2018高考试题一题多解
2018高考题一题多解
1. （2018年天津高考真题理科和文科第13题）
已知R b a ∈,，且063=+-b a ，则b a
8
1
2+的最小值为 . 思路一：基本不等式ab b a 2≥+
解析一：由于063=+-b a ，可得63-=-b a ， 由基本不等式可得，4
1222222222228123
6333=
?===?≥+=+
-----b a b a b a b a
， 当且仅当???=+-=-0
63223b a b a ，即???=-=13
b a 时等号成立。
故b a
812+
的最小值为4
1
。
思路二：轮换对称法(地位等价法）
方法二：轮换对称性：因为b a 3,-的地位是样的，当取最值时，b a 3,-在相等的时候取到：
33-=-=b a ，得1,3=-=b a ，418128121
3
=+=+
-b a 所以最小值为4
1 思路三：换元+等价转化 方法三：令x a
=2，
y b
=81
，则x a 2log =，y b 2log 3=-， 则已知问题可以转化为：已知06log log 22=++y x ，则y x +的最小值为 . 已知06log log 22=++y x ，可得6
2-=xy ，
4
12223=
?=≥+-xy y x ， 当且仅当y x =，?????=+-=0
638
1
2b a b
a ，即???=-=13
b a 时取得等号， 故b a
812+
的最小值为4
1
。 2.【2018课标2卷理12】
已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，
点P 在过A
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为（ ）． A ．
23 B ．12 C ．13 D ．1
4
解法一
：由题意：(,0),(2),A a P c -
所以AP k =
=
，
即4a c =，所以1
4
e =
，选D ． 解法二：由题可得PA
的方程为)y x a =
+，2PF
的方程为)y x c =-，
可求解6,)55
p p a c x y a c +=
=+，
又2
2(,0),PF F c k -=，
所以)5635
a c a c c +=++ 解得14e =，选D 解法三：在2ΔAF P 三角形中，由余弦定理可得：
则PA =
22tan ,sin 6PAF PAF ∠=
∠==又22PF c = 在212Δ,ΔAPF PF F 中利用等高建立等式，
22c =?=， 所以14e =，选D
解法四：因为12ΔPF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=，所以2122PF F F c ==，
由余弦定理可知：1PF =，
因为11111sin sin(),sin ,cos 1313
APF PAF AF P PAF PAF ∠=∠+∠∠=
∠=，
所以1sin 26
APF ∠=
， 在1ΔAPF 中，由正弦定理可知：
1111sin sin AF PF APF PAF =∠∠
=
所以离心率为
1
4
，选D ． 解法五：因为12ΔPF F 错误！未找到引用源。为等腰三角形，12120F F P ∠= 错误！未找到引用源。，所
以
2122
PF F F c
==，
由AP错误！未找到引用源。斜率
为错误！未找到引用源。得
，
2
t a n PAF
∠=，所
以22
sin PAF PAF
∠=∠=
由正弦定理得22
22
sin
sin
PF PAF
AF APF
∠
=
∠
，所以
2
22
5
sin()
3
c
a c PAF
===
+-∠
所以4
a c
=，解得
1
4
e=，选D．
3.（2018全国理科第16题）
已知函数()sin sin2
f x x x
=+，则()
f x的最小值为___________
解法一2
()sin sin22sin(1cos)4sin cos2cos
222
x x x
f x x x x x
=+=+=?
()[]
3
2262
()64sin cos641,sin0,1
222
x x x
f x t t t
??
==-=∈
?
??
()()4
33
2
64643t11127
()6413t1
3344
+-+-+-
??
=-=?-≤=
?
??
t t t
f x t t t
当且仅当
1
4
t=时，2
max
27
()
4
f x=
此时2
11
sin,sin
2422
==-
x x
，
min
()
2
f x=-
考点：四元均值不等式，三角恒等变换
解法二：先求()
f x的最大值，设sin0,cos0
x x
>>
()2sin2sin cos
=+=
f x x x x()
22222
2
1111
2sin2sin cos sin sin cos
??
+≤+++
?
??
a x
b x x a x b x x
a b
a b
22
2
2
11
sin cos
a b x x
a b
??
=+++
?
??
，2
a b
?
==
??
即22
()2sin2sin cos
22
f x x x x x x
=
+≤+=，
3
x
π
??
=
?
??
故根据()()
f x f x
-=-奇函数知，
min
()
2
f x=-
解法三：求导法.
()()2cos 2cos22(2cos 1)cos 1f x x x x x '=+=-+
当0,
,()03x f x π??
'∈> ??
?；5,
,()033
x f x ππ??'∈< ???；5,2,()03x f x ππ??'
∈> ???
