高中数学常见思想方法总结
高中常见数学思想方法
方法一 函数与方程的思想方法
函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.
函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.
【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><.
（1）求公差d 的取值范围；
（2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由.
【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题.
【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ，
所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0，
13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0.
解得：2437
d -<<-. （2）解法一：（函数的思想）
n S ＝21115(1)(12)222
na n n d dn d n ++=+- ＝22
124124552222d d n d d ????????---- ? ?????????????
因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大.
由2437d -<<-得12465 6.52n d ??<--< ???，故正整数n ＝6时212452n d ????-- ????
???最小，所以6S 最大. 解法二：（方程的思想）
由0d <可知12313a a a a >>>>.
因此，若在112n ≤≤中存在自然数n ，使得0n a >，10n a +<，
则n S 就是1S ，2S ，，n S 中的最大值．
121300S S >??
d a d a d ?+>->???+??
【点评】 数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进行算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性.
【例1】 在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左右顶点为A,B ，右顶点为F ，设过点T （m t ,）的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x ，),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y
（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P
（2）设3
1,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 【解】 （1）由题意知)0,2(F ，)0,3(A ，设,(y x P 4)3()2(2222=---+-y x y x
化简整理得2
9=x . （2）把21=x ，312=
x 代人椭圆方程分别求出)35,2(M ，)920,31(N 直线)3(3
1:+=x y AM ①
直线)3(6
5:--=x y BN ② ①、②联立得107,
3T ?? ???
. （3）),9(m T ， 直线)3(12:+=x m y TA ，与椭圆联立得)80
40,80)80(3(222++--m m m M 直线)3(6:-=x m y TB ，与椭圆联立得)20
20,20)20(3(222+-+-m m m N 直线2222222224020203(20)8020:3(80)3(20)20208020
m m m MN y x m m m m m m +??-+++=- ?--++??--++, 化简得222220103(20)204020m y x m m m ??-+=-- ?+-+??
令0y =，解得1x =，即直线MN 过x 轴上定点(1,0).
【点评】 本题主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力.而且，本题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.
方法二 数形结合的思想方法
正确利用数形结合，应注意三个原则：
（1）等价性原则
数形信息的转换应该是等价的、充要的.要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.
（2）双向性原则
数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.
（3）简单性原则
有了解题思路，思考用几何方法，还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原则，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.
运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:
第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;
第二，以数助形：利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型(必要时建立坐标系)，突显问题的本质，另辟解题的捷径;
第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.
数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：
1.研究函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、值域与最值等)，可从函数图像的直观性得到鲜明的启示.
2.利用数轴与坐标系(包括直角坐标系、极坐标系)，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结.这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探索函数或方程的性质.
3.从统计图表、图像中，收集分析出“数”的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论.这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.
4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.
5.复平面与复数、向量的沟通.
6.利用类比法、换元法(如三角换元)、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问题的代数模型，开辟解题的新思路.
【例1】 （12年上海模拟）若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x -=，且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-，函数lg(1),11(),
00,01x x g x x x
x ->???=-
【答案】 9
【解】 由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求()()()h x f x g x =-的零点,可以转化为求()f x 与()g x 两函数图像的交点.则画出()f x 与()g x 的图像,由于()f x 在[1,1]x ∈-上为2()1f x x =-,且为周期函数,周期为2,而()g x 是分段函数,注意其图像共分为三部分,如图,可等共有9个交点,其中有一个易错点,即其中1个交点为(1,0)很容易被遗漏.
【点评】 要求()()()h x f x h x =-在区间[5,6]-内的零点的个数，可转化为求()f x 与()h x 交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数.本题体现了数形结合的思想,正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数.
【例2】 函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．
【解】 解法一：（以数助形） 由题意及图像，有?????<≤---≤<-=0
11101)(22
x x x x x f ， （1）当0 52; （2）当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－5 52, ∴ 原不等式的解集为[－1, － 552)∪(0, 5 52). 解法二：（数形互助） 由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2 x ，而方程f (x )= 2x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 5 52). 【点评】 本题以形看数（解式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ），最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短． 方法三 分类讨论的思想方法