圆的对称性_知识点与典型例题
圆的认识(二)知识点总结
圆的认识(二)知识点总结一、圆的对称性。
1. 轴对称性。
- 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆有无数条对称轴。
- 例如，我们可以将一个圆形纸片沿着任意一条通过圆心的直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这就体现了圆的轴对称性。
2. 中心对称性。
- 圆也是中心对称图形，对称中心为圆心。
- 把一个圆绕着圆心旋转任意一个角度后，都能与原来的图形重合。
在圆形的转盘游戏中，转盘绕着圆心旋转后，其位置虽然改变了，但形状和大小不变，这就是圆的中心对称性的体现。
二、弧、弦、圆心角的关系。
1. 定义。
- 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
例如在圆O中，∠ AOB的顶点O 是圆心，所以∠ AOB是圆心角。
- 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A、B为端点的弧记作overset{frown}{AB}。
- 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦。
例如在圆O中，线段AB是弦，若AB经过圆心O，则AB是直径。
2. 关系定理。
- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
- 例如，在圆O中，如果∠ AOB=∠ COD，那么overset{frown}{AB}=overset{frown}{CD}，AB = CD。
3. 推论。
- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
三、圆周角。
1. 定义。
- 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
例如在圆O中，∠ACB的顶点C在圆上，且AC、BC都与圆相交，所以∠ ACB是圆周角。
2. 圆周角定理。
- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 例如，在圆O中，弧overset{frown}{AB}所对的圆周角∠ ACB和圆心角∠ AOB，则∠ ACB=(1)/(2)∠ AOB。
5.2圆的对称性(二)
九年级数学5.2 圆的对称性（二）班级 姓名 学号 学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。
4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。
（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。
5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级 姓名 学号1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。
圆的对称性
圆的对称性温故知新：1.已知:如图,点O是∠EPF的平分线的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D.求证: ∠OBA=∠OCD1、圆的对称性(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
【例1】如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，DE的度数．CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求⌒AD、⌒【例3】如图，在同圆中，若⌒AB＝2⌒CD，则AB与2CD的大小关系是( ) ．A. AB＞2CDB. AB＜2CDC. AB＝2CDD. 不能确定【例4】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．【例5】如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm，水深GF=1cm，若水面上升1cm（EG=1cm），则此时水面宽AB为多少？【例6】有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？课堂练习1．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( )A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°2．下列结论中，正确的是( )A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．等弧所对的圆心角相等C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．长度相等的两条弧是等弧3．如图，在⊙O 中，若C 是AB ︵的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 等于( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.6．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________．7．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵的度数是40°，求∠BOD的度数．8．已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3.(1)求⊙O 的半径；(2)若P 是AB 上的一动点，试求OP 的最大值和最小值．9．如图，已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．10．如图，已知在⊙O 中，AB 是弦，半径OC ⊥AB ，垂足为D.要使四边形OACB 为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是( )A ．AD ＝BDB ．OD ＝CDC ．∠CAD ＝∠CBDD ．∠OCA ＝∠OCB11．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 的长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为________．12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________．13．已知：如图，∠PAQ＝30°，在边AP上顺次截取AB＝3 cm，BC＝10 cm，以BC 为直径作⊙O交射线AQ于E，F两点，求：(1)圆心O到AQ的距离；(2)线段EF的长．14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2 m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m、船舱顶部为方形并高出水面2 m的货船要经过拱桥，则此货船能否顺利通过这座拱桥？15．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，试求PA＋PC的最小值．课后练习1．圆是轴对称图形，____________都是它的对称轴，因此圆有________条对称轴．2．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论中不一定正确的是( )A ．CE ＝DEB ．AE ＝OEC.BC ︵＝BD ︵ D ．△OCE ≌△ODE3．在⊙O 中，非直径的弦AB ＝8 cm ，OC ⊥AB 于点C ，则AC 的长为( )A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm4．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝8，则CD 的长是( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点．若BC ＝6，AB ＝10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为________．7．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为________．8．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A ，B ，外圆半径OC ⊥AB 于点D 交外圆于点C.测得CD ＝10 cm ，AB ＝60 cm ，则这个车轮的外圆半径是________cm .。
《圆的对称性》圆心角优秀自己总结
在半径为5cm的圆O中，弦AB的长为6cm，则弦AB的弦心距是多少？
已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是弦AB上的一个动点，则点P到圆心O的最短距离是多少？
思考题
练习题
感谢观看
THANKS
01
02
利用圆的对称性解题技巧
04
CHAPTER
利用对称性简对称性可以简化计算过程。例如，计算圆心角所对的弧长或面积时，只需考虑圆心角的一半或特定部分，然后利用对称性得到完整的结果。
对称性简化计算
利用圆的镜像对称性，可以将问题转化为更容易处理的形式。例如，在处理与弦或切线相关的问题时，可以通过作垂线或构造相似三角形等方法，利用镜像对称简化计算。
镜像对称
利用对称性判断图形性质
判定等腰三角形
在圆内接三角形中，如果两个角所对的弧相等，则这两个角相等，从而可以判定该三角形为等腰三角形。
判定直角三角形
如果圆内接三角形的一个角所对的弧是另一个角所对弧的两倍，则该三角形为直角三角形。这一性质可以通过圆的对称性和相似三角形的性质来证明。
利用对称性解决实际问题
01
圆的对称性定义
圆是中心对称图形，任意一点关于圆心的对称点仍在圆上。
02
圆心角性质
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
拓展延伸相关知识点
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 圆周角定理 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 弦切角定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 圆的幂定理
圆上任一点绕圆心旋转任意角度后，仍然位于圆上。
对于圆上任意两点，如果它们关于圆心对称，则它们的连线段通过圆心且被圆心平分。
中心对称性
圆的定义及对称性
圆的定义与圆的对称性【知识要点】（1）在同一平面内，一条线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆.定点O 就是圆心，线段OP 就是圆的半径.以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”,读作“圆O ”. 说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”.(2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d ，那么点在圆外d r ⇔>；点在圆上d r ⇔=；点在圆内d r ⇔<圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质) 圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质)圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合.(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。
