机械能专题

一、功

功是力的空间积累效应。它和位移相对应（也和时间相对应）。

? 按照定义求功。即：cos W FS θ=，其中S 是指对地的位移(功的数值与参照系的选择有

关)，F 是伴随位移全过程的恒力，θ是F 和S

方向的夹角。

当090θ?≤，0W >；表明外力促使物体运动，对物体做正功． 当90180θ?<≤?时，cos 0θ<，0W <；表明外力阻碍物体运动，对物体做负功． 当90θ=?时，不做功．

判断方法有：①用力和位移的夹角α判断;②用力和速度的夹角θ判断定;③用动能变化判断. 功是标量．功的正负不表示功的大小． (2)用示功图表示

(3)用W Pt =来计算．

问题1：弄清求变力做功的几种方法

功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用cos W FS θ=，下面对变力做功问题进行归纳总结如下： 1、等值法

等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而使问题变得简

单。 1. 如图1，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S 至B 点，滑块

在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所

做的功。

分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 等于T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：

12sin sin h h S S S αβ

?=-=-

11.()T F W W F S Fh αβ

==?=-

2、微元法

当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。

2. 如图2所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，力F

的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为： A 、 0J B 、20πJ C 、10J D 、20J.

分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故W F s ?=?，则转一周中各个小元段做功的代数和为2π102πJ=20πJ=62.8J W F R =?=?，故B 正确。 3、平均力法

如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。

3. 一辆汽车质量为510kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车

前进的距离变化关系为3010F x f =+，0f 是车所受的阻力。当车前进100m 时，牵引力做的功是多少？

分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为3010F x f =+，是线性关系，故前进100m 过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力F 所做的功。由题意可知5400.051010510f N N =??=?,所以前进100m 过程中的平均牵引力:

4345510(10010510)1102

F N N ?+?+?==?

∴57110100J=110J W FS ==???。

4、用动能定理求变力做功

4. 如图3所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。

F 0

1

S

S

恒力的功

线性变力的功

1

图

F

2图3

图R

A

B

C

分析与解：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，重力做功G W mgR =，水平面上摩擦力做功1f W mgL μ=-，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：0W =外， 所以-0AB mgR mgL W μ-= 即6(J)AB W mgR mgL μ=-=

5、用机械能守恒定律求变力做功

如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。

5. 如图4所示，质量m=2kg 的物体，从光滑斜面的顶端A 点以v 0=5m/s 的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压

缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h=5m ，

求弹簧的弹力对物体所做的功。

分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数

值与弹性势能的增加量相等。取B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A ：2012

A E mgh m =+v

对状态B ：W 0B E =-+弹簧

由机械能守恒定律得：201W ()125J 2mgh m =-+=-弹簧v 。

6、用功能原理求变力做功

6. 两个底面积都是S 的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，

水面高度分别为h 1和h 2，如图5所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这过程中重力所做的功等于 . 分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水

面高度相等的过程中，利用等效法把左管高122

h h

-以上部分的水

等效地移至右管，如图6中的斜线所示。最后用功能关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB 所在的平面为零重力势能平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为：

21212121212121(

)()()()()24244

p p h h h h h h h h

E E gS gS gS h h ρρρ-----=+=- 所以重力做的功2121()4

G W gS h h ρ=-

问题2：弄清滑轮系统拉力做功的计算方法

当牵引动滑轮两根细绳不平行时，但都是恒力，此时若将此二力合成为一个恒力再计算这个恒力的功，则计算过程较复杂。但若等效为两个恒力功的代数和，将使计算过程变得非常简便。 7. 如图7所示，在倾角为30°的斜面上，一条轻绳的一端固定在

斜面上，绳子跨过连在滑块上的定滑轮，绳子另一端受到一个方向总是竖直向上，大小恒为F=100N 的拉力，使物块沿斜面向上滑行1m(滑轮右边的绳子始终与斜面平行)的过程中，拉力F 做的功是( )

