2020年高考新课标(全国卷1)数学(理科)模拟试题(一)

2020年高考新课标（全国卷1）数学（理科）模拟试题（一）

考试时间：120分钟 满分150分

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ??

=>-????

，则A B =I

A ．{}|04x x <<

B ．{}|22x x -<<

C ．{}|02x x <<

D ．{}|13x x << 2、以下判断正确的个数是（ ）

①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；

②命题“存在01,2

<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2

≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；

④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1?+=x y

. A ．4 B ．2 C.3 D ．1

3、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的

A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1

B A ，顶点

C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ?的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.

(

)2,13- D.()

31,0+

5、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是

A ．sin x

B ．cos x

C ．sin x -

D ．cos x - 6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=

x x x f 是偶函数，且在]4

,

0[π

上

是减函数的θ的一个值是 A ．

6π B ．3π C ．34π D ．6

7π

7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+

B.13599100a a a a a ++++=…

C.2469899a a a a a ++++=…

D.12398100100S S S S S ++++=-…

8、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为1

6

② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是3

所有正确的说法 A 、①

B 、①②

C 、②③

D 、①③

9、如图阴影部分1C 是曲线x y =

与x y =所围成的封闭图形，A 是两曲线在第一象限的交点，以

原点O 为圆心，OA 为半径作圆，取圆的第一象限的扇形OCAB 部分图形为2C ，在2C 内随机选取m 个点，落在1C 内的点有n 个，则运用随机模拟的方法得到的π的近似值 A 、

m n 23 B 、n m 3 C 、m n 3 D 、n

m 32 10、已知双曲线)0,(122

22＞b a b

y a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴

的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ?的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 11、已知函数()2

1ln (1)(0)2

x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1

B. ()1,+∞

C. 40,3

?? ??

?

D. 4,3??

+∞????

12、将边长为5的菱形ABCD 沿对角线AC 折起，顶点B 移动至B 处，在以点B '，A ，C ，为顶点的四面体AB 'CD 中，棱AC 、B 'D 的中点分别为E 、F ，若AC ＝6，且四面体AB 'CD 的外接球球心落在四面体内部，则线段EF 长度的取值范围为（ ）

A ． 14,232??

? ?? B ．14,42??

? ???

C ．

(

)

3,23

D ．

(

)

3,4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知4()(21)f x x =-,设423401234(21)x a a x a x a x a x -=++++，则1234234=a a a a +++_____.

14、已知,,A F P 分别为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>> 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若

2PFA PAF ∠=∠恒成立，则双曲线的离心率为 。

15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ?∈恒成立，

则整数λ的最大值为________________.

16、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则()19f =_____________

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17、（12分）在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知12=c ，64=b ，O 为ABC ?的外接圆圆心.（1）若5

4

cos =

A ，求ABC ?的面积S ；（2）若点D 为BC 边上的任意一点，1134

DO DA AB AC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r

，求B sin 的值.

18、（12分）图1是由矩形ADEB ，Rt ABC ?和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中1,2,AB BE BF ===60.FBC ∠=?将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，

连结DG ,如图2.（1）证明：图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ;（2）求图2的二面角B CG A --的大小。

19、（12分）已知函数()ln 1x x f x =++，()22g x x x =+．（1）求函数()()y f x g x =-的极值；（2）若m 为整数，对任意的0x >都有()()0f x mg x -≤成立，求实数m 的最小值．

20、（12分）已知点()1

0F -，，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ????-?+= ? ?????

u u u

v u u u u v u u u v u u u u v . （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点1F 作

直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围.（O 为坐标原点）

21、（12分）某医药开发公司实验室有*()n n ∈N 瓶溶液，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +.

（1）若5n =，其中2瓶中含有细菌R ，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率；（2）现对该n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P P 剟.若采用方案一，需检验的总次数为ξ，若采用方案二，需检验的总次数为η.(i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =；(ii)若1

41e P -=-，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln20.69≈，ln3 1.10≈，ln5 1.61≈，ln7 1.95≈.

（二）选考题：共10分。

请考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做选定的题目，若多做，则按所做的第1题记分. 22、(选修4-4坐标系与参数方程) 以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2

2

cos 2a ρθ=（a R ∈,a 为常数），过点(2,1)P 、倾斜角为30?的直线l 的参

数方程满足3

2x =+

（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且||||2PA PB ?=，求a 和||||||PA PB -的值．

23、(选修4-5 不等式选讲) 已知函数()212()f x x mx m R =-++∈。（1）若1m =，解不等式()6f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()2

1f x x x =-++有两个不等实根，求实

数m 的取值范围。

2020年高考新课标（全国卷1）数学（理科）模拟试题（一）

答案解析

一、选择题1-6题C B B A C B 7-12题 C D B A D B 二、填空题 13、8 14、2 15、4 16、3 部分（选填题）压轴题解析 11.()1(1)(1)

1'ax a x

f x x a x x +--+-=

=

，()()， ∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，

()()max 3112f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ??

