第七章 三角形
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第七章三角形
测试1三角形的边
学习要求
1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法.
2.掌握三角形三边关系的一个重要性质.
(一)课堂学习检测
1、填空题:
(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做
______;相邻两边的公共端点叫做______,相邻两边所组成的角叫做______,简称______.
(2)如图所示,顶点是A、B、C的三角形,记作______,读作______.其中,顶点A所
对的边______还可用______表示;顶点B所对的边______还可用______表示;顶点C 所对的边______还可用______表示.
(3)由“连接两点的线中,线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质
______________________________.由它还可推出:三角形两边的差____________.
(4)对于△ABC,若a≥b,则a+b______c同时a-b______c;又可写成______<c<
______.
(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm,则第三边x的长度的取值范围是
____________,其中x可以取的整数值为____________.
(二)综合运用诊断
2.已知:如图,试回答下列问题:
(1)图中有______个三角形,它们分别是______________________________________.
(2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.
(3)线段CE所在的三角形是______,CE边所对的角是________________________.
(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______.3.选择题:
(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( ).
(A)3cm,3cm,6cm (B)2cm,3cm,6cm
(C)5cm,8cm,12cm (D)4cm,7cm,11cm
(2)现有两根木条,它们的长分别为50cm,35cm,如果要钉一个三角形木架,那么下列
四根木条中应选取( ).
(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条
(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条
(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中,任取三根可组成三角形的
个数是( ).
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
(4)若三角形的两边长分别为3和5,则其周长l的取值范围是( ).
(A)6<l<15 (B)6<l<16
(C)11<l<13 (D)10<l<16
4.(1)一个等腰三角形的周长为18,若腰长的3倍比底边的2倍多6,求各边长.
(2)已知等腰三角形的一边等于8cm,一边等于6cm,求它的周长.
(3)一个等腰三角形的周长为30cm,一边长为6cm,求其它两边的长.
(4)有两边相等的三角形的周长为12cm,一边与另一边的差是3cm,求三边的长.
(三)拓广、探究、思考
5.(1)若三角形三条边的长分别是7,10,x,求x的范围.
(2)若三边分别为2,x-1,3,求x的范围.
(3)若三角形两边长为7和10,求最长边x的范围.
(4)等腰三角形腰长为2,求周长l的范围.
(5)等腰三角形的腰长是整数,周长是10,求它的各边长.
6.已知:如图,△ABC 中,AB =AC ,D 是AB 边上一点.
(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度,确定AB 与)(2
1
DB CD 的大小关系.
(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的.
7.已知:如图,P 是△ABC 内一点.请想一个办法说明AB +AC >PB +PC .
8.如图,D 、E 是△ABC 内的两点,求证:AB +AC >BD +DE +EC .
测试2 三角形的高、中线与角平分线
学习要求
1.理解三角形的高、中线和角平分线的概念,学会它们的画法. 2.对三角形的稳定性有所认识,知道这个性质有广泛的应用.
(一)课堂学习检测
1.填空题:
(1)从三角形一个顶点向它的对边画______,以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高.
如图,若CD 是△ABC 中AB 边上的高,则∠ADC ______∠BDC =______,C 点到对边AB 的距离是______的长.
(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线. 如右图,若BE 是△ABC 中AC 边上的中线,则AE ______.______2
1
EC
(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交,以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线.
一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________. 如图,若AD 是△ABC 的角平分线,则∠BAD ______∠CAD =
2
1
______或∠BAC =2______=2______.
2.已知:△GEF ,分别画出此三角形的高GH ,中线EM ,角平分线FN .
(二)综合运用诊断
3.(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF .
(∠A 为锐角) (∠A 为直角) (∠A 为钝角)
(2)这三条高AD 、BE 、CF 所在的直线有怎样的位置关系?
4.(1)分别画出△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF .
(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?
(3)设中线AD与BE相交于M点,分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长,
从中你能发现什么结论?
5.(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.
(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?
(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点,请量一量点N到△ABC三边的距离,从中
你能发现什么结论?
6.已知:△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分,求此三角形各边的长.
7.(1)如果将一个三角形的三边的长确定,那么这个三角形的形状和大小就不会改变了,三角形的这个性质叫做________________________.
(2)四边形是否具有这种性质?
(三)拓广、探究、思考
8.将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形,称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)
(1)已知一个任意三角形,并其剖分成3个等积的三角形.
(2)已知一个任意三角形,将其剖分成4个等积的三角形.
9.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.
测试3 与三角形有关的角
学习要求
1.理解三角形的内角、外角的概念.
2.掌握三角形的内角和及外角的性质,并能运用这些性质进行简单的推理和计算.
(一)课堂学习检测
1.填空:
(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.
(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义,通过推理得到的.它的
推理过程如下:
已知:△ABC,
求证:∠BAC+∠ABC+∠ACB=______.
证明:过A点作______∥______,
则∠EAB=______,∠F AC=______.
(___________,___________)
∵∠EAF是平角,
∴∠EAB+______+______=180°.( )
∴∠ABC+∠BAC+∠ACB=∠EAB+∠______+∠______.( )
即∠ABC+∠BAC+∠ACB=______.
2.填空:
(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角.
因此,三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______.
(2)利用“三角形内角和”性质,可以得到三角形的外角性质?
如图,∵∠ACD是△ABC的外角,
∴∠ACD与∠ACB互为______,
即∠ACD=180°-∠ACB.①
又∵∠A+∠B+∠ACB=______,
∴∠A+∠B=______.②
由①、②,得∠ACD=______+______.
∴∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
由上述(2)的说理,可以得到三角形外角的性质如下:
三角形的一个外角等于____________________________________________________.
三角形的一个外角大于____________________________________________________. 3.(1)已知:如图,∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角,
求:∠1+∠2+∠3.
(2)结论:三角形的外角和等于______.
4.已知:如图,BE与CF相交于A点,试确定∠B+∠C与∠E+∠F之间的大小关系,并说明你的理由.