(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条（1）经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍（2A 、B 为端点的弧记作AB ,读作“圆弧AB ”或“弧AB ”大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧(3提示：①同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆 ②等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧不一定是等弧(4垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧如图所示，∵ CD 是直径, C D ⊥AB∴ AE=BE,AC = BC, AD =BD 若一条直线①过圆心,②垂直于一条弦，则此直线①平 分此弦②平分此弦所对的优弧和劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并 且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆 心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一 条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧提示：（1）对于一个圆和一条直线来说，如果以①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其它三个就是结论 （2）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构 造如图所示的直角三角形 ，根据垂径定理与勾股定 理有222()2ard =+根据此公式，在,,a r d 三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：（1）注意在“同圆或等圆中”这个条件（2）注意理解“所对应”的含义【典型例题】ABOC 2a rAdD例1、下列语句中不正确的是（ ）①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一顶点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧 A.①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①④例2、由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5，最小距离为1，则圆的半径为( ) A 、2或3 B 、3 C 、4 D 、2 或4例3、在平面内，⊙O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为3cm ，则点P 与⊙O 的位置关系是例4、在△ABC 中，∠ACB=90°,AC=2cm,BC=4cm,CM 是AB 边上的中线，以点C为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 .例5、在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，O D ⊥AB,O E ⊥AC 垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则⊙O 的半径为 cm例6、如下图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上？例7、如图,点P 的坐标为(4,0),⊙P 的半径为5,且⊙P 与x 轴交于点A 、B,与y 轴交于点C 、D,试求出点A 、B 、C 、D 的坐标.例8、海军部队在灯塔A 的周围进行爆破作业，A 的周围3km 的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔2km 的某处B ，为了尽快驶离危险区域，该船应按什么方向航行？请给予证明.EGBACDF H O例9、矩形的四个顶点是否能在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明例10、已知⊙O 的直径为10cm ，弦AB=6cm ，求圆心O 到弦AB 的距离.例11、在直径为650mm 的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，如油面宽AB=600mm ，求油的最大深度【经典练习】1．下列命题中错误的命题有（ ）（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）•梯形的对角线互相平分；（4）圆的对称轴是直径．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.点A 的坐标为(3,0),点B 的坐标为(0,4),则点B 在以A 为圆心, 6 为半径的圆的_______.3.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长()A.等于6cmB.等于12cm ；C.小于6cmD.大于12cm 4．半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP=4，则过点P 的最短弦长是_______，最长的弦长_______．5．如图1，已知⊙O 的半径为5，弦AB=8，P 是弦AB 上任意一点，则OP •的取值范围是_______．(1) (2)6．如图2，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=•___cm ．7．如图3，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于D ，若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为________cm ．8．如图3，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ，已知AB=4，CD=2，AB •的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）A ．3：2B 2CD ．5：4BB(3) (4)9．如图4，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中错误的是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．AE=BED ． BDBC 10．如图，在以O 为圆心的两个同心圆的圆中，大圆弦AB 交小圆于C 、D 两点，•试判断AC与BD的大小关系，并说明理由．11．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．。
初中数学知识点精讲精析 圆的对称性
第二节圆的对称性要点精讲一、圆的对称性：1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.相关链接像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.典型分析1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）A.1/2B.1/4C.1/6D.1/8【答案】B【解析】连接AM 、BM.∵MN ∥AD ∥BC ，OM=ON ，∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM的面积.再根据图形的轴对称性，得阴影部分的面积=扇形OAB 的面积=1/4圆面积.故选B.中考案例1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.=针对训练1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）A.（0，-2），（0，8）B.（-2，0），（8，0）C.（0，-8），（0，2）D.（-8，0），（2，0）2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）A.2B.4C.6D.83.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A.6＜r＜10B.8＜r＜10C.6＜r≤8D.8＜r≤105.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.下列命题正确的是（）A.顶点在圆周上的角叫做圆周角B.圆内接平行四边形一定是矩形C.平分弦的直径一定垂直于弦D.与直径垂直的直线是圆的切线8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点参考答案1.【答案】B【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.故选B.2.【答案】B【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.故选B.3.【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C.4.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.故选A.5.【答案】B【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.故选B.6.【答案】C【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.故选C.7.【答案】B【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.故选B.8.【答案】A【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A.扩展知识轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。
圆的对称性、垂径定理 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
知识点2：圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。
注意：（1）圆的对称轴有无数条。
（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。
知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：(1) OE 等于O F 吗？(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？例2如图，AB 是⊙O 的直径．(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。
例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数() A．200B．600 C. 400D．500例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．知识点5：垂径定理及垂径定理的推论1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
圆的知识点总结及典型例题
圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
圆的对称性—知识讲解(基础)
圆的对称性—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【答案与解析】解：∵E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
圆的对称性
