t 以s 计，y 以m 计） ，则其振幅为 0.1 m,周期为 0.1 s ；当t=2s 时位移的大小为205.0m. 2．一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动 的初相为4 0π ?=，振动方程为_)4 cos(2π π+ =t y 。 3. 平面简谐波的波动方程为()x t y ππ24cos 08.0-=，式中y 和x 的单位为m ，t 的单位为s ，则该波的振幅A= 0.08 ，波长=λ 1 ，离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差=?? -Л 。 4. 一简谐振动曲线如图所示，则由图可确定在t = 2s 时刻质点的位移为___0 ___，速度为：πω3=A ． t
大学物理第二章练习答案
第二章 运动的守恒量和守恒定律 练 习 一 一. 选择题 1. 关于质心，有以下几种说法，你认为正确的应该是（ C ） (A ) 质心与重心总是重合的； (B ) 任何物体的质心都在该物体内部； (C ) 物体一定有质心，但不一定有重心； (D ) 质心是质量集中之处，质心处一定有质量分布。 2. 任何一个质点系，其质心的运动只决定于（ D ） (A )该质点系所受到的内力和外力； (B) 该质点系所受到的外力； (C) 该质点系所受到的内力及初始条件； (D) 该质点系所受到的外力及初始条件。 3.从一个质量均匀分布的半径为R 的圆盘中挖出一个半径为2R 的小圆盘，两圆盘中心的距离恰好也为2R 。如以两圆盘中心的连线为x 轴，以大圆盘中心为坐标原点，则该圆盘质心位置的x 坐标应为（ B ） (A ) R 4； (B) R 6; (C) R 8； (D R 12 。 4. 质量为10 kg 的物体，开始的速度为2m/s ，由于受到外力作用，经一段时间后速度变为6 m/s ，而且方向转过90度，则该物体在此段时间内受到的冲量大小为 （ B ） (A )s N ?820； (B) s N ?1020； (C) s N ?620； (D) s N ?520。 二、 填空题 1. 有一人造地球卫星，质量为m ，在地球表面上空2倍于地球半径R 的高度沿圆轨道运行，用m 、R 、引力常数G 和地球的质量M 表示，则卫星的动量大小为R GM m 3。 2．三艘质量相等的小船在水平湖面上鱼贯而行，速度均等于0v ，如果从中间小船上同时以相对于地球的速度v 将两个质量均为m 的物体分别抛到前后两船上，设速度v 和0v 的方向在同一直线上，问中间小船在抛出物体前后的速度大小有什么变化:大小不变。 3. 如图1所示，两块并排的木块A 和B ，质量分别为m 1和m 2，静止地放在光滑的水平面上，一子弹水平地穿过两木块。设子弹穿过两木块所用的时间分别为?t 1和?t 2，木块对子弹的阻力为恒力F ，则子弹穿出后，木块A 的速度大小为 1A B F t m m ??+，木块 B 的速度大小为12F t A B B F t m m m ????++。 三、计算题 1. 一质量为m 、半径为R 的薄半圆盘，设质量均匀分布，试求薄半圆盘的质心位置。 图1
大学物理第二章 质点动力学习题解答
第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-=ρ（单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+==ρρ, j i a m F ?12?24+==ρρ 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+=ρ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a ρρρ2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F ρ ρρ2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' a T' a
大物B课后题10-第十章 波动学基础(1)
习题 10-5 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是3 ,,,424 λλλλ。 设振源的振动方程为cos 2y A t πω?? =+ ?? ? ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1） 122,2,2x x π ?π ?π πλ λ???== ?== 3432,222x x π?π?ππλλ ???==?== （2） 112233440,, 2 2 2 3 ,222 π π π ????ππ ??π??π = -?== -?=- =-?=-=-?=- （3） 1212343411 ,2422 3,242t T T t T T t T T t T T ??