A.100J

B.150J

C.200J

D.条件不足，无法确定

分析与解析：拉力F 做的功等效为图8中F1、F2两个恒力所做功的代数和。即12cos60W F S F S =?+?,而F 1=F 2=F=100N,所以

(1cos60)150J W F S =?+?=。即B 选项正确。

问题3：弄清求某力的平均功率和瞬时功率的方法

8. 质量为m=0.5kg 的物体从高处以水平的初速度0v =5m/s 抛

出，在运动t=2s 内重力对物体做的功是多少？这2s 内重力对物体做功的平均功率是多少？2s 末，重力对物体做功的瞬时功率是多少？（g 取210/m s ）

分析与解：t=2s 内，物体在竖直方向下落的高度22111022022

h gt ==??=m ，

所以有0.51020100G W mgh J ==??=，平均功率50W P t

==W 。

在t=2s 末速度物体在竖直方向的分速度20/yt V gt m s ==,所以t=2s 末瞬时功率

100yt P mgV ==W 。

9. 起重机的钢索将重物由地面吊到空中某个高度，其速度图象如图9所示，则钢索拉力的功

率随时间变化的图象可能是图10中的哪一个？

5

图6

图4图7图8

图

分析与解：在0～t 1时间内，重物加速上升，设加速度为a 1,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F 1=mg+ma 1,速度v t =a 1t,所以拉力的功率为：P 1=m(a 1+g)a 1t;

在t 1～t 2时间内，重物匀速上升，拉力F 2=mg,速度为v 1=a 1t 1,所以拉力的功率为： P 2=mga 1t 1.

在t 2～t 3时间内，重物减速上升，设加速度大小为a 2,则据牛顿第二定律可得钢索的拉力F 2=mg-ma 2,速度v 2=a 1t 1-a 2t,所以拉力的功率为：P 1=m(g-a 2)(a 1t 1-a 2t). 综上所述，只有B 选项正确。 问题4：.机车起动的问题

发动机的功率：即牵引力的功率，P F =牵v

（1）汽车的速度最大值m v 对应的牵引力与阻力相等，m P f =v

（2）汽车的满功率起动 （3）汽车的匀加速起动

10. 汽车质量5t ，发动机额定功率60kW ，动摩擦因数0.1，求：（1）起动后能达到的最大速度

是多少；（2）汽车从静止开始，以0.5m/s 2匀加速起动，这一加速度能维持多长时间？（3）当汽车的加速度为0.2m/s 时，汽车的速度是多少？（4）若汽车以额定功率起动，达到最大速度所用时间为10s ，则此时间内的位移是多少？

解析：（1）3510f mg N μ==?， 12/m P m s f ==v

（2）11F f ma -=, 17500F N = 118/P m s F ==v

11at =v , 116t s =.

（3）22F f ma -=, 26000F N =

22

10/P m s F ==v

（4）23102

m Pt mgs m μ-=-v ,48s m =

11. 汽车发动机额定功率为60 kW ，汽车质量为5.0×103 kg ，汽车在水平路面行驶时，受到的

阻力大小是车重的0.1倍，试求：汽车保持额定功率从静止出发后能达到的最大速度是多少？

分析与解：汽车以恒定功率起动时，它的牵引力F 将随速度v 的变化而变化，其加速度a

也随之变化，具体变化过程可采用如下示意图表示：

}

P F F a F f ma

=→↑→↓→↓-=v v

F f =时，0a =，匀速

最大速度时，F f =，min m m P F f ==v v 由此可得汽车速度达到最大时，a =0，

}

m

m F f kmg P P F kmg

==?==?v v =12 m/s

小结：机车的速度达到最大时，一定是机车的加速度为零。弄清了这一点，利用平衡条件就很容易求出机车的最大速度。

问题5：机车匀加速起动的最长时间问题

12. 汽车发动机额定功率为60 kW ，汽车质量为5.0×103 kg ，汽车在水平路面行驶时，受到的

阻力大小是车重的0.1倍，试求：若汽车从静止开始，以0.5 m/s 2的加速度匀加速运动，则这一加速度能维持多长时间？

分析与解：要维持汽车加速度不变，就要维持其牵引力不变，汽车功率将随V 增大而增大，当P 达到额定功率P 额后，不能再增加，即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：

11

1111P F f ma a at F P

?↑→↑

?-=?

