人教课标A高考一轮复习精品课件6.4数列的通项及数列求和
§6.4数列的通项及数列求和
基础知识自主学习
要点梳理
1 •若已知数列｛a｝W/£a n+1-a n=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的通项和累加法
2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・
…・f (n)可求，则可用_求数列的通项a..
©+1
累积法
推导方法:乘公比，错位相减法.
■ % —jq
\_q
\_q
3 •等差数列前n 项和S 产
推导方法：— 等比数列前n 项和
n(a x +a n )
n(n-V). na x H d
［到序相加法
q#1.
4 •常见数列的前n项
和
(1)
(2)
(3)
；n(n + V) 2+4+6+…+2n= _____ ; 2
1+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n
*1+2+3+…+n=
(4) 12+22+32+..+n2= ；
n2
(5) 13+23+33+.. +n3=
«(n + l)(2n + l)
⑷+ 1)]2
2j
5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相
加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构
成的数列求和.
(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.
6 •常见的拆项公式有
⑴
1
n(n +
l)
1 1
n n + 1
"2)(2M-1)(2〃 + 1) 2n +1
⑶
]
Qn + Yn +1
=、/ H +1
—、ft ・
基础自测
1 •已知等比数^ij{a n},a1=3,>4a1> 2a2> 83成等差数列，则a34-a4+a5等于
()
A.33
B.72
C.84
D.189
解析由题意可设公比为q,贝!Ia2=a1q,a3=a1q2, •/4a2=4a14-a3,-，4a1q=4a14-a1q2,Xa1=3,/.q=2 ・ a3+a4+a5=a1q2(1+q4-q2)
=3X4X(1+2+4)=84 ・
2如蹈鶯肆严，…,ag…是首项为1,公比为3的等
A. B. C
c.
23〃+3 2
解析时二先®)+ (a3-a2)3* ^(a^)
2
=a n=
2
lx(l_3")
1一3 '_3〃一1 "" ■
•
2
=n2f-F — 1 1 —i
2 22
2〃 321, 1 1
64
=5 +
M
，AA2~1 +
2
3
-已知数列6｝的通项公式是a 产,其中前侦柚卜
A.13 劇
64
解析*-*a n = 则项数n 等
于
)
C.9
D.6
2"
D
1 戶， 1 心+前,.*
/6n=n -
4•若数列｛aj 的通项公式为a n =2n +2n-1,K>J 数列｛a ；｝的前n 项
和为
A.2n +n 2-1 C.2n+1+n 2-2
解析S n =
2(1_2") | 卅(1 + 2—1)
B.2n+1+n 2-1 D.2n +n 2-2
=2n+1-2+n 2.
5擞列J_ _! _____ 5麺1项________ ! _______ A 2・5'5・8'8・11，© —1)・(3〃 + 2)‘
和为()
B
A. B.
n C・——.
n 6n + 4
3n + 2
解析餾数列通项公式71 + 1
6〃+ 4 n + 2
得前n项和
1 =1 _______________ 1
(3〃一1)•⑶2 + 2) _ 3 3〃一1 _3n + 2
c1Z1 1 1 1 1 1 1 1
S =—( ------- 1 ------- 1 ---------nA H -------------------------- "3 2 5 5 8 8 11 3〃一1 3n + 2
= 1(1__1 “ 〃 .
32 3n + 2 6n + 4
题型分类深度剖析
题型一由递推公式求通项公式
【例1】分别求满足下列条件的数列的通项公式.
(1)设｛a」是首项为1的正项数列，且(n+1) +a n+1a n=O
(n=1,2,3,...)；
⑵已知数列代｝满足酩尸,a1=2.
依据已知数列的递推关系适当地进行变形
"+1 n
的差百％或通项的商_2—匕L
a n + 2
的规律融
H-1
2 2
%卄1 _ na n
可寻找数列的通项
解（1）方法一•・•数列｛aj是首项为1的正项数列,
#0/.