ππ??ππ ???= =?==???==?== 10-6 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为2 1.010m -?，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1 400u m s -=?的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。 解 根据题意可知，波源振动的相位为3 2 ?π= 2122200, 1.010,4000.01 A m u m s T ππωπ--====?=? 波动方程 2 31.010cos 2004002x y t m ππ-??? ?=?- + ???? ?? ? 10-7 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。 解 （1）比较系数法
大学物理振动波动例题习题
精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。
《大学物理学》机械波练习题
机械波部分-1 《大学物理学》机械波部分自主学习材料(解答) 一、选择题 10-1.图(a )表示0t =时的简谐波的波形图,波沿x 轴正方向传播,图(b )为一质点的振动曲线,则图(a )中所表示的0x =处质点振动的初相位与图(b )所表示的振动的初相位分别为( C ) (A)均为2π; (B)均为 π-; (C)π 与 π-; (D)π-与π。 【提示:图(b ) 2 π- ,图(a ) 可见0x =则初相角为2 π】 10-2.机械波的表达式为0.05cos(60.06)y t x ππ=+,式中使用国际单位制,则( C ) (A)波长为5m ; (B)波速为1 10m s -?; (C)周期为 1 3秒; (D)波沿x 正方向传播。 【提示:利用2k πλ=知波长为1003λ= m ,利用u k ω=知波速为1 100u m s -=?,利用2T πω=知周期为1 3 T =秒,机械波的表达式中的“+”号知波沿x 负方向传播】 10-3.一平面简谐波沿x 轴负方向传播,角频率为ω,波速为u ,设4 T t =时刻的波形如图所示, 则该波的表达式为( D ) (A)cos[()]x y A t u ωπ=- +; (B)cos[()]2x y A t u π ω=--; (C)cos[()]2x y A t u π ω=+-; (D)cos[()]x y A t u ωπ=++。 【提示:可画出过一点时间的辅助波形, 可见在4 T t = 时刻,0x =处质点的振动 为由平衡位置向正方向振动,相位为2 π-, 那么回溯在0t =的时刻,相位应为π】 10-4.如图所示,波长为λ的两相干平面简谐波在P 点相遇,波在点1S 振动的初相就是1?,到P 点的距离就是1r 。波在点2S 振动的初相就是2?,到P 点的距离就是2r 。以k 代表零或正、负整数,则点P 就是干涉极大的条件为( D ) (A)21r r k π-=; O O 1 S 2 S r
大学物理振动与波动
振动与波动 选择题 0580.一长为l 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示）， 作成一复摆．已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量23 1 ml J =，此摆作微小振 动的周期为 (A) g l π2. (B) g l 22π. (C) g l 322π . (D) g l 3π. ［ C ］ 3001. 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时．若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π． (B) π/2． (C) 0 ． (D) θ． ［ C ］ 3003.轻弹簧上端固定，下系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2 的物体，于是弹簧又伸长了?x ．若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为 (A) g m x m T 122?π= ． (B) g m x m T 212?π=． (C) g m x m T 2121?π= ． (D) g m m x m T )(2212+π=?． ［ B ］ 3004.劲度系数分别为k 1和k 2的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为 (A) 21212)(2k k k k m T +π =． (B) ) (221k k m T +π= ． (C) 2121)(2k k k k m T +π=． (D) 2 122k k m T +π=． ［ C ］ 3255.如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为4m 的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质 量为m 的物体，则这三个系统的周期值之比为 (A) 1∶2∶2/1． (B) 1∶2 1 ∶2 ．