∴min 5()(
)32
f x f π==- 解法四：()f x 为奇函数，可考虑x 为锐角，
由琴生不等式等2()sin sin sin(22)3sin(
)32
++-=++-≤=x x x f x x x x ππ
()≥f x 解法五 ()sin sin 2f x x x =+，()2sin (1cos )=+f x x x
设cos ,sin ==m x n x ，则2
2
1+=m n ，2(m 1)=+t n ，2(m 1)
=
+t
n ，设两曲线切于,x y ，则
有
222
12(1)2(1)
??+=??=?
+?
?-=?+?x y t
y x t x
，解得2=±t
，()[∈f x
解法六 柯西不等式法
()sin sin 2f x x x
=+
，
22()2=?+f x x
xcosx 222
23
sin +
≤x
27
=
16
，()[∈f x 解法七：构造单位圆中的正三角形，单位圆中的正三角形面积最大
(1,0),(cos sin ),(cos ,0)D(cos ,0)-A B x x C x x ，，
，1|2sin (1cos )|2?=
?+≤ABC S x x
解法七 万能代换：
()sin sin 2f x x x =+为奇函数，不妨设,0>x 02
tan
>=x
t 。 22222
224t 1t 88()sin sin 2(1)11111(1t )(t )333
-=+=+==++++++t t
f x x x t t
≤
=,
当且仅当=t
()[,22∈-f x
试题拓展：
（1）(2016全国2)函数()cos 26cos(
)2
=+f x x x π
的最大值是_________
(2)2013全国1)当=x θ时，函数()sin 2cos =-f x x x 取得最大值 ，则cos =θ_________ (3)已知函数()2cosx sin 2=+f x x ，则()f x 的最小值是_________ (4)已知函数()2cosx sin 2=+f x x ，则()f x 的最大值是_________ (5)已知函数()sin cos sin cos =++f x x x x x ，则()f x 的最大值是_______ (6)已知函数()sin sin 2=f x x x ，则()f x 的最大值_________ (7)已知函数()sin cos 2=f x x x ，则()f x 的最大值__________ (8),,A B C 是?ABC 的一个三角形的内角，则 (9)sin sinBsinC =y A 的最大值是_________
sin sinB sinC =++y A 的最大值是________ cos cosBcosC =y A 的最大值是_________ cos +cosB+cosC =y A 的最大值是________
(9) 函数3sin sin3=+y x x 的最大值是_______
答案:1. 2
2
311
()2cos 6sin 12(cos )2
2
=-++=--+
f x x x x ,max cos 1,()5==x f x
2. ()sin 2cos ))
=-==-f x x x x x x ? 3. 其中cos
=
=?，因为当=x θ时，函数()f x 取得最大值，所以
m a x
()(5s i n )5
=-f x f θθ?，此时
sin()1
-=θ?，2,()2
-=+∈k k Z π
θ?π,
2,(k Z)
2
=+
+∈k π
θπ?,
所
以
2
5
c o
s c o s (
2k )
2
5=
++=-
==-π
θπ??
解法二. ()sin 2cos ))
=-==-f x x x x x x ?,其中t a n 2=?，由已知
sin 2cos -=θθ，其中cos 0<θ，可知22sin 4sin cos 4cos 5-+=θθθθ，所以
2222
sin 4sin cos 4cos 5sin cos -+=+θθθθθθ，化简2
4tan 4tan 10++=θθ，所以，1tan 2
=-θ，又cos 0<θ，所以cos
=θ 解法三：()sin 2cos =-f x x x ，所以()cos +2s i n
'=f x x x 又当=x θ时，()f x 取得最大值 ()0'=f θ，即c o s +2s in =0x x 解得1
tan 2
=-
θ，因为tan 0<θ，所以θ是第二象限角可第四象限角，
所以当θ第二象限角，此时cos
==?
当θ第四象限角时，此时cos
=
=?，取得最小值 舍去，所以cos =θ
解法四. 由柯西不等式，()sinx 2cos =-≤=f x x 当且仅当sin cos =12-x x 时，即当1
tan 2
=-x 时等号成立，()f x 取得最大值，
又当=x θ时，()f x 取得最大值，所以()sin 2cos 0=->f θθθ 所以θ为第二象限角时，利用2
2
sin cos 1+=θθ且1
tan
2=-
x ，解得cos =θ
解法五. 由已知()sin 2cos =-f x x x ，令cos ,sin ==u x v x ，则22
1+=u v ，点(,)u v 在单位圆上，
2=-+y u v 的几何意义为直线2=+v u y 的纵截距，当直线2=+v u y 与圆相切时，y 取得最大值. 此时
直线的斜率为2，易得1tan()2-=πθ，即1
tan 2
=-θ此时所以θ为第二象限角时，()f x 取得最大值，，
故可求得cos =θ
4.（2018全国3卷16）已知点)1,1(-M 和抛物线x y C 4:2=，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于
B A ,两点．若090=∠AMB ，则k =
解法一：∵抛物线x y C 4:2=，的焦点)0,1(F ， ∴过B A ,两点的直线方程为)1(-=x k y ，
联立???-==)
1(42x k y x y 可得0)2(22222=++-k x k x k
设),(),,(2211y x B y x A ，则 2
221)
2(2k k x x +=+，121=x x ，
∴k
x x k y y 4
)2(2121=
-+=+，]1)([)1)(1(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y 4-=， ∵)1,1(-M ，∴)1,1(11-+=y x ，)1,1(22-+=y x ，
∵090=∠AMB ∴0=?MB MA ∴0)1)(1()1)(1(2121=--+++y y x x ， 整理可得，02)()(21212121=++-+++y y y y x x x x ， ∴02444212=+--+
+k
k ，即0442=+-k k ，∴2=k ． 解法二：设),(),,(2211y x B y x A ?????==2212
144x y x y ，)(4212
221x x y y -=-，∴2121212121y 44
4+=
--=--=y y y y y x x y y k ，取AB 的中点),(00y x N .