5.已知:如图,CE⊥AB于E,AD⊥BC于D,∠A=30°,求∠C的度数.
6.依据题设,写出结论,想一想,为什么?
已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,则:
(1)∠A+∠B=______.即∠A与∠B互为______;
(2)若作CD⊥AB于点D,可得∠BCD=∠______,∠ACD=∠______.
(二)综合运用诊断
7.填空:
(1)△ABC中,若∠A+∠C=2∠B,则∠B=______.
(2)△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则∠A=______,∠B=______,∠C=
______.
(3)△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则它们的相应邻补角的比为______.
(4)如图,直线a∥b,则∠A=______度.
(5)已知:如图,DE⊥AB,∠A=25°,∠D=45°,则∠ACB=______.
(6)已知:如图,∠DAC=∠B,∠ADC=115°,则∠BAC=______.
(7)已知:如图,△ABC中,∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,则∠A=______
(8)在△ABC中,若∠B-∠A=15°,∠C-∠B=60°,则∠A=______,∠B=______,
∠C=______.
8.已知:如图,一轮船在海上往东行驶,在A处测得灯塔C位于北偏东60°,在B处测得灯塔C位于北偏东25°,求∠ACB.
9.已知:如图,在△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B=30°,∠C=50°,求∠DAE的度数.
(2)试问∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系?说明理由.
(三)拓广、探究、思考
10.已知:如图,O是△ABC内一点,且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB.
(1)若∠A=46°,求∠BOC;
(2)若∠A=n°,求∠BOC;
(3)若∠BOC=148°,利用第(2)题的结论求∠A.
11.已知:如图,O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点.
(1)若∠A=46°,求∠BOC;
(2)若∠A=n°,用n的代数式表示∠BOC的度数.
12.类比第10、11题,若O是△ABC外一点,OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF,若∠A=n°,画出图形并用n的代数表示∠BOC.
13.如图,点M是△ABC两个内角平分线的交点,点N是△ABC两个外角平分线的交点,如果∠CMB;∠CNB=3∶2
求∠CAB的度数.
14.如图,已知线段AD、BC相交于点Q,DM平分∠ADC,BM平分∠ABC,且∠A=27°,∠M=33°,求∠C的度数.
测试4多边形及其内角和
学习要求
1.理解多边形的有关概念,掌握多边形的内角和及其外角和的计算公式.
2.理解正多边形的概念.
(一)课堂学习检测
1.填空:
(1)平面内,由____________________________________________________________叫做
多边形.组成多边形的线段叫做______.如果一个多边形有n条边,那么这个多边形
叫做______.多边形____________叫做它的内角,
多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角.
连结多边形________________的线段叫做多边形的对角线.
(2)画出多边形的任何一条边所在直线,如果整个多边形都在______,那么这个多边形称
作凸多边形.
(3)各个角______,各条边______的______叫做正多边形.
2.(1)n边形的内角和等于____________.这是因为,从n边形的一个顶点出发,可以引______条对角线,它们将此n边形分为______个三角形.而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和,所以,此n边形的内角和等于180°×______.
(2)请按下面给出的思路,进行推理填空.
如图,在n边形A1A2A3…A n-1A n内任取一点O,依次连结______、______、______、……、______、______.则它们将此n边形分为______个三角形,而这些三角形的内角和的总和,减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和.所以,n边形的内角和=180°×______-( )=( )×180°.
3.任何一个凸多边形的外角和等于______.它与该多边形的______无关.
4.正n边形的每一个内角等于______,每一个外角等于______.
5.若一个正多边形的内角和2340°,则边数为______.它的外角等于______.
6.若一个多边形的每一个外角都等于40°,则它的内角和等于______.
7.多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形的边数为______,对角线条数为______.8.如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边,其中一个角为65°,则另一个角为______度.
(二)综合运用诊断
9.选择题:
(1)如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍,则这个多边形是( ).
(A)四边形(B)五边形(C)六边形(D)七边形
(2)一个多边形的边数增加,它的内角和也随着增加,而它的外角和( ).
(A)随着增加(B)随着减少(C)保持不变(D)无法确定
(3)若一个多边形从一个顶点,只可以引三条对角线,则它是( )边形.
(A)五(B)六(C)七(D)八
(4)如果一个多边形的边数增加1,那么它的内角和增加( ).
(A)0°(B)90°(C)180°(D)360°
(5)如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5,那么这四个内角中( ).
(A)只有一个直角(B)只有一个锐角
(C)有两个直角(D)有两个钝角
(6)在一个四边形中,如果有两个内角是直角,那么另外两个内角( ).
(A)都是钝角(B)都是锐角
(C)一个是锐角,一个是直角(D)互为补角
10.已知:如图四边形ABCD中,∠ABC的平分线BE交CD于E,∠BCD的平分线CF交AB于F,BE、CF相交于O,∠A=124°,∠D=100°.求∠BOF的度数.
(三)拓广、探究、思考
11.(1)已知:如图1,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6___________.
图1
(2)已知:如图2,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8____________.
图2
12.如图,在图(1)中,猜想:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______度.请说明你猜想的理由.
图1
如果把图1成为2环三角形,它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F;图2称为2环四边形,它的内角和为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H;
图2
则2环四边形的内角和为_____________________________________________度;
2环五边形的内角和为________________________________________________度;
2环n边形的内角和为________________________________________________度.13.一张长方形的桌面,减去一个角后,求剩下的部分的多边形的内角和.
14.一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°,求这个多边形的边数.
15.如果一个凸多边形除了一个内角以外,其它内角的和为2570°,求这个没有计算在内的内角的度数.
16.小华从点A出发向前走10米,向右转36°,然后继续向前走10米,再向右转36°,他以同样的方法继续走下去,他能回到点A吗?若能,当他走回点A时共走了多少米?
若不能,写出理由.
