第七章 三角形

第七章三角形

测试1三角形的边

学习要求

1．理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法．

2．掌握三角形三边关系的一个重要性质．

(一)课堂学习检测

1、填空题：

(1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做

______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______．

(2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所

对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示．

(3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质

______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________．

(4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜

______．

(5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是

____________，其中x可以取的整数值为____________．

(二)综合运用诊断

2．已知：如图，试回答下列问题：

(1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________.

(2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________.

(3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________．

(4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题：

(1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )．

(A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm

(C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm

(2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列

四根木条中应选取( )．

(A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条

(C)1m长的木条(D)0.5m长的木条

(3)从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的

个数是( )．

(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个

(4)若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．

(A)6＜l＜15 (B)6＜l＜16

(C)11＜l＜13 (D)10＜l＜16

4.(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．

(3)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．

(4)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

(三)拓广、探究、思考

5．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．

(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．

(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．

6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 边上一点．

(1)通过度量AB 、CD 、DB 的长度，确定AB 与)(2

1

DB CD 的大小关系.

(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的．

7．已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC ．

8．如图，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC ．

测试2 三角形的高、中线与角平分线

学习要求

1．理解三角形的高、中线和角平分线的概念，学会它们的画法． 2．对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．

(一)课堂学习检测

1．填空题：

(1)从三角形一个顶点向它的对边画______，以______和______为端点的线段叫做三角形这边上的高．

如图，若CD 是△ABC 中AB 边上的高，则∠ADC ______∠BDC ＝______，C 点到对边AB 的距离是______的长．

(2)连结三角形的一个顶点和它______的______叫做三角形这边上的中线． 如右图，若BE 是△ABC 中AC 边上的中线，则AE ______.______2

1

EC

(3)三角形一个角的______与这个角的对边相交，以这个角的______和______为端点的线段叫做三角形的角平分线．

一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是________________________________ ______________________________________． 如图，若AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ______∠CAD ＝

2

1

______或∠BAC ＝2______＝2______．

2．已知：△GEF ，分别画出此三角形的高GH ，中线EM ，角平分线FN ．

(二)综合运用诊断

3．(1)分别画出△ABC 的三条高AD 、BE 、CF ．

(∠A 为锐角) (∠A 为直角) (∠A 为钝角)

(2)这三条高AD 、BE 、CF 所在的直线有怎样的位置关系?

4．(1)分别画出△ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ．

(2)这三条中线AD、BE、CF有怎样的位置关系?

(3)设中线AD与BE相交于M点，分别量一量线段BM和ME、线段AM和MD的长，

从中你能发现什么结论?

5．(1)分别画出△ABC的三条角平分线AD、BE、CF.

(2)这三条角平分线AD、BE、CF有怎样的位置关系?

(3)设△ABC的角平分线BE、CF交于N点，请量一量点N到△ABC三边的距离，从中

你能发现什么结论?

6．已知：△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，如果D点把三角形ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形各边的长．

7．(1)如果将一个三角形的三边的长确定，那么这个三角形的形状和大小就不会改变了，三角形的这个性质叫做________________________.

(2)四边形是否具有这种性质?

(三)拓广、探究、思考

8．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)

(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形．

(2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．

9．不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．

测试3 与三角形有关的角

学习要求

1．理解三角形的内角、外角的概念．

2．掌握三角形的内角和及外角的性质，并能运用这些性质进行简单的推理和计算．

(一)课堂学习检测

1．填空：

(1)三角形的内角和性质是____________________________________________________.

(2)三角形的内角和性质是利用平行线的______与______的定义，通过推理得到的．它的

推理过程如下：

已知：△ABC，

求证：∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝______．

证明：过A点作______∥______，

则∠EAB＝______，∠F AC＝______．

(___________，___________)

∵∠EAF是平角，

∴∠EAB＋______＋______＝180°．( )

∴∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝∠EAB＋∠______＋∠______．( )

即∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝______．

2．填空：

(1)三角形的一边与_________________________________________叫做三角形的外角．

因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为______．

(2)利用“三角形内角和”性质，可以得到三角形的外角性质?

如图，∵∠ACD是△ABC的外角，

∴∠ACD与∠ACB互为______，

即∠ACD＝180°－∠ACB．①

又∵∠A＋∠B＋∠ACB＝______，

∴∠A＋∠B＝______．②

由①、②，得∠ACD＝______＋______．

∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B

由上述(2)的说理，可以得到三角形外角的性质如下：

三角形的一个外角等于____________________________________________________.