分别过B A ,作准线1-=x 的垂线，垂足分别为B A '',， ∵090=∠AMB ，所以|)||(|21||21||BF AF AB MN +==
|)||(|2
1
B B A A '+'=， 又因为点N 为AB 的中点，所以MN 平行于x 轴，
所以10=y ，即221=+y y ，所以2=k .
我们先证一个重要结论，然后利用这个结论，秒杀此题
解法三：三角形MAB ?称为阿基米德三角形，
,MA MB 是弦的两条切线，推出M 点在准线上，且AB MF ⊥，MA MB ⊥,
反之，若M 点在准线上，且AB MF ⊥，推出,MA MB 是弦的两条切线，MA MB ⊥ 若M 点在准线上，且MA MB ⊥，推出,MA MB 是弦的两条切线，且AB MF ⊥，
设抛物线px y 22=上的焦点为)0,2(p F ，过F 的直线方程为2
p
my x +=，联立方程
??
???+
==2p 22p my x x
y ,可得02pm 22=--p y y ,∴pm y y 221=+，221p y y -= 设),(),,(2211y x B y x A ，过B A ,两点分别作px y 22=两条切线，切线方程分别为2
21
1x x p
yy +=，2
22
2x x p
yy +=， 设两切线的交点坐标),(00y x M ， 则有???
?
???=+=-==pm y y y p p y y x 222210210∴m p
p pm k MF -=--=22， 1-=?AB MF k k ，∴AB MF ⊥
对于本题而言，相当于2=p ，120==m y ，21=
∴m ，21
==
∴m
k 5.【2018课标1卷理1】12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A
B
C
D
【解析】法一：
1.因为一组平行线与已知平面所成的角都相等，将每条棱与截面所成的角化归为同一顶点出发的三条棱与截面所成角。根据经验能直观感知到平面AB ′D ′是符合要求的平面（图1），由对称性可知，平面BDC ′也是符合要求的平面（图2），且与平面AB ′D ′平行的平面都与这三条直线所成角相等。
2.该截面的形状为：由小变大的正三角形——六边形——正六边形——六边形——由大到小的正三角形。根据基本活动经验，学生可以判断（或猜想）出当截面形状为正六边形时，截面面积应该最大（图3）。
3.求出该正六边形的面积16222S =?=，这恰好是四个选项中最大的数，所以选A 。
图1 图2 图3
【点评】解法1，这个结论并没有经过理论验证。
下面给出解法二。
【解析】法二：
将法一中的截面六边形的各边延长，补成三角形，如图4，易证该三角形为正三角形。设FD=a ，可求出六边形各边长如图5所示。故六边形的面积可用三角形ABC 的面积减去三个小三角形的面积计算，即
2
2133)3222
S a ?=-+?-??
?22
(1)3a a ?=
+-?2221)a a =
-++
2132()222
a ??=
--+????，所以当1
2a =时，max S =
图
4 图5
【点评】解法2的计算对截面形状的判断要求很高，尤其是截面六边形在正三角形内学生不易想到，可考虑将截面积的计算问题转化为投影面的计算，将问题简化，于是有解法三。 【解析】法三：
图6
因为截面在平移变化时，与正方体左平面的夹角不变，因此欲求截面面积的最大值，可以先分析截面在左平面内的投影何时取得最大值。由图6可知22111(1)22S x x ??=-+-????左侧投影2
1124x ?
?=--+ ???
