最新名校2020高考解析几何大题二(定值定点)(4.2日)

解析几何大题二

1．椭圆M 的中心在坐标原点O ，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，抛物线N 的顶点也在原点O ，焦点为F 2，椭圆M 与抛物线N 的一个交点为A （3，2）．

（Ⅰ）求椭圆M 与抛物线N 的方程；

（Ⅱ）在抛物线M 位于椭圆内（不含边界）的一段曲线上，是否存在点B ，使得△AF 1B 的外接圆圆心在x 轴上？若存在，求出B 点坐标；若不存在，请说明理由．

2．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点F 到直线30x y -+=的距离为22，231,P ?? ? ?

??

在椭圆C 上.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，,A B 是1l 与椭圆C 的两个交点，,C D 是2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点试，判断直线MN 是否过定点？若过定点求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

3．已知抛物线C:y 2

=2px(p>0)的焦点F 和椭圆22

143

x y +=的右焦点重合,直线过点F 交抛物线于A 、

B 两点.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若直线交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==u u u r u u u r u u u r u u u r

,m 、n 是实数,对于直线,m+n 是否为定值?

若是,求出m+n 的值；否则,说明理由.

4．已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的上顶点为B ，点(0,2)D b -，P 是E 上且不在y 轴上的点，

直线DP 与E 交于另一点Q .若E 的离心率为2

2，PBD ?的最大面积等于

322

. （1）求E 的方程；

（2）若直线,BP BQ 分别与x 轴交于点,M N ，判断OM ON ?是否为定值.

5．已知一动圆P 与定圆22

1(1)4x y -+=外切，且与直线1

02x +=相切，记动点P 的轨迹为曲线E ．

（1）求曲线E 的方程；

（2）过点()5,2D -作直线l 与曲线E 交于不同的两点B 、C ，设BC 中点为Q ，问：曲线E 上是否存在一点A ，使得1

||||2

AQ BC =恒成立？如果存在，求出点A 的坐标；如果不存在，说明理由．

6．已知抛物线()2

:20C y px p =>的焦点为F ，点()(),4P t t p >是抛物线C 上一点，且满足

5PF =.

（1）求p 、t 的值；

（2）设A 、B 是抛物线C 上不与P 重合的两个动点，记直线PA 、PB 与C 的准线的交点分别为M 、

N ，若MF NF ⊥，问直线AB 是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.

7．已知以动点P 为圆心的P e 与直线l ：12x =-相切，与定圆F e ：22

1(1)4

x y -+=相外切.

（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；

（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、N （MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ?、AMN ?、1ANN ?的面积分别为1S 、2S 、3S ，

且2

2134S S S =，证明：直线MN 过定点.

8.从抛物线236y x =上任意一点P 向x 轴作垂线段垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足

2PM MQ =u u u u r u u u u r

.

（1）求点M 的轨迹C 的方程；

（2）设直线)1(x my m R =+∈与轨迹C 交于A B 、两点，点T 为轨迹C 上异于A B 、的任意一点，直线AT BT 、分别与直线1x =-交于D E 、两点.问：x 轴正半轴上是否存在定点使得以DE 为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.

解析几何大题二（定值定点）参考答案

1.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），抛物线的方程为y2＝2px （p＞0），

A（3，2）在抛物线上，可得24＝6p，即p＝4，可得抛物线N的方程为y2＝8x；

由题意可得椭圆的c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），

由椭圆的定义可得2a＝|PF1|+|PF2|＝+＝7+5＝12，即a＝6，可得b2＝a2﹣c2＝32，则椭圆M的方程为+＝1；

（Ⅱ）在抛物线M位于椭圆内（不含边界）的﹣段曲线上，假设存在点B，使得△AF1B的外接圆圆心H在x轴上，

可设H（t，0），由外接圆的圆心H在线段F1A的垂直平分线上，也在线段F1B的垂直平分线上，设B（2m2，4m ），（0≤2m2＜3），由k＝，可得线段F1A的垂直平分线的斜率为﹣，且线段F1A 的中点坐标为（，），线段F1A的垂直平分线的方程为y﹣＝﹣（x ﹣），可令y＝0，可得x＝，即有t＝；

同理可得线段F1B的垂直平分线方程为y﹣2m ＝﹣（x﹣m2+1），

代入H（，0）可得﹣2m＝﹣（﹣m2+1），

化为10m4+11m2﹣39＝0，解得m2＝（﹣舍去），

这与0≤2m2＜3矛盾，故不存在这样的B点，使得△AF1B的外接圆圆心H在x轴上．2．解：（1）由题意得

22

3

22

2

14

1

3

c

a b

+

=

?+=

??

