动能和动能定理,机械能守恒典型例题和练习(精品)

学习目标

1. 能够推导并理解动能定理知道动能定理的适用围

2. 理解和应用动能定理，掌握外力对物体所做的总功的计算，理解“代数和”的含义。

3. 确立运用动能定理分析解决具体问题的步骤与方法 类型一 .常规题型

例1. 用拉力F 使一个质量为m 的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s ，拉力

F

跟

木

箱

前进的方向的夹角为，木箱与冰道间的动摩擦因数为，求木箱获得的速度αμ

例2. 质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上，若物体受水平力F 的作用从静止起通过位移s 时的动能为E1，当物体受水平力2F 作用，从静止开始通过相同位移s ，它的动能为E2，则： A. E2＝E1 B. E2＝2E1 C. E2＞2E1

D. E1＜E2＜2E1

针对训练 材料相同的两个物体的质量分别为m1和m2，且m m 124=，当它们以相同的初动能在水平面上滑行，它们的滑行距离之比s s 12：和滑行时间之比

t t 12：分别是多少？（两物体与水平面的动摩擦因数相同）

类型二、应用动能定理简解多过程问题

例3：质量为m的物体放在动摩擦因数为μ的水平面上，在物体上施加水平力F 使物体由静止开始运动，经过位移S后撤去外力，物体还能运动多远？

例4、一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．

2-7-6

针对训练2 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s2）

针对训练3 质量为m 的球由距地面高为h 处无初速下落，运动过程中空气阻力恒为重力的0.2倍，球与地面碰撞时无能量损失而向上弹起，球停止后通过的总路程是多少？

类型三、应用动能定理求变力的功

例5. 质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道最低点，此时绳子的力为7mg ，此后小球继续做运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力做的功为：

A B ..1

41

3mgR mgR

C D ..1

2mgR mgR

例6、如图5所示，质量为m 的物体被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑的水平面上作匀速圆周运动，拉力为某个值F 时转动半径为R ，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍作匀速圆周运动，半径为2R ，则外力对物体所做的功的大小是多少？

例7. 一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移到Q点（如图1所示），则力F 所做的功为：

1-θ

A. mgl·cosθ

B. mgl·(cos)

C. Fl·sinθ

D. Fl·θ

例8. 质量为M=500t的机车，以恒定功率从静止起动，经时间t=5min，在水平轨道上行驶了s=2.25km，速度达到最大vm=15m/s。试求：

（1）机车的功率P；

（2）机车运动过程中所受的平均阻力。

针对训练 4 额定功率为P=60kw的机车质量为m=40t，由静止以加速度a=0.5m/s2起动，运动过程中所受摩擦阻力恒为f=10000N，起动8s后关闭发动机，最后静止，则机车一共运动了多远？

类型四瞬间力做功问题

例9 运动员踢球的平均作用力为200N,把一个静止的质量为1kg的球以10m/s 的速度踢出,水平面上运动60m后停下,则运动员对球做的功? 如果运动员踢球

时球以10m/s迎面飞来,踢出速度仍为10m/s,则运动员对球做的功为多少?

针对训练5 某人从12.5m的高楼顶突然向上抛出一个小球，不计空气阻力，小球脱手时的速度是5m/s，小球的质量为0.6kg，则人对小球所做功的大小是多少？（g=10m/s2)

类型五求解曲线运动问题

例10 某人从距地面25m高处水平抛出一小球，小球质量100g，出手时速度大小为10m/s,落地时速度大小为16m/s，取g=10m/s2，试求：

（1）人抛球时对小球做多少功？

（2）小球在空中运动时克服阻力做功多少？

例11 如图所示,光滑1/4圆弧半径为0.8m,有一质量为1.0kg的物体自A点从静止开始下滑到B点,然后沿水平面前进4m,到达C点停止.求:

(1)在物体沿水平运动中摩擦力做的功.

