最新重庆大学《生物医学传感器原理与应用》第二章--传感器基础

第二章 传感器基础

§2-1 传感器的静态特性

医用传感器的输入量可以分为静态量与动态量两大类。

静态量：是指固定状态的信号或变化极其缓慢的信号（准静态量）。 动态量：通常是指周期信号、瞬变信号或随机信号。 无论对动态量或静态量，传感器输出量都应不失真地复现输入生理量的变化，其关健决定于传感器的静态特性与动态特性。 一．传感器的静态特性

传感器的静特性—表示传感器在被测量处于稳定状态，输入量为恒定值而不随时间变化时，其相应输出量亦不随时间变化，这时输出量与输入量之间的关系称为静态特性。

这种关系一般根据物理、化学、生物学的“效应”和“反应定律”得到，具有各种函数关系。

传感器的输出输入关系或多或少的存在非线性问题。在不考虑迟滞蠕变不稳定性等因素的情况下，其静态特性可用下列多项式代数方程表示：

n n x a x a x a x a a y +++++= 332210 (2-1)

式中 y — 输出量；

x — 输入量；

0a — 零位输出（零偏）；

1a — 传感器的灵敏度，常用K 表示；

n a a a ,,,32 — 非线性项系数

各项系数不同，决定了特性曲线的具体形式。

由式（2—1）可知，如果0a ＝0，表示静态特性通过原点，这时静态特性是由线性项和非线性的高次项迭加而成。这种多项式代数方程可能有四种情况，表现了传感器的四种静态特性，如图2－1所示。

1．线性特性

在理想情况下，式（2—1）中的零偏0a 被校准（0a ＝0）．且x 的高次项为零。

0,,,32=n a a a 线性方程为: x a y 1= 如图2—1（a ）所示。 此时， K x y a ==/1 K 称为传感器的灵敏度。

2．非线性项仅有奇次项的特性

当式（2—1）中只有x 的奇次项，即： +++=5

53

31x a x a x a y 时，特性如图2—1（b ）所示。在这种情况下，在原点附近相当范围内输出、输入特性基本成线性，对应的曲线有如下特性：

y （x ）＝－y(－x ） 3．非线性项仅有偶次项的特性

当式（2—1）中只有x 的偶次非线性项时．所得曲线不对称，如图2－1（c ）所示。 4．一般情况

对应的曲线如2—1（d ）所示。在实际应用中，如果非线性项的x 方次不高，则在输入量变化不大的范围内，可以用切线或割线来代替实际静态特性的某一段，使得传感器的静态特性近于线性，称之为传感器静态特性的线性化。只要传感器非线性系数较小，测量范围又不大时，即可这样处理。当没计传感器时，把测量范围选择在最接近直线的那一小段，可 使传感器的静态特性近于线性。

传感器的静态特性实际上是非线性的，所以它的输出不可能丝毫不差地反映被测量的变化，对动态特性也会有一定的影响。

传感器的静态特性是在静态标准条件下进行校准的。静态标准条件是指没有加速度、振动、冲击，环境温度一般在室温20℃±5 ℃，相对湿度不大于85％，大气压为101.3士8 kPa 。在这种标准工作条件下，利用一定等级的校准设备，对传感器进行反复的测试，将得到的输出－输入数据列成表格或画成曲线。把被测量值的正行程输出值和反行程输出值的平均值连接起来的曲线称为传感器的静态校准曲线。 二．传感器的静态特性指标 1．线性度

传感器的线性度也叫作传感器特性曲线的非线性误差。

它是用传感器校准曲线与拟合直线之间的最大偏差与传感器满量程输出平均值之比的百分数来表示的（如图2—2所示）：

δL ＝士(ΔL max / Y FS )×100％ （2－2） 式中δL 为线性度；

ΔL max 为校准曲线与拟合直线之间的最大偏差； Y FS 为传感器满量程输出（平均值），Y FS ＝Y max －Y 。

常用的拟合直线的方法：

⑴．采用理论直线作为拟合直线来确定传感器的线性度。

所谓理论直线即式（2－1）静态方程式的第一种情况：Y ＝α1X ，由此式求得的线性度称为理论线性度。拟合直线为传感器的理论特性，与实际测试值无关。该方法十分简单，但ΔL max 较大。图2—3为理论线性度的示意图。