=→=??不变v v v P F F a F f ma ?=→↑→↓?

→↓?-=??

v v

F f =时，0a =，匀速

匀加速时间1

1t a

=

v ，当功率增大到P 时，不能保持牵引力1F ，此时11F f ma -= 所以，汽车达到最大速度之前已经历了两个过程：匀加速和变加速，匀加速过程能维持到汽车功率增加到P 额的时刻，设匀加速能达到最大速度为v 1，则此时

A

10

图D

C

B

1

3

21

3

21

3

29

图t

v 1v v 2

11

:16s at P F t F kmg ma

=???

==??-=??额代入数据可得v v 小结：机车匀加速度运动能维持多长时间，一定是机车功率达到额定功率的时间。弄清了这一点，利用牛顿第二定律和运动学公式就很容易求出机车匀加速度运动能维持的时间。 问题6：.机车运动的最大加速度问题。

13. 电动机通过一绳子吊起质量为8 kg 的物体，绳的拉力不能超过120 N ，电动机的功率不能

超过1200 W ，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m （已知此物体在被吊高接近90 m 时，已开始以最大速度匀速上升）所需时间为多少？

分析与解：此题可以用机车起动类问题的思路，即将物体吊高分为两个过程处理：第一过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体以最大加速度匀加速上升，第一个过程结束时，电动机刚达到最大功率.第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，当拉力等于重力时，物体开始匀速上升. 在匀加速运动过程中加速度为

m 1208108

F mg a m --?==

m/s 2=5 m/s 2，末速度1200120m t m P

F ==v =10 m/s 上升的时间1105

t t a ==v s=2 s ，上升高度为22

10225t h a ==

?v =10 m 在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速率为

1200810

m m m P P

F mg ===?v =15 m/s

外力对物体做的总功W =P m t 2-mgh 2,动能变化量为

221122

k E m m ?=-m t v v

由动能定理得22221122

m m t P t mgh m m -=-v v

代入数据后解得t 2=5.75 s ，所以t =t 1+t 2=7.75 s 所需时间至少为7.75 s.

小结：机车运动的最大加速度是由机车的最大牵引力决定的，而最大牵引力是由牵引物的强度决定的。弄清了这一点，利用牛顿第二定律就很容易求出机车运动的最大匀加速度。 问题7：应用动能定理简解多过程问题。

物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全

过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简

化。 14. 如图11所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m 的

滑块，距挡板P 为S 0，以初速度0v 沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

分析与解：滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。 在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L ，对全过程，由动能定理得：

2

00

1sin cos 02

mgS ng L m αμα-=-v 得2

001mgS sin 2cos mv L mg αμα

+=

问题8:利用动能定理巧求动摩擦因数

15. 如图12所示，小滑块从斜面顶点A 由静止滑至水平部分

C 点而停止。已知斜面高为h ，滑块运动的整个水平距离为s ，设转角B 处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。

分析与解：滑块从A 点滑到C 点，只有重力和摩擦力做功，

1

212cos 00cos 0s mgh mg mgs h h S S s μαμαμμμ-?

-=---==化简得：得

从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。 问题9:利用动能定理巧求机车脱钩问题

16. 总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前

进，其末节车厢质量为m ，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L 的距离，于是立即关

闭油门，除去牵引力，如图13所示。设运动

的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是

多少？ 分析与解：此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便。

对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：

210

1()()2

FL k M m gS M m --=--v

P 11

图12

图

13

图0v

对车尾，脱钩后用动能定理得：

220

12

kmgS m -=-v 而12S S S ?=-，由于原来列车是匀速前进的，所以F kMg = 由以上方程解得ML S M m

?=-。

问题10:会用Q fS =相解物理问题

两个物体相互摩擦而产生的热量Q （或说系统内能的增加量）等于物体之间滑动摩擦力f 与这两个物体间相对滑动的路程的乘积，即Q fS =相利用这结论可以简便地解答高考试题中的“摩擦生热”问题。下面就举例说明这一点。