个性化辅导教案形又是轴对称图形的个数是_______．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个知识点二 圆心角、弧、弦之间的关系1：已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也为R ，则∠AOB ＝ ．2：已知：⊙O 的半径为2cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ；圆心到弦AB 的距离为 cm ． 3：在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长 ．4：若一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．5：如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且∠AMN=∠CNM ，AB=6，则CD= ．6：若圆内直径AB 垂直弦CD 于点E ，且AE=5cm,BE=13cm,则圆心到弦CD 的距离为________cm ．7：在半径为8cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为（ ）A 、38cmB 、 34cmC 、4cmD 、8cm8：如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是________．第8题图 第9题图 第10题图9：如右图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，点M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、510：如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个11：如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是半径AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ．求证：=AC BD．12：如图所示，已知AB交⊙O于C、D且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？13：如图AB、CD是⊙O的两条弦，OF⊥CD，OE⊥AB且OE=OF求证：AB=CD．14：如图所示，点P为⊙O弦AB的中点，PC⊥OA，垂足为C，求证：PA•PB=AC•OA．【课堂练习】1：下列判断中，正确的是（）A、平分弦的直线垂直于弦；B、平分弦的直线也平分弦所对的两条弧；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧；D、平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦．2：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A、CM=DMB、弧CB=弧DBC、∠ACD=∠ADCD、OM=MD第2题图第5题图3：已知圆的半径为5，圆心到弦的距离为4，则弦长为（）A、3B、6C、4D、84：已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB、CD之间的距离为（）A、17 cmB、7 cmC、12 cmD、17 cm或7 cm5：如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N （0，8）两点，则点P的坐标是（）A、(5，3)B、(3，5)C、(5，4)D、(4，5)6：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，以CA的长为半径的圆交AB于点D，求AD的度数．7：如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？【能力大考验】1：下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A、1个B、2个C、3个D、4个2：如图，在半径为2cm的⊙O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB的度数为（）A、60°B、90°C、120°D、150°第2题图第3题图3：如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，则与线段AO等长的线段（）A、3条B、4条C、5条D、6条4：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm,CD=8cm,求两平行弦之间的距离．5：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．6：如图所示，点A、B为⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合），连结PA、PB，过O作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF= ．7：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，若以点C为圆心，CB为半径作圆交AB于点P，求AP=_________．第6题图第7题图第8题图8：如图，⊙O过点B、C圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为．60，求CD的长．9：如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm,∠DEB=10：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为11：如图是一个地通桥，上面是半径为2m的半圆，下面是一矩形，半圆拱的圆心到地面2m，现一辆高3.3 m，宽2.8 m的卡车想从这里通过，问这辆卡车能过去吗？请说明理由．。
圆的对称性的练习题
圆的对称性的练习题圆的对称性的练习题圆是我们日常生活中经常遇到的几何形状之一，它具有独特的对称性。
对称性是几何学中一个重要的概念，它表明一个图形或物体在某种变换下保持不变。
在圆的对称性中，我们可以探索一些有趣的练习题，以加深对圆的理解和应用。
练习一：圆的旋转对称首先，我们来看圆的旋转对称性。
旋转对称是指一个图形可以通过某个中心点旋转一定角度后，与原来的图形完全重合。
对于圆来说，它的旋转对称性非常明显，因为圆的每一个点都可以作为旋转的中心点。
现在，我们来做一个练习题。
画一个半径为5厘米的圆，然后选择一个点作为旋转中心，将圆旋转180度。
你会发现，旋转后的圆与原来的圆完全重合。
这就是圆的旋转对称性的体现。
练习二：圆的轴对称除了旋转对称，圆还具有轴对称性。
轴对称是指一个图形可以通过某条直线对折后，两边完全重合。
对于圆来说，它的轴对称性是通过直径来体现的，因为直径将圆分为两个完全相同的半圆。
现在，我们来做第二个练习题。
画一个半径为6厘米的圆，并且在圆上选择两个点A和B，连接这两个点得到一个直径。
然后，将这个圆沿着这个直径对折。
你会发现，对折后的两边完全重合，这就是圆的轴对称性的体现。
练习三：圆的镜像对称除了旋转对称和轴对称，圆还具有镜像对称性。
镜像对称是指一个图形可以通过某个镜面对折后，两边完全重合。
对于圆来说，它的镜像对称性可以通过与圆的边界垂直的直线来体现。
现在，我们来做第三个练习题。
画一个半径为8厘米的圆，并且在圆上选择一个点C。
然后，画一条与圆的边界垂直的直线，并选择一个点D在这条直线上。
接下来，将这个圆与直线对折。
你会发现，对折后的两边完全重合，这就是圆的镜像对称性的体现。
练习四：圆的应用除了对称性的练习，圆还有许多实际应用。
例如，我们可以利用圆的对称性来设计各种各样的艺术品和建筑物。
圆形的建筑物如圆形剧场和圆形体育馆，不仅具有美观的外观，还能够提供更好的声学效果和观赛体验。
此外，圆的对称性还在科学和技术领域有广泛的应用。
圆的定义及对称性
第三十二讲圆的定义与圆的对称性【知识要点】1、圆的定义有以下两种（1）在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆.定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆O”.说明：①这是圆的描述性定定义，由定义可以看出：确定圆的两个条件是圆心和半径，圆心确定圆的位置，圆的半径确定圆的大小；②要注意圆是指“圆周”，而非“圆面”.(2）在同一个平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径. 说明：这是圆的点集定义，它包括两个方面的含义：①圆上各点到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）;②.到定点的距离等于定长的点都在圆上2、点和圆的位置关系点和圆的位置关系有点在圆内、点在圆上、点在圆外三种，点和圆的位置关系是由这个点r，这个点到圆心的距离为如果圆的半径是到圆心的距离与圆的半径的大小关系决定的.d，那么?d?r?d?r?d?r；点在圆内；点在圆上点在圆外3、圆的旋转不变性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线(通过折叠可发现此性质)圆是中心对称图形，对称中心是圆心(利用旋转的方法可以得到此性质)圆具有旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合.说明：(1)中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
轴对称图形是指沿对称轴对折后完全重合的图形.。
(2)圆的对称轴是直线，不能说直径是它的对称轴，而应说直径所在的直线是它的对称轴；圆的对称轴有无数条4、与圆有关的概念）连接圆上任意两点的线段叫做弦（1经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A（2、B为端点AB,读作“圆弧AB”或“弧的弧记作AB”1；小于半圆的弧叫做劣弧大于半圆的弧叫做优弧（用三个字母表示）等圆(3；圆心不同，半径相等的两个圆叫做）圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆等弧在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做提示：①同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个圆的关系，等圆是指能够重合，圆心不同的两个圆②等弧必须是同圆或等圆中的弧，因为只有在同圆或等圆中，两条弧才可能互相重合，长度相等的弧不一定是等弧弦心距；从圆心到弦的距离叫做(4）顶点在圆心的角叫做圆心角5、垂径定理及其推论垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧ABD⊥是直径, C如图所示，∵CDA = =,BCACBDAD ∴ AE=BE,若一条直线①过圆心,②垂直于一条弦，则此直线①平分此弦②平分此弦所对的优弧和劣弧DC OE）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并：（1推论（2）弦的垂直平分线经过圆且平分弦所对的两条弧；B）平分弦所对的一心，并且平分弦所对的两条弧；（3 条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所（提示：1）对于一个圆和一条直线来说，如果以对的优弧⑤平分弦所对的劣弧这五个条件中任何两个作为题设，那么其它三个就是结论（）在应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构2 造如图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定a222)?r?d(d,ra,三个量中，理有根据此公式，在Or2d知道任何两个量就可以求出第三个量Aa BAC 26、圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组相等，那. 么它们所对应的其余各组量都分别相等（1）注意在“同圆或等圆中”这个条件（2说明：）注意理解“所对应”的含义2【典型例题】）例1、下列语句中不正确的是（①直径是弦；②弧是半圆；③经过圆内一顶点可以作无数条弦；④长度相等的弧是等弧①④②④D. A.①③④ B. ②③C.) ( ，最小距离为1，则圆的半径为、由一已知点例2P到圆上各点的最大距离为542 或、4 D、 A、2或3 B、3 C的位置关O，则点P与⊙O5cm，点P到圆心的距离为3cm例3、在平面内，⊙O的半径为系是5cmC为圆心，,AC=2cm,BC=4cm,CM是AB边上的中线，以点ABC例4、在△中，∠ACB=90°，，在圆上的有C、M四点在圆外的有则为半径作圆，A、B、 .在圆内的有、垂足分别为DAB,O⊥E⊥AC、在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，O D例5cm的半径为，若EAC=2cm，则⊙O、AB、H分别为边，E、F、GAC 例6、如下图，菱形ABCD的对角线和BD相交于点O 是否在同一个圆上？