大学物理 机械波习题思考题及答案
习题8 8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m 的两质点A 与B ，B 点振动相位 比A 点落后 6 π ，已知振动周期为2.0s ，求波长和波速。 解：根据题意，对于A 、B 两点，m x 26 12=?=-=?，π ???， 而m 242=??= ?λλ π ?x ，m/s 12== T u λ 8-2．已知一平面波沿x 轴正向传播，距坐标原点O 为1x 处P 点的振动式为 )cos(?ω+=t A y ，波速为u ，求： （1）平面波的波动式； （2）若波沿x 轴负向传播，波动式又如何? 解：（1）设平面波的波动式为0cos[]x y A t u ω?=-+（），则P 点的振动式为： 1 0cos[]P x y A t u ω?=- +（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u ω??=+，∴平面波的波动式为：1 cos[()]x x y A t u ω?-=-+； （2）若波沿x 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为： 0cos[]x y A t u ω?=++（），则P 点的振动式为： 10cos[]P x y A t u ω?=++（），与题设P 点的振动式cos()P y A t ω?=+比较， 有：10x u ω??=-+，∴平面波的波动式为：1 cos[()]x x y A t u ω?-=++。 8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A 点的振动规律为cos(2)y A t πν?=+，试写出： （1）该平面简谐波的表达式； （2）B 点的振动表达式（B 点位于A 点右方d 处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O 点为原点平面简谐波的表达式为： 0cos[2]x y A t u πν?=++（），则A 点的振动式：
大学物理习题解答8第八章振动与波动 (1)
第八章 振动与波动 本章提要 1. 简谐振动 · 物体在一定位置附近所作的周期性往复运动称为机械振动。 · 简谐振动运动方程 ()cos x A t ω?=+ 其中A 为振幅，ω 为角频率，（ωt+?）称为谐振动的相位，t ＝0时的相位? 称为初相位。 · 简谐振动速度方程 d () d sin x v A t t ωω?= =-+ · 简谐振动加速度方程 2 2 2d ()d cos x a A t t ωω?= =-+ · 简谐振动可用旋转矢量法表示。 2. 简谐振动的能量 · 若弹簧振子劲度系数为k ，振动物体质量为m ，在某一时刻m 的位移为x ，振动速度为v ，则振动物体m 动能为 2 12k E m v = · 弹簧的势能为 2 12p E kx = · 振子总能量为 P 2 2 2 2 2 211()+()22 1=2 sin cos k E E E m A t kA t kA ωω?ω?=+=++ 3. 阻尼振动
· 如果一个振动质点，除了受弹性力之外，还受到一个与速度成正比的阻尼作用，那么它将作振幅逐渐衰减的振动，也就是阻尼振动。 · 阻尼振动的动力学方程为 2 2 2d d 20d d x x x t t β ω++= 其中，γ是阻尼系数，2m γ β= 。 （1） 当22ωβ>时，振子的运动一个振幅随时间衰减的振动，称阻尼振动。 （2） 当22ωβ=时，不再出现振荡，称临界阻尼。 （3） 当22ωβ<时，不出现振荡，称过阻尼。 4. 受迫振动 · 振子在周期性外力作用下发生的振动叫受迫振动，周期性外力称驱动力 · 受迫振动的运动方程为 2 2 P 2d d 2d d cos x x F x t t t m β ωω++= 其中，2k m ω=，为振动系统的固有频率；2C m β=；F 为驱动力振幅。 · 当驱动力振动的频率p ω等于ω时，振幅出现最大值，称为共振。 5. 简谐振动的合成与分解 （1） 一维同频率的简谐振动的合成 若任一时刻t 两个振动的位移分别为 111()cos x A t ω?=+ 222()cos x A t ω?=+ 合振动方程可表示为 ()cos x A t ω?=+ 其中，A 和? 分别为合振动的振幅与初相位 A =
大学物理第二章
