线性代数练习册-答案
第一章 行列式习题答案
二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案
1.计算下列二阶行列式 （1）
23112
=； （2）
cos sin 1sin cos θθθ
θ
-=；
（3）
111112122121
2222
a b a b a b a b ++++112211221122
1122a a a b b a b b
1221
122112211221a a a b b a b b （4）
11121112
21222122
a a
b b a a b b +
1122
1122
1221
1221a a b b a a b b
2.计算下列三阶行列式
（1）103
12
126231-=--；
(2)11
1213222332
33
a a a a a a a 112233
112332
a a a a a a 1122332332a a a a a
（3）a c b
b
a c
c b a
3
3
3
3a b c abc
3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.
123t 112217t
（3）()
()()
123225
24212n n n n ---
当n 为偶数时，2n
k ，排列为
143425
2122
21
223
412
k k k k k k
k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2
2
(1)
1
3
1
31
42
n k
k
k
k
k k
n
其中11(1)(1)k k 为143425
2122k k k k --+的逆序
数；k 为21k
与它前面数构成的逆序数；(1)
(2)
21k k
为
23,25,
,2(21)k k k
k 与它们前面数构成的逆序数的和；
113131k k k k 为2k ，22,24,,2k k
与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n
k ，排列为
142345
2122
23
225
412
k k k k k k
k k ++++++1122t k k
(1)21k k 2
2
1
3
32
3432n k
k
k
k
k k
n
其中1122k k 为142345
2122k k k k +++的逆序数；
(1)21k k 为23,25,
,2(21)k k
k
k 与它们前面数构成的逆序数的和；3323k k k k 为2,22,
,2k k
与它们前面数构成的逆序数的
和.
4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列. 解：4,5i
j
，()()23162431655t i j t ==为奇排列.
5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a -
6.按定义计算下列行列式：
（1）
0001
002003004000(4321)
(1)
2424
（2）
00
000000000
a c d
b (1342)
(1)
abcd abcd
7. 求1230312
()1231
22x x f x x x
x
-=
的展开式中4x 和3
x 的系数.
4x 的系数为6；含3x 的项只有(4231)(1)(3)3t x x x ，所以3x 的系数为
(4231)(1)3(3)11
9t
行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：
（1）200819861964
200919871965201019881966
；
解：3221
20081986196411101
11
r r r r D
(2)
1
231231
2
3
111a a a a a a a a a +++；
解：2312
32
32
3
1(1
)111
1
a a D a a a a a a a 各列加到第一列后提取公因式
2131
2
31
2
331(1)0
10
1
r r r r a a a a a a 1
2
3(1)a a a
（3）41
2320132011160116011101110310
2
3
500r r D
213
31
4
116
116(1)11102
7
3
50
818
r r r 20
（4）21
1
201110111611261112112211
10
1
00
c c D
31
4
1
10
1100(1)2612611622
1
223c c .
（5）0
010
010
1
D αβ
αβαβ
αβαβ
αβαβ
++=
++.
()
40
1
100
101D αβ
αβαβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ
+=++-+++ 3
2
2
12
D D D D D 4
3
2
2
3
4
2.证明：
（1）011=++++=
c
b a
d
b a d
c
d a c b d c b a
D １１；
证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有
1111(1)
01111
a b c d a b b c a d b c D
a
b
c
d c d a b c d d
a
b
c
d
a １１１１
（2）33()ax by ay bz
az bx x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y ++++++=++++. 证明：左式12ax
ay
az
by
bz
bx
ay bz
az bx ax by ay bz
az bx ax by D D az bx ax by ay bz az bx ax by ay bz
=+++++++=+++++++
31
1r br x
y z
x y z D a ay bz
az bx ax by a ay bz az bx ax by
az bx ax by ay bz
az
ax
ay
-=+++=++++++23
223r br x y z x y z x y z a ay bz az bx ax by a ay az ax a y
z x z
x
y
z
x
y
z
x
y
-=+++== 类似有1323
3
22(1)r r r r y
z x x y z D b z
x y y
z x x
y
z
z
x
y ←?→←?→==-,
所以33()ax by ay bz
az bx
x y z ay bz
az bx ax by a b y
z x az bx ax by ay bz
z
x
y
++++++=++++ 3.计算n 阶行列式
（1）n D =a
b b b b a b b
b
b a b
b b b a ...........................； 各行加到第一行后提取公因式有：
111...1...(1).....................n
b
a b b
D a
n b b b a b
b b b a
211
111 (10)
0 0
(1)0
0...0 0
00...n r br r br a b a
n b a
b a b
1
(1)n a n b a
b
（2）1
212121
2n n
a n a n D n a ++=
+12(0)n a a a ≠.