⑵．采用最小二乘法拟合

采用最小二乘法拟合时 ,设拟合直线方程为

y =kx+b (2-3)

若实际校准测试点有 n 个,则第i 个校准数据与拟合直线上相应值之间的残差为

)(b kx y i i i +-=? (2-4)

最小二乘法拟合直线的原理就是使残差平方和∑

?

2i

为最小值 , 即

min

)]([1

22=+-=?∑∑=n

i i i

i

b kx y

(2-5)

也就是使

∑?2i

对k 和 b 一阶偏导数等于零 , 即

0))((22=---=???

∑∑i i i i x b kx y k (2-6) 0)1)((22=---=???

∑∑b kx y b i i i (2-7)

从而求出 k 和 b 的表达式为

2

2)(∑∑∑∑∑--=

i i i i i i x x n y x y x n k (2-8)

22

2

()

i

i

i

i i i

i

x y x x y b n x x -=

-∑∑∑∑∑∑ (2-9)

在获得k 和b 之值后代入式 (2-3) 即可得到拟合直线,然后按式 (2-4) 求出残差的最大值。

大多数传感器的输出曲线是通过零点的,或者使用“零点调节”使它通过零点。某些量程下限不为零的传感器,也应将量程下限作为零点处理。

⑶．分段线性拟合

为减少传感器的非线性误差，提高测量准确度，可进行分段线性拟合，采用软件分段插值进行误差修正。在传感器测量范围进行多点标定，以便在测量时进行非线性误差修正。采用软件进行非线性误差修正的原理如图所示。图中标定了四个测量点，可确定四个点的灵敏度系数，以便分段插值进行修正。对于任意一点的值Fi 可根据此时测得的传感器输出的电压值

Vi,按下式计算。

即，当 1+≤

k k k i i F tg V V F +?-=+1)(θ，k=0,1,2,3

2．迟滞

传感器的正向(输入量增大)和反向(输入量减小)特性的不一致程度。

迟滞特性如图2-4所示，它一般是由实验方法测得。迟滞误差一般以满量程输出的百分数表示，即

δH ＝士(ΔH max / Y FS )×100％ （2-10）

式中 ΔH max —输出值在正反行程间的最大差值。

迟滞误差的另一名称叫回程误差。回程误差常用

绝对误差表示。检测回程误差时,可选择几个测试点。对应于每一输入信号,传感器正行程及反行程中输出信号差值的最大者即为回程误差。

3．重复性

重复性是指传感器在同一工作条件下，输入按同一方向作全量程连续多次变动时所得特性曲线不一致的程度。

如图2-5 所示，正行程的最大重复性偏差为Δ1max 时 , 反行程的最大重复性偏差为Δ2max 。重复性偏差取这两个偏差之中较大者为ΔR max , 再以满量程Y FS 输出的百分数表示,即

δR ＝士(ΔR max ,/ Y FS )×100％ （2-11）

重复性误差属于随即误差，故应根据标准误差计算。检测时可选取几个测试点,对应每一点多次从同一方向趋近,获得输出值系列

in i i i y y y y ,,,,321 ，算出标准偏差σ，然后按以下公式计算重复性误差δ

R

δR ＝士(2～3σ/ Y FS )×100％ （2-12）

标准偏差σ可用贝塞尔公式计算：

1

)(1

2

--=

∑=n y y

n

i i

σ （2-13）

式中 i y － 测量值； y —测量值的算术平均值；n — 测量次数。 4．正确度、精密度、准确度

正确度：测量值有规律地偏离真值的程度，它反映了测量结果的系统误差的大小。 精密度：在同一条件下进行多次测量，测量值不一致的程度，它反映了测量结果的随机误差的大小。精密度由两个因素确定，一是重复性，二是仪表能显示的有效位数。