-∞- ???

.

令()f x t =，则()()312y f f x f t t a ??

==≤-?? ?????，∵()f t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，

要使()y f t =的值域为3,

12a ?

?

-∞- ???

，则3112a -≥，43a ≥， ∴a 的取值范围是4

,3??+∞????

，故选D.

12.解析：由题意画出图形，可证AC ⊥平面B ′ED ，得到球心O 位于平面B ′ED 与平面ACF 的交线上，即直线EF 上，由勾股定理结合OA ＝OB ′，OE ＜EF ，EF ＜EB ′＝4可得线段EF 长度的取值范围．如图，由已知可得，AC ⊥B ′E ，且AC ⊥DE ，∴AC ⊥平面B ′ED ， ∵E 是AC 的中点，∴到点A 、C 的距离相等的点位于平面ACF 内， 同理可知，到点B ′、D 的距离相等的点位于平面ACF 内，

∵球心O 到点A ，B ′，C ，D 的距离相等，∴球心O 位于平面B ′ED 与平面ACF 的交线上，即直线EF 上．∴球心O 落在线段EF 上（不含端点E 、F ）， 显然EF ⊥B ′D ，由题意EA ＝3，EB ′＝4，则OA 2＝OE 2+9，

且OB ′2＝OF 2+FB ′2＝OF 2+EB ′2﹣EF 2＝（EF ﹣OE ）2+16﹣EF 2＝OE 2+16﹣2EF ?OE ． ∵OA ＝OB ′，∴OE 2+9＝OE 2+16﹣2EF ?OE ，则

，

显然OE ＜EF ，∴

7

2EF EF

＜，即142EF ．又EF ＜EB ′＝4，∴1442EF ＜．故选：B ．

解：由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0A -为圆心，以2为半径的

1

4

圆； 22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()0,0D 为圆心，以22为半径的

1

4

圆； 24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点()2,0C 为圆心，以2为半径的

1

4

圆； 46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点()4,0A 为圆心，以2为半径的

1

4

圆， 42x -≤<-的形状相同，因此函数()(y f x =的图像在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数

()

y f x =的周期是8；∴(19)(3)3f f ==，其图像如下：

三．解答题

解析：(1)由5

4

cos =A 得53sin =A ，

5

2

14453122821sin 21=

???==

?A bc S ABC ．……………………………3分 (2)由AC AB DA DO 4131+=-， 可得AC AB AO 41

31+=，

于是AO AC AO AB AO AO ?+?=?4

1

31， ……………………………………5分

OAC AO AC OAB AO AB AO ∠?+∠?=cos 4

1

cos 312，①

O 为△ABC 的的外接圆圆心，则AB OAB AO 21cos =∠， OAC AO ∠cos =AC 2

1

，②7分

将①代入②得到

28161AC AB +=1288

1

14461?+?=401624=+=解得102=AO ．10分 由正弦定理得10422sin ===AO R B b ， 可解得5

5

2sin =B ．…………12分 18. 解：（1）由已知得AD //BE ，CG //BE ，所以AD //CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 因为AB ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ．

（2）作EH⊥BC，垂足为H．因为EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．

以H为坐标原点，HC

u u u r

的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG

u u u r

=（1，0，3），AC

u u u r

=（2，–1，0）．设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

0,

0,

CG

AC

??=

?

?

?=

??

u u u r

u u u r

n

n

即

30,

20.

x z

x y

?+=

?

?

-=

??

所以可取n=（3，6，–3）．又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以

3

cos,

||||2

?

??==

n m

n m

n m

．

因此二面角B–CG–A的大小为30°．

19．（1）令()()()2

ln1

x

h g x x

x f x x

=--

-+

=（0

x>），则()

2

21

h

x x

x

x

--+

=．

()1

2

x

h x?<<

'>，()

2

1

x

h x?>

'<，

所以()()

f x

g x

-的单调递增区间为

1

0,

2

??

?

??

，单调递减区间为

1

,

2

??

+∞

?

??