21
12
121
112121
2121
1
210012000
n
n n
r r n r r r n
r r a a n
n
a na a a n a a a
a a a a a a a -----++
++
+--=
=
--
11122
21211n n n n i i a na i
a a a a a a a a =????
=+++
+=+ ? ???
??
∑ 4.利用范德猛行列式计算：
1111123414916182764D =
.
22223
3
3
3
11111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341234==------=
克拉默法则部分习题答案
1.用克拉默法则解线性方程组
（1）
1
22313223(0)0
bx ax ab
cx bx bc abc cx ax ；
解：0
02350b
a D c
b ab
c c
a
，21
20
23500ab a D bc c b
a bc a
22
200350
b ab D b
c b ab c c a ，220250
b
a a
b D
c bc abc c
1
2
3
,,x a x b x c
（2）12341234
1234123432125323348246642
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??+-+=??-++-=??--+=?.
解：1
3
2
1
25321734826164D --=
=----,11321
3532
3444822164
D --==----
211212332
034826264
D --=
=---,31311253
21734
42
6
12
4
D =
=---,13212533
853*******
D --=
=---
12342,0,1,5x x x x =-===
2.当λ为何值时，齐次线性方程组
??
?
??=+=+-=++0 0
0433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解． 解：34
10(1)(3)0
1
D
，
（1）
1且3时0D ，该齐次线性方程组只有零解。
（2）要使该齐次线性方程组有非零解，则
1或3时。经验证，1时方程组有非
零解，1231,1x x x ===-就是一组非零解.
3时方程组有非零解，
1233,1,3x x x ===-就是一组非零解.
第一章自测题与答案 第一章自测题
一.判断题（每题3分，共15分）
1.
1423142332413241
000000
0000
a a a a a a a a =-. ( 错 ) 2.在四阶行列式4ij D a = 中，23a 的余子式23M 与代数余子式23A 互为相反数. ( 对 )
3.11
121311121321
222321222331323331
32331,1,a a a b b b a a a b b b a a a b b b ==-则111112121313
2121
222223233131
3232
3333
0a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++=+++.（错） 4.11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则132333
12223211
21
31
1a a a a a a a a a =. （ 错）
5. 2124164
41642362071881
6011601122212
22
1
2
r r D +-=
=?---- . （ 对 ）
二.填空题（每题4分，共16分）
1.已知11
1213
21
222331
32
33
1a a a a a a a a a =-，则 2212
1
21212223212223111213
211121311
121321
222331
32
33
31
32
33
31
32
33
22424442r c r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ?
?
←?→==-= 2.已知11
1213
21
222331
32
33
2a a a a a a a a a =，则 12131113111221
22
23
213122322333
2223212321220a a a a a a a a a a A a A a A a a a a a a
121311131112212223
32
33
31
33
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a 212122222323
2121
22222323
2a A a A a A a A a A a A
3. 由行列式确定的多项式x
x x x x x f 1
1
12231111
2
34-=）
（中3
4x x ，的系数分别为 8,-6
含3
x 的项为(2134)3(1)
3126t x x x
x
4.123
2
3118312
三 .计算下列行列式（各10分，共40分）
1.2
16410621
11
2212D -=
--；
解41
22
1
64
10
6210
1
1
2
01310
r r D +-=
()12
162111121310+-=-2131
2162
0732302514
r r r r ++-=-= 2.2
2222222
2
2
22
111111
111
111
a a a
b b b
D
c c c d
d d
（）（）（）（）（）（）（）（）；
解：12
32
222
221211212112121121211
c c c c a a a b b b D
c c
c d
d d
13
222
2
22112
2
1102
2112211
c c a a b b c
c d d
3.2n a
b
a b D b a
b
a
=
；
解：按第一行展开后再按最后一行展开，有
(
)
2112
122
222
22
(1)(1)n n n n n a
b
a
b
a b a b D a b
b a
b a
b
a b
a -++--=+--即有()2
2
22(1)n n D a b
D
-=-，所以
(
)(
)
(
)
(
)
2
1
22
22
22
22
22(1)
2(2)2n n
n n n D a b
D
a b
D a b
D a b
---=-=-=
=-=-
4. 12121
2
n
n n n a a a a a a D a a a λλλ
++=
+.