一、填空题 补充:刚体绕固定转轴转动时角加速度与力矩关系的数学表达式为 =M J β ； 易1、转动惯量为1002.kg m 的刚体以角加速度为52 .rad s -绕定轴转动，则刚体所受 的合外力矩为 500()N m ? N.m 。 中２、一根匀质的细棒，可绕右端o 轴在竖直平内转动。设它在水平位置上所受重力矩为M ，则当此棒被切去三分之二只剩右边的三分之一时，所受重力矩变为 9 M 。 易３、在刚体作定轴转动时，公式t t βωω+=0成立的条件是 β=恒量 。 中４、一飞轮以300rad 1min -?的转速旋转,转动惯量为5kg.m 2 ,现加一恒定的制动力矩, 使飞轮在20s 内停止转动,则该恒定制动力矩的大小为 2.5(.)N m π . 易５、如图所示，质量为M 、半径为R 的均匀圆盘对通过它的边缘端点 A 且垂直于盘面的轴的转动惯量A J ＝2 32 MR 。 难６、如图示一长为L ，质量为M 的均匀细杆，两端分别固定有质量都为m 的小球。当转轴垂直通过杆的一端时，其转动惯量为 2 21 3 mL ML + ；当转轴通过垂直杆的1/3(1/2;1/4) 处 时 ， 转 动 惯 量 为 2251 99 mL ML + 。 易７、瞬时平动刚体上各点速度大小相等，但方向可以 相同 （填不同或相同）。 易８、刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量分布有关、与转轴位置 有关 （填
无关或有关）。 易９、所谓理想流体是指 绝对不可压缩和 完全没有粘滞性 的流体，并且在同一流管内遵循 连续性 原理。 中１０、一水平流管，满足定常流动时，流速大处流线分布较密,压强较 小 ； 流线分布较疏时,压强较 大 ；若此两处半径比为1∶2，则其流速比为 4：1 易１１、已知消防队员使用的喷水龙头入水口的截面直径是-2 6.410m ′，出水口的截面直 径是-22.510m ′，若入水的速度是1 4.0m S -×，则射出水的速度为 1 26()m s -? 易１２、一长l 为的均匀细棒可绕通过其端、且与棒垂直的水平o 自由转动，其转动慣量为 23 1 ml J =，若将棒拉到水平位置，然后由静止释放，此时棒的角加速度大小为 32g l 。 易1３、一飞轮的转动惯量为J ，在t=0时角加速度为0ω，次后飞轮的经历制动过程，阻力矩的大小与角速度成正比，即ωk M -=，式中比例恒量0φk ，当3 ωω= 时，飞轮的角 加速度为 0 3k J ω- 。 易1４、长为1m ，质量为0.6kg 的均匀细杆,可绕其中心且与杆垂直的水平轴转动其 转动惯量为212 1 ml J = .若杆的转速为30rad.min 1 -,其转动动能为 0.25()J 。 难1５、均匀细棒的质量为M ，长为L ，其一端用光滑铰链固定，另一端固定一质量为m 的
大学物理-波动光学
第十章波动光学 第1课电磁波光的电磁本性 教学目标：1.了解电磁场和电磁波的一般概念 2.了解电磁波的性质及电磁波谱。 教学重点：光的电磁性 教学难点：物质发光的原理 教学资源：网络视频、图片、多媒体设备 教学方法：讲授法、演示法、练习法 课时：2 教学过程： 引入课题： 人们对光（这里主要指可见光）的规律和本性的认识经历了漫长的过程。最早也是最容易观察到达规律是光的直线传播。在机械观的基础上，人们认为光是一些微粒组成的，光线就是这些微粒的运动路径。但人们已觉察到许多光现象可能需要用波动来解释，如牛顿环。与牛顿同时代的惠更斯明确提出光是一种波动，直到进入19世纪，才由托马斯.杨和菲涅尔从实验和理论上建立起一套比较完整的光的波动理论。19世纪中叶光的电磁理论的建立使人们对光波的认识更深入了一步，19世纪末麦克耳孙的实验及爱因斯坦的相对论更完善了光的波动理论。本书关于光的波动规律基本上还是近200年前托马斯.杨和菲涅尔的理论。但许多应用实例是现代化的。正确的基本理论是不会过时的，而且它的应用将随时代的前进而不断翻新，现代的许多高新技术中的精密测量与控制就应用了光的干涉和衍射原理。激光的发明也是40年前的事情。人们对光的理论的认识也没有停止，20世纪初从理论和实验上证实了光具有粒子性，波动光学本身也在不断发展，光孤子就是一例。
本章主要光的波动理论及一些应用。 讲授新课： 一、电磁波的产生 1 无阻尼自由电磁振荡 在电路中，电荷和电流以及与之相伴的电场和磁场的振动，称为电磁振荡。 LC 电磁振荡电路就是一种无阻尼的电磁振荡。开关K 板向右边，使电源对电容器C 充电。 开关K 板向左边，使电容器C 和自感线圈L 相连接。 设某一时刻电路中的电流为i ，此时刻的自感电动势 由于 则 令 则有 其解为 无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化 K A B L C n A B d d i q L V V t C == -22 d 1 d q q t LC =-d d q i t =22 2d d q q o t ω+=21 LC ω=0cos() q Q ω t ?=+00d sin()d π cos(2 q i Q t t I t ωω?ω?= =-+=++