令=t,/.(n+1)t2+t-n=0, a n為+i
・•・［伽(t+1)=0,
・・t=。"或t=・1 （舍去），
勺+1 _上_.
a n n +1 。2 °3。5 -A 勺% °4 Qft-1
1 2 3 4 人n-1
2 3 4 5 n
n
方法二由(n+1) +a 2l a n=0,^
n( )+a n+1(a n+1+a n)=O, n^~na 即
<^+i+ap)2：(n+1)a n+1-na n] =0.
\*a n>^ha n+1q-a n#0,/.(n+1)a n+1-na n=0 即
勺+1 =乳
a n n + 1
1 2 3 4 人n-\
2 3 4 5 n
n
(2)将已知递推式化为
111111111,
• __ ____ —__ ___ ____ —__ ___ _____ _ __ A 将逊上紂・1)耶縮相加衢23，a4 a3 24，
1_____ _丄
a n勺一1 2"
—4+4+A+A+丄, a n % 22 23242"
(2)将已知递推式化为_J = 1
探究提高已知递推关系求通项公式这类问题要求不高注要掌握由％和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想召的方法'以及累加：9n=（a n-
3n-i）+
（3n_l"3n_2）+，-*+（a2'a i）+a P累乘• 9n_
等方法. 勺a n-\
__ __ •
勺-1勺-2
A •空q
a｛
知能迁移1由已知在数列｛%｝中比=1,求满足下列条件的数列的通项公式.
（1）a n+1=认2）a n+1=2a n+2n+1-
1 + 2a n
解（1）因为对于一切nGN\a n #O,
2〃
因此由召+尸，得
即
1 +
2a n
丄丄2 ・•・数列
u n+l
1
a
n+
\
+ 2,
（n-1）-2&2p-l,BPa n = （2）根据已b 訂牛得
1 1
即一=—擞列 是等差数列.
a
n a
\
1 2卅一1
即 a n =(2n-1)2n -1.
°“+1
%+1
1,
2n-\ 2
题型二错位相减法求和
【例2】设数列｛a」满足a! +3a2+32a3+... +3n-1 a n=
nGN*. 空
(1)求数列｛a」的通项；3，
(2)设bn=,求数列｛“｝的前n项和Sn・
(1 )由已知写出前甘项之和，两式相减.(2 ) b n=n-3啲特点是数列
｛n｝与｛剑之积可用错位相减法.
解(1) •/a1+3^+32a3+...+3n-1a n= ①
・••当忘2时，一
胖側雎*3+…篦畔扌②
3
人教课标A高考一轮复习精品课件6.4数列的通项及数列求和
§6.4数列的通项及数列求和 基础知识自主学习 要点梳理 1 •若已知数列｛a｝W/£a n+1-a n=f (n),且f (1) + f (2) +…+f (n)可求，则可用—求数列的通项和累加法 2•若已知数列｛a｝满足=f (n),且f⑴・f(2)・ …・f (n)可求，则可用_求数列的通项a.. ©+1 累积法
推导方法:乘公比，错位相减法. ■ % —jq \_q \_q 3 •等差数列前n 项和S 产 推导方法：— 等比数列前n 项和 n(a x +a n ) n(n-V). na x H d ［到序相加法 q#1.
4 •常见数列的前n项 和 (1) (2) (3) ；n(n + V) 2+4+6+…+2n= _____ ; 2 1+3+5+...+(2n-1)=_; n2+n *1+2+3+…+n= (4) 12+22+32+..+n2= ； n2 (5) 13+23+33+.. +n3= «(n + l)(2n + l) ⑷+ 1)]2 2j
5. (1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. (2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相 加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构 成的数列求和. (4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导.