、HE、F、GBC、CD、DA的中点，那么DGHCAO F EB、轴交于点C、B,与y APPP如图,点的坐标为(4,0),⊙的半径为5,且⊙与x轴交于点、例7.D、的坐标BD,试求出点A、、C yCOABxPD3例8、海军部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km的水域为危险水域，有一渔船误入离灯塔2km的某处B，为了尽快驶离危险区域，该船应按什么方向航行？请给予证明.例9、矩形的四个顶点是否能在同一个圆上，若在同一个圆上，请你指出来并加以证明例10、已知⊙O的直径为10cm，弦AB=6cm，求圆心O到弦AB的距离.例11、在直径为650mm的圆柱形油槽中装入一些油后，截面如图所示，如油面宽AB=600mm，求油的最大深度OEBAF【经典练习】）1．下列命题中错误的命题有（梯形的对角线互相?（）平分弦的直径垂直于弦；3）2）弦的垂直平分线经过圆心；（1（）圆的对称轴是直径．（平分；44A．1个B．2个C．3个D．4个2.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6 为半径的圆的_______.3.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm4．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短弦长是_______，最长的弦长_______．5．如图1，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上任意一点，则OP?的取值范围是_______．OBAP(1) (2)6．如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD=120°，OE=3厘米，则OD=?___cm．7．如图3，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC 于D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为________cm．8．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB?的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）552D：．5 B．：：2 C．4：A．32ADADCOEB(3) (4)59．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中错误的是（）BD BC．D．B ．CE=DE CAE=BE DOE A．∠COE=∠10．如图，在以O为圆心的两个同心圆的圆中，大圆弦AB交小圆于C、D两点，?试判断AC与BD的大小关系，并说明理由．OABCD11．如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长．COMBAD6。
《圆的对称性》练习题
14．如图，已知⊙O 的半径等于 1 cm，AB 是直径，C，D 是⊙O 上的 ︵ ︵ ︵ 两点，且AD＝DC＝CB，则四边形 ABCD 的周长等于( B ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
15．(导学号：37554049)如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝110°， ︵ 将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在AB上的点 D 处， ︵ 折痕交 OA 于点 C，则AD所对的圆心角的度数为( B A．40° B．50° C．60° D．70° )
20．如图，A，B，C 是半径为 2 的圆 O 上的三个点，其中点 A 是弧 BC 的中点，连接 AB，AC，点 D，E 分别在弦 AB，AC 上，且满足 AD＝CE. (1)求证：OD＝OE； (2)连接 BC，当 BC＝2 2时，求∠DOE 的度数．
(1) 证明：连接 OA ， 图略．∵点 A 是弧 BC 的中点 ， ∴∠ AOB ＝ ∠AOC.∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO，∵AD＝CE， ∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE (2)连接 BC 交 OA 于点 F，图略．由 三线合一知 OA⊥BC，BF＝ 2.在 Rt△BFO 中，由勾股定理可求 OF＝ 2 ， ∴ BF ＝ OF ， ∴∠ AOB ＝ 45 ° . ∵△ AOD ≌△ COE ， ∴∠ AOD ＝ ∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°
︵ 的三 连接 AC，BD，图略．∵在⊙O 中，半径 OA⊥OB，C，D 为AB 1 1 等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝ ∠AOB ＝ ×90°＝30°， 3 3 AC＝CD＝BD.∵OA＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA＝45°，∵∠AOC＝ ∠BOD＝30°，∴∠OEF＝∠OAB＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，同 理∠OFE＝75°，∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝30°， 180°－30° ∴∠ACO＝∠BDO＝ ＝75°.∵∠AEC＝∠OEF＝75°， 2 ∠ BDO ＝∠OFE ＝ 75 ° ， ∴∠ ACO ＝∠AEC ， ∠ BDO ＝∠BFD ， ∴ AE＝AC，BD＝BF，又∵AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD
圆的对称性—知识讲解(提高).doc
圆的对称性—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4.不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O中弦AB＝CD．求证：AD＝BC．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC 、OD ，则OC ＝OD ，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。
圆的对称性压轴题六种模型全攻略(解析版)
圆的对称性压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】【考点三利用垂径定理求值】【考点四利用垂径定理求平行弦问题】【考点五垂径定理的推论】【考点六垂径定理的实际应用】【过关检测】15【典型例题】【考点一利用弧、弦、圆心角的关系求解】1(2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是()A.30°B.35°C.40°D.55°【答案】B【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠AOC=35°．∠OCB=12【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°∴∠AOC=∠AOD=70°，∵OB=OC，∠AOC=35°，∴∠OBC=∠OCB=12故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为()A.20°B.80°C.50°D.100°【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC =40°，∴∠BOC =2∠BAC =2×40°=80°，故选：B ．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2(2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习)下列说法：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理判断①，根据垂径定理的推论判断②；根据不共线的三点共圆可判断③；根据轴对称图形的定义判断④．【详解】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；②平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆，正确；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，故错误，正确的只有1个，故选：B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理的推论，轴对称图形的对称轴，圆的性质，熟练掌握定义与性质是解题的关键．【考点二利用弧、弦、圆心角的关系求证】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，已知⊙O 的半径OA ，OB ，C 在AB �上，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD =CE ，求证：AC=BC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的判定定理可得∠AOC =∠BOC ，然后根据弧、弦和圆心角的关系证明即可．【详解】证明：∵CD =CE ，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴∠AOC =∠BOC ，∴AC=BC．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理以及弧、弦和圆心角的关系等知识，准确证明∠AOC =∠BOC 是解题关键．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)已知：如图，在⊙O 中，∠ABD =∠CDB ．求证：AB =CD ．【答案】见解析【分析】根据∠ABD =∠CDB ，可知AD =BC ，则有AD +AC =BC +AC ，由此可得AB =CD，进而可证AB =CD ．【详解】证明：∵∠ABD =∠CDB ，∴AD=BC，∴AD +AC=BC +AC，∴AB=CD，∴AB =CD ．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，能够熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系是解决本题的关键．2(2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末)如图，A 、B 是⊙O 上的两点，C 是弧AB 中点．求证：∠A =∠B ．【答案】见解析【分析】连接OC ，通过证明△AOC ≌△BOC (SAS )即可得结论．【详解】证明：如图，连接OC ，∵C 是AB的中点，∴AC=BC ，∴∠AOC =∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA =OB∠AOC =∠BOC OC =OC，∴△AOC ≌△BOC (SAS )，∴∠A =∠B ．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．【考点三利用垂径定理求值】1(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接AD ，若AB =10，CD =6，则弦AD 的长为．【答案】310【分析】由题意易得DE =12CD =3,OD =5，根据勾股定理可求OE 的长，然后问题可求解．【详解】解：连接OD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB =10，∴OD =OB =12AB =5，∵CD ⊥AB ，CD =6，∴DE =12CD =3,∠DEO =90°，∴OE=OD2-DE2=4，∴AE=OA+OE=5+4=9，∴AD=DE2+AE2=92+32=310,故答案为310．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习)已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O 到AB的距离为cm．