准确度：输出测量值和它的真值之间的偏差值，是传感器系统误差和随机误差的综合。即准确度是正确度和精密度的综合。

实际测量中．精密度高，不一定正确度高；反之，正确度高，精密度也不一定高。 但准确度高，则需要精密度和正确度都高。

在工程检测中，为简单地表示仪表或传感器测量结果地可靠程度，引入一个仪表精度等级A 地概念。A 定义为，最大绝对允许误差值相对仪表测量范围的百分数，即 A ％=(ΔA/Y FS )×100％

式中 ΔA －最大绝对允许误差值

如压力传感器的精度等级分别为：0.05、0.1、0.2、0.3、0.5、1.0、1.5、2.0 在传感器出厂检验时，其精度等级代表的误差是指传感器测量的最大误差，即极限误差。 例：欲测量10Pa 压力，现有两种量程的压力传感器，一个量程为100Pa ，精度为士1.5级，另一个量程为15Pa ，精度为士2.5级，问选用哪一个传感器合适？通过此例说明了什么？

极限误差ΔA ＝Y FS ×A ％ ，ΔA1＝100×1.5％＝1.5 Pa ，ΔA2＝15×2.5％＝0.375 Pa 所以选量程为15Pa ，精度为士2.5级的传感器。

5．灵敏度

灵敏度是指传感器在稳态下，输出的变化量ΔY 与引起该变化量的输入变化量ΔX

的比

值，用K 表示（图2－6），其表达式为

K=ΔY/ΔX （1-14）

由此可见，传感器输出曲线的斜率就是其灵敏度。对具有线性特性的传感器，其特性曲线的斜率处处相同，灵敏度k 是一常数，与输入量大小无关。

非线性传感器的灵敏度可用dY/dX 表示，数值上等于最小二乘法拟合曲线的斜率。

6．灵敏限

灵敏限是指输入量的变化不至于引起输出量有任何可见变化的量值范围。

例如，某血压传感器当压力小于0.1333 kPa 时无输出，则其灵敏限为0.1333kPa 。 分辨力是指传感器能检测到的最小的输入增量。有些传感器,当输入量连续变化时，输出量只做阶梯变化，则分辨力就是输出量的每个“阶梯”所代表的输入量的大小。

所以灵敏限也可以理解为在传感器输入零点附近的分辨力。

7．零点漂移：

传感器无输入（或在某一输入值不变时），每隔一段时间，其输出偏离零值（或原指示值）。

§2-2 传感器的动态特性

动态特性——传感器对于随时间变化的输入量的响应特性。

标准输入：正弦信号，阶跃信号。 动态特性好：Y 与X 随t 变化的曲线一致或相近。 一、动态特性的一般数学模型

线性系统——能用普通线性常系数微分方程来描述的系统。

()()()()()()()()t X b dt t dX b dt t X d b dt t X d b t Y a dt t dY a dt t Y d a dt t Y d a m m m m m m n n n n n n 01

1

1101111+++=++++------ 式（2-12）

式中：Y(t) — 输出量，X(t) — 输入量，t — 时间，n a a 0— 常数。

用算子D 代表d/dt 时，

(++--11n n n n D a D a …01a D a ++)Y(t)= (

++--1

1m m m m D b D b …01b D b ++)()t x 利用拉氏变换，用S 代替D ，则：S —复参量，S =β+j ω

()()()

()S X b S b S b S b S Y a S a S a S

a m m m m n n n

n

+++=++++----1110111

利用拉氏变换可将高阶微分方程转化为

Y(s)的代数方程，便于求解。 1．零阶传感器：

()()t X b t Y a 00=

()()()t kX t X a b t Y ==

k —静态灵敏度

例：电位器式传感器

kX X L v v i

=?=

2．一阶传感器 ()()()t X b t Y a dt t dY a 001=+

两边同除0a

用算子表示： ()()()t kX t Y D =+1τ 静态灵敏度:

00a b k =

，时间常数: 01

a a

=τ

例：温度计物理模型，根据热平衡原理。

()T mc t T T hs i ?=?- 式中：T —温度计温度(输出Y )，i T —被测温度(输入X)

微分形式：()T T hs dt dT mc i -=，两边同除mc ，i

T mc hs mc hsT dt dT ?=+ 令：τ

=hs mc 时间常数，则：ττi T T dt dT =+ , i T T D hs mc =??? ??+?1

弹簧—阻尼系统，力平衡方程： kx

kY dt dY c =+

达郎贝尔原理： 对任—物体，所有作用力之和为零，即：F F F F k c m =++

m F ——系统的惯性力，等于系统质量m 与加速度的乘积。

3．二阶传感器： ()()()()t X b t Y a dt t dY a dt t Y d a 0012

22=++

()()t kX t Y D D =????

??+?+120202ωξω

式中：

00

a b k =， 静态灵敏度。 20

0a a =

ω，无阻尼固有频率（弧度/秒）

201

2a a a =

ξ，阻尼比，无量纲。

例3：测量心内压液压耦合导管传感器

考虑体积位移 ()t v ，

()()()()

t P t kv dt t dv c dt t v d m =++22

惯性力 阻尼力 弹力 作用压力 式中：m —导管的惯性质量，

k —传感器膜片弹性系数。

()()()()t P t Y k dt t dr R dt t Y d M s e =++22

二阶传感器

动态特征量

二阶传感器的3个特征量分别为：

s k a b k 100==

e s

M k a a =

=200ω

s e k M R a a a 22021=

=ξ

当导管端部压强P ?→膜片、压力A P F ??=→产生位移Y ?，

∴Y k A P s ??=??，体积为A Y v ??=?的流体进入系

统。

∴

v PA A v A P Y A P k s ??=

???=???=2

/ 许多医用传感器都是二阶传感器，

都可表示为弹簧—质量—阻尼系统， 其动态特性都可用二阶微分方程表示：

()()()()

t F t kY dt t dY c dt t Y d m =++22

二、传递函数：

输出信号与输入信号之比（或输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比）。

()()01110111a D a D a D a b D b D b D b D X Y

D W n n n n m m m m ++?++++?++=

=----

①传递函数描述了系统本身的动态性能，而和输入量无关。 ②传递函数不说明被描述的物理结构。

③只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数来描述。 可用拉氏变换的方法来研究。 三、动态响应

动态响应――传感器对输入的动态信号产生的输出，与输入类型有关。 1．正弦输入时的频率响应 输入信号：()t A t X ωsin =

输出信号：()()φω+=t B t Y sin

频率响应（频率特性）——在稳定状态下，B/A 幅值比和相位φ随ω而变化的状况。

（1）频率响应的通式： 用ωj 代替D 或S.

频率传递函数，

()()()()()()011

1011

1a j a j a j a b j b j b j b j X Y

j W n n n n m m m

m

++?++++?++==----ωωωωωωωω 用极坐标表示：()()()φφωφωφωsin cos j A B e A B Ae Be j X Y j t

j t j +===+

欧拉公式： t j t e it

sin cos +=， t j t e it

sin cos +=

()()ωωωm e jI R j W +=)(

∴幅频特性：

()()()ωωω2

2j W m e I R += 相频特性： ∠

()()

()ωωωe m

R I arctg

j G = 频率传递函数是一个复数量，幅值为A B

输入输出，相角Φ为输出相位与输入相位的差。

（2）零阶传感器

()()()()k a b j X Y s X Y D X Y

D W ====

=

0ω

具有理想的动态特性，与频率无关，输出与输入成正比，无幅值和相位失真。

（3）一阶传感器的频率传递函数（频率响应），

()()D k

D X Y D W τ+=

=1 ()ωτωj k

j W +=

1

幅频特性：

()()()222

21τωωωω+=+=k

I R j W m

e

相频特性：∠

()()()ωωωe m R I tg j G 1

-=

()ωτφ-=∴-1tg

如图2-15所示，时间常数τ愈小，频率特性愈

好。 ∵τ大，()

ωj W 就小。

（4）二阶传感器的频率传递函数

()()1

20

2

2++

==

ωξω

D

D

k D X Y

D W

()1202

0++???? ??=

ωωξωωωj j k

j W

幅

频

特

性：

()2120222

2

041??