6 •常见的拆项公式有 ⑴ 1 n(n + l) 1 1 n n + 1 "2)(2M-1)(2〃 + 1) 2n +1 ⑶ ] Qn + Yn +1 =、/ H +1 —、ft ・
专题64数列求和讲2020年高考数学文一轮复习讲练测Word版含解析
KS5U2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】第六章 数列 第04节 数列求和 【考纲解读】 【知识清单】 一．数列求和 1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a L L 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++L ，当1 ≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或11n n a a q S q -=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和 ①重要公式：（1）1 n k k ==∑123n ++++= L 2 ) 1(+n n （2）1(21)n k k =-=∑()13521n ++++-=L 2 n （3）31n k k ==∑2 333)1(2121?? ? ???+=+++n n n Λ （4）21n k k ==∑)12)(1(6 1 3212 2 2 2 ++= ++++n n n n Λ ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++； ③等比数列中，n m m n n m m n S S q S S q S +=+=+.
对点练习： 1.在数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，若{}n a 的前n 项和为2015 2016 ，则项数n 为_______. 【答案】2015 【 解 析 】 由 已 知 得 ， 111 (1)1 n a n n n n = =- ++，所以 121111 n n n S a a a n n =+++=- = ++L ， 而已知20152016n S =，所以2015 12016n n = +，解得2015n =. 2.【2016北京文15】已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =， 144a b =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =+ ，求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）()211,2,3,n a n n =-=???；（2）2 31 2 n n -+. （2）由（1）知，21n a n =-，1 3 n n b -=.因此1 213 n n n n c a b n -=+=-+. 从而数列{}n c 的前n 项和()113521133n n S n -=+++???+-+++???+= ()12113213n n n +--+=-2 312 n n -+. 【考点深度剖析】 数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合. 【重点难点突破】 考点1 数列求和 【1-1】【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研】数列{}n a 中，已知对任意正整数n ， 有123.....21n n a a a a ++++=-，则222 12......n a a a +++=（ ）
高考数学一轮复习： 专题6.4 数列求和(练)
专题6.4 数列求和 【基础巩固】 一、填空题 1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2n ，…的前n 项和S n ＝________. 【答案】n 2 ＋1－12 n 【解析】该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1 2 n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋ ? ?? ??12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 2．(·南通调研)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列???? ?? 1a n a n ＋1的前2 017 项和为________． 【答案】2 017 2 018 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1 ·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________. 【答案】－200 【解析】S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 4．(·江西高安中学等九校联考)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16＝________. 【答案】7 【解析】根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0. 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7. 5．(·泰州模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N * )，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21
专题6.4数列求和与数列综合(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 数列求和与数列综合 一、题型全归纳 题型一 分组转化求和 【题型要点】分组转化法求和的常见类型 (1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和； (2)通项公式为a n ＝???? ?b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法 求和． 【例1】(2020·吉林长春质量监测(二))各项均为整数的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，a 1＝－1，a 2，a 3，S 4＋1成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{(－1)n ·a n }的前2n 项和T 2n . 【解析】：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝－1，a 2，a 3，S 4＋1成等比数列，所以a 23＝a 2·(S 4＋1)， 即(－1＋2d )2＝(－1＋d )(－3＋6d )，解得d ＝2?? ? ?? = 舍去21d ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －3. (2)由(1)可知a n －a n －1＝2(n ≥2)，所以T 2n ＝(－a 1＋a 2)＋(－a 3＋a 4)＋…＋(－a 2n －1＋a 2n )＝2n . 【例2】(2020·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝? ????a n ＋2，n 是奇数， 2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为 ( ) A ．1 121 B ．1 122 C ．1 123 D ．1 124 【解析】：由题意可知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×（1－210）1－2＋10×1＋10×9 2×2＝1 123.选C. 【例3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1） 2＝n . a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用 新人教A版
