高考数学培优试题精选六

2005年高考数学培优试题精选六

1. 年已知???<--≥+-=)

0()

0()(2

2x x

x x x

x x f ，则不等式02)(>+x f 解集是（ ）

A ．)2,2(-

B ．),2()2,(∞+?--∞

C ．)1,

1(- D ．),

1()1,

(∞+?--∞

2. 若a,b R ∈则|a| <1，|b|<1，是|a+b|+|a-b|<2成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3. 设x x x f sin )(=,若1x 、??

?

???-∈2,22ππx 且)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的

是 （ ） A ．21x x > B ．21x x < C ．2

22

1x x > D ．021>+x x

4.

)x (f 是定义在R 上的偶函数,)x (g 是定义在R 上的奇函数,已知)x (g =)1x (f -,若)1(g -=2001,则)2004(f 的值是 ( )

A.2001

B.-2001

C.-2002

D.2002

5. 设函数f(x)的定义域是[-4，4]，其图象如图，那么不等式

0sin )

(≤x

x f 的解集( ) A ．[-2，1] B ．[-4，2]∪[1，4] C ．[)π--，4∪[)02，-∪[)π，1 D ．不同于（A ）、（B ）、（C ）

6. 若方程021411

=+?

?

? ??+??? ??-a x x 有正数解，则实数a 的取值范围是 （ ）

A ．()1,∞-

B ．)2,(--∞

C ．()2,3--

D ．()0,3-

7. 一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示

. 某天0点到6点，

该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 （ ） A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 8. 将正偶数按下表排成5列：

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10

第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26

则2004在 （ ） A ．第251行，第1列 B ．第251行，第3列 C ．第250行，第2列 D ．第250行，第5列 ．

9. 如果,0a b a c a ?=?≠r r r r r r

且，那么 （ ）

A ．b c =r r

B ．b c λ=r r

C ． b c ⊥r r

D ．,b c r r 在a r

方向上的投影相等

10. 设)(x f 是R 上的减函数,设{}{}||()1|2,|()1P x f x Q x f x λ=+-<=<-.若

(0)3,(3)1f f ==-, 且“x P ∈”是“x Q ∈”充分不必要条件，则实数λ取值范围

是〔 〕

（A ）0λ≤ （B ）3λ≤- （C ）0λ≥ （D ）3λ≥-

11. 过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =u u u r u u u r ，AE y AC =u u u

r u u u r ，

0xy ≠，则

11

x y

+的值为 （ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

12. 对于每一个实数x ，设f （x ）取4x+1，x+2，-2x+4中的最小值，那么f （x ）的最大值

是（ ）

A 、

32 B 、31 C 、23 D 、2

5 13. 若函数f(x)=x 2+(m-1)x+n+3,x ∈［m,a ］的图象关于直线x=-2对称，则a=__________

14. A ’B ’C ’是用“斜二侧画法”画出的等腰直角三角形ABC 的直观图，设△A ’B ’C ’的面

积为S ’， △ABC 的面积为S ，则

=S

S '

_____________ 15. 给出以下结论：①通项公式为a n =1

12()

3

n a -的数列一定是以a 1为首项，3

2为公比的等比

数列； ②存在角θ使得tan θ+cot θ=－

32

成立； ③函数y =x 1

在定义域上是单

调递减的； ④若α，β∈(2

π,π)，且tan α

3π;

⑤函数y =log 2

1(4－x 2)的值域是［－2，+∞).

其中可能成立的结论的序号是__________.（注：把你认为正确的命题的序号都填上．．．．．．．．．．．．．．．） 16. 已知函数2()2()f x x ax b x R =-+∈.给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②f (0)= f (2)

时，f (x )的图象必关于直线x =1对称；③若2

0a b -≤，则f (x )在区间[,)a +∞上是增函

数；

④f (x )有最小值2

||a b -. 其中正确命题的序号是 .

17. 型号汽车的刹车距离y (m )与汽车的车速x (km/h )4001002

x

nx y +

=（n 为常数，N n ∈），为此做过两次刹车实验，有关数据如右图所示，其中5＜y 1＜7，且13＜y 2＜15

(1)求出n 的值；

(2)要求刹车距离不超过18.4m ，则行驶的最大速度应为多少？

18. 在锐角△ABC 中，三个内角成等差数列，且A ＜B ＜C ，又2

1

3)2cos 1)(2cos 1(-=

++C A ，试比较c b a 22与+的大小，并证明你的结论。 19. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴，一条准线的方程是x=1,倾斜角为4

π

的直线

l 交椭圆C 于A 、B 两点,且线段AB 的中点为）

，（4

1

21-， (1)求椭圆C 的方程；

(2)设P 、Q 为椭圆C 上两点，O 为原点，且满足4

3

||||22=

+OQ OP 。求证：直 线OP 和OQ 斜率之积的绝对值||OQ OP k k ?为定值。

20. 已知命题p ：方程022

2

=-+ax x a 在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足

不等式2

220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求实数a 的取值范围。年 21. 已知),,(42)(2

R c b a c bx ax x f ∈++=

（Ⅰ）当0≠a 时，若函数f (x )的图象与直线x y ±=均无公共点，求证;4

142

>-b ac （Ⅱ）时4

3

,4=

=c b 对于给定的负数8-≤a ，有一个最大的正数M （a ）

，使得5|)(|)](,0[≤∈x f a M x 时都有，问a 为何值时，M(a )最大，并求出这个最大值M(a )，证

明你的结论.