三角形的一个外角大于____________________________________________________. 3．(1)已知：如图，∠1、∠2、∠3分别是△ABC的外角，

求：∠1＋∠2＋∠3．

(2)结论：三角形的外角和等于______．

4．已知：如图，BE与CF相交于A点，试确定∠B＋∠C与∠E＋∠F之间的大小关系，并说明你的理由．

5．已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．

6．依据题设，写出结论，想一想，为什么?

已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，则：

(1)∠A＋∠B＝______．即∠A与∠B互为______；

(2)若作CD⊥AB于点D，可得∠BCD＝∠______，∠ACD＝∠______．

(二)综合运用诊断

7．填空：

(1)△ABC中，若∠A＋∠C＝2∠B，则∠B＝______．

(2)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠A＝______，∠B＝______，∠C＝

______．

(3)△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为______．

(4)如图，直线a∥b，则∠A＝______度．

(5)已知：如图，DE⊥AB，∠A＝25°，∠D＝45°，则∠ACB＝______．

(6)已知：如图，∠DAC＝∠B，∠ADC＝115°，则∠BAC＝______．

(7)已知：如图，△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，则∠A＝______

(8)在△ABC中，若∠B－∠A＝15°，∠C－∠B＝60°，则∠A＝______，∠B＝______，

∠C＝______．

8．已知：如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东60°，在B处测得灯塔C位于北偏东25°，求∠ACB．

9．已知：如图，在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．

(1)若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．

(2)试问∠DAE与∠C－∠B有怎样的数量关系?说明理由．

(三)拓广、探究、思考

10．已知：如图，O是△ABC内一点，且OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．

(1)若∠A＝46°，求∠BOC；

(2)若∠A＝n°，求∠BOC；

(3)若∠BOC＝148°，利用第(2)题的结论求∠A．

11．已知：如图，O是△ABC的内角∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点．

(1)若∠A＝46°，求∠BOC；

(2)若∠A＝n°，用n的代数式表示∠BOC的度数．

12．类比第10、11题，若O是△ABC外一点，OB、OC分别平分△ABC的外角∠CBE、∠BCF，若∠A＝n°，画出图形并用n的代数表示∠BOC．

13．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB＝3∶2

求∠CAB的度数．

14．如图，已知线段AD、BC相交于点Q，DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度数．

测试4多边形及其内角和

学习要求

1．理解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和及其外角和的计算公式．

2．理解正多边形的概念．

(一)课堂学习检测

1.填空：

(1)平面内，由____________________________________________________________叫做

多边形．组成多边形的线段叫做______．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形

叫做______．多边形____________叫做它的内角，

多边形的边与它的邻边的______组成的角叫做多边形的外角．

连结多边形________________的线段叫做多边形的对角线．

(2)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在______，那么这个多边形称

作凸多边形．

(3)各个角______，各条边______的______叫做正多边形．

2．(1)n边形的内角和等于____________．这是因为，从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将此n边形分为______个三角形．而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°×______．

(2)请按下面给出的思路，进行推理填空．

如图，在n边形A1A2A3…A n－1A n内任取一点O，依次连结______、______、______、……、______、______．则它们将此n边形分为______个三角形，而这些三角形的内角和的总和，减去以O为顶点的一个周角就是此多边形的内角和．所以，n边形的内角和＝180°×______－( )＝( )×180°．

3．任何一个凸多边形的外角和等于______．它与该多边形的______无关．

4．正n边形的每一个内角等于______，每一个外角等于______．

5．若一个正多边形的内角和2340°，则边数为______．它的外角等于______．

6．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则它的内角和等于______．

7．多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形的边数为______，对角线条数为______．8．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，其中一个角为65°，则另一个角为______度．

(二)综合运用诊断

9．选择题：

(1)如果一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形是( ).

(A)四边形(B)五边形(C)六边形(D)七边形

(2)一个多边形的边数增加，它的内角和也随着增加，而它的外角和( )．

(A)随着增加(B)随着减少(C)保持不变(D)无法确定

(3)若一个多边形从一个顶点，只可以引三条对角线，则它是( )边形．

(A)五(B)六(C)七(D)八

(4)如果一个多边形的边数增加1，那么它的内角和增加( )．

(A)0°(B)90°(C)180°(D)360°

(5)如果一个四边形四个内角度数之比是2∶2∶3∶5，那么这四个内角中( )．

(A)只有一个直角(B)只有一个锐角

(C)有两个直角(D)有两个钝角

(6)在一个四边形中，如果有两个内角是直角，那么另外两个内角( )．

(A)都是钝角(B)都是锐角

(C)一个是锐角，一个是直角(D)互为补角

10．已知：如图四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A＝124°，∠D＝100°．求∠BOF的度数．