6-4数列的综合问题与数列的应用 基础巩固强化 1.(2012·杭州第一次质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] ∵S 9≥S 3?a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0?3(a 6＋a 7)≥0?a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0?a 6 ＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0?/ a 6＋a 7>0，故选A. 2．(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N * 都有a n ＝n 2 ＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－7 2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－3，＋∞) [答案] C [解析] a n ＝n 2 ＋λn ＝(n ＋λ2)2－λ 2 4 ， ∵对任意n ∈N * ，a n ＋1>a n ， ∴－λ 2 ≤1，∴λ≥－2，故选C. 3．(文)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f n }(n ∈N * )的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2 n ＋1 C.n n －1 D. n ＋1 n [答案] A [解析] f ′(x )＝mx m －1 ＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1 f n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ??? ?1 n －1n ＋1＝n n ＋1 . (理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N * .则下列命题中为真命题的是( ) A ．若对于任意n ∈N * 总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列
2023届高三数学一轮复习专题 数列累加法构造等比等递推公式求通项及常用求和方法 讲义 (解析版)
数列求解通项的方法总结 方法一、公式法 当已知数列的类型（如已知数列为等差或等比数列）时，可以设出首项和公差（公比），列式计算。 1、等差数列通项公式： d n a a n )1(1-+= 2、等比数列通项公式： 例1、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式 （2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ． 变式1、已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1=b 1=1，b 2+b 3=2a 3，a 5﹣3b 2=7． （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设c n =a n b n ，n ∈N * ，求数列{c n }的前n 项和． 1 1-=n n q a a
方法二、利用前n 项和与通项的关系 已知数列{ a n }前n 项和S n ，求通项公式，利用 a n ＝ { )1() 2(11=≥--n S n S S n n 特别地，当n=1的值与S 1 的值相同时，合并为一个通项公式，否则写成分段的形式。 例2、（1）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．求{a n }的通项公式； （2）S n 为数列{a n }的前n 项和，己知a n ＞0，a n 2+2a n =4S n +3 （I ）求{a n }的通项公式.（Ⅱ）设b n = ，求数列{b n }的前n 项和． 变式2、（2015·四川）数列{a n }（n=1，2，3…）的前n 项和S n ，满足S n =2a n ﹣a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设数列 的前n 项和为T n ，求T n ．
第04讲 数列求和 (精讲)(解析版)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)
第04讲 数列求和 (精讲） 目录 第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析 题型一：裂项相消求和法 题型二：错位相减求和法 题型三：分组求和法 题型四：倒序相加求和法 第四部分：高考真题感悟 1.公式法 (1)等差数列前n 项和公式11()(1)22 n n n a a n n d S na +-= =+; (2)等比数列前n 项和公式1 11(1)11n n na q S a q q q =⎧⎪ =-⎨≠⎪-⎩ 2.裂项相消求和法: 裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n 项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n 项和. ①21111 (1)1 n n n n n n ==-+++ ② 1111 ()()n n k k n n k =-++
③ 211111 ()41 (21)(21)22121 n n n n n = =---+-+ ④ 1111 ()(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ 1 k = 3.错位相减求和法: 错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =⋅，其中{}n a 、{}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 4.分组求和法: 如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{} n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法. 5.倒序相加求和法: 即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和. 1．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）若数列{}n a 满足() 1 1n a n n =+，则{}n a 的前2022项和为（ ） A ． 12023 B ． 2022 2023 C ． 1 2022 D ． 2021 2022 【答案】B 解：由题得()111 11 n a n n n n = =-++， 所以{}n a 的前2022项和为1111 1112022 11223 2022202320232023 -+-+ + -=-=. 故选：B 2．（2022·全国·高三专题练习（文））若数列{an }的通项公式为an ＝2n ＋2n －1，则数列{an }的前n 项和为（ ） A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋n －2 D ．2n ＋1＋n 2－2 【答案】D
2020年高三理科数学一轮复习讲义6.4【数列求和】
年高三理科数学一轮复习讲义 【数列求和】 最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式； 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 知识梳理 1.特殊数列的求和公式 (1) 等差数列的前 n 项和公式： S n ＝n （ a 1＋ a n ）＝na 1＋n （ n － 1）d. 22 (2) 等比数列的前 n 项和公式： na 1， q ＝ 1， S n ＝ a 1－ a n q ＝ a 1（ 1－q n ），q ≠1Ｗ. 1－ q1－q 2.数列求和的几种常用方法 (1) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3) 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前 n 项和可用错 位相减法求解 . (4) 倒序相加法 如果一个数列 { a n } 的前 n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的 前 n 项和即可用倒序相加法求解 . [ 微点提醒 ] 1.1＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋ n ＝ n （ n ＋ 1） . 2 2.12＋22＋ ＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1） . 6 1
