福建省最新2021届高三数学10月月考试题
福建省罗源第一中学2021届高三数学10月月考试题
一、单选题(每小题5分) 1.复数
1
1i i
-+(i 为虚数单位)的虚部是( ) A. -1
B. 1
C. i -
D. i
2.αβ≠是cos cos αβ≠的( )条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 3.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π
2
,则θ等于( )
A .-π6
B .-π3 C.π6 D.π3
4.函数1ln sin 1x
y x x
+=?-的图象大致为( )
5.已知a >0且a ≠1,函数f (x )=?
????a x
,x ≥1
ax +a -2,x <1在R 上单调递增,那么实数a 的取值范围是( )
A .(1,+∞)
B .(0,1)
C .(1,2)
D .(1,2]
6.已知△ABC 中,AB =2,B =π4,C =π6
,点P 是边BC 的中点,则AP →·BC →
等于( )
A .1
B .2
C .3
D .4
7.若函数f (x )=sin ? ????ωx -π6(ω>0)在[0,π]上的值域为????
??-12,1,则ω的最小值为( ) A.23 B .34 C.43 D .3
2 8.在ABC ?中,已知点P 在线段BC 上,点Q 是AC 的中点,
AQ
y AB x AP +=,0,0>>y x ,则
y
x 11+的最小值为( )
A .2
3
B .4 C.
22
3
+ D. 223+ 二、多选题(每小题5分,部分选对得3分)
9.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是( ) A .若a b >,则sin sin A B >
B .若sin 2sin 2A B =,则AB
C 是等腰三角形 C .若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形
D .若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形
10.设点M 是ABC 所在平面内一点,则下列说法正确的是( ) A .若11
22
AM AB AC =
+,则点M 是边BC 的中点 B .2AM AB AC =-若,则点M 在边BC 的延长线上 C .若AM BM CM =--,则点M 是ABC 的重心
D .若AM x AB y AC =+,且1
2x y +=,则MBC △的面积是的ABC 面积的12
11.要得到函数x y cos =的图像,只需将函数)3
2sin(π
+=x y 的图像上所有的点( )
A .先向右平移
6π个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2
1
(纵坐标不变) B .先向左平移个
12
π
单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) C .横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移
6
π
个单位长度 D .横坐标伸长到原来的
21(纵坐标不变),再向右平移3
π
个单位长度 12.设函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论: A .f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点 B .f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点
C .f (x )在? ????0,π10上单调递增
D .ω的取值范围是????
??125,2910
其中所有正确结论是( ) 三、填空题(每小题5分)
13.若
,x y满足约束条件
26
2
x y
x y
x y
-≥
?
?
+≤
?
?+≥
?,则3
x y
+的最小值为_________.
14.已知平面向量a,b满足a=(1,3),|b|=3,a⊥(a-b),则a与b夹角的余弦值为________.
15.已知函数f(x)=
??
?
??e-x,x≤0
-x2-2x+1,x>0
,若f(a-1)≥f(-a2+1),则实数a的取值范围是_____
16.在面积为2的ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,点P在直线EF上,则2
BC
PB
PC+
?
的最小值是______.
四、解答题(第17题10分,第18——22题每题12分)
17.化简下列各式并求值:
(1)
1
3
31
2
(lg50lg5)8
2log9log4
-?
+;
(2)已知tan2
x=,求
2cos cos()
2
3
sin
2
x x
x
π
π
π
??
++-
?
??
??
+
?
??
的值.
18.已知函数()Asin()(0,0,||)
2
f x x A
π
ω?ω?
=+>><的部分图象如图所示.
(1)求A,ω和?的值;
(2)求函数()
y f x
=在[]
1,2上的单调递减区间;
19.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
a
cos C sin B
=
b
sin B
+
c
cos C
.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.
20.如图,已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且a sin A +(c -a )sin C =b sin B ,点D 是AC 的中点,DE ⊥AC ,交AB 于点E ,且BC =2,DE =
62
. (1)求B ;
(2)求△ABC 的面积.
21.已知二次函数2()2f x x x =+. (1)求)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程; (2)讨论函数()()ln(1)g x f x a x =++的单调性。
22.已知向量()
2sin ,3cos a x x =,向量()cos ,2cos b x x =,函数()3f x a b =?-. (1)求函数()f x 在区间0,
2π??
????
上的最大值和最小值以及取得最值时x 的值; (2)求证:存在大于3π
的正实数0x ,使得不等式()23ln f x x
>在区间()
0,x e 有解.(其中e 为自然对数的底数)
1、B
2、B
3、D
4、A
5、D.
6、B. 7.A. 8、C 9、AC 10.ACD 11、BC 12.ACD 13.2- 14.23
15.[-2,1] . 16
、17、【详解】
(1)
1
3
312
(lg50lg5)8(lg10)2
12log 9log 442
-??==+-.
(2)∵
2cos cos()
2sin cos 22tan 13cos sin 2x x x x x x x πππ??
++- ?--??==+-??
+ ???
, 又tan 2x =,∴原式2215=?+=. 18.【详解】
(1)由题可得1A =,412()233T =-=,则2T
π
ωπ=
=,
当56x =时,()f x 取得最大值,则52()62
k k Z π
π?π+=+∈,
所以2()3k k Z π
?π=-+∈,
又因为||2
?π<,故3π
?=-;
(2)由(1)可知()sin()3
f x x π
π=-,
令
322232
k x k π
π
π
πππ+-
+,k Z ∈, 则511
2266
k x
k ++,k Z ∈, 故()f x 的单调递减区间为5[26k +,11
2]()6
k k Z +∈,
则()f x 在[1,2]上的单调递减区间为[1,11
]6
;
19.解:(1)利用正弦定理,得sin A cos C sin B =cos C +sin C cos C ,即sin (B +C )
sin B
=cos C +sin C ,
则sin B cos C +cos B sin C =sin B cos C +sin B sin C ,又sin C ≠0, 所以tan B =1,又0<B <π,∴B =π
4.
(2)△ABC 的面积S =12ac sin B =2
4ac ,
所以当ac 最大时,S 最大.
由已知及余弦定理,得2=a 2+c 2-2ac cos π4
=a 2+c 2
-2ac ≥2ac -2ac ,
所以ac ≤22-2=2+2,当且仅当a =c 时取等号,所以△ABC 的面积的最大值为2
4×(2+2)
=
2+1
2
. 20.解:(1)∵a sin A +(c -a )sin C =b sin B ,∴a 2
+(c -a )·c =b 2
,即a 2
+c 2
-b 2
=ac ,
∵cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =1
2
,0
(2)连接EC (图略),D 是AC 的中点,又DE ⊥AC ,∴AE =CE =DE sin A =6
2sin A ,∠A =∠ECD ,∠
BEC =2∠A ,在△BCE 中,
EC
sin B
=
BC
sin∠BEC ,即62sin A ·sin B =2sin 2A ,即化简整理得:cos A =2
2
,