，所以
当12x =
时，1
4
S =左侧投影max ，此时截面与各棱的交
max S =
截面。 点为各棱中点，可求得【解析】法四：
在上述分析的基础上，把多面体侧面展开，易知截面六边形的周长为正方体的面对角线长度的3倍，为定值。于是此问题转化为周长为定值的六边形面积何时最大，根据学生的经验已知，当六边形为正六边形时面积最大。
图7
对于空间感不强，空间位置判断不好的同学，可以考虑用空间坐标来寻找寻求解决方法。 【解析】法五：
如图8，建立空间直角坐标系，正方体的三组平行棱的方向向量分别为(1,0,0)a =，(0,1,0)b =，
(0,0,1)c =，设截面α的法向量(,,)n x y z =，因为n 与向量a 、b 、c 夹角都相等，所以有
||||||||||||
a n
b n
c n
a n
b n
c n ???==
，即
2
2
2
z
z x y =
=
令1x =得(1,1,1)n =，故截面位置如图8所
示，按方法2
继续计算可得结果max S =
。 图【试题研究与评价】
本题以正方体为背景，通过求与正方体棱所成的角相等的截面面积的最大值这一问题，综合考察了学生分析问题、数学抽象、猜想论证、数学建模、函数最值的求法等多种知识和能力。
6.（2018全国I ）设椭圆2
212
x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标
为(2,0).
（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解法一：（2）当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)1(-=x k y ，11(,)A x y ，22(,)B x y
，则1x <
2x MA MB y y k k x x += +--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得，12121223()4(2)(2) MA MB kx x k x x k k k x x -+++= --. 将(1)y k x =-代入2 212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，22121222 422 ,2121 k k x x x x k k -+==++. 则3331212244128423()4021 k k k k k kx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠，综上，OMA OMB ∠=∠. 解法二：当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=?. 当l 与x 轴不重合时，设直线1:+=my x l ，它与椭圆相交于),(),,(2221y x B y x A 两点， 联立得?????=++=12 12 2y x my x ，化简得022)1(22=-++y my ，即012)2(2 2=-++my y m ， 0)2(4422>++=?m m ∴2 1 ,2222 1221+-=+-=+m y y m m y y ∴)2)(2()2()2(222112212211---+-=-+-= +x x x y x y x y x y k k BM AM ) 2)(2() 1()1(211211---+-=x x my y my y 02 2212)(22121=+--+-=+-m m m m y y y my ∴0=+BM AB k k ,故MA ,MB 的倾斜角互补. 所以O M A O M B ∠=∠。 再劈蹊径: 上面两种方法是最基本的解析几何方法，能否从几何角度来解此题 呢？我们学习过三角形内角平分线定理，即ABC ?,AD 是角平分线，则有 DC AD AC AB = ，反之也成立。结合椭圆的第二定义，这样，几何方法就大显身手，轻松解决此题，避免了复杂的代数运算。 解法三：过点M (2,0)作x 轴的垂线:l 2=x , 则l 为2 2:12 x C y +=的右准线，过A,B 分别作l B B l A A ⊥'⊥',，垂足分别为B A '',,由椭圆的第二定义知， e B B BF A A AF ='='｜ ｜｜|| |||（e 为椭圆的离心率）,∴ ||||||||B B A A BF AF ''=,又||| |||||M B M A BF AF ''=,∴M A A '?与 M B B '?全等 ， ∴ ||||||||BM AM B B A A = '',∴| || |||||BM AM BF AF =,由三角形内角平分线性质定理， 可得OMA OMB ∠=∠. 方法一是设直线的纵截距式，设出直线的斜率，但需要对直线的斜率进行讨论，分为直线斜率不存在与存在两种情况，然后就转化成了坐标运算，方法二是设直线的横截距式，需要对直线的斜率是否为0进行讨论。方法二在运算上稍微简单一些。方法三是利用椭圆的第二定义，从椭圆图形的几何特征入手，几何关系表现的淋漓尽致，运算量非常小，更能体现问题的本质。 本题研究到这里还没有完，此结论对双曲线，抛物线也是成立的，请读者自己证明。这样就实现了多题一解。 对本题的结论进一步推广，可得到如下结论： 结论一 对于椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C ，经过点)0,(m M ，且斜率不为0的直线与椭圆相交于 B A 、两点，则存在点)0,(2 m a P ，使得直线PB PA ,的倾斜角互补. 结论二 对于)0(1:22 22>>=+b a b y a x C ，经过点),0(n M 的直线与椭圆相交于B A 、两点，则存在点 )n ,0(2 b Q ，使得直线QB QA ,的倾斜角互补. 结论三 对于双曲线)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C ，经过点)0,(m M ，且斜率不为0的直线与双曲线相 交于B A 、两点，则存在点)0,(2 m a P ，使得直线PB PA ,的倾斜角互补. 结论四 对于)0,0(1:22 22>>=-b a b y a x C ，经过点),0(n M 的直线与双曲线相交于B A 、两点，则存在 点)n ,0(2 b Q ，使得直线QB QA ,的倾斜角互补. 结论五 对于抛物线px y C 2:2 =，经过点)0,(m M ，)0(>m 的直线与抛物线交于B A 、两点，则存 在点)0,(m P -，使得直线PB PA ,的倾斜角互补. 例如 2015年全国Ⅰ 就考过这样的题： 在直角坐标系xoy 中，椭圆C ：与直线y ＝kx ＋a (0>a )交于M ，N 两点， (Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (Ⅱ)x 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由. 7.(18全国2文科21题)已知函数()() 321 13 f x x a x x =-++． (1)若3a =，求()f x 的单调区间； (2)证明：()f x 只有一个零点． 解析：（1）解法1：当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤． 设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． 解法2：当1a =时，即证： 2()1x f x e x =-≥，()220x f x e x ex x '=-≥-≥，即()f x 在[)0,+∞递增，故()(0)1f x f ≥=。即2 ()1x f x e x =-≥ （2）分类讨论 解法1：设函数2 1()e x ax h x -=． ()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-． 当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e a h =- 是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2 e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0h =，即2 e 4 a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0h <，即2 e 4 a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以 3334224 1616161 (4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a =-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点． 