【答案】12【分析】过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理得到BH=12AB=5cm，在Rt△BOH中，利用勾股定理即可得到圆心O到AB的距离．【详解】解：如图，⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，过点O作OH⊥AB于点H，则BH=12AB=5cm，∠BHO=90°，∴OH=OB2-BH2=132-52=12cm，即圆心O到AB的距离为12cm，故答案为：12【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．2(2023·浙江·九年级假期作业)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE=1寸，CD=10寸．则直径AB的长为寸．【答案】26【分析】连接OC构成直角三角形，先根据垂径定理，由CD⊥AB得到点E为CD的中点，由CD=10可求出CE的长，再设出圆的半径OC为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求解方程可得2x的值，即为圆的直径．【详解】解：连接OC，∵AB⊥CD，且CD=10寸，∴CE=DE=5寸，设圆O的半径OC的长为x，则OC=OA=x，∵AE=1，∴OE=x-1，在Rt△COE中，根据勾股定理得：x2-(x-1)2=52，化简得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴AB=26(寸)．故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．【考点四利用垂径定理求平行弦问题】1(2023秋·天津和平·九年级校考期末)⊙O半径为5，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，则AB与CD间的距离为()A.1B.7C.1或7D.3或4【答案】C【分析】过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，由AB∥CD，得到OF⊥CD，根据垂径定理得AE=3，CF=4，再在Rt△OAE中和在Rt△OCF中分别利用勾股定理求出OE，OF，然后讨论：当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD 之间的距离=OE-OF．【详解】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∴AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=OA2-AE2=52-32=4；在Rt△OCF中，OC=5，OF=OC2-CF2=52-42=3；当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE-OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB 与CD之间的距离是．【答案】2或14【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∵AB=12，CD=16，∴CE=8，AF=6，∵OA=OC=10，∴由勾股定理得：EO=102-82=6，OF=102-62=8，∴EF=OF-OE=2；②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，同理EO=102-82=6，OF=102-62=8，EF=OF+OE=14，所以AB与CD之间的距离是2或14．故答案为：2或14．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．2(2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习)⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⎳CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．【答案】7cm或17cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12-5=7cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．【考点五垂径定理的推论】1(2023·新疆喀什·统考二模)某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高CD为4米，则⊙O的半径为米．【答案】6.5【分析】连接OA，设⊙O的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OC=R-4，由题意得，OD⊥AB，AB=6，∴AC=BC=12在Rt△AOC中，由勾股定理得R2=62+R-42，解得R=6.5，则⊙O的半径为6.5米．故答案为：6.5．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起厘米．【答案】16【分析】连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得AD=BD=8厘米．在Rt△OBD中，利用勾股定理求得OD的长，据此求解即可．【详解】解：连接OB，作OD⊥AB于点D，交优弧于点C，则AD=BD=8厘米．由题意得OB=OC=10厘米，在Rt△OBD中，OD=OB2-BD2=6厘米，∴CD=OD+OC=16厘米，则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米．故答案为：16．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键．2(2023春·江苏无锡·九年级校联考期末)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为C，CD=1寸，AB=1尺(1尺=10寸)，则此圆材的直径长是寸．【答案】26【分析】连接AO，依题意，得出AC=5，设半径为r，则AO=r，在Rt△AOC中，AO2=AC2+CO2，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接AO，∵CD=1，AB=10，AB⊥OD，OD为⊙O的半径，∴AC=5，设半径为r ，则AO =r ，在Rt △AOC 中，AO 2=AC 2+CO 2，∴r 2=52+r -1 2，解得：r =13，∴直径为26，故答案为：26．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．【考点六垂径定理的实际应用】1(2023春·安徽亳州·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，CE =DE ，则下列说法错误的是()A.CB =BDB.OE =BEC.CA =DAD.AB ⊥CD【答案】B【分析】根据垂径定理及其推论判断即可．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径与弦CD 交于点E ，CE =DE ，∴根据垂径定理及其推论可得，点B 为劣弧CD的中点，点A 为优弧CD的中点，AB ⊥CD ∴CB=BD，AC=AD，∴CA =DA但不能证明OE =BE ，故B 选项说法错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【变式训练】1(2023春·九年级单元测试)下列说法正确的是()①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A.②③ B.①③C.②④D.①④【答案】D【详解】根据垂径定理及其推论进行判断．【解答】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．【点评】注意概念性质的语言叙述，有时是专门来混淆是非的，只是一字之差，所以学生一定要养成认真仔细的习惯．2(2023·四川攀枝花·校联考二模)下列说法中正确的说法有( )个①对角线相等的四边形是矩形②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等③相等的圆心角所对的弧相等④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】根据矩形的判定方法、圆的性质、垂径定理、三角形的有关性质求解即可．【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角不一定相等，∵同一条弦所对的圆周角有两种情况，故不正确；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；④平分非直径的弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误；⑤到三角形三边距离相等的点是三角形的内心，而内心是角平分线的交点，故正确；故选：A．【点睛】本题是对基础概念的考查，熟记概念是解题关键．【过关检测】一、单选题1(2023·上海普陀·统考二模)下列关于圆的说法中，正确的是()A.过三点可以作一个圆B.相等的圆心角所对的弧相等C.平分弦的直径垂直于弦D.圆的直径所在的直线是它的对称轴【答案】D【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．2(2023·浙江·模拟预测)已知弦AB把圆周分成1:3两部分，则弦AB所对圆心角的度数为()A.90°B.270°C.90°或270°D.45°或135°【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB 把圆周分成1:3两部分，∴劣弧AB 的度数为：360°×14=90°，即：劣弧所对的圆心角的度数为90°，优弧AB 的度数为：360°×34=270°，即：优弧所对的圆心角的度数为270°，∴弦AB 所对圆心角的度数为90°或270°；故选C ．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．3(2023·全国·九年级专题练习)如图，线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，若AB 长为16，OE 长为6，则⊙O 半径是()A.5B.6C.8D.10【答案】D【分析】连接OB ，由垂径定理可得BE =AE =8，由勾股定理计算即可获得答案．【详解】解：如图，连接OB ，∵线段CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，AB =16，∴BE =AE =12AB =12×16=8，∴在Rt △OBE 中，可有OB =OE 2+BE 2=62+82=10，∴⊙O 半径是10．故选：D ．【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．4(2023秋·浙江台州·九年级统考期末)如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，连接AC ，BC ，AD ，BD ，则下列结论不一定成立的是()A.AE =BEB.CE =OEC.AC =BCD.AD =BD【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB 垂直CD 于点E ，∴AE =BE ，AC=BC，AD=BD，∴AC =BC ，AD =BD ，而CE =OE 不一定成立，故选：B ．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．5(2023·浙江衢州·统考二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A ，B ，C ，D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm ，AB =3cm ，CD =4cm ．