固态相变 知识点总结

固态相变 知识点总结
固态相变 知识点总结

固态相变

By Dong大魔王

固态相变:金属和陶瓷等固态材料在温度和压力改变时,其内部组织或结构会发生变化,即发生从一种状态到另一种状态的改变,这种转变称为固态相变。

按热力学分类:

一级相变:相变时新旧两相的化学势相等,但化学势的一级偏微熵不等的相变称为一级相变;

二级相变:相变时新旧两相的化学势相等,且化学势的一级偏微熵也相等,但化学势的二级偏微熵不相等的相变称为二级相变。

按平衡状态图分类:

①平衡相变指在缓慢加热或冷却过程中所发生的能获得的符合平衡状态相图的平衡组织的相变。主要有同素异构转变、多形性转变、平衡脱溶沉淀、共析相变、调幅分解、有序化转变。

②非平衡相变:伪共析相变、马氏体相变、贝氏体相变、非平衡脱溶相变

按原子迁移情况分类:

①扩散型相变:相变时,相界面的移动是通过原子近程或远程扩散而进行的相变称为扩散型相变。基本特点是:相变过程中有原子扩散运动,相变速率受原子扩散速度所控制;新相和母相得成分往往不同;只有因新相和母相比容不同而引起的体积变化,没有宏观形状改变。

②非扩散型相变:相变过程中原子不发生扩散,参与转变的所有原子的运动是协调一致的相变称为非扩散型相变。一般特征是:存在由于均匀切变引起的宏观形状改变,可在预先制备的抛光试样表面上出现浮突现象;相变不需要通过扩散,新相和母相的化学成分相同;新相和母相之间存在一定的晶体学位向关系;某些材料发生非扩散相变时,相界面移动速度极快,可接近声速。

试述金属固态相变的主要特征

①相界面:金属固态相变时,新相和母相的界面分为两种。

②位相关系:两相界面为共格或半共格时新相和母相之间必然有一定位相关系,两项之间没有位相关系则为非共格界面。

③惯习面:新相往往在母相一定晶面上形成,这个晶面称为惯习面。

④应变能:圆盘型粒子所导致的应变能最小,其次是针状,球状最大。固态相变阻力包括

界面能和应变能。

⑤晶体缺陷的影响:新相往往在缺陷处优先成核。原子的扩散:收扩散控制的固态相变可以产生很大程度的过冷。无扩散型的相变形成亚稳定的过度相。

⑥过度相的形成:固态相变的过程往往先形成亚稳相以减少表面能,因而常形成过度点阵。共格界面:若两相晶体结构相同、点阵常数相等、或者两相晶体结构和点阵常数虽有差异,单存在一组特定的晶体学平面使两相原子之间产生完全匹配。此时,界面上原子所占位置恰好是两相点阵的共有位置,界面上原子为两相所共有,这种界面称为共格界面。

当两相之间的共格关系依靠正应变来维持时,称为第一类共格;而以切应变来维持时,成为第二类共格。

半共格界面:

半共格界面的特点:在界面上除了位错核心部分以外,其他地方几乎完全匹配。在位错核心部分的结构是严重扭曲的,并且点阵面是不连续的。

非共格界面:当两相界面处的原子排列差异很大,即错配度δ很大时,两相原子之间的匹配关系便不在维持,这种界面称为非共格界面;一般认为,错配度小于0.05时两相可以构成完全的共格界面;错配度大于0.25时易形成非共格界面;错配度介于0.05~0.25之间,则易形成半共格界面。

金属固态相变时的相变阻力:包括界面能和弹性应变能。当界面共格时,可以降低界面能但使弹性应变能增大。当界面不共格时,盘状新相的弹性应变能最低,但界面能较高;而球状新相的界面能最低,但弹性应变能却最大。固态相变时究竟是界面能还是弹性应变能起主导作用取决于具体条件。

晶体缺陷的影响:金属固态相变时新相晶核总是优先在晶体缺陷处形成。因为晶体缺陷是能量起伏、结构起伏和成分起伏最大的区域。

在晶体缺陷区域形核原因:

①原子扩散激活能低,扩散速度快。

②相变应力容易被松弛。

③位错消失释放的部分能量可作为克服形成新相界面和相变应变所需的能量。

④位错依附在新相界面上,构成半共格界面中位错的一部分,结果也会使系统自由能降低。为什么固态相变中出现过渡相?晶体缺陷对固态相变形核有什么影响?