17. 如图14所示，在一光滑的水平面上有两块相同的木板

B 和

C 。重物A （A 视质点）位于B 的右端，A 、B 、C

的质量相等。现A 和B 以同一速度滑向静止的C ，B

与C 发生正碰。碰后B 和C 粘在一起运动，A 在C 上

滑行，A 与C 有摩擦力。已知A 滑到C 的右端面未掉下。试问：从B 、C 发生正碰到A 刚移动到C 右端期间，C 所走过的距离是C 板长度的多少倍？

分析与解：设A 、B 、C 的质量均为m 。B 、C 碰撞前，A 与B 的共同速度为v 0，碰撞后B 与C 的共同速度为v 1。对B 、C 构成的系统，由动量守恒定律得：m v 0=2m v 1

设A 滑至C 的右端时，三者的共同速度为v 2。对A 、B 、C 构成的系统，由动量守恒定律得：2m v 0=3m v 2

设C 的长度为L ， A 与C 的动摩擦因数为μ，则据摩擦生热公式和能量守恒定律可得：

222

102

111.2.3Q mgL m m m μ==+-v v v 设从发生碰撞到A 移至C 的右端时C 所走过的距离为S ，则对B 、C 构成的系统据动能定

理可得：22

21

11(2)(2)22

mgS m m μ=-v v 由以上各式解得73

S L =.

18. 如图15所示，AB 与CD 为两个对称斜面，其上部都足

够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为1200，半径R=2.0m,一个物体在离弧底E 高

度为h=3.0m 处，以初速度v 0=4m/s 沿斜面运动，若物体与两斜面的动摩擦因数均为μ=0.02,则物体在两斜面上（不包括圆弧部分）一共能走多少路程？（g=10m/s 2）.

分析与解：由于滑块在斜面上受到摩擦阻力作用，所以物体的机械能将逐渐减少，最后物体在BEC 圆弧上作永不停息的往复运动。由于物体只在在BEC 圆弧上作永不停息的往复运动之前的运动过程中，重力所做的功为()2

G R W mg h =-,摩擦力所做的功为cos60f W mg μ=-?,由

动能定理得：

201()cos60022

R mg h mg m μ--?=-v

∴s=280m.

问题11:会解机械能守恒定律与圆周运动的综合问题。

当系统内的物体都在做圆周运动，若机械能守恒，则可利用机械能守恒定律列一个方程，但未知数有多个，因此必须利用圆周运动的知识补充方程，才能解答相关问题。 19. 如图16所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直

盘面的光滑水平固定轴O ，在盘的最右边缘固定一个质量为m 的小球A ，在O 点的正下方离O 点r/2处固定一个质量也为m 的小球B 。放开盘让其自由转动，问： （1）A 球转到最低点时的线速度是多少？

（2）在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少？ 分析与解：该系统在自由转动过程中，只有重力做 功，机械能守恒。设A 球转到最低点时的线速度为v A ，B 球的速度为v B ，则据机械能守恒定律可得： 2211222

A B r mgr mg m m -=+v v

据圆周运动的知识可知：v A =2v B

由上述二式可求得A =v 设在转动过程中半径OA 向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图17所示），则据机械能守恒定律可得：

(1s i n )

c o s 0

m g r m g r θθ+-

= 易求得13sin 5

θ-=。

问题12:会解机械能守恒定律与动量守恒定律的综合问题。

若系统的机械能和动量均守恒，则可利用动量守恒定律和机械能守恒定律求解相关问题。

20. 如图18所示，长为L 的轻绳，一端用轻环套在光滑的横杆上（轻绳和轻杆的质量都不计），

14

图15

图

16

图17

图

另一端连接一质量为m 的小球，开始时，将系球的绳子绷紧并转到与横杆平行的位置，然后轻轻放手，当绳子与横杆成θ时，小球速度在水平方向的分量大小是多少？竖直方向的分量大小是多少？