(2)物体与水平面间的动摩擦因数

针对训练6 如图所示，半径为R的光滑半圆轨道和光滑水平面相连，一物体以某一初速度在水平面上向左滑行，那么物体初速度多大时才能通过半圆轨道最高点？

14．如图7所示，质量为m的物体静放在水平光滑平台上，系在物体

上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v0向右匀速走动的人拉着，设人

从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过

程中人所做的功为( )

A．mv02／2 B．mv02 C．2mv02／3 D．3mv02／8

●例1 如图4-3-1，长为L的均匀铁链质量为m，两端各拴一质量为m的小球，链的一半放在光滑水平桌面上，另一半自由垂下，让铁链由静止释放，求桌上小球刚离开桌面时的速率（设桌面足够高）.

●例2 如图4-3-2所示，露天娱乐场的空中列车由多节质量均为m的相同车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长L=4πR，R远大于每一节车厢的长度和高度，整个列车刚好能通过光滑圆轨道，两节车厢间的相互作用力远小于一节车厢的重力，求第

一节车厢到达最高点时对轨道的压力.

●例3 在光滑水平地面上放一质量为m 1、高为a 的光滑长方体木块，长l ＞a 的光滑轻杆斜靠在木块石上侧上，轻杆上端固定一个质量为m 2的小重物，下端O 点用光滑小铰链连在地面上，铰链可自由转动.开始时系统静止，而后轻杆连同小重物一起绕O 点开始转动并将木块推向左方运动，如图4-3-3所示，试问木块是否会在未遇到小重物前便离开轻杆？为什么？

●例4 总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节质量为m 的车厢中途脱钩，司机发觉时，机车已行驶了L 距离，于是立即关闭油门，撤去牵引力，设运动的阻力与质量成正比，且关闭油门前牵引力恒定，求最终拖车和卡车相隔的距离.

●例5 跳水运动员从高于水面H=10m 的跳台落下，假如运动员质量为m=60kg ，其体形可等效为长度L=1.0m ，直径d=0.3m 圆柱体，不计空气阻力，运动员入水后，水的等效阻力F 作用于圆柱体的下端面，F 的数值随入水深度y 变化的函数图像如图4-3-6所示，该曲线可近似地看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与两坐标轴重合，椭圆与y 轴交于y=h 处，与F 轴交于F=

2

5

mg 处.为确保运动员的安全，试计算池水至少应有多深？（水的密度ρ=1.0×103kg/m 3）

●例6 空间固定点O 处连接一根倔强系数为k 的轻弹簧，弹簧另一端连接质量为m 的小球.开始弹簧水平且处于自由长度状态，小球由静止开始自由摆下.假设小球运动轨道为一光滑曲线，且到图4-3-7中最低点P 时速度v 恰好水平，而后小球将向上方拐弯，试证明小球在P 点时弹簧长度l 必定超过

2mg

k

三：能力训练：

1．如图4-3-8所示，质量为m ，长为L 的均匀链条堆放在光滑水平桌面的边缘，桌面离地高度为H （H ＜L ），因微小扰动链条一端离开桌面而下落，求链条另一端着地时的速度.

2．如图4-3-9所示，半径为R 的定滑轮（质量不计）上绕一质量均匀长为L （L ＞＞R 的铁链，两边垂直相等的长度，滑轮与铁锭间无相对滑动，由于某种轻微干扰，使滑动转动，不计轴摩擦，求滑轮转过90°时的角速度.

3．如图4-3-10所示，A 、B 两物体用细绳相连，A 质量为2m ，B 质量为3m ，A 放在半径为R 的光滑半球面左端，半球固定在水平桌面上，由静止释放B.当A 球到达球面顶端时，A 球对半球面压力为多少？

4．如图4-3-11所示，长为L 的细绳一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的球，开始将球拉至与悬点等高目绳伸直位置，由静止释放，当绳被悬点正下方O′点的钉子挡住后，小球刚好能绕O′点在竖直面做圆周运动，求OO′的距离x.