22. 无穷数列}{n a 的前n 项和)(*

N n npa S n n ∈=，并且1a ≠2a ．

（1）求p 的值； （2）求}{n a 的通项公式；

（3）作函数n

n x a x a x a x f 1232)(++++=Λ，如果4510=S ，证明：13()34

f <

．

高三数学培优试题精选六参考答案

4

16:③

17: 解：(1)由图象知452400*********+=+=n n y 4

49

107400701007021+

=+=n n y ……2分

由于5＜y 1＜7，13＜y 2＜15

∴???

????<+<<+<154491071374525n n 即???????<<<<1455

141521525n n 又3=∴∈n N n ……6分 (2)根据题意知07360124.18400

100322

≤-+∴≤+=x x x x y

……9分

即80000)80)(92(≤<>≤-+x x x x ，得，又 故行驶的最大速度为80千米／小时。 ……12分 18: 解：由于A 、B 、C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C

又A ＋B ＋C ＝180° ∴B ＝60° A ＋C ＝120°

……2分

在锐角△ABC 中：C A C A 22cos 2cos 2)2cos 1)(2cos 1(?=++ 2

1

3cos cos 2|cos cos |2-===??C A C A ∴4

1

3cos cos -=

?C A ……4分

∴)cos(cos cos sin sin C A C A C A +-=?

4

1

321413120cos 413+=

+-=?--=

∴2

3

413413sin sin cos cos )cos(=

++-=+=-?C A C A C A ……7分

又?-120＜C A -＜0 ∴?-=-30C A

∴?=?=7545C A ……9分

R R R b a )62(2

6

22)60sin 245(sin 22+=+=?+?=+?

? 2)3045sin(2275sin 2sin 22?+?=?==???R R C R c

R R )62(4

6

222+=+?

?= ……12分

19: 解：(1)设椭圆C 的方程为122

22=+b

y a x （a ＞b ＞0） (1)

……1分

∵直线l 的倾斜角为

4π，且过点)4

121(，- ∴4

3

2141:+=+=-x y x y l ，即 (2)

……2分 由(1)、(2)消去y 得016

9

23)(2222222=-+++b a a x a x b a

……3分

设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）则 222

22

2121)

(23b a b a a x x =-=+-=+即 (3) ……4分

又由准线方程，得12

=c a 并222c b a += (4)

联立(3)、(4)解得4

1

2122==b a ，

故椭圆C 的方程为14222=+y x

……6分

(2)设P 、Q 的坐标分别为（x 3，y 3）、（x 4，y 4），则有

1421422

4242323

=+=+y x y x ，，两式相加得 ……7分 2)(4224232423=+++y y x x ）（

(5) ……8分

再由得43||||22=+OQ OP 4324242323=+++y x y x (6)

……9分 由(5)、(6)解得4

1212

4232423=+=+y y x x ，

……10分 又2

4232423242324232423

4]16)(41[4

1)41)(4141y y y y y y y y x x =++-=--=（

∴)(21

||4

12

4232423定值即==?OQ OP K K x x y y ……12分

20：

]22222:20(2)(1)021

0421

1,1,||1||1,||16220.22480.02,10a x ax ax ax a x x a a x a a a

x ax a y x ax a x a a a +-=+-=≠∴=-=?∈-≤≤∴≥?++≤=++∴?=-=∴=∴L L L L L L L L L L L L L L L L L L L Q L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 解由，得，

显然或分

故或分“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，或分命}{""||10"""|100112p q a a P Q a a a a ≥=∴-<<<

的取值范围为或分

21：（Ⅰ）)(x f Θ的图象与y =x 无公共点.

)

5.(4

1

4,041164,)(,)3.(04116416)12(.04)12(,42222222分得二式相加得无公共点的图象与由同理分从而无实根即>-<++--=<-+-=--=?=+-+=++∴b ac b ac b x y x f b ac b ac b c x b ax x c bx ax

（Ⅱ）

)

14(.2

1

5)(,8.,8)

12(2

152

2042

244

232648)()8.(538)(,.

4

)(,5163,816

3)(,0.

16

3)4()(2max 2分取最大值时因此当等号成立时当且仅当分分的较大根是方程所以此时时所以+-=-=+=

-≤

--=

---=

-=++->≤--≤-

=<-++?=a M a a a a

a

a M x ax a M a

a M a a a

x f a a

a x a x f Θ

22: 解:（1）∵ 111pa S a == ∴ 01≠a ，且p ＝1，或01=a ． 若是01≠a ，且p ＝1，则由22212pa S a a ==+．

∴ 21a a =，矛盾．故不可能是：01≠a ，且p ＝1．由01=a ，得02≠a ．

又22212pa S a a ==+，∴ 2

1=p ． （2）∵ 11)1(21

+++=

n n a n S ，n n na S 21=， ∴ n n n na a n a 2

1

)1(2111-+=++．

n n na a n =-+1)1(． 当k ≥2时，1

1-=+k k a a k k ． ∴ n ≥3时有

22

3211a a a a a a a a n n n n n ????---=Λ22)1(123221a n a n n n n -=----=????Λ．

∴ 对一切*N ∈n 有：2)1(a n a n -=． （3）∵ 21010452

1

1045a a S =??==，∴ 12=a ．)(1*N ∈-=n n a n ． 故n

nx x x x f +++=Λ22)(． ∴ n n f 3

3231)31(2+++=Λ．

又211233()13333n n

f -=++++?L ．

∴ 21231111111112()11333333333n n n n f --=++++-<+++++?L L 3

2<．

故 13()34

f <．