①当稳定的新相与母相的晶体结构差异较大时,母相往往不直接转变为自由能最低的稳定新相,而是先形成晶体结构或成分与母相比较接近,自由能比母相稍低些的亚稳定的过渡相。

此时,过渡相往往具有界面能较低的共格界面或半共格界面,以降低形核功,使形核容易进行。

②晶体缺陷是能量起伏、结构起伏和成分起伏最大的区域,在这些区域形核时,原子扩散中,从能量的观点来看,均匀形核的形核功最大,空位形核次之,位错形核更次之,晶界非均匀形核的形核功最小。

为什么新相形成的时候,常常呈薄片状或针状?如果新相呈球状,新相与母相之间是否存在位相关系?

①属固态相变时,因新相与母相恶比容不同,可能发生体积变化,但由于受到周围母相的约束,新相不能自由膨胀产生弹性应变能。而片状或针状的弹性应变能最小,所以新相形成时常常呈片状或针状

②存在位相关系。许多情况下,金属固态相变时,新相与母相之间往往存在一定的位相关系,且新相呈球状时与母相的弹性应变能最大,是由新、母相的比容不同或两相界面共格或半共格关系造成的,所以必然存在一定的位相关系。

共格、半共格界面的长大机制为台阶机制、切变机制;

非共格界面的长大机制为界面原子的扩散或者台阶机制。

新相的长大速度:取决于相界面的移动速度,即向母相的迁移速度。

新相的长大分为两种:

①新相形成时无成分变化,只有原子的近程扩散;

②新相形成时有成分变化,新相长大需要溶质原子的长程扩散。

临界冷却速度:在连续冷却中,使过冷奥氏体不析出先共析铁素体(亚共析钢)或先共析渗碳体(过共析钢高于Acm点的奥氏体化)以及不转变为珠光体或贝氏体的最低冷却速度分别成为抑制先共析铁素体或先共析碳化物析出以及抑制珠光体或贝氏体转变的临界冷却速度。

临界淬火速度:在连续冷却时,使过冷奥氏体不发生分解,完全转变为马氏体(包括残余奥氏体)的最低冷却速度。代表钢件淬火冷却形成马氏体的能力,是决定钢件淬透层深度的重要因素,也是选取钢材和正确热处理工艺的重要依据之一。

(凡是使CCT曲线右移的各种因素,都将降低临界淬火速度,提高形成马氏体的能力,容易获得完全的马氏体)

组织奥氏体化:为了使钢件经热处理后获得所需要的组织和性能,大多数热处理工艺都需要将钢件加热至相变临界点以上,形成奥氏体组织,称之为奥氏体化。完全奥氏体化温度在

Acm以上,不完全在A1以上Acm以下。

奥氏体的组织(各相大小形状)和结构(原子排列):奥氏体的组织通常是等轴状的多边形晶粒所组成,晶内常可出现相变孪晶。碳原子在奥氏体点阵中处于由Fe原子所组成的八面体中心间隙位置,即面心立方晶胞的中心或棱边中点。C原子呈统计性均匀分布,存在浓度起伏,C原子的存在,使奥氏体点阵发生等称膨胀,因而点阵常数随碳含量升高而增大。奥氏体的性能:

①奥氏体的硬度和屈服强度均不高

②因面心立方点阵滑移系较多,奥氏体的塑性很好,易于变形,即加工成型性好

③面心立方点阵是一种最密排的点阵结构,致密度高,故其比容最小

④因其自扩散激活能小,扩散系数小,所以热强性好

⑤奥氏体具有顺磁性,而转变产物均为铁磁性

⑥奥氏体的线膨胀系数大

⑦导热性差(故加热速度不能过快,以免因热应力过大而引起工件变形。

奥氏体的形成过程可以分为四个阶段

①奥氏体形核:由于浓度起伏,在平均碳浓度很低的铁素体中,存在着高碳微区,其碳浓度可能达到该温度下奥氏体能够稳定存在的成分(由GS线决定)。如果这些高碳微区因结构起伏和能量起伏而具有面心立方点阵结构和足够高的能量时,就有可能转变成该温度下稳定存在的奥氏体临界晶核。但是,这些晶核要保持下来并进一步长大,必须要有碳原子继续不断的供应

②奥氏体晶核向铁素体及渗碳体两个方向长大:当奥氏体在铁素体和渗碳体两相界面上形核后,便形成了γ/α和γ/Fe3C两个新的相界面。奥氏体的长大过程即为这两个相界面向原来的铁素体和渗碳体中推移的过程;同时在铁素体中也进行着碳的扩散。