?+???

?????????????? ??-=

ωωξωωωk

j W

相频特性：

212q q

arctg

-=ξφ

式中：

0ωω=

q

二阶传感器的频率特性如图2-16所示， 讨论：

①当0ωω

<<1 测量动态参数和静态参数是一

样的。（见0ωω

<1那段曲线）

②当0ωω

>>1，

()ωj W →0 φ→180°，

即当被测频率ω高于传感器固有频率0ω很

多时，传感器无响应。

③当0ωω

=1，且ξ→0

时，传感器出现谐振，

幅值相位严重失真。

④ξ↑，频率响应最大值↓；

当ξ>1时，幅频特性是一条递减曲线，无凸峰； ξ=0.707左右，幅频特性平直段最宽。

2．阶跃输入时的阶跃响应

（1）一阶传感器的阶跃响应

()()()s k

s X s Y s W τ+=

=

1

则 ()()()s X s W s Y ?=

∵单位阶跃函数的拉氏变换为：s 1

， 上式展开成部份分式()11s s k s s τττ??+- ? ?+?? ∴

()11+-

=s s s Y ττ

对上式作拉氏逆变换，得： ()τ

t

e

t Y --=1

（t ≥0）

t ↑，Y(t)→1； 当t=τ时，Y(t)=0.63 时间常数τ越小，响应就越快。

（2）二阶传感器的阶跃响应

将式（2-22）变形，上下同乘20ω

()()()2

022

02ωξωω++==s s k s X s Y s W

则：

()()

2

00220

2ωξωω++=s s k s W （2-48） 当为惯性质量－弹簧－阻尼二阶系统时（典型的）。

2

0001

1ωm k a b k ===

，

m k

a a ==2

0ω， mk c a a a 22021==ξ

根据式（2-49）讨论：

①欠阻尼0<ξ<1，由式（2-49），t ↑、t

e

0ξω-→0，Y(t)→k

输出信号幅值按指数衰减，振荡频率d ω，ξ越大，衰减越快。

如果ξ=0，无阻尼等幅振荡。 ②ξ=1，临界阻尼

式（2-48）成为，()()2

020

ωω+=

s s k s Y

()()01cos Y t k t ω=-????

()()[]()[]

