人教版九年级上册知识点强化训练：根与系数的关系 含答案

2020年人教版九年级上册知识点强化训练：根与系数的关系一．选择题（共8小题）

1．方程2x2﹣x﹣1＝0的两根之和是（）

A．﹣2B．﹣1C．D．

2．下列一元二次方程中，两实数根之和为3的是（）

A．x2+3x﹣3＝0B．2x2﹣3x﹣3＝0C．x2﹣3x+3＝0D．x2﹣3x﹣3＝0 3．已知x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1?x2是（）

A．﹣4B．4C．1D．﹣1

4．若x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1?x2的值是（）A．﹣5B．﹣1C．5D．1

5．已知方程x2﹣3x+1＝0的两个根分别是x1，x2，则x12x2+x1x22的值为（）A．﹣6B．﹣3C．3D．6

6．若关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，则m的值等于（）A．1B．2C．1或2D．0

7．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根，则α2+2α﹣β的值是（）A．3B．4C．5D．6

8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（）

A．B．C．D．0

二．填空题（共7小题）

9．已知方程2x2﹣6x+3＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2＝．

10．已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．11．设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝．

12．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于．13．已知m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，那么m2+mn+2n＝．

14．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两实数根分别为x1、x2，则+的值为．

15．已知实数ab满足等式a2+3a﹣2＝0，b2+3b﹣2＝0，那么求的值是．

三．解答题（共6小题）

16．关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；

（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．

17．已知x1、x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值：（1）x1x22+x12x2；

（2）x12+x22．

18．关于x的方程x2+（2a﹣3）x+a2＝0

（1）有两个不等的实数根，求a的取值范围；

（2）若x1、x2是方程的两根，且＝1，求a．

19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．（1）试证：无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；

（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x12+x22＝16，求m的值．

20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m2+1＝0．

（1）求证：该方程有两个实数根；

（2）若该方程的两个实数根都为正数，求m的取值范围；

（3）若该方程的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．

21．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若这个方程的两根为x1，x2，且满足x12﹣3x1x2+x22＝1，求k的值．

参考答案

一．选择题（共8小题）

1．解：2x2﹣x﹣1＝0

x1+x2＝﹣＝，

故选：C．

2．解：A、∵a＝1，b＝3，c＝﹣3，∴x1+x2＝﹣＝﹣3，不符合题意；

B、∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣3，∴x1+x2＝﹣＝，不符合题意；

C、∵a＝1，b＝3，c＝3，∴△＝9﹣12＝﹣3＜0，原方程无解，不符合题意；

D、∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，△＝9+12＝21＞0，∴x1+x2＝﹣＝3，符合题意．

故选：D．

3．解：∵x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，

∴x1?x2＝1，

故选：C．

4．解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，

所以x1+x2﹣x1?x2＝3﹣（﹣2）＝5．

故选：C．

5．解：由题意可知：x1+x2＝3，x1x2＝1，

∴原式＝x1x2（x1+x2）

＝1×3

＝3，

故选：C．

6．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+m2﹣3m+3＝0的两根互为倒数，∴，

解得：m＝2．

故选：B．

7．解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根

∴α2+3α﹣1＝0，α+β＝﹣3

∴α2+2α﹣β＝α2+3α﹣α﹣β＝α2+3α﹣（α+β）＝1+3＝4．故选：B．

8．解：∵x1+x2＝4，

∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，

∴x2＝，

把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，解得：m＝，

故选：A．

二．填空题（共7小题）

9．解：x1+x2＝﹣＝3．

故答案为3．

10．解：∵x1、x2是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，

∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．

故答案为：﹣2；﹣．

11．解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣5．

∵x1+x2﹣x1x2＝1，即﹣m﹣（﹣5）＝1，

∴m＝4．

故答案为：4．

12．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，

则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2

＝x12﹣4x1+2（x1+x2）

＝2020+2×4

＝2020+8

＝2028，

故答案为：2028．

13．解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，

∴m+n＝2，mn＝﹣5，m2﹣2m﹣5＝0，

∴m2＝2m+5，

∴m2+mn+2n

＝2m+5+mn+2n

＝﹣5+2×2+5

＝4．

故答案为：4．

14．解：∵方程x2﹣4x+3＝0的两实数根分别为x1、x2，

∴x1+x2＝4，x1?x2＝3，

∴+＝＝．

故答案为：．

15．解：当a＝b时，原式＝1+1＝2；

当a≠b时，可把a、b看作方程x2+3x﹣2＝0的两根，则a+b＝﹣3，ab＝﹣2，所以原式＝＝＝＝﹣6．

故答案为：2或﹣6．

三．解答题（共6小题）

16．解：（1）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根，

∴△＝32﹣4（m﹣1）＝13﹣4m≥0，

解得：m≤．

（2）∵方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2，

∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1．

∵2（x1+x2）+x1x2+10＝0，即﹣6+（m﹣1）+10＝0，

∴m＝﹣3．

17．解：根据根与系数的关系得x1+x2＝，x1x2＝．

（1）原式＝x1x2（x1+x2）＝×＝；

（2）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×＝．

18．解：（1）∵有两个不等的实数根，

∴△＝（2a﹣3）2﹣4a2＞0，

整理得：9﹣12a＞0，

解得：a，

即a的取值范围为：a，

（2）根据题意得：

x1+x2＝3﹣2a，

x1x2＝a2，

∵+＝1，

∴＝1，

解得：a1＝1，a2＝﹣3，

经检验：a1＝1，a2＝﹣3时，

a2≠0，

∴原方程的解为：a1＝1，a2＝﹣3，

又∵a，

∴a＝﹣3．

19．（1）证明：a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣2（m+3）．

△＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝m2+6m+25＝（m+3）2+16．∵（m+3）2≥0，

∴（m+3）2+16＞0，即△＞0，

∴无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x1，x2为方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣2（m+3），

∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝16，

∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16，

∴m2+2m﹣3＝0，

∴m1＝﹣3，m2＝1．

20．（1）证明：∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（﹣m2+1）

＝4m2≥0，

∴方程有两个实数根；

（2）根据题意得x1+x2＝2＞0，x1x2＝﹣m2+1＞0，即m2﹣1＜0，

∴﹣1＜m＜1；

（3）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣m2+1，

解方程组得，

∴，﹣m2+1＝0，解得m＝±1．

21．解：（1）△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，

∴△≥0，

∴此方程总有两个实数根．

（2）由根与系数关系得x1+x2＝1﹣k，x1x2＝k﹣2，∵x12﹣3x1x2+x22＝1，

∴（x1+x2）2﹣5x1x2＝1，

∴（1﹣k）2﹣5（k﹣2）＝1，

解得k1＝2，k2＝5．

由（1）得无论k取何值方程总有两个实数根，

∴k的值为2或5．