工程力学：第16章 压杆稳定

IminI z 3.8910 8 m4
(4545 6)
等边角钢
图(b)
FPcr
2 Imin E (2l)2
20.389200 (20.5)2
76
.8kN
12.2.3 超过比例极限时压杆临界应力
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr
FPcr A
2.细长压杆的临界应力： cr
第12章 压杆稳定
§12–1 压杆稳定性的概念 §12–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §12–3 超过比例极限时压杆临界应力 §12-4 压杆的稳定校核及其合理截面
12.1 压杆稳定性的概念 构件的承载能力： ①强度
②刚度 ③稳定性
工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
②挠曲线近似微分方程：
y M FP y EI EI
y FP y y k 2 y 0 EI
其中:k 2
FP EI
③微分方程的解： ④确定积分常数：
yAsinxBcosx y(0)y(L)0
即:
A0B0 As ink LBc osk
L0
0
1
0
sinkL coskL
sinkL0
k
n
L
AD
F
Pcr
2EI
(0.5l)
2
l
C
B
4 一端固定另端自由
F Pcr
F
Pcr
2EI
(2l)2
FP
FPcr
2 EI min ( L)2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
讨论：
（1）相当长度 l 的物理意义
1 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当
长度 l 。
FPb 18.45 kN FPcr 1 kN
工程实例
拱合梁的失稳
压杆的稳定性试验
工程实例
工程实例
12.2 细长压杆临界力的欧拉公式 12.2.1 两端铰支压杆的临界力:
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 从挠曲线入手，求临界力。
FP FP
y
x M
FP x
FP ①弯矩：M ( x, y) FP y
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力FPce 欧拉公式
FPcr
2EI l2
FPcr
2EI (0.7l)2
FPcr
2EI (0.5l )2
FPcr
2EI (2l )2
长度系数μ =1 0.7 =0.5 =2
FPcr
2EI l2
=1
约束在不同方向对失稳的影响
例1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力
(0.7 L1 )2
y
③压杆的临界力 FPcr min(FPcry , FPcrz )
例3 求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
P
P
I
m
in
5010 12
3
10
12
4.1710
9
m
4
10 30
z
y
FPcr
(2I1mli)n2E
24.17200 (0.70.5)2
67
.14
kN
图(b)
L L
图(a)
FPcr A
2EI (L)2 A
2E (L /i)2
2E 2
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3.柔度： L ——杆的柔度（或长细比）
i
12.3 压杆的临界应力总图
12.3.1大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
图12–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
FPce
FPce
FPceFPceFra bibliotekFPce
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
12.2 压杆的失稳或屈曲 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
FP FPcr
FP FPcr
FP FPcr
稳
不
定
稳
平
定
衡
平
衡
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力
临界状态
稳
定 平
过
衡
对应的 压力
临界压力:
不 稳 度定 平 衡 Pcr
失稳与强度破坏的区别
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡:在平衡状态受扰动后无法回复到原状态
2. 稳定平衡:在平衡状态受扰动后物体将回复到原状态
3. 稳定性：构件在何在作用下保持其原有平衡状态（构形）的能力
4. 稳定性判据：构件丧失稳定性的条件 5. 失稳或屈曲：构件丧失稳定能力的现象 5. 临界荷载（屈曲荷载）：构件由稳定平衡状态转化为不稳 定平衡状态时荷载
2 l 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
1 若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。
2 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别 计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
FP EI
临界力 FPcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
FPcr
2 EI min
L2
FPcr
2 EI min
L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
12.2.2 其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
F
F
EIy M (x) Fy M0
M0
令:k 2 F
EI
x
Fx
y k 2 y k 2 M 0
M0
F
yccoskxdsinkx
L
M0 F
M0 F
边界条件为:
x0,yy0;xL,yy0
c
M F
,d
0 , kL 2n
并 kL n
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
FPcr
2 EI min ( L)2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
12.2.2 其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
1 两端绞支
2EI
F l Pcr
2
2 一端固定另端铰支
C为拐点
F Pcr
F
Pcr
2EI
(0.7l)
2
A
FP
l
C
B
3 两端固定
F Pcr
FP
C，D为拐点
所以，临界力为：
kL2
FPcr
4 2EI
L2
2EI
(L / 2)2
= 0.5
例2 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
解：①绕 ②绕
y z
L2
轴，两端铰支： =1.0， I y
轴，左端固定，右端铰支：
=0.7，
I
z
bh3 12
,
b3h , 12
b 2EI
FPcry L22
FPcry
2EI z