大学物理 第二版 课后习题答案 第十章
习题精解 10-1 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D 各点离波源的距离分别是 3 ,,,424 λλλλ。设振源的振动方程为cos 2y A t πω? ?=+ ?? ? ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多 少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？ 解 （1） 122,2,2x x π ?π ?π πλ λ???== ?== 3432,222x x π?π?ππλλ ???==?== （2） 112233440,, 2 2 2 3 ,222π π π ????ππ ??π??π = -?== -?=- =-?=-=-?=- （3） 121234 3411 , ,,2422 3,,,242t T T t T T t T T t T T ??ππ??ππ ???==?==???==?== 10-2 波源做谐振动，周期为0.01s ，振幅为2 1.010m -?，经平衡位置向y 轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以1 400u m s -=?的速度沿x 轴的正方向传播，试写出波动方程。 解 根据题意可知，波源振动的相位为32 ?π= 2122200, 1.010,4000.01 A m u m s T ππωπ--====?=? 波动方程 231.010cos 2004002x y t m ππ-??? ?=?- + ??????? 10-3 一平面简谐波的波动方程为()0.05cos 410y x t m ππ=-，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x 轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。 解 （1）比较系数法 将波动方程改写成 0.05cos10 2.5x y t m π??=- ??? 与cos x y A t u ω?? =- ??? 比较得
精选-大学物理振动与波练习题与答案
第二章 振动与波习题答案 12、一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅2 10 0.2-?=A 米，周期50.0=T 秒，当0 =t 时 (1) 物体在正方向的端点； (2) 物体在负方向的端点； (3) 物体在平衡位置，向负方向运动； (4) 物体在平衡位置，向正方向运动。 求以上各种情况的谐振动方程。 【解】：π=π = ω45 .02 )m () t 4cos(02.0x ?+π=， )s /m ()2 t 4cos(08.0v π+?+ππ= (1) 01)cos(=?=?，， )m () t 4cos(02.0x π= (2) π=?-=?，1)cos(， )m () t 4cos(02.0x π+π= (3) 2 1)2cos(π=?-=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π+π= (4) 21)2cos(π-=?=π+?， ， )m () 2 t 4cos(02.0x π-π= 13、已知一个谐振动的振幅02.0=A 米，园频率πω 4=弧度／秒， 初相2/π=?。 (1) 写出谐振动方程； (2) 以位移为纵坐标，时间为横坐标，画出谐振动曲线。 【解】：)m () 2 t 4cos(02.0x π+π= ， )(2 12T 秒=ωπ= 15、图中两条曲线表示两个谐振动 (1) 它们哪些物理量相同，哪些物理量不同? (2) 写出它们的振动方程。
【解】：振幅相同，频率和初相不同。 虚线： )2 t 2 1cos(03.0x 1π-π= 米 实线： t cos 03.0x 2π= 米 16、一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程为 t 3cos 4x 1= 厘米 )3 2t 3cos(2x 2π+= 厘米 试用旋转矢量法求出合振动方程。 【解】：)cm () 6 t 3cos(32x π+= 17、设某一时刻的横波波形曲线如图所示，波动以1米／秒的速度沿水平箭头方向传播。 (1) 试分别用箭头表明图中A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 各质点在该时刻的运动方向； (2) 画出经过1秒后的波形曲线。 【解】： 18、波源作谐振动，其振动方程为(m ))240(1043t cos y π-?=，它所形成的波以30m/s 的速度沿一直线传播。