(三)拓广、探究、思考

11．(1)已知：如图1，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6___________．

图1

(2)已知：如图2，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8____________．

图2

12．如图，在图(1)中，猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝______度．请说明你猜想的理由．

图1

如果把图1成为2环三角形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F；图2称为2环四边形，它的内角和为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H；

图2

则2环四边形的内角和为_____________________________________________度；

2环五边形的内角和为________________________________________________度；

2环n边形的内角和为________________________________________________度．13．一张长方形的桌面，减去一个角后，求剩下的部分的多边形的内角和．

14．一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数．

15．如果一个凸多边形除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数．

16．小华从点A出发向前走10米，向右转36°，然后继续向前走10米，再向右转36°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗?若能，当他走回点A时共走了多少米?

若不能，写出理由．

测试5镶嵌

学习要求

通过镶嵌这一课题的学习，体验角的知识(特别是多边形内角和)在生活、生产实际中的应用，在解决问题的探究实践活动过程中，培养自己学数学、用数学的意识，提高分析问题和解决问题的能力．

(一)课堂学习检测

1．我们常常见到像如下图那样图案的地板，它们分别是用正方形、正三角形的材料铺成的．

为什么用这样形状的材料能铺成平整(不互相重叠)，又无空隙的地板呢?

2．工人师傅把一批形状、大小完全相同，但不规则的四边形边脚余料用来铺地板，按照下面给出的拼接四边形木块的方法，就可以不留下任何空隙铺成一大片．

(1)请你说出工人师傅之所以能这样拼接的道理．

(2)如果工人师傅手里还有一批形状、大小完全相同，但不规则的三角形边脚余料，那么工人师傅能否用它们拼成平整且无空隙的地板呢?如果可以，请说出你的理由，并将你剪好的一些形状、大小完全相同、但不规则的三角形纸片，贴在下面的空白处(不互相重叠且无空隙)，镶嵌成地板模型．

(二)综合运用诊断

3．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360°)时，就拼成一个平面图形．

(1)请根据下列图形，填写表中空格：

(2)如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形?

(3)不能用正五边形形状的材料铺满地面的理由是什么?

正五边形的地砖会留有不少缝隙

(4)某家庭准备用正三角形与正六边形两种瓷砖结合在一起镶嵌地面，由你帮助设计镶嵌图案，你能设计几种不同的镶嵌方案?

(5)正三角形和正方形组合呢?(画图说明)

全章测试

一、选择题：

1．如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB ∥DE ，测得∠B ＝140°，∠D ＝120°，则∠C 的度数为( )．

(A)120° (B)100° (C)140° (D)90°

2．如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AB ∥DE ，∠B ＝78°，∠C ＝60°，则∠EDC 的度数为( )．

(A)42° (B)60° (C)78° (D)80°

3．已知△ABC 的一个内角是40°，∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是( )． (A)140° (B)80°或100° (C)100°或140° (D)80°或140° 4．上午9时，一艘船从A 处出发以20海里／时的速度向正北航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且,2

3

BAC ACB ∠=

∠则灯塔C 应在 B 处的( )． (A)北偏西68° (B)南偏西85° (C)北偏西85° (D)南偏西68°

5．在△ABC 中，若∠A ∶∠B ＝5∶7，∠C －∠A ＝10°，则∠C 等于( )． (A)75° (B)60° (C)50° (D)40°

6．在△ABC 中，若AB ＝3，BC ＝1－2x ，CA ＝8，则x 的取值范围是( )． (A)0＜x ＜2 (B)－5＜x ＜－2 (C)－2＜x ＜5 (D)x ＜－5或x ＞2

7．在△ABC 中，若AB ＝AC ，其周长为12，则AB 的取值范围是( )． (A)AB ＞6 (B)AB ＜3 (C)4＜AB ＜7 (D)3＜AB ＜6

8．若一个多边形的内角和是其外角和的二倍，则它的边数是( )． (A)四 (B)五 (C)六 (D)七 9．下列命题中，结论正确的是( )．

①外角和大于内角和的多边形只有三角形．

②一个三角形的内角中，至少有一个不小于60°． ③三角形的一个外角大于它的任何一个内角．

④多边形的边数增加时，其内角和随着增加，外角和不变． (A)①②③④ (B)①②④

(C)①③④(D)①④

10．若一个正多边形的每个内角与它相邻的外角的差为100°，则这个正多边形的边数是( )

(A)七(B)八(C)九(D)十

11．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是( )．

12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律

是( )．

(A)∠A＝∠1＋∠2 (B)2∠A＝∠1＋∠2

(C)3∠A＝2∠1＋∠2 (D)3∠A＝2(∠1＋∠2)

二、填空题：

13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点E、F，EG是∠FED的平分线，交AB于点G．若∠QED＝40°，那么∠EGB等于______．

14．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形共有______条对角线．15．把“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是

______________________________________________________________________.

16．把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角 ＝______度．

17．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEF＝______.