综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2 e 4 a =． 解法2：当2 e a ≤ 时，由()2(2)0x f x e ax e a x '=-≥-≥，即()(0)1f x f ≥=恒成立， 故()f x 在(0,)+∞无零点 当2 e a > 时，则()f x 在(0,)+∞单零点的必要条件为()20x f x e ax '=-=（记此点为0x ），且0 2 00()0x f x e ax =-=，解得，2 e 4 a = 为了完备性，应证明零点存在。 分离参数 令2 ()0x f x e ax =-=，即：2 x e ax =。接下来就有3种解法了 解法1：记2()x h x e x =，那么3(())2x x e x x h '-=，故()h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，且0lim ()x h x →=+∞，lim ()x h x →+∞=+∞，所以2(2)4 e a h == 解法2：记()x e m x x =，那么2(1)()x e x m x x -'=，故()m x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，且0lim ()x m x →=+∞，故y ax =应与()m x 在1x >处某点0x 相切，则 00 x e ax x = (1) 例谈高中数学一题多解和一题多变的意义 杨水长 摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。 关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果 很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很 多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以 使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。 我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学 习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本， 高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可 以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取 一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明： 例题： 已知tanα=4 3 ,求sinα,cosα的值 分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题： 法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4 3= α αcos sin ， 且sina2α + cos2α =1。 两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5 4 或者 cosα= -54 ；而sinα=53或者sinα=-53 。 分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些： 法二 tanα=4 3 ：α在第一、三象限 在第一象限时： cos2α = ααcos sin cos 2 2 2 5+=αtan 2 11+=2516 cosα=5 4 sinα=αcos 21-=5 3 而在第三象限时： cosa=- 5 4 sina=- 53 分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα cos sin ?4cos α= 3sin α ?4cos α= 3sin α= ± 3 4cos sin 2 2 2 2 ++α α ∴sinα=53，cosα= 54 或sinα=-53，cosα=-54 分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之： 法四 当α为锐角时，由于tana=4 3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x sinA=AB BC = 53 ,cosA=AB AC =5 4 2018年高考全国二卷理科数学真题（解析 版） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 高三《一题多解 一题多变》题目 一题多解 一题多变（一） 原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0≤，得4≥m 变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立 0>∴m 且Δ0<，得4>m 变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数， ∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数 当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0?m < 40≤≤∴m 变3：182 23++=x n x mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911 82 2,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++?mn y n m y - ∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴ 5==n m ∴ 当m y =时，08 ==m n x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m 一 题 多 解- 解不等式523<<3-x 解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解 （1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-< 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为 所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III) 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。 【解析】 解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得13x ≤≤，故选D 。 解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性； 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55 t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<，故23x y >. 江苏卷 2017年江苏卷第5题：若tan 1-=46πα?? ???,则tan α= 【答案】75 【知识点】两角和与差的正切公式 【试题分析】本题主要考查了两角和与差的正切公式，属于基础题。 解法一：直接法 由61)4tan(=-π α，得6 1tan 4tan 14tan tan =+-αππ α，故可知57tan =α 解析二：整体代换 11tan()tan 7644tan tan[()]1445 1tan()tan 1446 ππαππααππα+-+=-+===---． 解法三：换元法 令t =-4π α，则61tan =t ，t +=4πα.所以57tan 11tan )4tan(tan =-+=+=t t t πα 2017年江苏卷第9题（5分）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项为S n ，已知S 3=，S 6= ，则a 8= ． 法二：65436144 7463a a a s s ++==-=- 84 71433 21654===++++q a a a a a a S 3=，∴ ，得a 1=，则a 8==32． 法三：9133 2165432136=+=+++++++=q a a a a a a a a a s s ∴q=2 ∴，得a 1=，则a 8==32． 