概率统计理论解释投资风险与收益问题.
淮北师范大学
2011届学士学位论文
概率统计理论解释投资风险与收益问题
学院、专业：数学科学学院数学与应用数学
研究方向：概率统计
学生姓名：郭龙
学号： 20071441069
指导教师姓名：马建华
指导教师职称：副教授
2011年4月10日
概率统计理论解释投资风险与收益问题
郭龙
（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）
摘要
本文主要从两个部分讲述概率统计理论解释投资风险与收益问题.第一部分，通过对概率统计理论中的期望的定义、计算以及应用来解释投资收益的问题,并且给出相关的例题进一步解释该问题.第二部分，首先分别分析投资收益在服从正太分布以及随机分布的情况下利用概率统计理论知识中的方差计算风险，解释投资风险问题.然后分析投资收益与投资风险的联系,即投资风险与投资收益两者之间怎么变化.最后给出计算投资风险的例子进一步解释投资风险及其相关问题.
关键词: 概率统计，投资风险，投资收益
The Problem of Investment Risk and Investment Profit are explained by Probability and Statistics
Guo Long
（School of Mathematical Sciences of Huaibei Normal University，Huaibei，235000）
Abstract
This article mainly explains the problem of investment profit and investment risk by probability and statistics theories from two parts. In the first part, it explains investment profit through the definition, calculation and application of expectations from the probability and statistics theories, and gives a further related explanation by some examples of this problem. In the second part, firstly, use the variance in probability and statistics theories to calculate the investment risk from two situations: when it obeys the normal distribution and random distribution .Then analyzes the connections between investment profit and investment risk, how changes the connections between investment risk and investment profit. Finally it gives some examples to calculate investment risk and its related problems.
Key words: probability and statistics, investment risk, investment profit
目录
引言 (1)
一、概率统计理论解释投资收益问题 (1)
（一）投资收益 (1)
（二）投资收益率 (1)
（三）概率 (1)
（四）资产组合的预期收益率 (2)
（五）平均收益 (2)
二、概率统计理论解释投资风险问题 (3)
（一）投资风险 (3)
（二）用概率论表示投资风险 (4)
（三）投资风险的测定 (5)
结论 (10)
参考文献 (11)
致谢 (12)
引言
概率统计理论在整个数学领域是一个相当重要的分支，并且为经济中投资学的发展奠定了基础，它能够极其方便的解决投资中的很多问题.本文就以概率统计理论为基础解释投资收益与风险问题并给出实例方便读者理解.
一、概率统计理论解释投资收益问题
（一）投资收益
投资者进行投资的目的是获取一定的收益，由于投资行为而获得的收益即收入或资本的增益，称之为投资收益.
（二）投资收益率
投资收益总额占投资总额的百分比. 投资收益率100%=?投资总收益
投资总额
（三）概率
在经济活动中，某一事件在相同的条件下可能发生也可能不发生，这类事件称为随机事件.概率就是用来表示随机事件发生可能性大小的数值.投资的收益并不是稳定的，由于投资市场是不确定的，故投资也存在着不确定性.这时引入某种收益率发生的概率，即某种投资的收益率在市场上发生的可能性及其大小.
在引入概率统计理论之后来定义期望收益率
()()()1
n
i i i E R r p ==∑
()E R 投资期望收益率 i r 是第i 种可能的收益率
i p 是收益率发生的概率 n 是可能性的数目
（四）资产组合的预期收益率
()()i i E R w E r =?????∑
i r 表示第i 期的投资收益率 i w 是收益率发生的概率
（五）平均收益
（收益率满足随机分布，并且是等概率事件） 1.算术平均数
12n
r r r R n
++??????=
i r 表示第i 期的投资收益率，n 表示持有期数.
2.几何平均数（收益率满足随机分布，并且是等概率事件）
1R +=i r 表示第i 期的投资收益率
例1 某公司正在考虑以下三个投资项目，其中A 和B 是两只不同公司的股票 而C 项目是投资于一家新成立的高科技公司，预测的未来可能的收益率情况如表所示.
表1 项目投资收益表
计算每个项目投资的预期收益率，即概率分布的期望值如下：
()()
E R=-?+?+?+?=
22%0.220%0.435%0.250%0.117.4%
A
()()
10%0.100.27%0.430%0.245%0.112.3%
E R=-?+?+?+?+?=
B
()()()
100%0.110%0.210%0.440%0.2120%0.112%
E R=-?+-?+?+?+?=
C
例2 某企业正在考虑的A、B投资项目，项目数据如下
表2 项目投资收益表
R=?+?+?=
40%0.220%0.60%0.220%
A
()
R=?+?+-?=
70%0.220%0.630%0.220%
B
例 3 某公司股票的历史收益率数据如表所示，试用算术平均值估计其预期收益率.
表3 股票收益率表
＝（＋＋＋＋＋）＝％
预期收益率26%11%15%27%21%32%/622
二、概率统计理论解释投资风险问题
风险按新华字典的解释是：做某件事有遭到损害或失败的可能性.(风险：可能发生的危险.危险：有遭到损害或失败的可能.)n 根据这个解释，风险应该是做某件事有遭到损害或失败的概率.
（一）投资风险
投资者进行投资是为获取一定的收益，但是投资发生在现在，收益是未来的事，受时间等因素的影响，未来的收益可大可小，甚至受损失，这种收益的不确定性即是风险.
投资风险主要有市场风险，利率风险，购买力风险，违约风险，财务风险，经营风险等.
（二）用概率论表示投资风险
1. 投资收益是正态分布随机变量的情况
当投资收益是正态分布随机变量时，投资风险的表示.设某项投资的收益X 是服从正态分布的随机变量，()2,N μσX .按照投资风险的本义，它是发生亏本即负收益的概率．用数学符号表示即：()0X P <.由正态分布的理论知
()0X P <0μσ-??=Φ ???μσ-??