3.裂项求和常用的三种变形 1 1 1 (1) n （ n ＋ 1） ＝ n －n ＋ 1 . 1 1 1 － 1 (2) （ 2n －1）（ 2n ＋ 1） ＝ 2 2n ＋ 1 . 2n － 1 1 ＝ n ＋ 1－ n. (3) n ＋ n ＋ 1 基础自测 1.判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×” ) (1) 若数列 { a n } 为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 S n ＝ a 1－a n ＋ 1 .() 1－ q (2) 当 n ≥2 时， 2 1 1 1 － 1 ).( ) ＝ ( n －1 2 n － 1 n ＋ 1 (3) 求 S n ＝ a ＋ 2a 2＋ 3a 3＋ ＋ na n 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 .( ) n － 1 (4) 若数列 a 1，a 2－a 1 ， ，a n － a n － 1 是首 项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 3 .() 2 解析 (3)要分 a ＝0 或 a ＝1 或 a ≠ 0 且 a ≠ 1 讨论求解 . 答案 (1)√ (2) √ (3)× (4) √ 2.(必修 5P47B4 改编 ) 数列 { a n } 中， a n ＝ 1 ，若 { a n } 的前 n 项和为 2 019 ，则项数 n 为 ( ) n （n ＋ 1） 2 020 A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021 解析 a ＝ 1 ＝1－ 1 ， n n n （n ＋ 1） n ＋ 1 n ＝ 1－ 1＋ 1－1 ＋＋ 1－ 1 ＝1－ 1 ＝ n ＝ 2 019 ，所以 n ＝ 2019. S 2 2 3 n n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 1 2 020 答案 B 3.(必修 5P56 例 1 改编 ) 等比数列 { a n } 中，若 a 1＝ 27， a 9 ＝ 1 ， q>0， S n 是其前 n 项和，则 S 6＝ ________. 243 解析 由 a 1 ＝27， a 9 ＝ 1 知， 1 ＝ 27·q 8 ， 243 243 2
2022届高考数学大一轮总复习第六章 数 列：第六章 6
§6.4 数列求和 1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式 (Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (Ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1 2n －1－12n ＋1； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n .
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1 2 .( √ ) (6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ 1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝5，5a 1 ＋5×(5－1) 2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴ 1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴数列⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n － 1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B 解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋
2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和教学案 苏教版
第四节 数列求和 [最新考纲] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n 1－q ，q ≠1. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n 项和．裂项时常用的三种变形： ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1 ； ②1 2n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1 2n －1－12n ＋1； ③ 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解． (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． (5)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
新高考一轮复习人教版 数列求和、数列的综合 作业
7.4 数列求和、数列的综合 基础篇 固本夯基 考点一 数列求和 1.(2021浙江,10,4分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1= n 1+√a (n ∈N * ).记数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A.32 2a n ,S n 是{a n }的前n 项和,则下列四个命题中错误的是( ) A.a n+1>2n a 1 B.S 2k >(1+2k )S k C.S n <2a n -a 1(n ≥2) D.{a n+1 a n }是递增数列 答案 D 3.(2020浙江,11,4分)我国古代数学家杨辉,朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题,如数列{n(n+1) 2 }就是二阶等差数列.数列{n(n+1) 2 }(n ∈N *)的前3项和是 . 答案 10 4.(2022届T8联考,18)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=3,S 3=5a 1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1+2S n ,数列{b n }的前n 项和为T n .定义[x]为不超过x 的最大整数,例如[0.3]=0,[1.5]=1.当[T 1]+[T 2]+…+[T n ]=63时,求n 的值. 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,因为a 1=3,所以S 3=3a 1+3d=9+3d. 又因为S 3=5a 1=15,所以9+3d=15,得d=2. 所以数列{a n }的通项公式是a n =3+2(n-1)=2n+1. (2)因为S n =3n+ n(n−1)2×2=n 2 +2n,所以b n =1+2S n =1+2n(n+2)=1+1n -1n+2. 所以T n =n+(1− 13)+(12−14)+(13−15)+…+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)=n+1+12-1n+1-1n+2. 当n ≤2时,因为-13 ≤12- 1n+1-1 n+2 <0,所以[T n ]=n.