2017年江苏卷第15题．（14分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ． 法二： 在线段CD 上取点G ，连结FG 、EG 使得FG ∥BC ，则EG ∥AC ， 因为BC ⊥BD ，所以FG ⊥BD ， 又因为平面ABD ⊥平面BCD ， 2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{} 5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm 4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移 4π个单位 B.向左平移4 π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12 π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 6.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤ 全国I 卷 1、【2017年高考数学全国I 理第5题】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【答案】D 【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。 【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。 【解析】 解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设()f x x =-，因为21()1x f --≤≤，所以121x -≤-≤，化简得 13x ≤≤，故选D 。 解析三：（特殊值法）假设可取=0x ，则有21()1f --≤≤，又因为1(12)()f f ->=-，所以与21()1f --≤≤矛盾，故=0x 不是不等式的解，于是排除A 、B 、C ，故选D 。 2、【2017年高考数学全国I 理第11题】设xyz 为正数，且235x y z ==，则 A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 【答案】D 【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性； 【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。属于中档题。 【解析】 解析一：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =， 2lg 22log 1lg 22t x t == ，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55 t z t ==， 要比较2x 与3y ，只需比较1lg 22，1 lg 33，即比较3lg 2与2lg3，即比较lg 8，lg 9，易知lg8lg9<， 故23x y >. 2018年天津市高考数学试卷（理科） 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（?R B）=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值 为（） A．6 B．19 C．21 D．45 3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（5分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．（5分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（） A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6．（5分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（） A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减 C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减 7．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直 于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（） A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1 8．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若 点E为边CD上的动点，则的最小值为（） A．B．C．D．3 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i是虚数单位，复数=． 10．（5分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为． 11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体 第11题 一道根式函数题的6种解法 设t t =求的取值范围（江苏高考解答题中的一个小题） 解法一：（平方化为二次函数）对t =两边平方得22t =+ 011≤-≤ 224,0t t ∴≤≤≥又 2t ≤≤ ， 故t 的取值范围是?? 解法二：（三角换元法）注意到 ))()211x + =-≤≤， 可用三角换元法，如下： 2sin ,0,2πααα??==∈???? 得 2sin 4t πααα? ?==+ ??? 由 32sin 24 4 424π π ππαα? ?≤+ ≤ ≤+≤ ?? ? t ∴的取值范围是?? 解法三：（三角换元法）[]11,cos ,0,x x θθπ-≤≤∴=∈令， 则有 cos sin cos sin 2222t θθ θθ??==+=+???? 以下解法同解法二，这两种换元法本质上是一样的，只不过是从不同角度看问 题的， 解法二，注意到了平方和为一个常数，解法三则由定义域[]1,1x ∈-入手． 解法四：（双换元法）,u v x ==消去得： 2 2 2u v +=，问题转化为方程组2 2 02 u v t u v u v +=?≤≤≤≤?+=?在条件下有解时， 求t 的取值范围，即动直线u v t +=与圆弧222(0u v u v +=≤≤≤≤有公共点时， 求t 的取值范围，以下用数形结合法解（略）。 解法五：（构造等差数列）由t =22 t =?， 2t 成等差数列。 22 t t d d =-=+， 消去x 得2 22222,442t d t d =+=-，由20d ≥知 22444t d =-≤，得2t ≤。 0。 222 d d ≤≤- ≤≤ 221 444422 t d ∴=-≥-?=2t ≤≤ 解法六：（构造向量法）设向量(1,1),(1p q x ==+，两向量的夹角为α， 则112cos 2t p q t αα=?=+=∴≤ 由图像知：当点位于坐标轴上时，cos α取最小值。 01,01,x t x t =====-=即得即也得 2t ≤≤ 解题反思：上述六种解法一个共同特点，都是从函数式的结构特点出发，或变更形式，或巧妙换元，或数形结合，或构造向量，都是数学转化思想的有效应用，但对六种方法作一对比，不难看出，方法一最为简单，究其原因，仍是平方后的结构简洁的特点所致，因此，函数结构特征决定求解方法。 通过解一道高考题，探索其多种解法，体现了换元法、向量法、解析几何 法以及数形结合、转化与化归等数学思想在求无理函数最值（值域）中的应用。 数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径众多，但最终却能殊途同归，即使一次性解题合理正确，也未必保证一次解题就是最佳思路与最优最简捷的解法，不能解完题就此罢手，应该进一步反思，探求一题多解，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，培养学生发散思维能力；探求一题多变，做到举一反三，在更高层次更富有创造性地去学习，摸索总结，使自己的解题能力能更上一层楼。 第12题 特值压缩法求解参数取值范围 已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x e cx d +，若曲线()y f x =和()y g x =曲线都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+。 