5．如图4-3-12所示，质量为m 的小球用长为L 的细线系住悬于A 点，A 、B 是过A 点的竖直线，AE=

2

L

，过E 作水平线EF ，在EF 上钉一钉子P ，将小球拉起使悬线伸直并水平，由静止释放小球，若小球能绕钉子P 在竖直面做圆周运动，且绳子承受的最大拉力为9mg.求钉子安放的围EP .

6．如图4-3-13所示，在光滑水平面上，质量为M 的小车正以速度v 0向右运动，一质量为m 的木块以速度－v 0冲上车面，为使小车继续保持v 0速度匀速运动，须即时给车一水平力，当M 与m 速度相等时，撤去此力，求该水平力对小车做的功.（设车足够长）

7．如图4-3-14所示，AB 和CD 为两个斜面，其下端分别与一光滑圆弧面相切，EH 为整个轨道的对称轴，圆弧所对圆心角为120°，

半径为2m ，某物体在离弧底H 高h=4m 处以v 0=6m/s 速度沿斜面运动，物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.04.求物体在AB 与CD 两斜面上运动的总路程.（g 取10m/s 2）

8.如图4-3-15所示，两块质量分别为m 1和m 2的木块由一根弹簧连在一起，至少需要多大的压力F 加在m 1上，才可能使F 撤去后，m 2刚好被弹簧提起？（弹簧的质量忽略不计）

动能定理经典试题

1、 一架喷气式飞机，质量m =5×103kg ，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m 时，达到起飞的速度v =60m/s ，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k =0.02），求飞机受到的牵引力。

2、 将质量m=2kg 的一块石头从离地面H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s 2）

3、 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W 为（ ）

A .Δv=0 B. Δv=12m/s C. W=0 D. W=10.8J

4、 在h 高处，以初速度v 0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）

A. gh v 2

0+ B. gh v 20- C. gh v 220+ D. gh v 220-

h H

2-7-2

5、一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（）

A. mgl cosθ

B. mgl(1－cosθ)

C. Fl cosθ

D. Flsinθ

6、如图所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作

用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉

力增大到8F时，小球恰可沿半径为R／2的圆周匀速运动在上述增大拉

力的过程中，绳的拉力对球做的功为________.

7、如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0

＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因

数

2

3

=

μ，g取10m/s2。

(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?

(2) 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?．

8、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

2-7-3

θ

F

O

P

Q

l

2-7-4

9、电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s2）

10、一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．

2-7-6

11、从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k （k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：

（1）小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？

（2）小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

12、某同学从高为h处水平地投出一个质量为m的铅球，测得成绩为s，求该同学投球时所做的功．

13、 如图所示，一根长为l 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一质量为m 的小球，当小球处于最低平衡位置时，给小球一定得初速度0v ，要小球能在竖直平面作圆周运动并通过最高点P ，0v 至少应多大？

14、 新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s ，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m 3，若把通过横截面积S=20m 2的风能的50%转化为电能，利用上述已知量推导计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。

15、 质量为M 、长度为d 的木块，放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m 的子弹以水平速度V 0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度V 0射入静止的木块。设子弹在木块中受阻力恒定。 求：（1）子弹射入木块的深度

（2）从子弹开始进入木块到与木块相对静止的过程中，木块的位移是多大？

16、 如图2-7-19所示的装置中，轻绳将A 、B 相连，B 置于光滑水平面上，拉力F 使B 以1m ／s 匀速的由P 运动到Q,P 、Q 处绳与竖直方向的夹角分别为α1=37°，α2=60°.滑轮离光滑水平面高度h=2m ，已知m A =10kg ，m B =20kg ，不计滑轮质量和摩擦，求在此过程中拉力F 做的功(取sin37°=0.6，g 取10m ／s 2)

l S

2-7-7

d

V 0

参考答案：

1、解答：取飞机为研究对象，对起飞过程研究。飞机受到重力G 、支持力N 、牵引力F 和阻力f 作用，如图2-7-1所示

2-7-1

各力做的功分别为W G =0，W N =0，W F =Fs ，W f =-kmgs.