请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm【答案】B【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到CE =2，AF =1.5，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】设圆心为O ，EF 为纸条宽，连接OC ，OA ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴CE =12CD =12×4=2，AF =12AB =12×3=1.5，设OE =x ，则OF =3.5-x ，又∵OC =OA ，∴CE 2+OE 2=AF 2+OF 2，即22+x 2=1.52+3.5-x 2，解得：x =1.5，∴半径OC =22+x 2=2.5，即直径为5cm ，故选B ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．二、填空题6(2023春·九年级单元测试)AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD =6cm ，OE =4cm ，则AB =．【答案】10cm【分析】由垂径定理可知CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中由勾股定理可求得OC 即AB 的值．【详解】解：如图：依题意可知OA =OC =12AB ，∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∴CE =12CD =3cm ，在Rt △CEO 中，OC =OE 2+CE 2=42+32=5cm ，∴AB =2OC =10cm ，故答案为：10cm ．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识．7(2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE，∠AOE =78°，则∠COB 的度数是．-【答案】34°/34度【分析】先由平角的定义求出∠BOE 的度数，由BC=CD=DE，根据相等的弧所对的圆心角相等可得∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE ，即可求解．【详解】∵∠AOE =78°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-78°=102°，∵BC=CD=DE，∴∠BOC =∠EOD =∠COD =13∠BOE =34°，故答案为：34°．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．8(2023春·九年级单元测试)半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP =4，则过点P 的最短的弦长是，最长的弦长是．【答案】 610【分析】过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，过点P 的最长的弦是直径，利用勾股定理和垂径定理进行求解即可得到答案．【详解】解：如图，OP 在直径AB 上，AB ⊥CD 于点P ，过点P 的最短的弦是垂直于OP 的弦，即CD 的长∵OC =5，OP =4，由勾股定理得：PC =OC 2-OP 2=3，∴CD =2PC =6，∴过点P 的最短的弦长是6；过点P 的最长的弦是直径，即AB 的长，∵AB =5×2=10，．∴过点P 的最长的弦长是10，故答案为：6；10．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．9(2023·河南南阳·校联考二模)已知半径为5的圆O 中有一条长度为8的弦AB ，分别以A ，B 为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M ，N ，连接MN ，点C 为直线MN 与圆O 的交点，点D 为直线MN 与弦AB 的交点，则CD 的长度为．【答案】2或8【分析】根据作图可知，MN 为AB 的中垂线，则MN 必过圆心O ，连接OA ，利用垂径定理求出OD 的长，分点C 在劣弧AB 上和点C 在优弧AB 上两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意，得：MN 是弦AB 的中垂线，D 为AB 的中点，如图，连接OA ,OD ,OB ，则：OA =OB =5,AD =12AB =4，∴OD ⊥AB ，∵CD ⊥AB ，∴O ,C ,D 三点共线，∴OC =5，∴OD =OA 2-AD 2=3；①当点C 在劣弧AB 上时：CD =OC -OD =2；②当点C 在优弧AB 上时：CD =OC +OD =8；故答案为：2或8【点睛】本题考查中垂线的作图，垂径定理．根据作图方法得到MN 是AB 的中垂线，是解题的关键．注意分类讨论．10(2023·浙江·九年级专题练习)图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点O 是AB所在圆的圆心，OA =OB ，点A ，点B 离地高度均为15cm ，水平距离AB =90cm ．则OA =cm ．当半径OA 转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点B 离地高度应小于cm ．【答案】 7554【分析】根据垂径定理构造直角三角形即可得到OA 的长度；根据题意做出示意图再利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：连接AB ，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，如图，∵OA =OB ，AB =90cm ，∴AC =BC =12AB =45cm ，∵点A ，点B 离地高度均为15cm ，∴OC =OA -15，∴在Rt △AOC 中，OC 2+AC 2=OA 2，∴OA -15 2+452=OA 2，∴OA =75cm ，故答案为75；过点B 作BE ⊥OA ，BF 垂直于地面，垂足分别是E 、F ，如图，∵BE =AF ，设BF =AE =x ，OA =OB =75cm ，∴OE =OA -AE =75-x ，∴在Rt △BOE 中，BE 2=OB 2-OE 2，在Rt △BEA 中，BE 2=AB 2-AE 2，∴752-75-x 2=902-x 2，∴x =54cm ．∴则点B 离地面的高度应小于54cm ．故答案为：54．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解一元一次方程等相关知识点，熟记垂径定理是解题的关键．三、解答题11(2023秋·河北邢台·九年级校联考期末)如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD，∠COD =50°，求∠AOD 的度数．【答案】80°【分析】根据圆的性质进行计算即可得．【详解】解：在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，∴∠AOB =180°，又∵BC=CD，∴∠BOC =∠COD =50°，∴∠AOD =180°-50°-50°=80°．【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等．12(2023·江苏·九年级假期作业)如图，OA =OB ，AB 交⊙O 于点C ，D ，OE 是半径，且OE ⊥AB 于点F ．(1)求证：AC =BD ．(2)若CD =8，EF =2，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)由垂径定理得到CF =DF ，由等腰三角形的性质得到AF =BF ，从而证明AC =BD ；(2)设⊙O 的半径是r ，由勾股定理，垂径定理列出关于r 的方程，即可求出⊙O 的半径．【详解】(1)证明：∵OE ⊥AB ，∴CF =DF ，∵OA =OB ，∴AF =BF ，∴AF -CF =BF -DF ，∴AC =BD ；(2)解：连接OC ，设⊙O 的半径是r ，∵CO 2=CF 2+OF 2，CF =12CD =4∴r 2=42+(r -2)2，∴r =5，∴⊙O 的半径是5．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．13(2023春·全国·九年级专题练习)如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，AE =2，CD =8．(1)求⊙O的半径长；(2)连接BC，作OF⊥BC于点F，求OF的长．【答案】(1)⊙O的半径长为5(2)OF的长为5【分析】(1)连接OD，设⊙O的半径长为r，OE=OA-AE=r-2，得到r-22+42=r2，求解即可．(2)勾股定理求得BC，垂径定理求得BF，勾股定理求出OF即可．【详解】(1)连接OD，如图，设⊙O的半径长为r，∵AB⊥CD，AE=2，CD=8，∴∠OED=90°,CE=DE=12CD=4，OE=OA-AE=r-2，在Rt△ODE中，∴r-22+42=r2，解得r=5，故⊙O的半径长为5．(2)在Rt△BCE中，∵CE=4,BE=AB-AE=10-2=8，∴BC=42+82=45，∵OF⊥BC，∴∠OFB=90°,CF=FB=12CB=25在Rt△BOF中，OF=52-252=5，故OF的长为5．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．14(2023·河北衡水·校考模拟预测)图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆AB的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆CD的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆AB的中点，(即当支架水平放置时直线AB平行于水平线，支撑杆CD垂直于水平线)，通过滑动A、B可以调节CD的高度．当AB经过圆心O时，它的宽度达到最大值10cm，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆AB的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆CD的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等(AE=AB)，求该手机的宽度．【答案】(1)支撑杆CD的高度为9cm．(2)手机的宽度为8cm．【分析】(1)如图，连结OA，由题意可得：⊙O的直径为10，AB=6, 由OD⊥AB, 先求解OD, 从而可得答案；(2)如图，记圆心为O ，连结OA ，证明AE =CD =BF =AB , 设AD =BD =x ,则AE =CD =BF =AB =2x ,则OD =2x -5, 再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】(1)解：如图，连结OA ，由题意可得：⊙O 的直径为10，AB =6,∴OA =5,∵CD ⊥AB , 即OD ⊥AB , ∴AD =BD =3, ∴OD =52-32=4, ∴CD =OC +OD =9.所以此时支撑杆CD 的高度为9cm ．(2)解：如图，记圆心为O ，连结OA ，由题意可得：AB =AE ,∠E =∠EAB =∠ABF =90°, ∴四边形AEFB 为正方形，∵CD ⊥EF ,∴AE =CD =BF =AB ,∵CD ⊥AB , ∴设AD =BD =x ,则AE =CD =BF =AB =2x ,∵OA =OC =5, ∴OD =2x -5,由勾股定理可得：52=x 2+2x -5 2, 解得x 1=0,x 2=4,经检验x =0不符合题意，舍去，取x =4, AB =8(cm )，即手机的宽度为8cm ．【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．15(2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习)如图1，AB 是⊙O 的弦，点C 在⊙O 外，连接AC 、BC 分别交⊙O 于D 、E ，AC =BC(1)求证：CD =CE ．(2)如图2，过圆心O 作PQ ∥AB ，交⊙O 于P 、Q 两点，交AC 、BC 于M 、N 两点，求证：PM =QN ．(3)如图3，在(2)的条件下，连接EO 、AO ，∠EON +∠CAO =120°，若CD =112，NQ =32，求弦BE 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)13【分析】(1)连接DE ，利用圆内接四边形的性质，等腰三角形的两个底角相等的性质证明即可．