北师大版九年级数学下册 圆周角和圆心角的关系教案

《圆周角和圆心角的关系》教案

（第1课时）

教学目标

知识技能：掌握圆周角的概念，理解掌握圆周角定理的证明并会进行简单的计算和证明．

过程与方法：经历圆周角定理证明过程，体会“特殊到一般”和“分类讨论”的数学思想方法．情感与态度：通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．

教学重点

圆周角概念及圆周角定理．

教学难点

认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．

教学方法

指导探索法、讲授法．

教学过程

一、复习回顾，引入新课

1．圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．

2．圆心角的度数和它所对的弧的度数的大小关系是：相等．

当角的顶点在圆心时，就是圆心角．这时角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？

二、探索新知：

圆周角的概念（观察圆心角的顶点的变化，导出圆周角的概念）

（1）（2）（3）

图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？

圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．

1．强调两个要点： （1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交 2．跟踪训练： 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．

研究圆周角和圆心角的关系． 证一证

1．当圆心O 在圆周角∠ABC 的一边BC 上时，圆周角∠ABC 与圆心角∠AOC 的大小关系． 解：∠ABC =

1

2

∠AOC ．理由是： ∵ ∠AOC 是△ABO 的外角，

∴∠AOC =∠ABO +∠BAO ． ∵OA =OB ， ∴∠ABO =∠BAO ． ∴∠AOC =2∠ABO ． 即∠ABC =

1

2

∠AOC ． 2．如果∠ABC 的两边都不经过圆心（如下图），结果会怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？能否将下

图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？（学生互相交流、讨论） 如图（1），点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ， 将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出． （体现“分”的数学思想）

由1的结论可知：∠ABD =

12∠AOD ，∠CBD =1

2

∠COD ，

∴∠ABD +∠CBD =12 (∠AOD +∠COD ），即∠ABC =1

2

∠AOC ．

在图（2）中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ， 将这个角转化成上述情形的两个角的差即可证出． （体现“补”的数学思想） 由1的结论可知：∠ABD =

12∠AOD ，∠CBD =1

2

∠COD ．

∴∠ABD -∠CBD =

12 (∠AOD -∠COD ），即∠ABC =1

2

∠AOC ． 综上所述，我们可以得到：

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （提问：条件是什么？结论是什么？） 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

老师提示：圆周角定理是承上启下的知识点，要予以重视．

如图1，圆中一段AC 对着许多个圆周角，这些个角的大小有什么关系?为什么? 如图2，圆中AB =EF ，那么∠C 和∠G 的大小有什么关系?为什么? 如图2，圆中∠C =∠G ， 那么AB 与EF 的大小有什么关系?为什么?

图1 图2

圆周角定理的推论1

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等． 实际应用：

当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC

分别形成三个张角∠ABC ， ∠ADC ，∠AEC ．这三个角的大小有什么关系?

定理的应用 例题分析：

如图：OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB =2∠BOC ． 求证：∠ACB =2∠BAC ． 证明：∵∠AOB =2∠ACB ，∠BOC =2∠B AC ． 又∵∠AOB =2∠BOC ， ∴ 2∠ACB =2×2∠BAC ， ∴∠ACB =2∠BAC ．

总结规律：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理．

练一练：

C

A

E

C

1．如图，在⊙O 上中， ∠BOC = 50°求∠BAC 的大小．

2．如图，哪个角与 ∠BAC 相等?你还能找到哪些相等的角? 3．指出图中的圆周角．

第1题图 第2题图 第3题图 三、课堂小结

（一）这节课主要学习了两个知识点：

1．圆周角：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ★圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．

（二）在学习圆周角定理的证明时，渗透了“特殊到一般”和“分类讨论”的思想方法． 四、拓展延伸

圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角．

如下图中，∠DPB 是圆外角，那么∠DPB 的度数与它所夹的两段弧BD 和AC 的度数有什么关系？ 1．你的结论： ________；2．证明你的结论． 1．圆外角等于它所夹弧的度数差的一半． 2．证明：边结BC ． 五、布置作业

P 80习题3.4 第1， 2题

P

D

B

《圆周角和圆心角的关系》教案（第2课时）

教学目标

知识技能：掌握圆周角定理几个推论的内容；并了解圆内接四边形及其性质；会熟练运用推论与性质解决问题．

过程与方法：在学生自主探索推论过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式． 情感与态度： 通过观察、猜想、验证推理，培养学生观察、分析及理解问题的能力．

教学重点

圆内接四边形的性质及圆周角定理的推论．

教学难点

圆周角定理的推论的应用．

教学方法

指导探索法、讲授法．

教学过程

一、新课导入：

圆周角：顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 二、探索新知：

探索三：圆周角与直径的关系

1．如图（1），BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗? 2．如图（2），圆周角∠BAC =90o，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？

圆周角定理的推论2

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 探索二：圆内接四边形与性质

圆内接四边形的概念：四边形ABCD 四个顶点都在⊙O 上，

图1

B

C

图2

B

C

这样的四边形叫做圆内接四边形， 这个圆叫做四边形的外接圆．

如图A ，B ，C ，D ，是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，则∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系?为什么?

180BAD BCD ∠+∠=?

如图A ，B ，C ，D ，是⊙O 上四点，点C 的位置发生了变化，则∠BAD 与∠BCD 的关系还成立吗?为什么?

成立．连结AO ，AD

圆内接四边形的性质： 圆内接四边形对角互补

应用：如图∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，则∠A 与∠DCE 的大小有什么关系? ∠A =∠DCE

例题分析：

如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是弦，延长BD 到C ，使DC=BD ，AC 与AB 的大小有什么关系?为什么? 解析：AC=AB 如图连接AD ．

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90° ∵DC=BD ，∴AC=AB 练一练：

1．如图，⊙O 的直径AB =10cm ，C 为⊙O 上的一点，∠ABC =30°，求AC 的长．

A

A

C

B

2．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？

3．△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆．如图，若弧AB的长为12 cm，那么弧AC的长是（）A．10cm B．9cm C．8cm D．6cm

三、课堂小结

1．要理解好圆周角定理的推论．

2．构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法．引辅助线的方法：

（1）构造直径上的圆周角．

（2）构造同弧所对的圆周角．

3．要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一．

4．圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化．但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁．如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等．

四、拓展延伸

P81第4题

船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁．

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？

五、布置作业

P83习题3.5 第1，2，3 题