测试5镶嵌
学习要求
通过镶嵌这一课题的学习,体验角的知识(特别是多边形内角和)在生活、生产实际中的应用,在解决问题的探究实践活动过程中,培养自己学数学、用数学的意识,提高分析问题和解决问题的能力.
(一)课堂学习检测
1.我们常常见到像如下图那样图案的地板,它们分别是用正方形、正三角形的材料铺成的.
为什么用这样形状的材料能铺成平整(不互相重叠),又无空隙的地板呢?
2.工人师傅把一批形状、大小完全相同,但不规则的四边形边脚余料用来铺地板,按照下面给出的拼接四边形木块的方法,就可以不留下任何空隙铺成一大片.
(1)请你说出工人师傅之所以能这样拼接的道理.
(2)如果工人师傅手里还有一批形状、大小完全相同,但不规则的三角形边脚余料,那么工人师傅能否用它们拼成平整且无空隙的地板呢?如果可以,请说出你的理由,并将你剪好的一些形状、大小完全相同、但不规则的三角形纸片,贴在下面的空白处(不互相重叠且无空隙),镶嵌成地板模型.
(二)综合运用诊断
3.在日常生活中,观察各种建筑物的地板,就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案,也就是说,使用给定的某些正多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空白,又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌).这显然与正多边形的内角大小有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时,就拼成一个平面图形.
(1)请根据下列图形,填写表中空格:
(2)如果限于用一种正多边形镶嵌,哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?
(3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么?
正五边形的地砖会留有不少缝隙
(4)某家庭准备用正三角形与正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面,由你帮助设计镶嵌图案,你能设计几种不同的镶嵌方案?
(5)正三角形和正方形组合呢?(画图说明)
全章测试
一、选择题:
1.如图,是赛车跑道的一段示意图,其中AB ∥DE ,测得∠B =140°,∠D =120°,则∠C 的度数为( ).
(A)120° (B)100° (C)140° (D)90°
2.如图,在四边形ABCD 中,点E 在BC 上,AB ∥DE ,∠B =78°,∠C =60°,则∠EDC 的度数为( ).
(A)42° (B)60° (C)78° (D)80°
3.已知△ABC 的一个内角是40°,∠A =∠B ,那么∠C 的外角的大小是( ). (A)140° (B)80°或100° (C)100°或140° (D)80°或140° 4.上午9时,一艘船从A 处出发以20海里/时的速度向正北航行,11时到达B 处,若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°,且,2
3
BAC ACB ∠=
∠则灯塔C 应在 B 处的( ). (A)北偏西68° (B)南偏西85° (C)北偏西85° (D)南偏西68°
5.在△ABC 中,若∠A ∶∠B =5∶7,∠C -∠A =10°,则∠C 等于( ). (A)75° (B)60° (C)50° (D)40°
6.在△ABC 中,若AB =3,BC =1-2x ,CA =8,则x 的取值范围是( ). (A)0<x <2 (B)-5<x <-2 (C)-2<x <5 (D)x <-5或x >2
7.在△ABC 中,若AB =AC ,其周长为12,则AB 的取值范围是( ). (A)AB >6 (B)AB <3 (C)4<AB <7 (D)3<AB <6
8.若一个多边形的内角和是其外角和的二倍,则它的边数是( ). (A)四 (B)五 (C)六 (D)七 9.下列命题中,结论正确的是( ).
①外角和大于内角和的多边形只有三角形.
②一个三角形的内角中,至少有一个不小于60°. ③三角形的一个外角大于它的任何一个内角.
④多边形的边数增加时,其内角和随着增加,外角和不变. (A)①②③④ (B)①②④
(C)①③④(D)①④
10.若一个正多边形的每个内角与它相邻的外角的差为100°,则这个正多边形的边数是( )
(A)七(B)八(C)九(D)十
11.在下面四种正多边形中,用同一种图形不能平面镶嵌的是( ).
12.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律,你发现的规律
是( ).
(A)∠A=∠1+∠2 (B)2∠A=∠1+∠2
(C)3∠A=2∠1+∠2 (D)3∠A=2(∠1+∠2)
二、填空题:
13.如图,AB∥CD,直线PQ分别交AB、CD于点E、F,EG是∠FED的平分线,交AB于点G.若∠QED=40°,那么∠EGB等于______.
14.若一个多边形的每一个外角都等于45°,则这个多边形共有______条对角线.15.把“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是
______________________________________________________________________.
16.把一幅三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角 =______度.
17.如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF=______.
18.下列各命题中:①对顶角一定相等;②两条直线被第三条直线所截,内错角相等;
③若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C,④同角的补角相等;⑤若∠AOB+∠BOC
=180°;则∠AOB与∠BOC互为邻补角.其中错误的命题是______(填序号)
19.如图,长方形的长和宽分别为2cm和1cm,则图中由弧AB、弧CD和AC、BD围成的阴影部分的面积为_______.
20.一个广场面的一部分如图所示,地面的中央是一块正六边形的地砖,周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成.从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖),
每一层的外界都围成一个多边形.若中央正六边形地砖的边长是0.5米,则第12
层的外边界所围成的多边形的周长是______米.
三、解答题:
21.已知:钝角△ABC.分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及△ABC中∠ACB的平分线CF.
22.已知:如图,AB∥DE,∠1=∠2,AC平分∠BAD,求证:AD∥BC.
23.已知:在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于E,CD⊥AC交AB于D,∠BCD=∠A,求∠BEA的度数.
24.已知:如图,点E在AC上,点F在AB上,BE,CF交于点O,且∠C-∠B=20°,∠EOF-∠A=70°,求∠C的度数.
25.三角形的一条中线把其面积等分,试用这条规律完成下面问题.
(1)把一个三角形分成面积相等的4块(至少给出两种方法);
(2)在一块均匀的三角形草地上,恰好可放养84只羊,如图,现被两条中线分成4
块,则四边形的一块(阴影部分)恰好可放养几只羊?