=Φ ???，(其中()x Φ是标准正态分布的分布数)．因为
()x Φ严格单调上升，因此，当μ固定时，()0X P <的值：μσ-??
Φ ???
，
关于()0X P <严格单调上升．即()0X P <的大小由σ的值确定，σ越大，()0X P <就越大，风险越大；σ越小，()0X P <越小，风险越小．由此可见，用σ的大小来描述风险大小与用()0X P <描述风险是等价的．而σ是正态分布随机变量X ，
()
2,N μσX 的标准差，即方差2σ的算术根：σ=，所以风险的大小等价
于方差的大小．
2. 投资收益是一般的随机变量(任意分布)的情况
当投资收益是一般的随机变量(任意分布)时，投资风险的表示.以上我们对收益X 是正态分布的随机变量其风险大小和方差大小的等价性给出了证明．下面我们将证明投资收益是一般的随机变量其风险大小和方差大小的等价性．为此，假设投资收益随机变量X 的分布函数是()F x ，方差2DX σ=, ()0σ<<+∞，期望收益EX μ=．()*X F x 是标准化随机变量*X X μ
σ
-=
的分布函数．
显然，对于给定的μ,总存在充分大的正数0x 使00x μ-<，此时
()0P X x μ<-表示投资该项目亏本的概率，即该项目的投资风险．而对于任意的正数0x
()0P X x μ<-()**0*00x X X x x x P X dF x F σσσ<--????
=<== ? ?????
?，
因()*X F x 是单调非降函数，所以，当0x 固定时，()0P X x μ<-*0X x F σ-??
= ???
是σ
的单调不降函数．
因此，投资风险——投资亏本的概率：()0P X x μ<-是σ的单调不降函数，即()0P X x μ<-的大小由σ的值确定，σ越大，()0P X x μ<-越大，风险越大；
σ越小，()0P X x μ<-越小，风险越小．由此可见，用σ的大小来描述风险大
小与用()0P X x μ<-描述风险是等价的．这就说明了，对于投资收益是任意分布的随机变量，其风险大小也是由其方差2σ确定的．
（三）投资风险的测定
1.方差
方差是统计学上一种基本量，它表示一组变量与其平均值的偏差平方和的平均数，是测定离散程度的一种统计量，记为2σ，在投资学上，方差表示收益的各种可能性值与其期望值的偏离程度.其基本公式为
()()2
22E E σξξ=-????
()E ξ为各期收益的期望值.方差大，表明收益与其期望值的偏离程度大，即收益的不确定程度大，因而风险大，反之，风险也小.
2.标准差
标准差即方差的平方根，用σ表示：
σ=
方差大，标准差也大，方差小，标准差也小.
例4（属于已知未来收益率发生的概率以及未来收益率的可能值时）以A项目为例：
表4 投资项目未来可能的收益率情况表
A项目方差
()()
22%0.1(2%)0.220%0.435%0.250%0.117.4%
E R=-?+-?+?+?+?=
A
()()
E R=-?+?+?+?+?=
10%0.1(0.0%)0.27%0.430%0.245%0.112.3% B
()()
100%0.1(10%)0.210%0.440%0.2120%0.112%
E R=-?+-?+?+?+?=
C
表5 相关数据计算表
A项目标准差：
σ=
20.03%
A
B项目标准差：
16.15%B σ=
A 项目标准离差率：
()
20.03%
1.1517.4%
A
A A V E R σ=
=
≈
B 项目标准离差率：
()
16.15%
1.311
2.3%
B
B B V E R σ=
=
≈
结论：从标准差的计算可以看出，项目A 的标准差20%大于项目B 的标准差16.15%，似乎项目A 的风险比项目B 的风险大，然而从标准离差率的计算来看，由于项目A 的预测收益率17.4%大于项目B 的预期收益率12.3%，使得项目A 的标准离差率1.15却小于项目B 的标准离差率1.31.这样一来，项目A 的相对风险（即每单位收益所承担的风险）却小于项目B.
3.投资组合风险的度量
用两项投资组合的收益率的方差、标准差来衡量
22222
1122121,2122w w w w σσσρσσ=++
p σ=例5 有项目A 、B 两个投资项目（如下）
表6 项目投资相关指数表
A 和
B 的相关系数：0.2
要求计算投资于A 和B 的组合标准差.
投资组合的标准差 12.65%=
4.投资收益和投资风险的关系
假设随机变量X 表示某项投资的收益，X 的分布函数是()F x ，方差
2DX σ=，()0σ<<+∞期望收益EX μ=，()*X F x 是标准化随机变量*X X μ
σ
-=
的分布函数．那么投资者获得高的回报(高的收益)的机会，等价于对于一个较大的正数0x ，事件{}0X x μ>+发生的概率，即()0P X x μ>+.
因0x 充分大，所以00x μ-<，因此()0P X x μ<+即表示投资者亏本的概率，也即投资风险．由于
()()**0*0001x X X X x x P X x P X dF x F σμσσ>????
>+=>==- ? ??????
()()**0*000x X X X x x P X x P X dF x F σμσσ<-????
<+=<-==- ? ?????
?
且()*X F x 是单调非降函数，因而当平均收益μ和0x .固定时，
()**0001X x x P X x P X F μσσ????
>+=>=- ? ?????是σ的单调不降函数；
()*00X x P X x F μσ??
<-=- ???