，∴

3

2

a

b

?=

?

?

=

??

C的方程为

22

1

32

x y

+=；

（2）由（1）得()

10

F，，设直线

1

l的方程为1

x my

=+，点,A B的坐标分别为()()

1122

,,,

x y x y，①当0

m≠时，由22

1

1

32

x my

x y

=+

?

?

?

+=

??

，得()22

32440

m y my

++-=，

∴

122

122

4

32

4

32

m

y y

m

y y

m

?

+=-

??+

?

?÷=-

?+

?

，∴

22

32

,

3232

m

M

m m

??

-

?

++

??

同理，由

22

1

1

1

32

x y

m

x y

?

=-+

??

?

?+=

??

，可得

2

22

32

,

3232

m m

N

m m

??

?

++

??()

22

22

22

22

5

3232

3331

3232

MN

m m

m

m m

k

m m

m m

+

++

==

-

-

++

∴直线MN的方程为()

2

53

5

31

m

y x

m

??

=-

?

-??，过定点

3

,0

5

??

?

??

；②当0

m=时，则直线

1

l的方程为()()

11,00,0

x M N

=,,，∴直线MN过定点

3

,0

5

??

?

??

综上，直线MN过定点

3

,0

5

??

?

??

3．（1）∵椭圆的右焦点(1,0),1,2,

2

p

F p

∴==∴抛物线C的方程为24

y x

=

（2）由已知得直线l的斜率一定存在，所以设l：(1),

y k x l

=-与y轴交于(0,)

M k

-，设直线l交

抛物线于

1122

(,),(,),

A x y

B x y由2222

2

(1)

{2(2)0

4

y k x

k x k x k

y x

=-

?-++=

=

，

∴2242

4(2)416(1)0

k k k

?=+-=+f∴

2

1212

2

24

,1

k

x x x x

k

+

+=?=，

又由

111111

,(,)(1,),(1),

MA mAF x y k m x y x m x

=∴+=--∴=-

u u u r u u u r

即m=1

1

1

x

x

-,同理

2

2

1

x

n

x

=

-，

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121212121212

21111()x x x x x x m n x x x x x x +-?+=+==----++?所以，对任意的直线l ，m+ n 为定值-1. 4．（1）当PBD △面积最大时，此时P 在左顶点或右顶点处，

所以13322PBD

ab S b a =??==

V ，

所以ab

，所以2ab c e a ?=??==

??

，所以1a b ?=??=??E 的方程为：22

12x y +=；

（2）设直线:2PQ y kx =-，()()1122,,,P x y Q x y ，

所以22222y kx x y =-??+=?

，所以()22

12860k x kx +-+=，所以121222

86,1212k x x x x k k +==++， 又因为111:1y BP y x x -=

+，22

1:1y BQ y x x -=+，所以1212,0,,011x x M N y y ????

? ?--????

， 所以()()()121212

212121212113339

x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x ?=

?==-----++ 22222

22

6621212962439121212k k k k k k k ++===-++++.所以OM ON ?为定值

23

. 5．(1)设圆2

2

1(1)4x y -+=

的圆心为F ,动圆P 的半径为R .则由动圆P 与定圆22

1(1)4

x y -+=外切，则12

PF R =+，又动圆P 与直线102x +=相切，所以点P 到直线1

02x +=的距离为R ，

所以点P 到直线1x =-的距离等于到定点F 的距离.所以点P 的轨迹是以()1,0为焦点的抛物线，其方程为：2

4y x =.所以曲线E 的方程为：2

4y x =。 （2）由题意B 、C 两点在抛物线2

4y x =上，设1212,,,44y y B y C y ????

? ?????

设直线l 的方程为：()25x m y =++.由()2425

y x x m y ?=??=++?? 有248200y my m ---=，

12124,820y y m y y m +=?=--.设满足条件的点A 存在，设200,4y A y ??

???

.

若抛物线上的点A 满足1

||||2

AQ BC =，则点A 在以BC 为直径的圆上.即0BA CA ?=u u u r u u u r .

所以

2222001

20102,,4444y y y y BA CA y y y y ?????=--?-- ? ?????

u u u r u u u r ()()

2222

01020102=44y y y y y y y y --?+-?-()()01020102++=144y y y y y y y y ??-?-?+ ???()()

2000102484

=16

y my m y y y y +---?-()()()()0102001

=

+42216

y y y y y m y -?-+-，由题意即是=0BA CA ?u u u r u u u r 恒成立，可得02y =.所以()1,2A 所以抛物线24y x =上存在点()1,2A 满足1

||||2

AQ BC =.