(2)连接OA =OB ，证△OAM ≌△OBN ，得OM =ON ，得OP -OM =OQ -ON ，可证明PM =NQ ．(3)连接OB ，证∠OAM =∠OBN ，OB =OE ，结合已知，得∠CNO =60°，等边△CMN ，∠OCN =30°，∠CNM =60°，作OG ⊥BE 于点G ，设GN =m ，可得ON =2m ，OG =3m ，GC =3m ，OE =OQ =2m+32，EG =3m -112，Rt △OGE 中勾股得2m +32 2=3m -112 2+3m 2，计算即可．【详解】(1)如图，连接DE ，∵四边形ADEB 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDE =∠B ,∠CED =∠A ；∵AC =BC ，∴∠B =∠A ；∴∠CDE =∠CED ；∴CD =CE ．(2)连接OA ,OB ，∵AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA ；∵PQ ∥AB ，∴∠CAB =∠CMN ,∠CBA =∠CNM ，∴∠CMN =∠CNM ，∴CM =CN ，∴CA -CM =CB -CN ，∴MA =NB ，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA ，∴∠OAM =∠OBN ，∴MA =NB∠OAM=∠OBN OA =OB，∴△OAM ≌△OBN ，∴OM =ON ，∵OP =OQ ，∴OP -OM =OQ -ON ，∴PM =NQ ．(3)连接OB ，∵AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA ；∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA ，∴∠CAO =∠CBO ，∵∠EON +∠CAO =120°，21∴∠EON +∠CBO =120°，∵OB =OE ，∴∠OEB =∠CBO ，∴∠EON +∠OEN =120°，∴∠CNO =60°，∵CM =CN ，∴等边△CMN ，∠OCN =30°，∠CNM =60°，作OG ⊥BE 于点G ，则BE =2EG ，∵CE =CD =112，NQ =32，设GN =m ，则ON =2m ，OG =3m ，∴CN =4m ，∴GC =CN -GN =3m ，OE =OQ =2m +32，EG =3m -112，Rt △OGE 中，根据勾股定理，得2m +32 2=3m -1122+3m 2，解得m 1=4，m 2=78， ∵3m -112>0，∴m =4，∴BE =2EG =23m -112=13．【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练掌握圆的性质，勾股定理，一元二次方程的解法是解题的关键．。
圆的概念及性质典型题(精选)
一、圆的相关概念1. 圆的定义（1） 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． （2） 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． （3） 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作”圆O “． （4） 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． （2） 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． （3） 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． （5） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． （6） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （7） 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （8） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3. 圆心角和圆周角（1） 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1. 旋转对称性（1） 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． （2） 圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系． 2. 轴对称性（1） 圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴． （2） 圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1） 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （2） 推论：知识点圆的概念及性质推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2） 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3.垂径定理（1） 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2） 推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． （3） 推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．D一、圆的相关概念及性质【例1】 判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】 如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（ ）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】 如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则AOD ∠=___________．【例4】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A例题【例5】 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】 如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． 图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】 如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【例8】 如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（ ）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】 如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】 已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒PO D C BA【例12】 如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．O1BA【例13】 如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（ ） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒ D ．40︒【例14】 如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒OA【例15】 如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为 ．CDO A【例16】 如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】 如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（ ） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】 如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】 如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】 如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】如图，AB为O、的延长线交于点E，若218⊙的弦，AB CD⊙的直径，CD是O，，=∠=︒AB DE E 求AOC∠的度数．E 【例22】如图所示CD是O=，求A⊙于B，且AB OC∠=︒，AE交OEOD⊙的直径，87∠的度数．D【例23】如图，已知AB为⊙O的直径，20∠=______．∠=︒，则CBEE∠=︒，50DBC【例24】如图，在O∠的度数为m，C是ACB上一点，D E⊙中，AOB、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E∠∠∠，求A B==∠∠．+AB【例26】 如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器 台．【例27】 如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为( )B.4D.5CA【例28】 如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径为______cm ．【例29】 如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．B【例30】 已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】 两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】如图，O⊙分成度数比为12⊙的直径，且把O⊙与P⊙相交于B、C两点，BC是P∶的两条弧，⊙于D、E两点．A是BmC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交P（1）当ABC∆是钝角三角形时，判断PD E∆的形状．（2）当ABC∆是直角三角形时，判断PD E∆的形状．（3）当ABC∆是锐角三角形时，判断PD E∆的形状．这种情况加以证明．【例33】已知，如图：AB为OBAC∠=︒．给⊙于点E，45=，BC交O⊙的直径，AB AC⊙于点D，AC交O出以下五个结论：①22.5=；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；AE ECEBC∠=︒，；②BD DC=；③2⑤AE BC=．其中正确结论的序号是．【例34】如图，ABC，重合)，△是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与A B设OABα∠=，Cβ∠=．α=︒时，求β的度数；（1）当35（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．∠，已知106、在弧AB上，且AD平分CAB，，求AD==AB AC 的长．【例10】 圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】 如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】 如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．PEC B A【例39】 如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】 如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．