也是σ的单调不降函数．
这说明，如果投资者想以较大的概率获得高回报，即对于充分大的正数0x ，
()0P X x μ>+能足够的大，必须DX 足够的大；此时，即他亏本的概率
()0P X x μ<+也大，
即风险大；反之，若风险小，即()0P X x μ<+小，则DX 小，从而()0P X x μ>+也小，即获得高回报的概率(机会)小．也就是说，如果希望获得高回报，那么必须承担高风险，即高回报和高风险是并存的；没有高风险就不可能有高回报，有高风险才有高收益的机会．而对收益 是正态分布的随机变量时，更有：
()()()0000011x x P X x P X x P X x μμμσσ????
>+=-≤+=-Φ=Φ-=<- ? ?????
因此()0P X x μ>+大，则()0P X x μ<+也同样大，收益和风险的关系更加明显．
综上所述，我们可以得到：
统计学名词解释
统计学名词解释 第一章绪论 1.随机变量：在统计学上，把取值之间不能预料到什么值的变量。 2.总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。 3.个体：构成总体的每个基本单元称为个体。 4.样本：从总体中抽取的一部分个体，称为总体的一个样本。 5.次数：指某一事件在某一类别中出现的数目，又称为频数。 6.频率：又称相对次数，即某一事件发生的次数被总的事件数目除，亦即某一数据出现的次数被这一组数据总个数去除。 7.概率：某一事物或某一情在某一总体中出现的比率。 8.观测值：一旦确定了某个值。就称这个值为某一变量的观测值。 9.参数：又称为总体参数，是描述一个总体情况的统计指标。 10.统计量：样本的那些特征值叫做统计量，又称特征值。 第二章统计图表 1.统计表：是由纵横交叉的线条绘制，并将数据按照一定的要求整理、归类、排列、填写在内的一种表格形式。一般由表号、名称、标目、数字、表注组成。 2.统计图：一般采用直角坐标系，通常横轴表示事物的组别或自变量x，称为分类轴。纵轴表示事物出现的次数或因变量，称为数值轴。一般由图号及图题、图目、图尺、图形、图例、图组成。 3.简单次数分布表：依据每一个分数值在一列数据中出现的次数或总计数资料编制成的统计表，适合数据个数和分布范围比较小的时候用。 4.分组次数分布表：数据量很大时，应该把所有的数据先划分在若干区间，然后将数据按其数值大小划归到相应区域的组别内，分别统计各个组别中包括的数据个数，再用列表的形式呈现出来，适合数据个数和分布范围比较大的时候用。 5.分组次数分布表的编制步骤： （1）求全距 （2）定组距和组数 （3）列出分组组距 （4）登记次数 （5）计算次数 6.分组次数分布的意义： （1）优点：A．可将杂乱无章数据排列成序，以发现各数据的出现次数及分布状况。B．可显示一组数据的集中情况和差异情况等。 （2）缺点：原始数据不见了，从而依据这样的统计表算出的平均值会与用原始数据算出的值有出入，出现误差，即归组效应。 7.相对次数分布表：用频数比率或百分数来表示次数 8.累加次数分布表：把各组的次数由下而上，或由上而下加在一起。最后一组的累加次数等于总次数。 9.双列次数分布表：对有联系的两列变量用同一个表表示其次数分布。
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试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小. 2模型的建立 模型 1.总体风险用所投资S i 中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k ，即要求总体风险Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) ≤k 则模型可转化为： () ()()max s.t.?,,0 R x Q x k F x M x ≤≥ ＝ 模型2. 假设投资的盈利水平是 h ，即要求净收益总额 R （x ）不少于 h ：R （x ） ≥h ，则模型可转化为： () ()()min s.t.0 Q x R x h F x M x ≥≥ ＝ 模型 3.要使收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型。人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ（≥0），则模型可转化为： ()()() min ?1? s.t .0 Q x R x F x M x ρρ≥（）＝ 3. 模型的化简与求解 由于交易费 c i (x i )是分段函数，使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相当大，一旦投资资产 S i ，其投资额 x i 一般都会超过 u i ，于是交易费 c i (x i )可简化为线性
概率论与数理统计习题
一 、名词解释 1、样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为E 的样本空间。 2、随机事件：试验E 的样本空间S 的子集，称为E 的随机事件。 3、必然事件：在每次试验中总是发生的事件。 4、不可能事件：在每次试验中都不会发生的事件。 5、概率加法定理：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 6、概率乘法定理：P(AB)=P(A)P(B │A) 7、随机事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B)则事件A,B 是相互独立的。 8、实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是不会发生的。 9、条件概率：设A ，B 是两个事件，且P(A)>0，称P(B │A)=()()A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 10、全概率公式： P(A)= () ) /(1 B B i A P n i i P ∑= 11、贝叶斯公式： P(Bi │A)= ()( ) ∑=?? ? ????? ?? n i j A P j P i A P i P B B B B 1 12、随机变量：设E 是随机试验，它的样本空间是S=﹛e ﹜。