18．下列各命题中：①对顶角一定相等；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；

③若∠A＝∠B，∠B＝∠C，则∠A＝∠C，④同角的补角相等；⑤若∠AOB＋∠BOC

＝180°；则∠AOB与∠BOC互为邻补角．其中错误的命题是______(填序号)

19．如图，长方形的长和宽分别为2cm和1cm，则图中由弧AB、弧CD和AC、BD围成的阴影部分的面积为_______.

20．一个广场面的一部分如图所示，地面的中央是一块正六边形的地砖，周围用正三角形和正方形的大理石地砖拼成．从里往外共12层(不包括中央的正六边形地砖)，

每一层的外界都围成一个多边形．若中央正六边形地砖的边长是0.5米，则第12

层的外边界所围成的多边形的周长是______米．

三、解答题：

21．已知：钝角△ABC．分别画出AC边上的高BD、BC边上的中线AE及△ABC中∠ACB的平分线CF．

22．已知：如图，AB∥DE，∠1＝∠2，AC平分∠BAD，求证：AD∥BC．

23．已知：在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，CD⊥AC交AB于D，∠BCD＝∠A，求∠BEA的度数．

24．已知：如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C－∠B＝20°，∠EOF－∠A＝70°，求∠C的度数．

25．三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题．

(1)把一个三角形分成面积相等的4块(至少给出两种方法)；

(2)在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图，现被两条中线分成4

块，则四边形的一块(阴影部分)恰好可放养几只羊?

四、探究题

26．已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G1、G2、G3，…、G n－1，试猜想：∠BG n－1C与∠A的关系．(其中n≥2的整数)

首先得到：当n＝2时，如图1，∠BG1C＝______，

当n＝3时，如图2，∠BG2C＝______，

…………

猜想∠BG n－1C＝______．

图1图2图n

参考答案

第七章 三角形

测试1

1．(1)不在同一直线上的，首尾顺次相接，三角形的边，三角形的顶点，三角形的内角，三

角形的角．

(2)△ABC ，三角形ABC ，BC ，a ；AC ，b ；AB ，c (3)三角形两边之和大于第三边，小于第三边． (4)＞，＜，a －b ，a ＋b

(5)1cm ＜x ＜9cm ，2cm 、3cm 、4cm 、5cm 、6cm 、7cm 、8cm ． 2．(1)六，△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ACD 、△ACE 、△ADE ． (2)△ABD 、△ACD 、△ADE ． (3)△ACE ，∠CAE ． (4)BC ：CD ：DE ．

3．(1)C ，(2)D ，(3)A ，(4)D

4．(1)6，6，6；(2)20cm ，22cm ；(3)12cm ，12cm ；(4)5cm ，5cm ，2cm ． 5．(1)3＜x ＜17；(2)2＜x ＜6；(3)10≤x ＜17；(4)4＜e ＜8； (5)3，3，4或4，4，2 6．(1))(2

1

DB CD AB +>

． (2)提示：对于△ADC ，∵AD ＋AC ＞DC ， ∴(AD ＋DB )＋AC ＞CD ＋DB ， 即AB ＋AC ＞CD ＋DB ．

又∵AB ＝AC ，∴2AB ＞CD ＋DB ． 从而AB ＞

2

1

(CD ＋DB )． 7．提示：延长BP 交AC 于D ．

∵在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ＝BP ＋PD ，① 在△DPC 中，DP ＋DC ＞PC ，② 由①、②，

∴AB ＋(AD ＋DC )＋DP ＞BP ＋PC ＋DP ． 即AB ＋AC ＞PB ＋PC ．

8．证明：延长BP 交AC 于D ，延长CE 交BD 于F ． 在△ABD 中，AB ＋AD ＞BD ． ① 在△FDC 中，FD ＋DC ＞FC ． ② 在△PEF 中，PF ＋FE ＞PE ． ③

①＋②＋③得AB ＋AD ＋FD ＋DC ＋PF ＋FE ＞BD ＋FC ＋PE ， 即：AB ＋AC ＋PF ＋FD ＋FE ＞BP ＋PF ＋FD ＋FE ＋EC ＋PE ，