分析与解：对于轻环、小球构成的系统，在水平方向上不受外力作

用，所以在水平方向动量守恒。又由于轻环的质量不计，在水平方向的动量恒为零，所以小球的动量在水平方向的分量恒为零，小球速度在水平方向的分量为零。 又因为轻环、小球构成的系统的机械能守恒，所以21sin 2

y mgL m θ=v

即y =v .此为速度竖直方向的分量。

21. 如图19，长木板ab 的b 端固定一档板，木板连同档板的质量为M=4.0kg ，a 、b 间的距离

S=2.0m 。木板位于光滑水平面上。在木板a 端有一小物块，

其质量m=1.0kg ，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，

它们都处于静止状态。现令小物块以初速v 0=4m/s 沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰撞后，小物块恰好回到a 端而不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。 分析与解：设木块和物块最后共同的速度为V ，由动量守恒定律：0()m m M =+v v

设全过程损失的机械能为E ，则有：2

2011()22

E m m M =-+v v

在全过程中因摩擦而生热2Q mgS μ=,则据能量守恒可得在碰撞过程中损失的机械能为：

1 2.4J E E Q =-=.

问题13:会解机械能守恒定律与绳连问题的综合问题。

若系统内的物体通过不可伸长的细绳相连接，系统的机械能守恒，但只据机械能守恒定律不能解决问题，必须求出绳连物体的速度关联式，才能解答相应的问题。 22. 在水平光滑细杆上穿着A 、B 两个刚性小球，两球间距离为L ，

用两根长度同为L 的不可伸长的轻绳与C 球连接（如图20所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。已知A 、

B 、

C 三球质量相等，试求A 、B 二球速度v 的大小与C 球到细

杆的距离h 之间的关系。

分析与解：此题的关键是要找到任一位置时，A 、B 球的速度和

C 球的速度之间的关系。在如图21所示位置，BC 绳与竖直方向成θ

角。因为BC

绳不能伸长且始终绷紧，所以B 、C

两球的速度v B 和v C 在绳方向上的投影应相等，

即cos sin c B θθ=v v θ由机械能守恒定律，可得：

2211()2()22

c B mg h m m =+v v

又因为22

22

tan L h h θ-= 由以上各式可得： B =v

问题14:会解机械能守恒定律与面接触问题的综合问题。

若系统内的物体相互接触，且各接触面光滑，则系统的机械能守恒，但只有求出面接触物体间的速度关联式才能解答相应问题。

23. 如图22所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和墙面之间放

入一个小球，球的下缘离地面高度为H ，木块的倾角为θ，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。 分析与解：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球和木块总是相互接触的，所以小球的速度v 1和木块 的

速度v 2在垂直于接触面的方向上的投影相等，即：12cos sin θθ=v v 由机械能守恒定律可得：

22121122

mgH m m =+v v

由上述二式可求得：

1sin θv , 2cos θ=v .

问题15:会解用功能关系分析解答相关问题。

24. 如图23所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A 位置有一

只小球。小球从静止开始下落，在B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是：

A ．在

B 位置小球动能最大 B ．在

C 位置小球动能最大

C ．从A →C 位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

22

图A

23

图D C B 18

图20图

D ．从A →D 位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加 分析与解：小球动能的增加用合外力做功来量度，A →C 小球受的合力一直向下，对小球做正功，使动能增加；C →D 小球受的合力一直向上，对小球做负功，使动能减小，所以B 正确。从A →C 小球重力势能的减少等于小球动能的增加和弹性势能之和，所以C 正确。A 、D 两位置动能均为零，重力做的正功等于弹力做的负功，所以D 正确。选B 、C 、D 。