起飞过程的初动能为0，末动能为

22

1mv

据动能定理得：

代入数据得：

2、石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。

对石头在整个运动阶段应用动能定理，有

00)(-=-+h F h H mg 。

所以，泥对石头的平均阻力

10205

.005

.02??+=?+=

mg h h H F N=820N 。 3、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=v t -(-v 0)=12m/s,根据动能定理

答案：BC

4、解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有

2

022

121mv mv mgh -=

， 解得小球着地时速度的大小为 =

v gh v 220+。

正确选项为C 。

5、解答 将小球从位置P 很缓慢地拉到位置Q 的过程中，球在任一位置均可看作处于

N G f

F 0

2

1

2-=-mv kmgs Fs N

s

v m kmg F 42

108.12?=+=02

121ΔE 2

02K =-==mv mv W t

平衡状态。由平衡条件可得F=mg tan θ，可见，随着θ角的增大，F 也在增大。而变力的功是不能用W= Fl cos θ求解的，应从功和能关系的角度来求解。

小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W ，小球克服重力做功mgl (1－cos θ)。

小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 W －mgl (1－cos θ)=0，

W = mgl (1－cos θ)。

正确选项为B 。

6、

32

FR 7、解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力 θμcos mg F =，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律

ma mg F =-θsin

可得 )30sin 30cos 2

3(10)sin cos (sin 00-?=-=-=

θθμθg g m F a m/s 2=2.5m/s 2。 设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律

可得 5

.22222

2

0?==a v x m=0.8m ＜4m 。 故工件先以2.5m/s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m 与传送带达到共同速度2m/s 后做匀速直线运动。

(2) 在工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功W f ，

由动能定理 202

1mv mgh W f =

-, 可得 210102

120??=+

=mv mgh W f J 221021

??+J=220J 。

8、解答：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个

力做功，W G =mgR ，f BC =umg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据

动能定理可知：W 外=0，

所以mgR-umgS-W AB =0

即W AB =mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J) 9、解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。

在匀加速运动过程中，加速度为

8

10

8120?-=-=

m mg F a m m/s 2=5 m/s 2， 末速度 120

200

1=

=

m m t F P v m/s=10m/s ， 上升时间 5

10

1==

a v t t s=2s ，

上升高度 5

21022

21?==

a v

h t m=10m 。 在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为

10

8200

1?==

mg P v m m m/s=15m/s ， 由动能定理有 2

2122

121)(t m m mv mv h h mg t P -=--， 解得上升时间

200

1)1015(821)1090(108)(21)(2222

12-??+-??=-+

-=

m t m P v v m h h mg t s=5.75s 。 所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m ，所需时间为

t=t 1+t 2=2s+5.75s=7.75s 。

10、解答 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：

物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则

对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk ．

mg lsinα－μmglcosα－μmgS 2=0

得 h －μS 1－μS 2=0． 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故

11、解答：(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h ，则由动能定

理得：mg(H-h)-kmg(H+h)=0 解得 H k

k

h +-=

11 (2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总

路程是S ，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0 解得 k

H S =

12、解答 同学对铅球做的功等于铅球离手时获得的动能，即

αμcos 1mgl W f -=mgh

mgl W G

==αsin

21

2-=mv W

铅球在空中运动的时间为

g h t 2=

铅球时离手时的速度

t s v =

13

14、解答 首先建立风的“柱体模型”，如图2-7-7所示，设经过时间t 通过截面S 的空气的质量为m ，则有

m =ρV=ρSl=ρSvt 。

这部分空气的动能为 t Sv v Svt mv E 3222

1

2121ρρ=??==

?。 因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为

3341%5021

%50Sv t t

Sv t E P ρρ=?=??=。

代入数据得 3

20204.14

1???=P W=5.6×104W 。

15. （1） X ＝ Md/（M ＋m ） （2） S 2＝2

)(m M Mmd

+

16. 151.95J

2-7-7