高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率学案苏教必修3

§3.1随机事件及其概率

3.1.1 随机现象

3.1.2 随机事件的概率

内容要求 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念(重点)；2.正确理解事件A出现的频率的意义(重点)；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系(难点).

知识点一必然事件、不可能事件与随机事件

事件类型定义

必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件.

不可能事件在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件.

随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件.

下面给出五个事件：

①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，ab＝ba.

其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________(填序号).

解析①是随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪.②是随机事件，当a＞1时，函数y＝a x在其定义域上是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝a x在其定义域上是减函数.

③是必然事件，实数的绝对值永远都是非负数.④是不可能事件，在标准气压下，水在0 ℃结冰.⑤是必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立.

答案③⑤④①②

知识点二随机事件的频率与概率

1.随机试验

(1)试验可以在相同的条件下重复进行；

(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；

(3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果.

称这样的试验是一种随机试验，简称试验.

2.随机事件的频率

在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次

数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A

n

为事件A 出现的频率. 3.随机事件的概率

若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则当试验次数n 很大时，可以将事件A 发生的频率

m n 作为事件A 的概率的近似值，即P (A )≈m n

. 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) 1.抛掷硬币试验是随机试验.( ) 2.频率就是概率.( )

3.随机事件A 的概率范围是0≤P (A )≤1.( ) 答案 1.√ 2.× 3.√

题型一 确定性现象与随机现象

【例1】 判断以下现象是否是随机现象： (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数； (2)冰水混合物的温度是0 ℃； (3)三角形的内角和为180°；

(4)一个射击运动员每次射击的命中环数；

(5)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口方向.

解 (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数有可能是0,1,2等，不能确定，因此是随机现象.

(2)常温常压下，冰水混合物的温度是0 ℃.若改变气压就不一定是0 ℃了，因此是随机现象.

(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，因此是确定性现象.

(4)射击运动员每次射击的命中环数可能是3，也可能是1等，因此是随机现象.

(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，当a ＞0时开口向上，当a ＜0时开口向下，故在

a ≠0的条件下开口方向可能向上也可能向下，因此是随机现象.

规律方法 (1)判断一个现象是否为随机现象，一定要注意其“可能发生，也可能不发生”这一本质特征.

(2)随机现象就是在相同条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所得结果不完全相同，而且无法准确地预测下一次所得的结果的现象.但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，那么它的总体就会呈现出一定的规律性.

(3)确定性现象和随机现象是有条件的，离开限定条件就很难判断是确定性现象还是随机现象.

【训练1】指出下列现象是确定性现象还是随机现象：

(1)三个球全部放入两个盒子，其中一个盒子有一个以上的球；

(2)函数y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域(－∞，0]上是增函数；

(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点的坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2＜r2成立.

解判断某一现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性.若一定发生或一定不发生，则它为确定性现象，否则为随机现象.

(1)随机现象；

(2)随机现象；

(3)确定性现象.

题型二事件的分类与判断

【例2】判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：

(1)某人购买福利彩票中奖；

(2)导体通电时发热；

(3)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；

(4)某人投篮10次，1次也没投中；

(5)早上看到太阳从西方升起；

(6)抛掷一颗骰子出现的点数为偶数；

(7)向上抛出的石头会下落；

(8)当x∈R时，|x|＜0.

解判断一个事件是哪类事件，首先要看清条件，其次看它在这一条件下是否一定发生某种结果.判断事件发生的可能性要有充分的依据，这些依据有的来自人们长期的实践经验和客观规律，还有的来自一些科学试验以及逻辑推理.

由题意知(2)(3)(7)是必然事件；

(5)(8)是不可能事件；

(1)(4)(6)是随机事件.

规律方法(1)判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，需考查该事件在一定条件下是必然发生、不可能发生还是既可能发生也可能不发生.

(2)必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象.

(3)对随机事件，可以进行大量重复的试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现出一定的规律性.

【训练2】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：

(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；

(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；

(3)若x ∈R ，则x 2

＋1≥1；

(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书. 解 (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件. (3)中的事件一定会发生，所以是必然事件. (4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.

探究1 频率与概率关系的理解

【例3－1】 下列说法正确的是________(填序号).

①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率P (A )＝m

n

； ③含百分比的数是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离n 次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.

解析 根据频率与概率的定义可知①正确；频率不是概率，而②中求出的是事件A 发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 答案 ①④⑤

探究2 用频率估计概率

【例3－2】 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.

转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”区域的次数m 68

111

136

345

564

701 落在“铅笔”区域的频率m n

(2)请估计，当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？

解(1)

(3)获得铅笔的概率约是0.7.

探究3 概率意义的理解

【例3－3】某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？解从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9

次.只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为9

10

n（其中n为射击次数）.而且n越大，

击中的次数就越接近9

10

n.

探究4 概率的应用

【例3－4】某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？

解列表如下：

的几率比较低.所以每个班被选中的可能性不一样.所以这种方法不公平.

规律方法(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值. (2)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性大小，近似反映了概率的大小.比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的.