25. 物体以150J 的初动能从某斜面的底端沿斜面向上作匀减速运动，当它到达某点P 时，其动

能减少了100J 时，机械能减少了30J,物体继续上升到最高位置后又返回到原出发点，其动能等于 。

分析与解：虽然我们对斜面的情况一无所知，但是物体从斜面一底点P 与从点P 到最高点，这两阶段的动能减少量和机械能损失量是成比例的，设物体从点P 到最高点过程中，损失的机械能为E ，则100/30=(150-100)/E,由此得E=15J ，所以物体从斜底到达斜面顶一共损失机械能45J ，那么它从斜面顶回到出发点机械能也损失这么多，于是在全过程中损失的机械能90J ，回到出发点时的动能为60J.

26. 一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经过BC 区域时变为圆弧

形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，

相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到

达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动

（忽略经BC 段时的微小滑动）。已知在一段相当长

的时间T 内，共运送小货箱的数目为N 。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处

的摩擦。求电动机的平均输出功率P 。 分析与解：以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v 0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s ，所用时间为t ，加速度为a ，则对小箱有212

s at =① 0at =v ② 在这段时间内，传送带运动的路程为00s t =v ③ 由以上

可得02s s = ④

用f 表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为

2

12

A fx m ==v ⑤ 传送带克服小箱对它的摩擦力做功2

000122

A fx m ==?v ⑥

两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 2012

Q m =v ⑦

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等。 T 时间内，电动机输出的

功为 ： W PT = ⑧

此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即

2

012

W Nm Nmgh NQ =++v ⑨

已知相邻两小箱的距离为L ，所以 0T NL =v ⑩

联立⑦⑧⑨⑩，得22

2

[]Nm N L P gh T T

=+ ⑾ 三、警示易错试题

典型错误之一：错误认为“人做功的计算”与“某个具体力做功的计算”相同。

人做的功就是人体消耗化学能的量度，不少学生错误认为只是人对其它物体作用力所

做的功。

27. 质量为m 1、m 2的两物体，静止在光滑的水平面上，质量为m 的人站在m 1上用恒力F 拉绳

子，经过一段时间后，两物体的速度大小分别为V 1和V 2

示。则这段时间内此人所做的功的大小等于：

A ．FS 2

B ．F(S 1+S 2)

C ．222211

11()m m m ++v v D ．2

221m v 错解：人所做的功等于拉力F 对物体m 2所做的功W=F ·S 2，由动能定理可得： 222212

FS m =v

即AD 正确。

分析纠错：根据能量守恒可知，人通过做功消耗的化学能将全部转化为物体m 1和m 2的动能以及人的动能。所以人做的功的大小等于

22

12211

11()()22

F S S m m m +=++v v 即B 、C 两选项正确。

典型错误之二：混淆注意“相对位移”与“绝对位移”。 功的计算公式中，S 为力的作用点移动的位移，它是一个相对量，与参照物选取有关，通常都取地球为参照物，这一点也是学生常常忽视的，致使发生错误。

28. 小物块位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上

(如图26所示) ，从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力。 A ．垂直于接触面，做功为零； B ．垂直于接触面，做功不为零； C ．不垂直于接触面，做功不为零；

24

图25

图26

图Q

P

D ．不垂于接触面，做功不为零。

错解：斜面对小物块的作用力垂直于接触面，作用力与物体的位移垂直，故做功为零。即A 选项正确。 分析纠错：小物块A 在下滑过程中和斜面之间有一对

相互作用力F 和F'，如图27所示。如果把斜面B 固定在水平桌面上，物体A 的位移方向和弹力方向垂直，这时斜面对物块A 不做功。但此题告诉的条件是斜劈放在光滑的水平面上，可以自由滑动。此时弹力方向仍然垂直于斜面，

但是物块A 的位移方向却是从初位置指向终末位置。如图27所示，弹力和位移方向不再垂直而是成一钝角，所以弹力对小物块A 做负功，即B 选项正确。

典型错误之三：混淆“杆的弹力方向”与“绳的弹力方向”。

绳的弹力是一定沿绳的方向的，而杆的弹力不一定沿杆的方向。所以当物体的速度与杆垂直时，杆的弹力可以对物体做功。

29. 如图28所示，在长为L 的轻杆中点A 和端点B 各固定一

质量均为m 的小球，杆可绕无摩擦的轴O 转动，使杆从水平位置无初速释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆

对A 、B 两球分别做了多少功?