③剩余碳化物的溶解:在奥氏体晶体长大过程中,由于γ/Fe3C相界面出的碳浓度差远远大于γ/α相界面处的碳浓度差,所以只需溶解一小部分渗碳体就可以使其相界面处的奥氏体达到饱和,而必须溶解大量的铁素体才能使其相界面处奥氏体的碳浓度趋于平衡。所以,长大中的奥氏体溶解铁素体的速度始终大于溶解渗碳体的速度,故在共析钢中总是铁素体先消失,有剩余渗碳体残留下来。关于渗碳体溶入奥氏体中的机制,一般认为是通过渗碳体中的碳原子向γ中扩散和铁原子向贫碳渗碳体扩散,以及渗碳体向γ晶体点阵改组来完成的。

④奥氏体的均匀化:在铁素体全部转变为奥氏体,且残留Fe3C全部溶解之后,碳在奥氏

体中的分布仍然是不均匀的。原来为渗碳体的区域浓度较高,而原来为铁素体的区域碳浓度较低。而且,这种碳浓度的不均匀性随加热速度增大而愈加严重。因此,只有继续加热或保温,借助于碳原子的扩散,才能使整个奥氏体中碳的分布趋于均匀。

奥氏体的晶粒度有三种:

①起始晶粒度:在临界温度以上,奥氏体形成刚刚完成,其晶粒边界刚刚接触时的晶粒大小

②实际晶粒度:在某一加热条件下所得到的实际奥氏体晶粒的大小。

③本质晶粒度:在930+-10℃下保温足够时间后测得的奥氏体晶粒大小。本质晶粒度只表示钢在一定条件下奥氏体晶粒长大的倾向性。

影响奥氏体形成速度的因素:

①加热温度的影响,即加热温度越高,奥氏体形成速度就越快,而且随着奥氏体形成温度的提高,奥氏体的起始晶粒细化,同时,相变的不平衡程度增大,在铁素体相消失的瞬间,剩余渗碳体量增多,因而奥氏体基体的平均含碳量降低。

②碳含量的影响,钢中碳含量越高,奥氏体形成速度就越快。但是,在过共析钢中由于碳化物数量过多,随碳含量增加会引起剩余碳化物溶解和奥氏体均匀化的时间延长。

③原始组织的影响,在钢的成分相同的情况下,原始组织中碳化物的分散度越大,则相界面就越多,形核率也就越大,刚的原始组织也越细,奥氏体的形成速度就越快。原始组织中碳化物的形状对奥氏体的形成速度也有一定的影响。与粒状珠光体相比,由于片状珠光体的相界面较大,渗碳体呈薄片状,易于溶解,所以加热时奥氏体容易形成。

④合金元素的影响,强碳化物形成元素降低碳在奥氏体中的扩散系数,并形成特殊碳化物且不易溶解,所以显著减慢奥氏体的形成速度。非碳化物则加速奥氏体的形成速度。另外加入合金元素可能会改变相变临界点的位置,即改变过热度,从而影响奥氏体的形成速度。钢中加入合金元素还可影响珠光体片层间距和碳在奥氏体中的溶解度,从而影响相界面浓度差和奥氏体中的浓度梯度以及形核功等,从而影响奥氏体的形成速度。

钢在连续加热时珠光体奥氏体转变有何特点?

在一定的加热速度范围内,相变临界点随加热速度增大而升高;相变是在一个温度范围内完成的;奥氏体起始金粒度大小随加热速度增大而细化;钢中原始组织的不均匀使连续加热时的奥氏体化温度升高;奥氏体成分的不均匀性随加热速度增大而增大;奥氏体的形成速度随加热速度的增大而增大,加热速度越快,奥氏体转变温度范围就越大。

影响奥氏体晶粒长大的因素:

①加热温度和保温时间的影响。加热温度越高,保温时间越长,奥氏体晶粒将越粗大,长大进行得也越快,但当长大到一定尺寸后,长大过程将减慢直至停止长大。

②加热速度的影响。加热速度越大,过热度愈大,获得的奥氏体起始晶粒度就越细小,但由于起始晶粒细小,加之温度较高,奥氏体晶粒很容易长大,因此宜长时间保温,否则晶粒反而更加粗大。所以在保证奥氏体成分均匀的前提下,快速加热并短时保温能够获得细小的奥氏体晶粒。

③钢中碳含量的影响。钢中碳含量不足以形成过剩碳化物时,加热时奥氏体晶粒随钢中碳含量增加而增大。当碳含量超过一定限度时,随钢中碳含量的增加,二次渗碳体的数量增加,奥氏体的晶粒反而细化