6．（1）由题意得抛物线的准线方程2p x =-，则52p

PF t =+=，由题意得242520

pt

p t t p ?=?

?+=??>>??，解得42t p =??=?；

（2）由（1）得抛物线的焦点()1,0F ，()4,4P ，显然直线AB 的斜率不为零，设直线AB 方程为

x my b =+，()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x my b y x

=+??=?，消去x 得2

440y my b --=，

由韦达定理得124y y m +=，124y y b =-.直线PA 的斜率

112111444

4444

PA y y k y x y --=

==-+-，

故直线PA 的方程为()14444y x y -=

-+，令1x =-，得()11141

54144M y y y y -??=-= ?++??

，故M

的坐标为()11411,4y y -??- ?+?

?，同理N 的坐标为()22411,4y y -??- ?+??，

()2,M FM y =-u u u u r ，()2,N FN y =-u u u r ，MF NF ⊥Q ，0FM FN ∴?=u u u u r u u u r

，

所()()

()()

()()()()1212121212121212121611611204444044416

416

M N y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y -++??--+??+=+

=+

=

=++++++++，

12441y y b b ∴=-=-?=，所以，直线AB 的方程为1x my =+，过定点()1,0.

7．（Ⅰ）设(,)P x y ，P e 半径为R ，则12R x =+

，1

||2

PF R =+，所以点P 到直线1x =-的距离与到(1,0)F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为2

4y x =.

（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，则111,2M y ??- ???、21,2N y ??

- ???

设直线MN ：x ty n =+（0t ≠）代入2

4y x =中得2

440y ty n --=

124y y t +=，1240y y n =-<∵1111122S x y =

+?、32211

22

S x y =+? ∴131********S S x x y y ????=++ ???????12121122ty n ty n y y ?

???=++++ ????

???

()22121211422t y y n t y y n n ??????=+++++?-?? ? ?????????2

22

1144422nt t n n n ??????=-++++??? ? ?????????

2

21242t n n ??

??=++??? ??????

?又()

2

2121212111142222S n y y n y y y y =+?-=++-∴()()

22

2222

11116164422S n t n n t n ????=+?+=+?+ ? ????

?22

22

22131114842222S S S nt n t n n n ????=?=+?=+?= ? ????

?∴直线MN 恒过1,02?? ???

8．（1）设0(,),(,)M x y P x y ，则(,0),2Q x PM MQ =u u u u r u u u u r

，00(0,)2(0,),3,(,3)

y y y y y P x y -=-=∴在抛物线2

36y x =上，22

936,4y x y x ==为曲线C 的方程；

（2）设1122001020(,),(,),(,),,A x y B x y T x y x x x x ≠≠，

联立2

14x my y x

=+??

=?，消去2

,440x y my --=，2121216160,4,4m y y m y y ?=+>+==-， 直线AT 的斜率为101022

1010

1041()4

y y y y x x y y y y --==-+-，直线AT 方程为11104()y y x x y y -=-+， 令2110101111010014444

1,(1)x y y y y y x y x y y y y y y y --++-=-=--+==+++，所以01014(1,)y y D y y --+，同理

02024(1,

)y y E y y --+，令01244

0,(1,),(1,),y D E DE y y =----中点M 坐标为(,)M M x y ，

121212

2()22

(

)2,(1,2)M y y y m M m y y y y +=-+=-=-2221212112124||11

||4|

|()441||

y y DE y y y y m y y y y -=-==--=+以DE 为直径的圆方程为2

2

2

(1)(2)4(1)x y m m ++-=+， 令2

0,(1)4,1y x x =+==或3x =-（舍去） 当T 为坐标原点是以DE 为直径的圆过定点(1,0)S ， 当T 不过原点时01014(1,

)y y D y y --+，0202

4

(1,)y y E y y --+，

01020102

44(2,),(2,)

y y y y SD SE y y y y --=-=-++u u u r u u r

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2010201201201020102444()16

44()()y y y y y y y y y y SD SE y y y y y y y y ---++?=+?=+++++u u u r u u r

22

000022

00121200416164(44)

440()44

y my y my y y y y y y y my --+-+-=+=+=++++- ,SD SE SD SE ∴⊥∴⊥u u u r u u r

，以DE 为直径的圆过S 点，x \轴正半轴上存在定点(1,0)使得以DE 为

直径的圆过该定点