函数篇 【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2- 解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是 11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +． 则切线分别为：111ln 1y x x x =?++，()2 2221ln 111x y x x x x = ++-++ ∴()12 2 12 21 11ln 1ln 11x x x x x x ?=?+?? ?+=+-?+? 解得112x = 21 2x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=- 解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和 22(,)x y ． ∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1 ln 11ln 22 b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e - B 33,24e - （）C.33[,)24e D.3 [,1) 2e 解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设 ()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x g x e x =+，可知()g x 在1(,)2 -∞-上单调递减， 在1 (,)2-+∞上单调递增，故 (0)(0) (1)(1)h g h g >-≤-?? ?得312a e ≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立； ②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21) ()1 x e x g x x -=-，则22 (23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2 x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32 min 3()()42 g x g e ==，即3 24a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。 ③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21) ()1 x e x g x x -=- 同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e ≥-= 此时3 [ ,1)2a e ∈ 综上所述，a 的取值范围是3[ ,1)2e 解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。 当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2 -∞-递减，在1(,)2 -+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B. 当34 a =时，33()(21)4 4 x f x e x x =--+，3'()(21)4 x f x e x =+-，因为3'()(21)4 x f x e x =+-为增函数，且31'(0)104 4 f =-=>，13'(1)04 f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3 (0)104 f =-+<，13(1)302 f e --=-+>， 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷Ⅱ）理科试卷 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1、答题前，考试现将自己的姓名，准考证号填写清楚，将条形 码准确粘贴在条形码区域内 2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号顺序在答题卡 各题目的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4、作图可先试用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、1212i i +=- A 、4355i -- B 、4355i -+ C 、3455i -- D 3455 i -+ 2、已知集合(){}22,|3,,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈则A 中元素的个数为（） A 、9 B 、8 C 、5 D4 3、函数 ()2x x e e f x x --=的图象大致是（） x x 4、已知向量() ,1,1,2a b a a b a a b =?=--=满足则（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、0 5、双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 则其渐近线方程为（） A 、 y = B 、 y = C 、2 y x =± D y x = 6、在△ABC 中，cos 2C = ，BC=1,AC=5,则AB=( ) A 、 B C D 7、为计算11111123499100S =-+-+ +-，设计了右侧的程序框图，则空白框中应填入 A 、i=i+1 B 、i=i+2 C 、i=i+3 D 、i=i+4 (全国II 卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题） 【理数10题】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =o ，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ） A ． 32 B ．155 C ．10 5 D ．33 【答案】C 【考点】 线面角 解法二：向量法：取空间向量的一组基底为{} 1,,BA BC BB u u u r u u u r u u u r ，则11AB BB BA =-u u u r u u u r u u u r ， 111BC BC CC BC BB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，易知15AB =u u u r ，12BC =u u u u r ， 21111111()()==2AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ?=-?+?+-?-?u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为111111 10 cos ,525AB BC AB BC AB BC ?<>== =??u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，故本题答案为C. 解法三：建系法：如图所示，以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,1),(3,1,0),(0,1,1),(3,1,1)B A BC AB -==-u u u u r u u u r ，所以异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值 1111 10 cos 25AB BC AB BC θ?== =??u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，故本题答案为C. 2018年全国普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z=，则∣z∣=（） A.0 B. 1 1 C.1 D.√2 2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则C R A =（） A、{x|-1 A. 34 AB → - 1 4 AC → B. 14 AB → - 34 AC → C. 34 AB → + 14 AC → D. 14 AB → + 34 AC → 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A. 2√17 B. 2√5 C. 3 D. 2 8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM → ·FN → =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值围是( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2+p 3 11.