如果对于每一个e ∈S,有一个实数X(e)与之对应，就得到一个定义的S 上的单值实值函数X=X(e),称为随机变量。 13、分布函数：设X 是一个随机变量，χ是任意实数，函数F(χ)=P(X ≤χ)称为X 的分布函数。 14、随机变量的相互独立性：设(χ,у)是二维随机变量 ，如果对于任意实数χ,у，有F(χ,у)=F x (χ)·F y (у)或 f (χ,у)= f x (χ)·f y (у)成立。则称为X 与Y 相互独立。 15、方差：E ﹛〔X-E(χ)〕2〕 16、数学期望：E(χ)= ()dx x xf ?∞ -+∞ (或)= i p i i x ∑+∞ =1 17、简单随机样本：设X 是具有分布函数F 的随机变量，若χ1 , χ2 … , χn 是具有同一分布函数F 的相互独立的随机变量，则称χ1 , χ2 … , χn 为从总体X 得到的容量为n 的简单随机样本。 18、统计量：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体X 的一个样本，g(χ1 , χ2 … , χn )是χ1 , χ2 … , χn 的函数，若g 是连续函数，且g 中不含任何未知参数，则称g(χ1 , χ2 … , χn )是一统计量。 19、χ2(n)分布：设χ1 , χ2 … , χn 是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 χ2=n x x x 2......2212++ , 服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2～χ2 (n). 20、无偏估计量：若估计量θ=θ(χ1 , χ2 … , χn )的数学期望E(θ)存在，且对任意θ ∈ (H)有E(θ)=θ,则称θ是θ的无偏估计量。 二、填空： 1、随机事件A 与B 恰有一个发生的事件A B ∪ A B 。 2、随机事件A 与B 都不发生的事件是A B 3、将一枚硬币掷两次，观察两次出现正反面的情况，则样本空间S= （正正）（正反）（反正）（反反） 。 4、设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)=0.5，P(B)=31,则 P(A ∪ B)=65P (AB)=0。 5、随机事件A 与B 相互独立，且P(A)= 3 1 ,P(B)=51，则P （A ∪ B ）= 15 7。 6、盒子中有4个新乒乓球，2个旧乒乓球，甲从中任取一个用后放回（此球下次算旧球），乙再从中取一个，那么乙取到新 球的概率是95 。 4 8、若X 的分布函数是F(x)=P(X ≤ x) , x ∈ (-∝,+∝) 则当x 1 ≤ x 2 时，P （x 1 作业2 试述证券投资风险和收益的关系 在证券投资中，收益和风险形影相随，收益以风险为代价，风险用收益来补偿。投资者投资的目的是为了得到收益，与此同时，又不可避免地面临着风险，证券投资的理论和实战技巧都围绕着如何处理这两者的关系而展开。 收益与风险的基本关系是：收益与风险相对应。也就是说，风险较大的证券，其要求的收益率相对较高；反之，收益率较低的投资对象，风险相对较小。但是，绝不能因为风险与收益有着这样的基本关系，就盲目地认为风险越大，收益就一定越高。风险与收益相对应的原理只是揭示风险与收益的这种内在本质关系：风险与收益共生共存，承担风险是获取收益的前提；收益是风险的成本和报酬。风险和收益的上述本质联系可以表述为下面的公式：预期收益率=无风险利率+风险补偿 预期收益率是投资者承受各种风险应得的补偿。无风险收益率是指把资金投资于某一没有任何风险的投资对象而能得到的收益率，这是一种理想的投资收益，我们把这种收益率作为一种基本收益，再考虑各种可能出现的风险，使投资者得到应有的补偿。现实生活中不可能存在没有任何风险的理想证券，但可以找到某种收益变动小的证券来代替。美国一般将联邦政府发行的短期国库券视为无风险证券，把短期国库券利率视为无风险利率。短期国库券的利率很低，其利息可以视为投资者牺牲目前消费，让渡货币使用权的补偿。在短期国库券 无风险利率的基础上，我们可以发现以下几个规律： (一)同一种类型的债券，长期债券利率比短期债券高，这是对利率风险的补偿 (二)不同债券的利率不同，这是对信用风险的补偿 (三)在通货膨胀严重的情况下，债券的票面利率会提高或是会发行浮动利率债券这种情况是对购买力风险的补偿。 (四)股票的收益率一般高于债券，这是因为股票面临的经营风险、财务风险和经济周期波动风险比债券大得多，必须给投资者相应的补偿。 当然，风险与收益的关系并非如此简单。证券投资除以上几种主要风险以外，还有其他次要风险，引起风险的因素以及风险的大小程度也在不断变化之中；影响证券投资收益的因素也很多。所以这种收益率对风险的替代只能粗略地、近似地反映两者之间的关系，更进一步说，只有加上证券价格的变化才能更好地反映两者的动态替代关系。 《投资学》习题 第三章资产风险与收益分析（1） 计算题（必须有计算过程） 1．去年，你收到了9%的名义利率，而同期通货膨胀率是1．2%，那么你的购买力的实际增长率是多少？ 2．一年前，你在储蓄账户中存入了5000美元,年利率是3%。如果这一年的通货膨胀率是 1.5%,那么真实收益率大概是多少? 3．如果你以27美元购买了股票,一年以后获得了1.5美元分的分红并以28美元出售了该股票,那么你在持有期的收益率是多少? 4．利用下表回答以下问题,信息空间股票的持有期收益(HPR)的概率分布如下: （1）信息空间股票的预期持有期收益率是多少？ （2）信息空间股票的预期方差是多少？ （3）信息空间股票的预期标准差是多少？ （4）如果无风险利率是3%，那么该股票的风险溢价是多少？ 5．如果AMAT股票的风险溢价是29%，那么无风险利率是多少？ 6．你是新点子共同基金的经理。下表反映了基金在上一季度的表现。该季度从1月1日开始，基金的余额为1亿美元。 (1)计算该基金上半年算术平均收益率; (2)计算该基金上半年几何平均收益率; (3)对于该基金预期收益的无偏估计是多少? (4)如果你在1月份投资1000美元在该基金上,那么在6月末,你的账户中能有多少钱? 7.假设你正在研究一项预期收益是12.4%,标准差是30.6%的投资。假设收益是正态分布的，计算以下敬意的上下边界。 （1）包含68.26%预期结果的区间。 (2)包含95.44%预期结果的区间。 (3)包含99.74%预期结果的区间。 8.你正在考虑是否投资于A公司，你估计的该公司股票收益率的概率分布如下表所示： A公司股票收益率的概率分布 基于你的估计，计算该股票的期望收益率和标准差。 9.你估计的证券A和B的投资收益率与联合概率分布如下表所示。 证券A和B的投资收益率与联合概率分布 基于你的估计，计算两种证券的协方差和相关系数。 《数学模型与数学软件综合训练》论文 训练题目：投资的收益与风险问题 学生学号：07500134 姓名：海莲 学院：计算机与通信学院 专业：信息与计算科学专业 指导教师：黄灿云（理学院） 日期:2010年春季学期 目录 一前言 (3) 二投资与风险问题 (4) 1.论文摘要 (4) 2.问题重述与分析 (4) 3.假设与模型 (6) 3.1模型a (6) 3.2模型b (6) 3.3模型c (6) 3.4 模型求解及分析 (6) 四模型评价与推广 (12) 五总结 (13) 六参考文献 (13) 七附录 (13) 一前言 投资的收益与风险作为高科技产业化的催化剂和孵化器，日益引起了人们的广泛关注和重视。世界各国都在积极发展自己的风险投资业，以促进经济的发展和国家的繁荣，关于风险投资一般是指特定的人员或机构向创业初期预期有较大发展潜力。但风险也很大的为企业提供融资或参与管理的行为。这里的特定人员或机构一般具有较高的技能和较为雄厚的资本，通常称为风险投资者或风险投资公司；接受投资或管理的企业，通常是高科技企业，称为风险企业。由于风险投资与企业创业紧密联系在一起，所以又称创业投资。在我国，风险投资刚刚起步，但对国民经济发展和社会进步意义十分重大，因而越来越引起人们的重视。 二投资与风险问题 1.论文摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好 2.问题重述与分析 市场上有种资产（如股票、债券、…）(供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 精心整理 第一课 随机试验：可重复进行；试验结果不止一个且无法事先断定；但所有可能结果是可知的。每一种结果称为一个随机事件。 随机现象：自然界中的客观现象，当人们观测它时，所得结果不能预先确定，而仅仅是多种可能结果之一 随机试验： 基本事件： 必然事件：肯定会出现的事件 不可能事件： 随机事件： 组成 相容： 不相容： 第二课 概率：概率又称或然率机会率机率或可能性，是概率论的基本概念。同时，概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小 主观概率：与主观臆测不同，这种相信的程度虽是种主观的，但又是根据经验、各方面知识，对客观情况进行分析、推理、综合判断而作出的 第三课 条件概率：设事件A和B是随机试验Ω中的两个事件，则A事件发生的前提下，B事件发生的概率 主观概率：主观概率估计是贝叶斯决策理论中的重要概念，在不完全情报下，用主观估计，再利用期望和概率修做出最优决策，在许多领域中有着广泛应用 贝努里（伯努利）概率模型：每次试验只有A事件发生和不发生两种结果，独立地做了n次重复试验。在n次试验中A出现 其中p为每次试验中A 随机变量：设随机试验的样本空间为。是定义在样本空间上的实值单值函数，则称为随机变量为随机变量 离散型随机变量： 即，期望通常与每一个样本结果都不相等 大数定理：是——叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的算术平均值，在某种条件下收敛到这些项的均值（期望）的算术平均值——的定理 总的来说，关于大量随机现象的平均结果稳定性的定理，统称大数定理 第六课 中心极限定理：概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理 第七课 总体：总体是我们所研究对象的所有个体之和；而样本是从中抽取的一部分个体。若总体中个体数目有限，则称为有限总体，否则为无限总体 总体本质上可以看作是某种数量指标的集合 第八课 点估计： 极大似然法： 个给定样本的可能性最大 点估计： 区间估计 弃真错误：原假设本来是正确的，但由于ɑ取值过大，导致结果落在小概率内，拒绝了它，称弃真错误 取伪错误：原假设本来是错误的，但由于ɑ取值较小，反而接受了它，称取伪错误点估计：直接以样本统计量作为相应总体参数的估计值；缺陷是没法给出估计的可靠性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近的程度 市场上有n 种资产i s （i=1,2……n ）可以选择，现用数额为M 的相当大的资金作一个时期的投资。这n 种资产在这一时期内购买i s 的平均收益率为i r ，风险损失率为i q ，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的i s 中最大的一个风险来度量。 购买i s 时要付交易费，(费率 i p )，当购买额不超过给定值i u 时，交易费按 购买i u 计算。另外，假定同期银行存款利率是0r ，既无交易费又无风险。（0r =5%） 已知n=4 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定达到资金M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。 1. 假设：投资数额M 相当大,为了便于计算，假设M=1； 2．投资越分散，总的风险越小； 3．总体风险用投资项目i s 中最大的一个风险来度量； 4．n 种资产S i 之间是相互独立的； 5．在投资的这一时期内, r i ,p i ,q i ，r 0为定值，不受意外因素影响； 6．