t e k s Y L t Y t 01110ωω+-==-- （2-51）

由式（2-51），t ↑，Y(t)→k 且Y(t)≤k ，表明系统既无超调也无振荡 ∵ Y(t)≤k ，∴无超调，∵无sin 项，∴无振荡

③ ξ>1，过阻尼，二阶系统蜕化成一阶系统的惯性环节。

由式（2-52），后一项，分母和指数都是相加，当t ↑，第2项先→0，成为一阶惯性环

节。ξ决定阶跃输入响应的振荡程度，0ω决定系统的响应速率，0ω大，响应快。

惯性环节：凡传递函数具有

()s k

s W τ+=

1的形式称为惯性环节。（一阶系

统）

当输入为单位阶跃函数时，惯性环节

的输出将按指数曲线上升，具有惯性。

∴当ξ一定的值，欠阻尼系统（0<ξ<1）比临界阻尼系统（ξ=1）更快达到稳态值，而过阻尼系统（ξ>1）反应迟钝，一般系统大都设计成欠阻尼系统，ξ=0.6～0.8

二阶系统动态响应特性的特征值：

上升时间τt ——稳态值的10%上升到稳态值的90%的时间

稳定时间s t ——从阶跃输入开始，到系统稳定，在给定稳态值的百分比内所需的时间 峰值时间tp ：——响应曲线达到第一个峰值的时间。 衰减度：()a

b a Y

Y Y -=ψ

超调量：

%100)(?∞=

Y Y a

p σ ,

()∞Y ——稳态值。

()[]101.0ln /1

2+=

p

σπξ （2-55）

测出p σ可由式（2-55）算出ξ；测出T ，可2

01ξ-=T T 算出固有周期（频率）。 传感器的频率上限n f 和上升时间τt 的乘积是一常数：

45.035.0～t f n =?τ

四、传感器的动态测量误差（包括稳态误差、动态误态） 1．稳态误差——输出量达到稳定状态后与输入量之间的差别。

稳态特性一般用频率特性来表示。

传感器对各谐波频率的不同响应，在一定程度上决定了稳态误差。

要使输出信号不失真，应具有：①平坦的幅频特性；②线性的相频特性。 线性相频特性：两种情况

①无滞后，任何频率相移为零； ②相移随频率线性增大（有滞后 ） 传感器固有频率愈高，则测量频率也愈高。一般要求：0f >(4～5)m ax f 当满足以上条件，仍工作在幅频特性平坦段，不会产生显著动态误差。 传感器的幅值误差：

相对幅值误差：()111

-=-?=-=

K j W K A B KA KA B ωδ 一阶传感器：1

11

2

2-+=τωδ

二阶传感器：

1

411

2

0222

2

-+???

????????

?

??-=

ωωξωωδ

令：

0ωω=q 得, ()14112

222-+-=q q ξδ （2-56） 可知：幅值误差δ与q 、ξ有关，q 越小，δ越小；ξ↑，δ↓，ξ=0.7时，δ最小。

当δ一定，

0ωω=

q 一定，即传感器固有频率0ω愈高，可测频率ω愈高。 一般取()max 054f ～f >，传感器仍工作在幅频特性平坦段，不会产生显著的动态测量

误差。

稳态误差与频率特性的关系：

当ξ<0.707，频率特性谐振峰超过允

许值，极限频率比取1q q =

当ξ>0.707，取'

1q q =

由规定的（或希望的）误差δ求得q ，再由测量频率范围ω选取传感器固有频率0ω。

固有频率0ω愈高，可测信号频率ω愈

高。

当考虑相位误差时，设允许的相位差<'

ψ，则允许的极限频率q 为：

b

b q 2

2+-=

ξξ ， 式中'ψ=tg b (2-61)

同时考虑幅值、相位误差时，q 为（2-56）（2-61）联立解曲线的交点。 例：

图2-27 图2-28

0f ≥（4～5）max f ?

图2-28是气泡对0f 的影响。

有气泡时，d V ↑由式（2-27）、（2-28），0f ↓或ξ↑。 2．动态误差：

当输入信号跃变时，输出量由一个稳态到另一个稳态之间过渡过程的误差。 当动态误差为零时，过渡过程结束。

3．动态测量误差产生的原因：——传感器惯性滞后。 （1）对被测量信号来不及响应，或不能让所有成份通过。 （2）不同频率成份受到不同衰减和延迟。

§2-3 机电模拟

利用和机械系统相对应的等值电路来研究机械系统的谐振、频率特性、阻尼系数等特性。 1．力——电压模拟（阻抗模拟）

在一个二阶机械系统中，根据达郎贝尔原理：对任—物体，所有作用力之和为零，即：

F F F F k c m =++

m F ——系统的惯性力，等于系统质量m 与加速度的乘积。

()[]

F x vdt k cv dt dv m kx dt dx c dt dx m t =+?++?++002

RLC 串联电路： ()[]

u

q i d t c Ri dt di L t =+?++01

机械功率：v F t x F ?=? 电功率：i u t q u ?=?