四、探究题
26.已知△ABC中,∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1、G2、G3,…、G n-1,试猜想:∠BG n-1C与∠A的关系.(其中n≥2的整数)
首先得到:当n=2时,如图1,∠BG1C=______,
当n=3时,如图2,∠BG2C=______,
…………
猜想∠BG n-1C=______.
图1图2图n
参考答案
第七章 三角形
测试1
1.(1)不在同一直线上的,首尾顺次相接,三角形的边,三角形的顶点,三角形的内角,三
角形的角.
(2)△ABC ,三角形ABC ,BC ,a ;AC ,b ;AB ,c (3)三角形两边之和大于第三边,小于第三边. (4)>,<,a -b ,a +b
(5)1cm <x <9cm ,2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 、7cm 、8cm . 2.(1)六,△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ACD 、△ACE 、△ADE . (2)△ABD 、△ACD 、△ADE . (3)△ACE ,∠CAE . (4)BC :CD :DE .
3.(1)C ,(2)D ,(3)A ,(4)D
4.(1)6,6,6;(2)20cm ,22cm ;(3)12cm ,12cm ;(4)5cm ,5cm ,2cm . 5.(1)3<x <17;(2)2<x <6;(3)10≤x <17;(4)4<e <8; (5)3,3,4或4,4,2 6.(1))(2
1
DB CD AB +>
. (2)提示:对于△ADC ,∵AD +AC >DC , ∴(AD +DB )+AC >CD +DB , 即AB +AC >CD +DB .
又∵AB =AC ,∴2AB >CD +DB . 从而AB >
2
1
(CD +DB ). 7.提示:延长BP 交AC 于D .
∵在△ABD 中,AB +AD >BD =BP +PD ,① 在△DPC 中,DP +DC >PC ,② 由①、②,
∴AB +(AD +DC )+DP >BP +PC +DP . 即AB +AC >PB +PC .
8.证明:延长BP 交AC 于D ,延长CE 交BD 于F . 在△ABD 中,AB +AD >BD . ① 在△FDC 中,FD +DC >FC . ② 在△PEF 中,PF +FE >PE . ③
①+②+③得AB +AD +FD +DC +PF +FE >BD +FC +PE , 即:AB +AC +PF +FD +FE >BP +PF +FD +FE +EC +PE ,
七年级数学第7章三角形检测题
数学:第7章三角形综合检测题A (人教新课标七年级下) 一、选择题(每题3分,共30分) 1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( ).A .3 B .4 C .5 D .6 2.下面四个图形中,线段BE 是⊿ABC 的高的图是( ) 3.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( ) A .13cm B .6cm C .5cm D .4cm 4.三角形一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .属于哪一类不能确定 5.如图,在直角三角形ABC 中,AC ≠AB ,AD 是斜边上的高, DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6.下面说法正确的是个数有( ) ①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形;②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则这么三角形是直角三角形;③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形;④如果∠A=∠B=2 1∠C ,那么△ABC 是直角三角形;⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形;⑥在?ABC 中,若∠A +∠B=∠C ,则此三角形是直角三角形。 A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 7.在?ABC 中,C B ∠∠,的平分线相交于点P ,设,?=∠x A 用x 的代数式表示BPC ∠的度数,正确的是( ) (A )x 2190+ (B )x 2 190- (C )x 290+ (D )x +90 8.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O , 则∠AOC+∠DOB=( ) A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 9.以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 10.给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内。正确的命题有 ( ) 第2题图 第5题图 第8题图
初中数学 第七章 三角形全章教案
第七章 三 角 形 7.1.1三角形的边 教学目标: 1、能说出三角形的有关概念,认识三角形的基本要素(边、角、顶点) 2、会用数学符号表示三角形 3、会从较为复杂的图中寻找不同的三角形 4、掌握三角形三条边之间的关系 5、会应用“三角形三边之间关系”解决一些实际问题 教学过程: 一、认识三角形 1、通过学生从生活中所观察到的三角形事物的回忆引入本课的课题 2、观察下面的屋顶框架图问题: ⑴、你能从图中找出3个不同的三角形吗?并把它们画下来 (设计思路:从具体事物中,抽象出数学图形,培养数学思想) ⑵、这些三角形有什么共同的特点?(设计思路 :回顾已有知识:边、角、顶点,同时也为引入概念作铺垫) 3、三角形的概念:让学生根据上面所找出的特点,描述什么样的图形是三角形。 (学生可以自由发言)在学生充分交流的基础上得:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 4、三角形的表示:以学生在寻找屋顶框架图中的三角形时出现“所指三角形 不能明确区分”这一现象引入问题:有什么方法能明确区分三角形?(让学生思考、 交流)可得:用三角形的三个顶点字母来表示在学生回忆角与平行线的表示方法的基础上得:“三角形”的符号表示“△”最终得:上图三角形可表示为:△ABC 5、练习: ⑴、你能表示刚才所找出的三角形吗? ⑵、图中以AB 为边的三角形有哪些?(在学生回答的基础上让学生思考 有无好的寻找方法,培养学生正确的数学思维) ⑶、图中以A 为顶点的三角形有哪些? (在学生回答的基础上让学生 思考有无好的寻找方法,培养学生正确的数学思维) 6、想一想:小明在纸上画了四点,如果把这些点彼此用线段连结,连成一个图形,则图形中有几个三角形?并把它们一一表示出来。(先让学生试一试,并让学生把产生不同结果的图形在黑板画出、交流,引导学生思考有无其它情况,共有多少种情况,培养学生正确、科学的思考方法) 二、三角形三边的关系 1、活动:用长度分别为4cm 、5cm 、6cm 、10cm 的四根木棒,用其中三根首尾相连搭三角形,你能搭成几个三角形?(先让学生任意搭,并把产生能搭与不能搭情况写在黑板,让学生讨论:还有 其它情况吗,为什么?从而培养学生正确的分类思想。在讨论了所有情况的基础上,引出“为什么四种情况中,只有其中两种能搭而另两种不能搭,你有何发现?”这一问题。让学生观察、思考、讨论、交流。最终可得: “三根中的较短两根之和大于最长一根就能搭成三角形”这一结论。 2、判断下列每组数分别是三根木棒的长度,用它们首尾相连能搭成三角形吗,为什么? ⑴、3、4、5 ⑵、5、5、9 ⑶、8、7、15 ⑷、6、13、9 3、你的想法对吗? ⑴、小方有两根长度分别为5cm 、8cm 的游戏棒,他想再找一根,使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形。小方想到了下列长度的游戏棒:2cm 、 4cm 、 8cm 、13cm ,他的想法对吗? ⑵、你能帮小方再想出一些与上面长度不同的第三根游戏棒吗?(长度为正整数) ⑶、问题:如果把上面“长度为正整数”这一条件拿掉,则第三条应在怎样的范围?(让学生思考,讨论,交流)最终可得:3㎝<第三边<13㎝,通过几何画板的演示可以验证这一正确结论。 4、想一想:如果已知两边,则构成三角形的第三边的条件是什么? (学生通过对上题的探索,不难得出:“两边之差小于第三边”;“两边之和大于第三边”;及“两边之差<第三边<两边之和”这三个重要结论。 5、你能行吗? 一个等腰三角形的两边分别为2.5和5,求这个三角形的周长 解:⑴.若2.5为腰,则2.5+2.5=5 出现了两边这和等于第三边,所以不能构成三角形。 ⑵.若5为腰,则2.5+5=7.5>5 ,出现了两边这和大于第三边,所以能构成三角形。所以三角形的周长为: 2.5+5+5=12.5 A B C D E F G A C B