净收益和总体风险只受 r i ,p i ,q i 影响，不受其他因素干扰。 解答 1、符号规定： S i ——第i 种投资项目，如股票，债券 r i ,p i ,q i ----分别为S i 的平均收益率,风险损失率，交易费率 u i ----S i 的交易定额 0r -------同期银行利率 x i -------投资项目S i 的资金 a -----投资风险度 Q ----总体收益 ΔQ ----总体收益的增量 2、模型的建立与分析 (1).总体风险用所投资的Si 中最大的一个风险来衡量,即max{ pixi|i=1，2,…n} 1. 总体(population)：根据研究目的所确定的同质观察单位的全体。只包括(确定的时间和空间范围内)有限个观察单位的总体，称为有限总体(finite population)。假想的，无时间和空间概念的，称为无限总体(infinite population)。 2. (总体)参数(parameter)：总体的统计指标或特征值。总体参数是事物本身固有的、不变的。 3. 样本(sample)：从总体中随机抽取的部分个体。 4. 样本含量(sample size)：样本中所包含的个体数。 5. 变量(variable)：观察对象个体的特征或测量的结果。由于个体的特征或指标存在个体差异，观察结果在测量前不能准确预测，故称为随机变量(random variable)，简称变量(variable)。变量的取值称为变量值或观察值(observation)。根据变量的取值特性，分为数值变量和分类变量。 6. 数值变量(Numerical variable)：又称为计量资料、定量资料，指构成其的变量值是定量的，其表现为数值大小，有单位。对每个观察单位用定量的方法测定某项指标的数值，组成的资料。 7. 计数资料：将全体观测单位按照某种性质或特征分组，然后再分别清点各组观察单位的个数。 8. 抽样(sampling)：从总体中抽取部分观察单位的过程称为抽样。 9. 抽样误差(sampling error)：由于抽样造成的统计量与参数之间的差别，特点是不能避免的，可用标准误描述其大小。 10. 误差(error)：统计上所说的误差泛指测量值与真值之差，样本指标与总体指标之差。主要有以下二种：系统误差和随机误差 。 11. 可信区间(confidence interval, CI)：按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估计总体参数所在范围，这个范围称作可信度1-α的可信区间，又称置信区间。 12. 总体均数的可信区间：按一定的概率大小估计总体均数所在的范围(CI)。常用的可信度为95％和99％，故常用95％和99％的可信区间。 13. 变异(variation)：同质事物间的差别。由于观察单位通常即为观察个体，故变异亦称为个体变异(individual variation)。 16. 平均数(average)：也叫平均值，是一组(群)数据典型或有代表性的值。这个值趋向于落在根据数据大小排列的数据的中心，包括算术平均数(arithmetic mean)、几何平均数(geometric mean)、中位数(median)等。 17. 中位数(median)：将一组观察值按升序或降序排列，位次居中的数，常用M 表示。适用于偏态分布资料或不规则分布资料和开口资料。所谓“开口”资料，是指数据的一端或两端有不确定值。当n 为奇数时，M=X (n+1)/2；当n 为偶数时，M=[X n/2+ X n/2+1]/2。 18. 百分位数(percentile)：是一种位置指标，以P x 表示，一个百分位数Px 将全部观察值分为两个部分，理论上有x%的观察值小于Px 小，有(1-x%)的观察值大于Px 。 19. 变异系数(coefficient of variance, CV)：亦称离散系数(coefficient of dispersion)，为标准差与均数之比，常用百分数表示。100%X s/CV ?=, 变异系数没有度量衡单位，常用于比较度量单位不同或均数相差悬殊的两组或多组资料的离散程度。 20. 频率(relative frequency)：在n 次随机试验中，事件A 发生了m 次，则比值 22. 概率(probability)：在重复试验中，事件A 的频率，随着试验次数的不断增加将愈来愈接近一个常数p ，这个常数p 就称为事件A 出现的概率(probability)，记作P(A)或P 。 描述随机事件发生的可能性大小的数值，常用P 来表示。 23. 统计量(statistic)：由样本所算出的统计指标或特征值。 24. 相关系数(correlation coefficient)：用以说明具有直线关系的两个变量间相关关系的密切程度和相关方向的指标，称为相关系数，又称为积差相关系数(coefficient of product-moment correlation)，总体相关系数用希腊字母ρ表示，而样本相关系数用r 表示，取值范围均为[-1, 1]。 25. 回归系数(regression coefficient)：直线回归方程Y ?= a+b X 的系数b 称为回归系数，也就是回归直线的斜率(slope)，表示X 每增加一个单位，Y 平均改变 b 个单位。 26. 参考值范围(reference range)：也称为正常值范围(normal range)，医学上常把绝大多数正常人的某指标值范围称为该指标的正常值范围。绝大多数：可以是90%、95%、99%等等，最常用的是95%。正常人：不是指健康人，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群。又称参考值范围，是指特定健康人群的解剖、生理、生化等各种数据的波动范围。习惯上是确定包括95%的人的界值。 28. 统计推断(statistic inference)：从总体中随机抽取一定含量的样本进行研究，目的是通过样本的信息判断总体的特征，这一过程称为统计推断。 29. 标准误(standard error, SE)：在统计理论上将样本统计量的标准差称为标准误，用来衡量抽样误差的大小。据此，样本均数的标准差X σ称为标准误。 30. 