E DCBA【例41】 在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BD E ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】 已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD =AB 的长等于 ．【例43】 如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒． 现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=． 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】 已知AD 是O ⊙的直经，AB AC、是弦，若2AD AB AC =，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】 如图，已知四边形ABCD 内接于直径为3的圆O ，对角线AC 是直径，对角线AC 和BD 的交点P ，AB BD =，且0.6PC =，求四边形ABCD 的周长．C【例46】 如图，四边形ABCD 为正方形，O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB AD ，于点F E ，．（1）求证：DE AF =（2）若O，1AB ，求AEED的值．【例47】 如图，O ⊙外接于正方形ABCD，P 为弧AD 上一点，且1AP =，PB =PC 的长．P D CBA【例48】 圆内接四边形ABCD ，AC BD ⊥，AC 交BD 于E ，EG CD ⊥于G ，交AB 于F ．求证：AF BF =．GEFABC D【例49】 圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】 在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】 如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（ ）A.2AB CD >B.2AB CD <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】 已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】 如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴ BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】 已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】 在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】 如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +=．【例57】 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值．图 4F EDC BA【例58】 已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】 如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】 已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E 是BC 上一动点，连结AD AE D E 、、，且90AED ∠=︒．⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长； ⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。
九上 圆的对称性 垂径定理 知识点+例题+易错点(分类全面)
2.2 圆的对称性一、温故知新1、轴对称图形：把一个图形沿着 折叠，如果直线两旁的部分 能够 ，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是 。
2、中心对称图形：把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的 。
二、归纳知识点知识点1 圆的对称性（重点） 通过旋转与折叠的方法，我们得到：★ 圆的旋转不变性，即一个圆绕圆心旋转任何角度后，都与它自身重合； ★ 圆是 图形，圆心是它的对称中心；★ 圆是 图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系（重点）★ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。
★ 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 。
例.如图，在⊙O 中，点A 为BC ⌒的中点，AE ⊥OB 于点E ，AF ⊥OC 于点F ，你能说明AE 与AF 相等吗？PA知识点3 圆心角的度数与它所对的弧的度数关系（重点）★ 1 的弧：将顶点在圆心的周角等分360份，每一份圆心角是1 的角，因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把1 的圆心角所对的弧叫做1 的弧。
★一般地，n 的圆心角对着n 的弧，n 的弧对着n 的圆心角，即圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90 ，∠B=25 ，以点C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，求AD⌒的度数。
知识点4 垂径定理（难点）★垂径定理：；★ 垂径定理的符号语言表现形式：例、如图，⊙O 的半径为4cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，求弦AB 的长。
三、典型例题题型一： 利用垂径定理求线段的长例1.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，连接OC ，若OC=5，CD=8,则AE ？题型二： 综合运用垂径定理及勾股定理解决生活问题AE 0B例2.某地有一座圆弧形拱桥，如图，桥下水面宽度AB为7.2cm，拱顶C高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？题型三：利用分类讨论思想求平行弦之间的距离例3、已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm求AB和CD之间的距离。
圆的对称性(个人整理,经典题型)
第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。
注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。
2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。
3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。
用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。
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圆的对称性
【典型例题】
例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：
例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：
例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：
【模拟试题】一. 选择题。
1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（）
A. B. 1 C. D.
2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（）
第5题
第8题 A. B. C. D.
4. 下列命题中正确的是（ ）
A. 圆只有一条对称轴
B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 垂直于弦的直径平分这条弦
D. 相等的圆心角所对的弧相等
5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ）
A. AB ＞CD
B. AB ＝CD
C. AB ＜CD
D. 不能确定
二. 填空题。
6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。
7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．
8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。
9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。
10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。
11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝
5cm ，∠DEB ＝60°，
则CD ＝___________。
三. 解答题。
12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。
13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。
求证：
14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。
15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。
第11题
16. ⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在上滑动（点C和A、点D 与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF；2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由。
17. （12上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
圆的对称性试题答案
一. 选择题。
1. B
2. A 3 A 4. C 5. B
二. 填空题。
6. 4
7. 10
8. 75°9.
10. 2cm或14cm
11. cm（垂径定理与勾股定理）
三. 解答题。
12 解：过点O作OC⊥AB于C，则
又
∴∠OAB＝30°
13 证明：连结BC
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径
∴BC＝AC
∴∠CAB＝∠CBA
又EA＝EC
∴∠CAB＝∠ECA
∴∠CBA＝∠ECA
∴△AEC∽△ACB
即
14. 解：略
15 解：连OA
∵AB＝AC，
∴OA⊥BC于D
又∠BAC＝120°
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∠B＝∠C＝30°
设⊙O的半径为r，则
∴r＝6
16. （1）证明：如图，过O作OG⊥CD于G
则G为CD的中点
又EC⊥CD，FD⊥CD
∴EC∥OG∥FD
∴O为EF的中点，即OE＝OF
又AB为⊙O的直径
∴OA＝OB
∴AE＝BF（等式性质）
（2）解：四边形CDFE面积是定值
证明：∵动弦CD滑动过程中条件EC⊥DC，FD⊥CD不变∴CE∥DF不变
∴四边形CDFE为直角梯形，且OG为中位线
∴S＝OG·CD
连OC，由勾股定理有：
又CD＝9cm
是定值
17、解答：解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
∴OD==；
（2）如图（2），存在，DE是不变的．
连接AB，则AB==2，
∵D和E是中点，
∴DE=AB=；
（3）如图（3），
∵BD=x，
∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
过D作DF⊥OE．
∴DF=，EF=x，
∴y=DF•OE=（0＜x＜）．。