第十一章三角形全章教学设计
三角形的边
检测练习一、如图,在三角形ABC中, (1)AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC (2)假设一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C, 有路线。路线最近,根据是:, 于是有:(得出的结 论)。 (3)下列下列长度的三条线段能否构成三角形,为什么? ①3、4、8 ②5、6、11 ③5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本( P64例题,时间:5分钟) 要求:(1)、注意例题的格式和步骤,思考(2)中为什么要分情况讨论。 (2)、对这例题的解法你还有哪些不理解的? (3)、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习二 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长; ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.(要有完整的过程啊!) 解: (三)在研读的过程中,你认为有哪些不懂的问题? 四、归纳小结 (一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题? 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 (1)等边三角形是等腰三角形 (2)三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (3)三角形的两边之差大于第三边 (4)三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 其中正确的是() A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、一个不等边三角形有两边分别是 3、5另一边可能是() A、1 B、2 C、3 D、4 3、下列长度的各边能组成三角形的是() A、3cm、12cm、8cm B、6cm、8cm、15cm 、3cm、5cm D、6.3cm、6.3cm、12cm 【B】组 4、已知等腰三角形的一边长等于4,另一边长等于9,求这个三角形的周长。 5、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是多少? 【C】组(共小1-2题) 6、已知三角形的一边长为5cm,另一边长为3cm.则第三边的长取值范围是。 小方有两根长度分别为5cm、8cm的游戏棒,他想再找一根,使这三根游戏棒首尾相连能搭成一个三角形. (1)你能帮小方想出第三根游戏棒的长度吗?(长度为正整数) (2)想一想:如果已知两边,则构成三角形的第三边的条件是什么?
第七章 三角形
第七章三角形 测试1三角形的边 学习要求 1.理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法. 2.掌握三角形三边关系的一个重要性质. (一)课堂学习检测 1、填空题: (1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做 ______;相邻两边的公共端点叫做______,相邻两边所组成的角叫做______,简称______. (2)如图所示,顶点是A、B、C的三角形,记作______,读作______.其中,顶点A所 对的边______还可用______表示;顶点B所对的边______还可用______表示;顶点C 所对的边______还可用______表示. (3)由“连接两点的线中,线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ______________________________.由它还可推出:三角形两边的差____________. (4)对于△ABC,若a≥b,则a+b______c同时a-b______c;又可写成______<c< ______. (5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm,则第三边x的长度的取值范围是 ____________,其中x可以取的整数值为____________. (二)综合运用诊断 2.已知:如图,试回答下列问题: (1)图中有______个三角形,它们分别是______________________________________. (2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________. (3)线段CE所在的三角形是______,CE边所对的角是________________________. (4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______.3.选择题: (1)下列各组线段能组成一个三角形的是( ). (A)3cm,3cm,6cm (B)2cm,3cm,6cm (C)5cm,8cm,12cm (D)4cm,7cm,11cm (2)现有两根木条,它们的长分别为50cm,35cm,如果要钉一个三角形木架,那么下列 四根木条中应选取( ). (A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条 (C)1m长的木条(D)0.5m长的木条
解三角形全章教案(整理)
数学5 第一章 解三角形 第1课时 课题: §1.1.1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? B C Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的 定 义 , 有 sin a A =, sin b B =,又s i n 1c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
北师大版初中数学八年级上册第七章 三角形内角和定理的证明复习、回顾与思考三角形内角和定理的证明 教案
三角形内角和定理的证明 教学目标: (一)过程与方法目标: 1、掌握三角形内角和定理的证明和简单的应用,初步学会作辅助线的证明基本方法,培养学生观察、猜想和推理论证能力。 2、对比过去折纸、撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用。 3、通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。 4、引导学生应用变化的观点认识数学。 (二)情感、态度、价值观目标: 通过一题多证、一题多变、激发学生勇于探索合作交流的精神,体验成功的乐趣,引导学生的个性发展。感悟逻辑推理的价值。 教学重难点: 教学重点:探索证明三角形内角和定理的不同方法,利用三角形内角和定理进行简单的计算和证明,体会数形结合思想。 教学难点:应用运动的观点变化认识数学,辅助线添加的必要性和具体方法,从拼图过程中发现并正确引导引入辅助线是本节课的关键。教学方法:引导发现法、尝试探究法。 引入本节课内容 三角形的内角和定理是从数量关系上来揭示三角形内角之间的关系的,这个定理是任意三角形的一个重要性质,是计算角的度数的方法之一,三角形内角和定理的内容,学生在小学阶段、七年级通过拼、
折、画等方法观察、实验得出了三角形的内角和等于180度,进入八年级学生可以通过添加辅助线来解决数学问题,用辅助线将三角形的三个角巧妙的转化为一个平角或两平行线间的同旁内角,两个直角,为定理的证明提供了线索。我们先观察如下的实验: 当点A在移动时,啊 ∠A、∠B、∠C 的大小会发生怎样的变化? 用橡皮筋构成△ABC,其中以顶点B、C为定点,点A为动点,放松橡皮筋后,点A自动收缩于BC上,请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形:△A1BC、△A2BC、△A3BC…… [结论]当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角∠B和∠C 越来越接近于0° 当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°,而AB与AC也逐渐趋向平行,这时,∠B、∠C逐渐接近为互补的同旁内角.即∠B+∠C→180°. 通过观察实验:请同学们思考一下,三角形的内角和可能是多少度呢?取一张三角形纸片,把它的三个角剪开,拼在一起,看看得到什么?