《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A版理科一轮复习题库：第六章数列6.4数列的通项与求和
《志鸿优化设计》2022年高考数学人教A 版理科一轮复习题库：第六章数列6．4数列的通项 与求和 一、选择题 1．已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧ n2，当n 为正奇数时，－n2，当n 为正偶数时，且an ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )． A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200 2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )． A ．12n ＋n2＋n 2 B ．－12n ＋n2＋n 2 C ．－12n ＋n2＋n 2＋1 D ．－12n ＋1 ＋n2＋n 2 3．在10到2 000之间，形如2n(n ∈N*)的各数之和为( )． A ．1 008 B ．2 040 C ．2 032 D ．2 016 4．数列{an}中，已知对任意n ∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an ＝3n －1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n 等于( )． A ．(3n －1)2 B ．12(9n －1) C ．9n －1 D ．14(3n －1) 5．假如一个数列{an}满足an ＋1＋an ＝h(h 为常数，n ∈N*)，则称数列{an}为等和数列，h 为公和，Sn 是其前n 项和．已知等和数列{an}中，a1＝1，h ＝－3，则S2 011等于( )． A ．3 014 B ．3 015 C ．－3 014 D ．－3 015 6．设函数f(x)＝xm ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，则数列⎩ ⎨⎧⎭⎬⎫1f n (n ∈N*)的前n 项和是( )． A ．n n ＋1 B ．n ＋2n ＋1 C ．n n －1 D ．n ＋1n [来源: Z 。xx 。k ] 7．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n2等于( )． A ．n n ＋12 B ．－n n ＋12 C ．(－1)n ＋1n n ＋12 D ．以上答案均不对 二、填空题
高考数学人教B版一轮总复习学案6.4数列求和
6.4 数列求和 必备知识预案自诊 知识梳理 1.基本数列求和方法 (1)等差数列求和公式:S n = n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1) 2 d. (2)等比数列求和公式:S n ={na 1,q =1, a 1-a n q 1-q = a 1(1-q n ) 1-q ,q ≠1. (3)使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法. 2.非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法:如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的. (2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.如已知a n =2n +(2n-1),求S n . (3)并项求和法:若一个数列的前n 项和中两两结合后可求和,则可用并项求和法.如已知a n =(-1)n f (n ),求S n . (4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求,如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的. (5)裂项相消法:把数列的通项公式拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 常见的裂项公式: ①1n (n+k )=1k (1n -1 n+k ); ②1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-1 2n+1); ③1n (n+1)(n+2)=12[1n (n+1)-1 (n+1)(n+2)]; ④ √n+√n+k =1k (√n +k −√n ). 常用求和公式 (1)1+2+3+4+…+n= n (n+1)2 ; (2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n 2; (3)12+22+32+…+n 2= n (n+1)(2n+1) 6 ;
高三数学一轮复习必备精品数列求和及数列实际问题
2009~2010学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料 第30讲 数列求和及数列实际问题 一．【课标要求】 1．探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。 二．【命题走向】 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目 有关命题趋势： 1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注 预测2010年高考对本将的考察为： 1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合 三．【要点精讲】 1．数列求通项与和 （1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨ ⎧--1 1s s s n n 12 =≥n n 。 （2）求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和 ①重要公式：1+2+…+n=2 1 n(n+1)； 12+22+…+n 2= 6 1 n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=4 1 n 2(n+1)2； ②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ； ③等比数列中，S m+n =S n +q n S m =S m +q m S n ； ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：
新课改瘦专用高考数学一轮复习第六章数列第四节数列求和讲义含解析