参数估计(parameter estimation)：由样本信息估计总体参数。它包括两种：点估计和区间估计。 点估计：直接用样本统计量作为对应的总体参数的估计值。 区间估计：按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间估计总体参数所在范围，这个范围称作可信度1-α的可信区间(confidence interval, CI )，又称置信区间。这种估计方法称为区间估计。 33. 95%可信区间含义：如果重复若干次样本含量相同的抽样，每个样本均按同一方法构建95%可信区间，则在这些可信区间中，理论上有95个包含了总体参数，还有5个未估计到总体均数。 34.Ⅰ类错误(type Ⅰerror)：统计学上规定，拒绝了实际上成立的H 0，这类“弃真”的错误称为Ⅰ型错误或第一类错误，Ⅰ型错误的概率用α表示。 35.Ⅱ类错误(type Ⅱerror)：统计学上规定，不拒绝实际上不成立的H 0，这类“存伪”的错误称为Ⅱ型错误或第二类错误，Ⅱ型错误的概率用β表示。 36. 检验效能(power of a test)：又称把握度，即两总体确有差别，按α水准能发现它们有差别的能力。 37. 参数检验：总体分布已知，对其中一些未知参数进行估计或检验。这类统计推断的方法叫参数统计或参数检验。 38. 参数检验：假定比较数据服从某分布,通过参数的估计量(x , s)对比较总体的参数(μ)作检验，统计上称为参数法检验(parametric test)。如t 、u 检验、方差分析。 39. 率(rate)：又称频率指标，用以说明某现象发生的频率或强度。常以百分率(%)、千分率(‰)、万分率(1/万)、十万分率(1/10万)等表示。其计算公式为： 40. 构成比(proportion)：又称构成指标，它说明一种事物内部各组成部分所占的比重或分布，常以百分数表示。 41. 比(ratio)：又称相对比，是A 、B 两个有关指标之比，说明A 为B 的若干倍或百分之几，它是对比的最简单形式。其计算公式为：比=A/B 。 统计学（Statistics ）：运用概率论、数理统计的原理与方法，研究数据的搜集；分析；解释；表达 的科学。 总体（population ）：大同小异的研究对象全体。更确切的说，总体是指根据研究目的确定的、同质的全部研究单位的观测值。 样本（sample ）：来自总体的部分个体，更确切的说，应该是部分个体的观察值。样本应该具有代表性，能反映总体的特征。利用样本信息可以对总体特征进行推断。 个人投资风险与收益的权衡经济 收益是指在一定时间对外投资所获得的报酬,风险是指未来收益的不确定性,而且这种不确定性是可以用概率来描述的。风险在经济生活特别是投资活动中无处不在,主要包括系统风险与非系统风险。系统风险与市场的整体运动相关联,通常表现为某个领域、某个金融市场或者某个行业部门的整体变化,它断裂层大,涉及面广,往往使整个一类资产产生价格波动。这类风险因其来源于宏观经济因素变化对市场整体的影响,亦称为宏观风险。系统风险强调的是对整个市场所有项目及资产的影响,而且这种风险通常难以回避和消除,因而又称为不可分散风险。它的来源主要包括市场风险、利率风险和通货膨胀风险。非系统风险只同某项具体的资产相关联,而与其他的资产和整个市场无关,因而也称为独特风险或特定公司风险。非系统风险强调的是对某项资产的个别影响,人们一般可以通过分散化投资策略回避或者消除这种风险,因而也称为可分散风险。它的来源主要包括违约风险、经营风险、财务风险、破产风险等。[1](p40—42) 个人投资风险主要指投资者个人因自身和环境条件等各种因素的不确定性,引起投资风险收益与非收益间发生偏离的可能性。影响个人投资组合的非系统风险主要来自:投资者分散组合投资预期收益,即单项资产的预期收益,占用资金的权重,取得预期收益的概率。如果没有很好的协调和控制,投资者必然会承担很多不必要的风险;投资者投资组合分散风险的条件,即当新增投资项目风险大于原有项目风险时,只有选择不相关甚至负相关项目时,才能达到降低风险的目的;投资组合的主要目的,即获得预期的报酬率,投资者不能为了降低风险,而使非相关程度过大,不 能进行有效控制风险。[2](p71—75)既然投资组合不能无限地降低风险,那么投资者就需要有选择地购买若干种资产或存银行生息,使自身获得的净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。如何从一般的传统投资理论和模型研究中被忽略的交易费用中,推导出一个比较实用的投资目标函数呢?假设市场上有n种资产供投资者选择,某个体投资者有数额为M的一笔相对较大的资金可用做一个时期的投资。 投资者通过分析对这n种资产进行评估,估算出在这一时期内购买某资产的平均收益率和风险损失率。购买资产要付交易费,费率已知,并且当购买金额不超过给定值时,交易费按给定值计算(不买无须付费)。另外,假定同期银行存款利率是r0(r0=5%),且既无交易费又无风险。试确定一种投资组合方案,即用给定的资金,有选择的购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽可能大,而总体风险尽可能小。 在处理此问题时,如何在投资因素中确定投资项目的投资金额是关键。收益、风险和投资者本身都是影响投资决策的因素,只有通过一种线性关系建立三者的联系,才能解决投资的收益和风险这个问题。同时,以投资者看待净收益和风险同等地位为分界点,讨论投资资产的变化。假使从投资开始到投资收益的一段时间,影响投资的经济因素保持不变,用资金投资单项资产时,风险率由其风险损失率来度量,否则,总体的风险率可用所投资的资产中最大的一个风险度量。单项资产的收益用其平均收益率ri 来衡量,若干项资产所组成的资产组合的收益用构成该资产的组合的平均收益率的权重平均来表示,投资的资金是相对较大的一笔资金。引入记号:M(投资者拥有的全部资金);si(供投资者选择的资产);ai(投资si项资产所用资金占总资产的比例);r0(银行存款利 单选题(共40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概 率C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0 产业组织理论发展现状与展望 一、产业组织核心理论的发展进程概述 1.