错解：由于杆的弹力总垂直于小球的运动方向，所以轻杆对A 、B 两球均不做功。

分析纠错：设当杆转到竖直位置时，A 球和B 球的速度分别为A v 和B v 。如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作

为研究对象，那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于

零，故系统机械能守恒。若取B 的最低点为零重力势能参考平面，可得：

221112222

A B mgL m m mgL =++v v 又因A 球对B 球在各个时刻对应的角速度相同,故B A v =2v

由以上二式得：A B =

v v 根据动能定理，可解出杆对A 、B 做的功。对于A 有

21

022

A A mgL W m +

=-v ， 所以0.2A W mgL =-. 对于B 有2

102

B B W mgL m +=-v ，所以W B =0.2mgL.

典型错误之四：混淆作用力做功与反作用力做功的不同。

作用力和反作用是两个分别作用在不同物体上的力，因此作用力的功和反作用力的功

没有直接关系。作用力可以对物体做正功、负功或不做功，反作用力也同样可以对物体做正功、负功或不做功。

30. 下列是一些说法：

①一质点受两个力作用且处于平衡状态(静止或匀速)，这两个力在同一段时间内的冲量一定相同;

②一质点受两个力作用且处于平衡状态(静止或匀速)，这两个力在同一段时间内做的功或者都为零，或者大小相等符号相反;

③在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反; ④在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号也不一定相反; 以上说法正确的是

A ．①②

B ．①③②

C ．②③

D ．②④

错解：认为“在同样的时间内，作用力和反作用力的功大小不一定相等，但正负号一定相反”而错选B 。

分析纠错：说法11不正确，因为处于平衡状态时，两个力大小相等方向相反，在同一段时间内冲量大小相等，但方向相反。由恒力做功的知识可知，说法22正确。关于作用力和反作用力的功要认识到它们是作用在两个物体上，两个物体的位移可能不同，所以功可能不同，说法33不正确，说法44正确。正确选项是D 。

典型错误之五：忽视机械能的瞬时损失。

31. 一质量为m 的质点，系于长为R 的轻绳的一端，绳的另一端固定在空间的O 点，假定绳是不可伸长的、柔软且无弹性的。今把质点从O 点

的正上方离O 点的距离为89R 的O 1

点以水平的速度0=v 如图29所示。试求； （1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为多少？ （2）当质点到达O 点的正下方时，绳对质点的拉力为多大？

错解：很多同学在求解这道题时，对全过程进行整体思维，设质点到达O 点的正下方时速度为v ,根据能量守恒定律可得：

2

20811()292

m mg R R m ++=v v

根据向心力公式得：2

T mg m R -=v ，解得：1934144

T mg =. 分析纠错：上述解法是错误的。这些同学对物理过程没有

弄清楚，忽视了在绳被拉直瞬时过程中机械能的瞬时损失。其实质点的运动可分为三个过程：

第一过程：质点做平抛运动。设绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹

27图

28

图

29

图1

O 30

图'

v 0

角为θ，如图30所示，则0sin t R θ=v ，

281cos 29gt R R θ=-，其中0

v

联立解得,2t πθ==

第二过程：绳绷直过程。绳棚直时，绳刚好水平，如图30所示.由于绳不可伸长，故绳绷直

时，0v 损失，质点仅有速度⊥v ，且gt ⊥==v 。

第三过程：小球在竖直平面内做圆周运动。设质点到达O 点正下方时，速度为'v ，根据机械能守恒守律有：

221122m m mg R ⊥

'=+?v v 设此时绳对质点的拉力为T ，则2

T mg m R '-=v ，联立解得：439

T mg =。