第四节 数列求和 题型一 分组转化法求和 若数列的通项为分段函数或几个特殊数列通项的和或差的组合等形式，则求和时可用分组转化法，就是对原数列的通项进行分解，分别对每个新的数列进行求和后再相加减． [典例] (2019·吉林调研)已知数列{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝8，{b n }是等差数列， b 1＝3，b 4＝12. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3 得8＝1×q 3 ，所以q ＝2，所以a n ＝2n －1 . 设{b n }的公差为d ，由b 4＝b 1＋3d 得12＝3＋3d ，所以d ＝3，所以b n ＝3n . (2)因为数列{a n }的前n 项和为－ 1－q ＝－1－2 ＝2n －1，数列{b n }的前n 项 和为b 1n ＋ －2 d ＝3n ＋ － 2×3＝32n 2＋32 n ， 所以S n ＝2n －1＋32n 2＋32n . [方法技巧] 分组转化法求和的常见类型 [提醒] 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． [针对训练] (2018·焦作四模)已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足 b 1＝4，b 4＝88，且数列{b n －a n }为等比数列．
(1)求数列{a n }和{b n －a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16， 所以⎩ ⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝3，4a1＋4×3 2d ＝16，解得⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ a1＝1，d ＝2， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 设{b n －a n }的公比为q ， 则b 4－a 4＝(b 1－a 1)q 3 ， 因为b 1＝4，b 4＝88， 所以q 3 ＝b4－a4b1－a1＝88－74－1＝27，解得q ＝3， 所以b n －a n ＝(4－1)×3 n －1＝3n . (2)由(1)得b n ＝3n ＋2n －1， 所以S n ＝(3＋32 ＋33 ＋ (3) )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝－1－3 ＋ ＋2n －2 ＝32 (3n －1)＋n 2 ＝ 3n ＋12＋n 2－3 2 . 题型二 错位相减法求和 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的. [典例] (2019·南昌模拟)已知数列{a n }满足a12＋a222＋a323＋…＋an 2n ＝n 2 ＋n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ －2 ，求数列{b n }的前n 项和S n .
2021版《大高考》高考数学(理)一轮总复习高考AB卷：第6章 第4节数列求和、数列的综合应用
数列求和 1.(2021·全国Ⅱ，3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B.－13 C.19 D.－19 解析 设公比为q ，则由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3－a 2＝10a 1，故a 3＝9a 1，所以q 2＝9.由a 5＝9，得a 1＝1 9. 答案 C 2.(2022·大纲全国，5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩ ⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪ ⎫1a n a n ＋1的前 100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 解析 由S 5＝5a 3及S 5＝15得a 3＝3， ∴d ＝a 5－a 35－3＝1，a 1＝1，∴a n ＝n ，1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1 n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100 101，故选A. 答案 A 3.(2021·全国Ⅱ，16)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________. 解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，由于S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1 S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1 n . 答案 －1 n 4.(2022·新课标，16)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________. 解析 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋3＋a 2k ＋1＝2，∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30×（3＋119）2＝30×61＝1 830. 答案 1 830 数列求和 1.(2021·辽宁，14)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 解析 由于x 2－5x ＋4＝0的两根为1和4， 又数列{a n }是递增数列， 所以a 1＝1，a 3＝4，所以q ＝ 2. 所以S 6＝1·（1－26）1－2＝6 3. 答案 63 2.(2022·山东，18)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d . 由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，
(通用版)高考数学一轮复习 第6章 数列 4 第4讲 数列求和教案 理-人教版高三全册数学教案
第4讲 数列求和 1．基本数列求和方法 (1)等差数列求和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 ＝na 1＋ n （n －1） 2 d ． (2)等比数列求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2．一些常见数列的前n 项和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n （n ＋1） 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n ． 3．数列求和的常用方法 (1)倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的． (2)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (4)分组转化法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减． (5)并项求和法 一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ≥2时， 1n 2－1＝1n －1－1 n ＋1 .( ) (2)利用倒序相加法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