．

所以()()

f x

g x

-在

1

2

x=处取极大值

1

ln2

4

-，无极小值．

（2）依题知，当1

x=时，

2

230

3

m m

-≤?≥，

又m为整数，当1

m=时，由（1）知()()

f x

g x

-的极大值为

1

ln20

4

-<，所以m的最小值为1．20．（1）设动点()

P x y

，，则()

4

H y

-，由

11

22

PF PM PF PM

????

-+=

???

????

u u u v u u u u v u u u v u u u u v

22

1

4

PF PM

∴=

u u u v u u u u v

，即

22

1

4

PF PM

=

u u u v u u u u v

，()22

2

1

14

4

x y x

∴++=+，化简得

22

1

43

x y

+=

（2）由(1)知轨迹C的方程为

22

1

43

x y

+=，当直线1l斜率不存在时

3

1,

2

A

??

--

?

??

，

3

1,

2

B

??

-

?

??

1322

DAB S AB OF ?∴=

?= 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为1x my =- ()0m ≠，设()11,A x y ()22,B x y

由221

143x my x y =-???+=??得()2234690m y my +--=.则21441440m ?=+>，

22634m y y m +=+12

29

34y y m -=+ 11212OAB

S OF y y ?=?-()2

12121142

y y y y =??+- ()

2

2

22

1

36362

34

34m m m

=+++()

22

2

1

634m m

+=+

2

1(1)m t t +=>，则()

2

6

31OAB t

S t ?==+ 21

66196196

t t t t t

=++++ ()196f t t t =++，则()21

'9f t t

=-

，当1t >时，()'0f t >， ()196f t t t =++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f ∴>=，13

6162OAB S ?∴<=

综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2??

???

21.（1）记事件为A 为“恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R ”， 事件B 为“第三次含有细菌R 且前2次中有一次含有细菌R ”， 事件C 为“前三次均不含有细菌R ”，则A B C =U ，且事件,B C 互斥，

所以1113223333

55113

()()()51010

A A A A P A P

B P

C A A =+=+=+=. ········································· 4分 2）（i ）()E n ξ=，η的取值为1,1n +，(1)(1),(1)1(1)n n P P P n P ηη==-=+=--， 6分

所以()(1)(1)1(1)1(1)n n n

E P n P n n P η??=-++--=+--??

， 由()()E E ξη=得1(1)n

n n n P =+--，所以1

*(1)1

()n P n n

=-∈N ； ·

························ 8分 (ii)14

1e P -

=-,所以4

()1e n E n n η-

=+-?，所以4

(1)e

n n n n -

+-?<， ························· 9分

所以ln 04n n -

>，设()ln (0)4x f x x x =->，114()44x

f x x x

-'=-=

， 当(0,4)x ∈时，()0f x '>，()f x 在(0,4)上单调递增；

当(4,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在(4,)+∞上单调递减， ································· 11分

又(8)ln823ln 2230.6920f =-=-≈?->，999

(9)ln92ln32 1.100444

f =-=-≈?-<， 所以n 的最大值为8. 12分

22、解：（1）由22cos 2a ρθ=得222

2

(cos sin )a ρθθ-=， --------------------------------------1分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得2

2

2

x y a -=，

∴C 的普通方程为2

2

2

x y a -=，-------------------------------------------------------------------2分 ∵过点(2,1)P 、倾斜角为30?的直线l 的普通方程为3

2)13

y x =-+，--------------3分 由322x t =+

得112

y t =+ ∴直线l 的参数方程为3

2212

x t t y ?=+????=+?? （t 为参数）；-------------------------------------------5分（2）将3

2212

x t t y ?=+???

?=+??代入222x y a -=，得222(231)2(3)0t t a +-+-=， --------------------------6分 依题意知22

[2(231)]8(3)0a ?=--->

则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、B 对应的参数，∵2

122(3)t t a ?=-，

由参数t 的几何意义知1212||||||||||PA PB t t t t ?=?=?，得12||2t t ?=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ?<，

∴122t t ?=-，即2

2(3)2a -=-，解得2

4a =（满足0?>），∴2a =±，-------------8分

∵1212||||||||||||||PA PB t t t t -=-=+，又122(231)t t +=--，

∴||||||432PA PB -=-．-------------------------------------------------------------------------10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f 当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3

1， 当x >

1时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <5，综合得1

5

3(，-． ………………………………………………5分

（Ⅱ）当x >

2

1

时，f (x )=(2+m )x +1． 当x ≤

21

时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则?

??≤-≥+，，0202m m

解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =

21时取得最小值2

1

m +2． y =-x 2+x +1在x =v 时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21

m +2<45，解得m <-23．

综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-2

3

．……………………………………10分