已知双曲线C ： 11 1 - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的 交点分别为M ，N . 若△OMN 为直角三角形，则∣MN ∣=( ) A. 3 2 B. 3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α 所成的角都相等，则α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. (北京卷）2018年高考数学一题多解（含17年高考试题） 1、【2017年高考数学北京理1】若集合{}–2<1A x x =<，{}–13B x x x =<>或，则A B =I （ ）. A.}12|{-<<-x x B.{}–2<3x x < C.{}–1<1x x < D. {}1<3x x < 【答案】A 【知识点】集合的交运算 【试题分析】本题考查考生的运算能力．属于基础题． 解析三（特殊值法）从选择支入手，令0=x ，得B A B A ???∈0,0,0则排除B 和C. 再令23-=x ，得：B A B A ?∈-∈-∈-2 3,23,23则，排除D ，故选A. 2、【2017年高考数学北京文11】已知0x …，0y …，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________． 【答案】]1,2 1[ 【知识点】直线与圆的综合，不等式的范围问题 【试题分析】本题考查数形结合思想，转化与化归思想的应用，考查考生的运算求解能力．属于中档题． 【解析】 解析一：由已知得：122)1(,,12222222+-=-+=++-=x x x x y x y x x y 得代入 ，时，取得最小值，当时，取得最大值或，当2 121110]1,0[,21)21(22===∈+-=x x x x x ].1,2 1[22的取值范围是所以y x + 解析二： 为与两坐标轴的交点分别设直线1=+y x ),0,1(),1,0(B A 上一点， 为线段点AB y x P ),(，到原点的距离为则22111002222=+-+≥ +=y x PO P ,1=≤AO PO 又，所以12222≤+≤y x ].1,21[22的取值范围是所以y x + 解析三：,220,022y x y x xy y x +≤+≤>>时，由基本不等式得：当 ,1,2 0,0222=++≤+>>y x y x y x y x 根据条件）（时，可得：当；得：2122≥+y x . 0,时，结果显然成立有一个为当y x .1)(20,022222=+=++≤+≥≥y x xy y x y x y x 时，另一方面，当 ].1,21[2 2的取值范围是所以y x + 解法四：θθ22cos ,sin ==y x 则由已知条件得：设， ].1,21[2sin 21-1cos sin 2)cos (sin cos sin 22 22224422∈=-+=+=+θθθθθθθy x ].1,21[22的取值范围是所以y x + ].1,21[],1,22[],1,22[)4sin(2∈∈∈+r r 所以：即：π θ ].1,21[2 2的取值范围是所以y x + 3、【2017年高考数学北京理11】在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为()1,0，则 AP 的最小值为___________. 【答案】1 2018高考理科数学全国一卷 一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变 化情况,统计了该地区系农村建设前 后农村的经济收入构成比例。得到 如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视 图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面 上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线 与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数 字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。 三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以 为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值 例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用能力。 在高三数学复习过程中，教师感到内容多，负担重，有讲不完的题目，学生也经常对教师讲过的内容印象不够深刻，记不住。要真正减轻学生的负担，必须从精讲精练开始。每做一道题都要发挥这道题的最大作用，“一题多解”可以使解题收效更为明显。解题后要认真总结，摸索规律，举一反三，通过这一教学模式，能对数学本质的了解、学习难点的突破、知识技能的巩固、思想方法的掌握、思维的拓展和迁移等教学目标的实现起到事半功倍的 效果。 在我校高三年级的一次联考试卷中，一道数列题涉及对以下不等式的证明。 当k>7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有 下面提供证明这道不等式的四种解法和简要分析。 证法一：∵k>7 = + +……+ + > ×（n+1）+ ×n+……+ ×n= + + + + + > + + + + + = > 证法分析：利用放缩法证明不等式，需要做到“放缩有度”。本题若直接将每一项放小至，得到的结果则是不等式的左边大于 > ，放缩过度，不能达到证明的目的，所以采用了“分组放缩法”，同时证明过程中也需考虑尽量使得计算简便。 证法二：记S= + +…… + 则S= + +…… + ∴2S=（ + ）+（ + ）+……+（ + ） ∴2S> ×（nk-n）= > > >3∴S> 即证。 证法分析：证法二的过程中利用了以下基本不等式：若x>0，y>0则有+ ≥ （当且仅当x=y时等号成立）。同时，关注到左边不等式中第k 项的分母与倒数第k项的分母之和均为nk+n-1，所以类比等差数列求和中采用的“倒序求和法”进行证明，方法巧妙，过程简洁。 证法三：先证明不等式+ + +…… > + ……（*） 下面采用数学归纳法证明此不等式。 （1）当n=1时，左边=1+ + + + + + >1+ > +1，不等式成立。 （2）假设当n=k时，+ + +……+ > + 成立，则当n=k+1时， 左边= + +……+ + + +……+ > + - + + +……+ > + > + 即当n=k+1时，此不等式成立。 由（1）、（2）可得，不等式（*）得证。则所需证明的不等式显然成立。 证法分析：原不等式不能直接采用数学归纳法证明的原因在于不等式的右边是一个常数，故可将右侧的式子“加强”为一个与n有关的式子。当然，如何恰当地将右边的式子进行加强，以达到可以利用数学归纳法进行证明，需要不断地尝试。 证法四：记S= + +…… + ， S> dx=lnx│ =lnk>ln7> 证法分析：利用定积分的性质进行证明。将看作是矩形ABCD的面积， 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；例谈高中数学一题多解和一题多变的意义
2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)
高三数学《一题多解 一题多变》试题及详解答案
2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案
2019-2020年高考数学一题多解含17年高考试题(III)
2017年高考数学一题多解——江苏卷
2018年浙江高考理科数学试题及答案
2018年高考数学一题多解——全国I卷
2018年天津市高考数学试卷(理科)
高考数学典型题一题多解系列三
高中数学真题与经典题一题多解解法与解析
2018年高考数学试题
(全国II卷)高考数学一题多解(含17年高考试题)
2018年全国高考理科数学(全国一卷)试题及答案
(北京卷)高考数学一题多解(含17年高考试题)
2018高考理科数学全国一卷试题及答案
例谈“一题多解”在高考数学复习中的作用共3页word资料
2018年高考全国1卷理科数学试题及答案解析