高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理
课题: §1.1.1正弦定理 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =, C 同理可得 sin sin c b C B =, b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b =。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1.在?ABC 中,已知045A =,075B =,40a =cm ,解三角形。 例2.在?ABC 中,已知20=a cm ,202b =cm ,045A =,解三角形。
第七章三角形导学案全章[人教版初一七年级]
7.1.1 三角形的边 学习目标 1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点,能用符号语言表示三角形. 2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系. 3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题. 4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣. 重点、难点 重点: 1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形. 2.能从图中识别三角形. 3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系. 难点: 1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形. 2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 教学过程 一、学生活动: (1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中. (3)观察发现,以上的图,哪些是三角形? (4)描述三角形的定义: “不在___________上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”. (1) C B A (2) C B A (3) E D C B A (4) E D B A (5) D C B A
二、读一读 指导学生阅读课本第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题: (1)什么叫三角形? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)三角形ABC 用符号表示________. (4)三角形ABC 的边AB 、AC 和BC 可用小写字母分别表示为________. 三、做一做 新 课标 一网xkb https://www.360docs.net/doc/129221233.html, 画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗? 同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题: (1)小虫从B 出发沿三角形的边爬到C 有如下几条路线. a.从B→C b.从B→A→C (2)从B 沿边BC 到C 的路线长为BC 的长. 从B 沿边BA 到A,从A 沿边C 到C 的路线长为BA+AC. 经过测量可以说BA+AC______BC,可以说这两条路线的长是不一样的. 四、议一议 1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论? 三角形的任意两边之和________第三边;任意两边之差_______第三边. 五、想一想 三角形按边分可以,分成几类?按角分呢? (1)三角形按边分类如下: __________ 三角形 等腰三角形 ______________ _____________ ? ??
《第七章三角形》全章知识点归纳及典型题目练习(答案)
第七章 三角形 1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 _____.组成三角形的线段叫做______,相邻两边的 公共端点叫做_____________,相邻两边所组成的角叫做 ___________,简称___________.如图 以A 、B 、C 为顶点的三 角形ABC ,可以记作_______,读作_____________. △ABC 的三边,有时也用_____________表示,顶点A 所对的边BC 用____表示,顶点B 所对的边CA 用____表示,顶点C 所对的边AB 用____表示. 2. 三角形的分类 三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 _____. 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 _______. 3. 在等腰三角形中,相等的两边都叫做___,另一边叫做 __,两腰的夹角叫做___,腰和底的夹角叫做___ _. 如右图,等腰三角形ABC 中,AB =AC ,那么腰是___ 底是____,顶角是____,底角是_____. 4. 三角形的三边关系:_________________________________________. 5. 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线,垂足为D ,所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴,AD 是△ABC 的高,则AD ⊥_____. 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ,所得线段AD 叫做△ABC 的边BC ?? ??? ??? ?? ??
上的_____ .如图⑵,AD是△ABC的中线,则BD=______. ∠BAC的平分线AD,交∠BAC的对边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的___________.如图⑶,AD是△ABC的角平分线,则∠BAD=∠_______. 6.三角形是具有__________的图形,而四边形没有__________ . 7.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于_______. 8.三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.三角形的一个外角大 于与它不相邻的_________________ . 9.多边形的内角和公式:n边形的内角和等于________________.多边形的外角和等于 _______. 10.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件,是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于_______.(限定镶嵌的正多边形的边长相等,顶点共用)如果只用一种正多边形镶嵌,符合“平面镶嵌”的必备条件的正多边形是 ____________________________________.如果用两种正多边形镶嵌,哪些组合可以用来作平面镶嵌:_____________________________________________________________ ______________________________________________________.
中考数学 几何复习 第七章 圆 第18课时 三角形的内切圆教案
第七章:圆 第17课时:三角形的内切圆 教学目标: 1、使学生学会作三角形的内切圆. 2、理解三角形内切圆的有关概念. 3、掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征. 4、会关于内心的一些角度的计算. 教学重点: 掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念.同三角形的外接圆一样,务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法. 教学难点: 画钝角三角形的内切圆,学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形. 教学过程: 一、新课引入: 我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念,现在我们用同样的思想方法来研究三角形的内切圆的画法及有关概念. 二、新课讲解: 在一块三角形的纸片上,怎样才能剪下一个面积最大的圆呢?实际上它就是作图问题: 例1 作圆,使它和已知三角形的各边都相切. 已知:△ABC. 求作:和△ABC的三边都相切的圆.