解：21
1
12121220
00
n n
r r n n n r r c c c n a a a a a a a a D λλλλ
λ
λ
λλ
--++++++++-=
=
-
()112n n a a a λλ-++++
四．（10分）设ij n
D a =为n 阶行列式， ij
n
B a =-,ij
n
G ka =（k 为非零数）,
1.讨论,B D 的关系；
2. 讨论,G D 的关系.
解：11
12111121(1)1,2,,21222212221
2
1
2(1)(1)i n n r i n
n n n
n ij
n
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a B a D a a a a a a ?-=------=-=
=
-=----
1()
11121111211,2,,21222212221
2
1
2
i r n n k i n
n n n
n ij
n
n n nn
n n nn
ka ka ka a a a ka ka ka a a a G ka k k D ka ka ka a a a ?===
=
=
五.（10分）11102112
1
3
2112
1
1
D --=
-,求21222324A A A A +++. 解：212223242122232411101
111
11117132112
1
1
A A A A A A A A -+++=?+?+?+?=
=--
六.（7分）设齐次线性方程组为1231231
230, 0, 20.
ax x x x bx x x bx x ++=??
++=??++=?
用克拉默法则解讨论,a b 应取何值时，方程组(1) 仅有零解；(2) 有非零解．
解：11
1
1(1)121
a
D b
b a b ==-
当0,1b a ≠≠时0D ≠，方程组只有零解； 要使方程组有非零解，必有0,b =或1a =.
当0b =时，方程组有非零解.事实上，1231,1,1x x a x ==-=-就是一组非零解.
当1a =时，方程组有非零解.事实上，1231,0,1x x x ===-就是一组非零解.
第二章 矩阵及其运算习题答案
矩阵的运算部分习题答案
1. 已知0320
3010
,42111212
A
B
，且2X A B X （）
,求X . 解：2
100
1(2)
2211
3
X B A
2.计算 （1）
1,2,1T
,求
T
，
T
,
T
及
101
T .
解：
1
1,2,12
61
T
；
1
12121,2,12421
121
T
6
6
126
T
T
， 利用结合律：
101
T T
T
T
T
T
T
T
100
100
66T
T
100121
6242121
（2）()1112112
2221
2
11a a b x x
y a a b y b b c ???? ??? ??? ???????
.
解：原式()111211222212,,1x a x a y b a x a y b b x b y c y ??
?
=++++++ ? ???
()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++
221112221222a x a xy a y b x b y c =+++++
（3）100100A λλλ?? ?= ? ???
，求n
A .
解：0100100A E A λλλλ?? ?==+ ? ???,其中0010001000A ?? ?
= ? ???
由于矩阵的乘法没有交换律，一般来讲二项式定理不成立，但是由于
()()000E A A E A λλλ==，
所以()()()
()
1
2
1
2
20000E+A n
n
n n n
n n
n n n A E C E A C E A C A λλλλ--==++++
而2
30
00001000,,,(3)000k A A O A O k ??
?
===≥ ? ???
，
所以1n =时，n
A =100100λλλ??
? ? ???
2n ≥时，()()()
()
1
2
1
2
2000E+A n
n
n n n n n A E C E A C E A λλλλ--==++
1
2200(1)2n n n n n E n A A λλλ---=++ 1
21
(1)2
00
n n n n
n n
n n n n λλλλλλ----??
? ?= ?
? ?
??
?
（4）cos sin sin cos n
θθθ
θ-??
???