产业组织理论的起源 产业组织理论的发源最早可以追溯至亚当·斯密（1776）的劳动分工理论和竞争理论。他通过对重商主义学说和重商主义时代国家干预私人经济主体活动的批判，提出了所谓的自由竞争的思想。斯密反对国家干预经济，认为自由竞争是一个导致利益和谐与市场均衡的过程。自斯密之后，经济学界有关产业组织问题的先驱性研究多集中于竞争理论和所谓理想竞争状态的确定等方面。1879年，马歇尔夫妇合著的《产业经济学》首次出版，将产业组织定义为产业内部的结构，马歇尔被看做产业组织学的创始人。在1890年出版的《经济学原理》一书中，揭示了竞争活力与规模经济的矛盾关系，即“马歇尔冲突”。1933年，张伯伦和罗宾逊夫人分别出版了《垄断竞争理论》和《不完全竞争经济学》，不约而同地提出了所谓的垄断竞争理论，他们否定了以往要么垄断、要么竞争的一种极端对立的观点，指出现实世界中通常是各种不同程度的竞争与垄断交织并存。这些早期的研究虽然开启了产业组织研究的大门也卓有成效，但并没有形成一个较为完整的理论体系。在西方产业组织理论后期的发展过程中共出现过三个主要的学派，即哈佛学派、芝加哥学派和新产业组织理论。 2.哈佛学派研究范式 1959年，贝恩的《产业组织》出版，是第一部系统阐述产业组织理论的教科书，标志着哈佛学派形成。哈佛学派主要以经验性的分析为主，通过对跨部门的产业数据进行统计分析，推导出企业的市场结构、市场行为和市场绩效之间存在一种单向的因果关系：即市场结构决定了是企业的市场行为，而企业的市场行为又决定了企业市场绩效，即市场结构-市场行为-市场绩效（S-C-P）的分析框架。它强调了市场结构、市场行为和市场绩效之间的单向因果关系，即S →C→P，因此通过公共政策调节市场结构从而影响市场行为，最终保证良好的市场绩效成为了经济中最重要的事务。SCP理论范式标志着传统产业组织理论体系的最终形成，并影响了整整一代的学者和决策者。哈佛学派的SCP范式虽然统治了产业组织学界近半个世纪，但其本身并不是一个完美的分析范式，存在许多缺陷。 3.芝加哥学派研究范式 20世纪60年代到70年代，理论界对哈佛学派最猛烈的批判来自于芝加哥学派。他们推翻了SCP范式中市场结构、市场行为和市场绩效之间的单向因果关系，他们看来，市场效率才是决定市场结构和市场效率的基本因素，即P→S →C关系。而且通过可竞争市场理论指出产业的进入壁垒并不像SCP范式里面指出的那么高。芝加哥学派相信市场的力量，主张放松管理，对当时美国的产业组织政策产生了直接的影响。 随着芝加哥学派的崛起以及随后众多学者的追随，哈佛学派的SCP研究范 投资组合规模风险和收益的关系研究 □作者：西北大学经济管理学院戴志辉赵守国内容摘要：现代投资组合理论认为不同风险资产进行组合后，在保证投资收益的基础上可以有效地降低组合的风险。本文以沪市上市公司为例，根据上市公司2001-2005年近五年来的市场表现，分析投资组合规模、风险和收益的关系。通过研究发现：投资组合存在适度组合规模，组合规模过大会出现过度组合的问题；组合规模的增加能够有效地降低非系统性风险，但在提高组合收益上效果并不明显。关键词：投资组合投资风险投资收益实证研究在证券市场上，无论是机构投资者还是个人投资者，都面临着如何提高证券投资收益和降低证券投资风险的问题。根据现代投资组合理论，投资者进行证券投资时，可以在两个层面上进行投资组合，第一个层面是对证券市场上已有的证券投资品种之间进行投资组合，第二个层面是对同一投资品种内部的产品进行投资组合。投资者通过两个层面上的投资组合可以在保证收益的基础上，大大降低证券投资的风险。对机构投资者而言，由于其资金实力比较雄厚，能够保证其在两个层面上都可以进行广泛地投资组合，从而达到提高收益和降低风险的目标。由于目前能够在证券市场中进行交易的投资品种并不是很多，而且每一个进行交易的投资品种有其特殊的发行主体和交易主体，其市场功能和定位也完全不同，其在证券市场的存在是为了满足不同投资者不同的投资需求，其所表现出来的风险与收益的关系也比较匹配，故在第一个层面中通常不存在投资组合规模问题。机构投资者通常会在第二个层面上面临投资组合的规模问题，虽然通过进行广泛的投资组合可以使投资风险降到很低的水平，但由于组合规模过大投资的对象过度分散也会降低投资组合的收益。这主要是因为维持数目众多的证券组合需要较高的交易费用、管理费用和信息搜寻费用，而且数目众多的证券组合中可能包含一些无法及时得到相关信息且收益较低的证券，从而无法及时有效地进行投资组合调整。对个人投资者而言，由于其资金和精力有限，在两个层面上都无法进行广泛地投资组合，只能选择较小的投资组合，通常把资金集中投资于某一投资品种，由于投资组合的过度集中又使其面临巨大的投资风险。个人投资者也需要在有限的条件下进行适当的投资组合以规避投资风险。因此，证券投资组合的规模既不能过度分散也不能过度集中。投资组合规模、风险和收益之间存在最优化配置问题，即一个合理的组合规模可以降低投资风险，保证稳定的投资收益。根据中国证券市场的不同交易品种的实际交易情况，证券投资组合的规模问题一般只表现在股票投资上，证券投资组合的规模问题基本上可以用股票投资组合的规模问题来反映。投资组合规模与风险关系研究综述从20世纪60年代中后期开始出现了一批对投资组合规模与风险关系研究的经典文章，成为当时投资组合理论研究的一个热点，这些研究主要是围绕简单分散化所构造的组合即简单随机等权组合来展开的，但都有其各自不同的侧重点。具体来说，这些研究主要集中在以下三个方面：一是研究一国证券投资组合规模与风险的关系；二是从数理角度来推导组合规模和风险之间的模型；三是研究跨国证券投资组合的规模与风险的关系。相对来讲，研究一国证券投资组合规模与风险的关系更具有现实意义，大多数的研究也主要围绕一国投资组合规模与风险的实际情况进行研究，从中找出投资组合规模与风险的相互关系。国外学者研究综述埃文斯和阿彻第一次从实证角度验证了组合规模和风险之间的关系。他们以1958-1967年标证券投资风险和收益的关系 2
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