让学生展开讨论,教师指导学生发现,作圆的关键是确定圆心,因为所求圆与△ABC的三边都相切,所以圆心到三边的距离相等,显然这个点既要在∠B的平分线上,又要在∠C的平分线上.那它就应该是两条角平分线的交点,而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径.学生动手画,教师巡视.当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时,教师可打开计算机或幻灯机给同学们作演示,演示的过程一定要分步骤进行.然后学生按左右分别画直角三角形和钝角三角形的内切圆.这时学生在画钝角三角形的内切圆时,可能出现与边相交或相离的情形,这很正常,教师要帮助学生加以纠正,并最终指导学生完成下列问题: l.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形: 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.多边形的内切圆、圆的外切多边形: 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形. 3.内心是什么的交点? 内心是三角形三个角的平分线的交点. 4.内心有什么数量特征?
解三角形(复习课)教学设计
解三角形(专题课)教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》,而在本章中,学生应该在已有的知识基础上,通过对任意三角形的边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续,通过本章内容的学习,学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形,使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点,如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数,诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用,尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题,可以培养学生的数学应用意识,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能:引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式,会对正余弦定理会进行简单的变形;引导学生通过观察,推导,比较等出一些结论,如射影定理,三角形边角之间的关系;会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法:引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识,观察能力,总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观:面向全体学生,创造平等的教学氛围,进行高效课堂教学,激情教育,通过学生之间,师生之间的交流与讨论、合作与评价,调动学生的主动性和积极性,让学生体验学习数学的的乐趣,感受成功的喜悦,增强学生学好数学的信心,激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点:正弦定理、余弦定理的内容及基本应用;正余弦定理的变形应用;用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点,为更好有效地突出重点,攻破难点,以学生的发展为本,遵照学生的认知规律,本节主要以教师为主导,学生为主体,交流讨论,互助学习为主线的指导思想,采用“6+1”高效课堂教学模式,在教师的启发引导下,学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提,以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本
人教版第七章 三角形单元目标测试
国家基础教育课程改革 单元目标调研测试 七年级数学(下)第七章三角形(一) 知识要点 1.三角形的定义及三边的关系。 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形。记作△ABC。A、B、C为三角形的三个顶点,AB、BC、CA是三角形的三条边,∠A、∠B、∠C是相邻两边组成的角,叫三角形内角。(三角形的角)、 三角形三边的关系是:三角形两边之和大于第三边。 2.三角形的高、中线与角平分线。 如图 过A向对边BC所在直线作垂线,垂足为D,所得线段AD叫△ABC的边BC上的高。同样可以作出另外两边AB和AC上的高。 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC中点M,所得线段AM叫△ABC的边BC上的中线。 画∠A的平分线AE,交∠A所对的边BC于E点,所得线段AE叫△ABC的角平分线。 以上三种线段(高、中线、角平分线)就是与三角形有关的线段,分别有三条。(高可能在三角形外部) 3.三角形的稳定性。 三角形的特征具有稳定性,形状不会改变,而四边形就不具有稳定性。 一、选择题 1.D是△ABC的边BC上一点,且△ABC面积和△ACD的面积相等,那么AD是△ABC的() A.角平分线B.高C.中线D.不能确定 2.如果一个三角形两边上的高的交点在三角形内部,那么这个三角形是() A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都可能 3.如图,在△ABC中,D是AB上一点,连接CD,E是AC上一点,连接BE,交点为F,图中三角形个数为() A.5 B.6 C.7 D.8 4.如图,正确画出△ABC的高的是()
5.在三角形的角平分线、中线和高中,下列叙术正确的是( ) A .每条都是线段 B .角平分线是射线,中线为线段,高是直线 C .高是直线,其余是线段 D .角平分线是射线,其余是线段 6.下列三条线段中,能围成一个三角形的是( ) A .2cm ,3cm ,5cm B .5cm ,7cm ,1cm C .5cm ,2cm ,2cm D .3cm ,5cm ,4cm 7.有长为2cm ,3cm ,4cm , 5cm 的四根木棒,选其中的3根作为三角形的边,可以 围成的不同三角形有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8.一个三角形的两边分别是4和9,而第三边的长为奇数,则第三边的长是( ) A .3或5或7 B .9或11或13 C .5或7或9 D .7或9或11 9.已知等腰三角形的两边长是5厘米和11厘米,则它的周长是( ) A .11厘米 B .21厘米 C .27厘米 D .21厘米或27厘米 10.下列各题中的三条线段不能组成三角形的是( ) A .a+2,a+3,a+5(a 是正数) B .三条线段之比为2:3:5 C .5厘米,3厘米,4厘米 D .1厘米,16厘米,16厘米 二、填空题 1.如图,∠B 既是△ABC 的内角,又是△ 和△ 的内角,AD 既是 △ABD 中∠B 的对边,又是△ 中∠ 的对边,AD 还可看作是△ 中∠ 的对边。 2.长度分别为3,6,x 的三条线段能组成三角形,则x 的范围应是 。 3.等腰三角形的两条边工为4和9,则这个三角形的周长为 。 4.用小木棒按下图的方式搭塔式三角形。 若继续搭下去,请完成下表 5.若三角形的三条边长均为整数且不全相等,它的周长等于10,那么这样的三角形共 有 个。 6.在栅栏门上斜着钉一条(或几条)木板构成一些三角形就可以使栅栏门不变形,这 是根据 。 7.CF 为△ABC 的角平分线,BE ⊥AC 于E ,BD=DC ,D 在BC 上,则∠ACF= , BE 为 边上的高,∠CEB=∠ =90°, = 。 8.周长为24,三边长为三个连续偶数的三角形三边长为 。 BD BC 1 2
必修5第一章《解三角形》全章教案
数学5 第一章 解三角形 课题: §1.1.1 正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得 sin sin c b C B = , b a
七年级数学第七章三角形复习训练题