力—电压模拟适合于力与电压之间有直接关系的系统，加压电式传感器。

缺点：破坏了结构一致性。

机械：并联结构； 电学：串联结构；

2．力——电流模拟（导纳模拟）

i i i i c R c =++

[]

)

0(1ψ+?++=udt L R u dt du c i

适合于电动式和磁电式传感器。 优点：结构形式一致。

缺点：频率特性不一致。f ↑，m 受的阻尼力c F ↑。

而电路系统，f ↑，电容的电抗↓ c Z ↓

c j fc jz Z c ωπ1

1

=

=

3．电阻抗与机械阻抗：

图2-37 RLC 电路中，

电阻抗：

??? ??-+=++==

c L j R c j L j R I u Z e ωωωω11，

谐振频率：

Lc 10=

ω

机械阻抗：

??? ??-+=++==

ωωωωk m j c j k m j c v F Z m ，固有振动频率：m k

=0ω

根据表2-1对应。

§2-4 可靠性设计

一、可靠度R

可靠性定义：产品在规定条件下和时间内，完成规定功能的能力。 可靠度R ——产品在规定条件下和时间内，完成规定功能的概率。 不可靠度F ——产品在规定条件下和时间内，丧失规定功能的概率。

R+F=1 二、失效率()t λ：

()t λ——在t 时刻前未失效的条件下，在t 时刻后的单位时间发生失效的概率。

()()()t t N t r t s ???=

λ

（1）

()t r ?——（t ，t +△t ）内失效的产品数；r (t )——（0，t ）内产品累积失效数。 ()t N s ——到t 时刻，尚未失效的产品数。

①早期失效阶段：特点：失效率高。原因：设计、制造工艺缺陷

②偶然失效阶段：特点：失效率低，且稳定。偶然因素，质量缺陷，材料特点，环境 ③耗损失效阶段：特点：λ(t )随时间增加而增加。原因：磨损、腐蚀、疲劳、老化。 失效率λ(t )与可靠度R 和失效概率密度f (t )有关

可靠度，()()()001N t N N t r t R s =-

= （2） 式中： N 0—产品总数，r (t )——同上。

由（1）式：()()()())()

(1

t N t dr dt t dt t dr t N t s s =

??

=

λλ （3） 由（2）式：由()()()()

t dR N t dr dt N t dr dt t dR 00-=?-= 代入上式得：

()()()()()t R t dR t dR t N N dt t s -

=?-=

0λ

（4）

()()()()t R t R t dR dt t t t ln 0

0=?=?-∴λ ()()dt

t t e t R λ0?-=∴

当λ(t )为恒定值，()t

e t R λ-=， F R -=1

自然累积失效概率： ()t

e t F λ--=1

则失效概率密度：

()()()dt t dF dt t dR t f =-

= （5）

由式（4）， ()()()

t R t dt t dR ?=-

λ 代入（5）式得

λ(t )、R(t )、f (t )之间的关系：

()()()t R t f t =

λ 三、可靠寿命： 对于不可修复产品，指发生失效前的工作时间。

可修复产品，指相邻两故障间的工作时间。（无故障工作时间）

可靠度：()t

e t R λ-=， 平均寿命：

λθλ1

0=??=-∞dt e

t

当产品寿命服从指数分布时，θ为失效率λ的倒数。 可靠寿命：给定的可靠度所对应的时间。

四、不维修系统的可靠性

1．串联系统——任一单元失效会使整个系统失效的系统

()∏==n

i i s t R t R 1

)

(

串联单元越多，可靠度越愈低。

2．并联系统——组成系统的所有单元都失效时才失效的系统。

()∏==n

i i s t F t F 1

)

(

()()()1

,1=+=+t F R t F t R i i s s

∴

()∏=-=-=n i i s s t F t F t R 1)

(1)(1

()]

)(1[1)(11

∏=--=-=n

i i s s t R t F t R

并联元素越多，系统可靠度愈。

()11<-t i R ，连乘后，值愈小，因而R S 就越大； 串联系统正好相反。

五、医疗设备与可靠性的关系：

Ⅰ类设备：故障会直接或间接造成病人残废或严重危害，可靠性要求非常高。

Ⅱ类设备：用于治疗与检测的绝大部份设备，故障后有时间修理、替换。 Ⅲ类设备：为病人提供方便，出故障不会危及生命健康。 六、医疗设备可靠性模型：

单个设备可靠度：()()dt

t t

e t R λ0?-=

失效前平均时间：()()dt t R MTTF ∞

?=0