(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随

试验结果的改变而改变.从数量上反映随机事件发生的可能性大小.

课堂达标

1.下列事件中的随机事件为________(填序号). ①若a ，b ，c 都是实数，则a (bc )＝(ab )c ； ②没有水和空气，人也可以生存下去； ③抛掷一枚硬币，反面向上；

④在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾.

解析 ①中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a ，b ，c 是恒成立的，故①是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故②是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故③是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故④是不可能事件. 答案 ③

2.从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中的必然事件是________(填序号). ①3人都是男生；②至少有1名男生； ③3人都是女生；④至少有1名女生.

解析 由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生. 答案 ②

3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的频率为________.

解析 做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为m n

.如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率.故810＝45

为事件

A 的频率.

答案 45

4.从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个.

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品.

其中必然事件是________，不可能事件是________， 随机事件是________(填序号).

解析 从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”.

答案 ⑥ ④ ①②③⑤

5.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表：

射击次数(n ) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m ) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率? ??

??m n

(1)(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 解 (1)如下表：

射击次数(n ) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m ) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率? ??

??m n

0.8

0.95

0.88

0.93

0.89

0.906

(2)课堂小结

1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).

2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.

3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关描述，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.

基础过关

1.下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x ∈R ，x 2

＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x ∈R ，x ＋2＝0. 其中随机事件的个数为________.

解析 ①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件. 答案 4

2.下列事件中，不可能事件为________(填序号). ①三角形中大边对大角，大角对大边； ②锐角三角形中两个内角和小于90°； ③三角形中任意两边的和大于第三边.

解析 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴②为不

可能事件，而①③均为必然事件.

答案②

3.下列说法正确的是________(填序号).

①一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是7

10

；

②一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上；

③某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报；

④大量试验后，可以用频率近似估计概率.

解析①的结果是频率，不是概率；②，③都没有正确理解概率的含义，④正确.

答案④

4.同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示出现的结果，其中x，y分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为________.

解析在这个试验中，(1,2)和(2,1)应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果. 答案36

5.下列说法正确的是________(填序号).

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；

②在同一次试验中，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；

③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；

④概率就是频率.

解析由频率、频数、概率的定义，易知①②正确.

答案①②

6.某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：

(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率.

解(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.

(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中使用寿

命不足1 500小时的频率是

600

1 000

＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.

7.李老师在某大学连续3年主讲经济学院高等数学，下表是李老师这门课3年的学生考试成

绩分布：

分数的概率(结果保留到小数点后三位)： (1)90分以上； (2)60～69分； (3)60分以上.

解 总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.

考试成绩在各个段上的频率依次为43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，

62645≈0.096，8

645

≈0.012.

用已有的信息可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下： (1)得“90分以上”记为事件A ，则P (A )≈0.067. (2)得“60～69分”记为事件B ，则P (B )≈0.140.

(3)得“60分以上”记为事件C ，则P (C )≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.

能力提升

8. 某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）为18，19，21，22，22，27，29，30，30，33，则数据落在区间［22，30）内的概率为________. 解析 数据在区间[22,30)内的有4个，对应的频率为4

10

＝0.4，以频率估计概率，故概率为0.4. 答案 0.4

9.给出下列三个命题，其中正确的命题有________个.

①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品； ②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是3

7；

③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.

解析 ①错，不一定是10件次品；②错，3

7是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是

两个不同的概念. 答案 0

10.某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：

落在桌面的数字1234 5 频数3218151322

解析落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35.所以频率为35

100

＝0.35.

答案0.35

11.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________.

解析数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知所求概率约为0.4.

答案64 0.4

12.有A，B两种乒乓球，A乒乓球的次品率是1%，B乒乓球的次品率是5%.

(1)甲同学买的是A种乒乓球，乙同学买的是B种乒乓球，但甲买到的是次品，乙买到的是正品，从概率的角度如何解释？

(2)如果你想买到正品，应选择哪种乒乓球？

解(1)因为A种乒乓球的次品率是1%，所以任选一个A种乒乓球是正品的概率是99%.同理任选一个B种乒乓球是正品的概率是95%.

由于99%＞95%，因此“买一个A种乒乓球，买到的是正品”的可能性比“买一个B种乒乓球，买到的是正品”的可能性大，但并不表示“买一个A种乒乓球，买到的是正品”一定发生.乙买一个B种乒乓球，买到的是正品，而甲买一个A种乒乓球，买到的却是次品，即可能性较小的事件发生了，而可能性较大的事件却没有发生，这正是随机事件发生的不确定性的体现.

(2)因为任意选取一个A种乒乓球是正品的可能性为99%，因此如果做大量重复买一个A种乒乓球的试验，出现“买到的是正品”的频率会稳定在0.99附近.同理做大量重复买一个B 种乒乓球的试验，出现“买到的是正品”的频率会稳定在0.95附近.因此若希望买到的是正品，则应选择A种乒乓球.

13.(选做题)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

日123456789101112131415

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.

解 (1)在容量为30的样本中，从表格中知不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天西安市不下雨的概率是2630＝13

15

.

(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为1416＝78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78

.