A B E C D 七年级数学第七章三角形复习训练题 一、填空题 1. 锐角三角形的三条高都在 ,钝角三角形有 条高在三角形外,直角三角形有两条高恰是它的 。 2. 若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ,则它的周长是 。 3. 要使六边形木架不变形,至少要再钉上 根木条。 4. 在△ABC 中,若∠A=∠C=13 ∠B ,则∠A= ,∠B= ,这个三角形是 。 5、三角形有两条边的长度分别是5和7,则第三条边a 的取值范围是___________。 6、△ABC 中,∠A =50°,∠B =60°,则∠C = 。 7、将一个三角形截去一个角后,所形成的一个新的多边形的内角和___________。 8、等腰三角形的底边长为10cm,一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部 分的周长之差为2cm,则这个等腰三角形的腰长为_____________________. 9、古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…,叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 . 10、在 ABC 中,如果∠B -∠A -∠C=50°,∠B=____________。 11、一个多边形的内角和是1980°,则它的边数是____,共有条对角线____,它的外角和是____。 12、观察下图,我们可以发现:图⑴中有1个正方形;图⑵中有5个正方形,图⑶中共有14个正方形,按照这种规律继续下去,图⑹中共有_______个正方形。 二、选择题 1、小芳画一个有两边长分别为5和6的等腰三角形,则它的周长是( ) A 、16 B 、17 C 、11 D 、16或17 2、如图,已知直线AB ∥CD ,当点E 直线AB 与CD 之间时,有∠BED = ∠ABE +∠CDE 成立;而当点E 在直线AB 与CD 之外时,下列关系式成立的是 ( ) A ∠BED =∠ABE +∠CDE 或∠BED =∠ABE -∠CDE B ∠BED =∠ABE -∠CDE C ∠BE D =∠CD E -∠ABE 或∠BED =∠ABE -∠CDE D ∠BED =∠CD E -∠ABE 3、 以长为3cm ,5cm ,7cm ,10cm 的四根木棍中的三根木棍为边,可以构成三角形的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4、已知一多边形的每一个内角都等于150°,则这个多边形是正( ) (A) 十二边形 (B) 十边形 (C) 八边形 (D) 六边形 D A E P
第七章三角形试卷A1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 第七章三角形 A1卷?基础知识点点通 班级 姓名 得分 、选择题(3分X 8=24分) 一个三角形的三个内角中 A 、至少有一个钝角 C 、至多有一个锐角 B 、至少有一个直角 D 、 至少有两个锐角 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A 、 3, 4, 8 B 、 5, 6, 11 关于三角形的边的叙述正确的是 三边互不相等 B 、 至少有两边相等 任意两边之和一定大于第三边 A 、 C 、 图中有三角形的个数为 A 、 4个 B 、 6个 A 第(4 ) 题 C 、 1, 2, 3 ) 6, 10 ) 最多有两边相等 () D 、 10 个 如图在△ ABC 中,/ ACB=90 0 , CD 是边AB 上的高。那么图中与/ A 相等的角 是 A 、/ B B 、 / ACD F 列图形中具有稳定性有 (3) ( 5个 4个 D 、 2个 B 、 3个 一个多边形的内角和等于它的外角和,这个多边形是 A 、三角形 B 、四边形 一个多边形内角和是 1080°, A 、 6 B 、 7 一、填空题(4分X 9=36分) 9. _______________ 一个三角形有 ________________ 条边, 个内角, 个顶点, 10. 如图,图中有 —个三角形,把它们用符号分别表示为 — 11?长为11, 8, 6, 4的四根木条,选其中三根组成三角形有 分别是— 12.如图,在△ ABC 中,AE 是中线,AD 是角平分线,AF 是高,则根据图形填空: 1 1 C 、 7. C 、五边形 D 、 则这个多边形的边数为 六边形 个外角 种选法,它们 ⑴BE= ⑵/ BAD=
第11章三角形全章教案资料
第十一章三角形 教材内容 本章主要内容有三角形的有关线段、角,多边形及内角和,镶嵌等。 三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段,与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角形的稳定性,在知道三角形的内角和等于1800的基础上,进行推理论证,从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念,介绍了多边形的有关概念,利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识,既是学习特殊三角形的基础,也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题,体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用. 教学目标 〔知识与技能〕 1、理解三角形及有关概念,会画任意三角形的高、中线、角平分线; 2、了解三角形的稳定性,理解三角形两边的和大于第三边,会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形; 3、会证明三角形内角和等于1800,了解三角形外角的性质。 4、了解多边形的有关概念,会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。 5、理解平面镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用它们进行简单的平面镶嵌设计。 〔过程与方法〕 1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯; 2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步培说理和进行简单推理的能力。 〔情感、态度与价值观〕 1、体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心; 2、会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识; 3、使学生进一步形成数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点。 重点难点 三角形三边关系、内角和,多边形的外角和与内角和公式,镶嵌是重点;三角形内角和等于1800的证明,根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。 课时分配 11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时 11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时 11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时 本章小结………………………………………………………… 2课时
三角形全章测试题(含答案)
七年级三角形全章测试题 一、选择题(每题3分,共计24分) 1.如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n 的值是( ).A .3 B .4 C .5 D .6 2.下面四个图形中,线段BE 是⊿ABC 的高的图是( ) 3.已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( ) A .13cm B .6cm C .5cm D .4cm 4.三角形一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .属于哪一类不能确定 5.如图,在直角三角形ABC 中,AC ≠AB ,AD 是斜边上的高, DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,垂足分别为E 、F ,则图中与∠C (∠C 除外)相等的角的个数是( ) A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6.如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O , 则∠AOC+∠DOB=( )A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 7.以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 8.给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点,这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点,且这点在三角形内。正确的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每题3分,共计24分) 9.如图,一面小红旗其中∠A=60°, ∠B=30°,则∠BCD= 。 10.为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________. 11.把一副常用的三角板如图所示拼在一起,那么图中∠ADE 是 度。 12.如图,∠1=_____. 第5题图 第6题图 C D B A 第9题图 第10题图 A B C D E 第11题图 第12题图
(完整版)解三角形教案(精简版)
高一数学必修5第一章解三角形教学设计 ●教学过程 [理解定理] 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b = 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例题 .在ABC ?中,已知3=a , 2=b , B=450.求A 、C 和c. 解:004590B =++; 或sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =(0)k > (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。