④合金元素的影响,加入形成难溶碳化物的合金元素阻碍奥氏体的长大,使奥氏体晶粒粗化温度显著提高。加入形成易溶化合物的合金元素也阻碍奥氏体的长大。

⑤冶炼方法的影响。通过第二相强化来影响。

⑥原始组织的影响。原始组织越细,碳化物弥散度愈大,所得到的奥氏体起始晶粒就越细小,但晶粒的长大倾向也越大,即钢的过热敏感性增大。

珠光体转变:冷却时由奥氏体向珠光体的共析相变。它是一种典型的平衡转变,所得产物为符合平衡状态图的平衡组织。

珠光体:共析碳钢加热奥氏体化后缓慢冷却,在稍低于A1温度时奥氏体将分解为铁素体与渗碳体的混合物成为珠光体。其典型形态呈片状或者层状、珠光体片

层间距:在片状珠光体中,一对铁素体和渗碳体的总厚度为珠光体片层间距,以S0表示珠光体团:片层方向大致相同的区域称为珠光体团或者珠光体晶粒。

珠光体的分类:随着珠光体转变温度的下降,片状珠光体的片层间距将减小。

按照S0分为:

①片状珠光体:S0在150~450nm

②索氏体:80~150nm

③屈氏体30~80nm

④粒状珠光体:铁素体基体上分布着粒状渗碳体的组织,称为粒状珠光体或球状珠光体。一般是经过球化退火得到的。

S0大小主要取决于珠光体的形成温度,也可以说是过冷度。连续冷却的条件下,冷却速度越大,形成温度越低,过冷度愈大,则片层间距就越小。原因是:形成温度越低,C原子的扩散能力下降,不易进行较大距离的迁移,因而只能形成片层间距较小的珠光体,但S0减小

则是铁素体与渗碳体的相界面积增大,即界面能增加。而这部分增加的能量由增大过冷度所得到的化学自由能差来提供。

领先相:过冷度小时,渗碳体是领先相,过冷度大时,铁素体是领先相;亚共析钢中,铁素体是领先相;在过共析钢中,渗碳体是领先相;在共析钢中,一般认为领先相是渗碳体。

阐述为什么珠光体形成时的领先相是渗碳体

①P中的Fe3C与从奥氏体中先共析的Fe3C晶体学位向相同,而P中的α与先共析α晶体

②学位向不相同;P中的Fe3C与转变前产生的Fe3C在组织上常常是连续的,而P中的α与转变前产生的α不连续;奥氏体中的未溶Fe3C有促进P形成。

珠光体的形成过程:

①通过碳的扩散形成低碳铁素体和高碳渗碳体

②晶体点阵重构,由FCC的奥氏体向BCC的铁素体和复杂斜方的Fe3C转变。

试述片状珠光体的球化过程与机理?

粒状珠光体是通过片状珠光体中渗碳体的球状花而获得的。若将片状珠光体加热至略高于A1点的温度,则得到奥氏体加未完全溶解的渗碳体的混合组织。此时,渗碳体已经不保持完整片状,而是凸凹不平、厚薄不匀,部分已经断开,在此温度下保温将使片状渗碳体球状花。其原因是:第二相颗粒在基体中的溶解度与其曲率半径r有关,与非球状渗碳体的尖角处(r较小)相接触的奥氏体具有较高的碳浓度,而与渗碳体的平面处(r较大)相接触的奥氏体具有较低的碳浓度,即在与渗碳体接触处产生了区域的碳浓度差。因此奥氏体中碳原子将从渗碳体尖角部位向渗碳体的平坦处扩散,其结果是破坏了γ/Fe3C界面的碳浓度平衡。为了恢复界面的碳浓度平衡,渗碳体尖角处将溶解而使其曲率半径增大,而渗碳体的平坦处将长大而使其曲率半径减小,以至逐渐成为各处曲率半径相近的颗粒状渗碳体,即得到在奥氏体基体上分布颗粒状渗碳体的组织。然后缓慢冷却到A1温度下,奥氏体将转变为珠光体。此时,领先相渗碳体不仅可以在奥氏体晶界处形核,更多的是从已存在的颗粒状渗碳体上长出,但已不能长成片状,最后得到颗粒状的珠光体。另外片渗碳体中有位错存在,可形成亚晶界或高密度位错区,在其与基体(稍低于A1温度时为铁素体)相接触处则出现凹坑,凹坑两侧的渗碳体具有较小的曲率半径,则与其相接触的基体具有更高的碳浓度从而将引起基体中碳原子的扩散,并以渗碳体的形式在原平坦处析出。为了维持界面平衡,渗碳体凹坑两侧的尖角会不断被溶解,使其r增大,但这样又破坏了界面处的表面张力的平衡,为了维持平衡,凹坑继续溶解而加深。如此不断进行,直至渗碳体片溶穿而断裂。断裂后的渗

碳体又按尖角溶解、平面析出的长大方式来进一步球状化。对组织为片状珠光体的钢进行塑性变形,将增大其中铁素体和渗碳体的位错密度和亚晶界数量,有促进渗碳体球化的作用。珠光体的纵向长大:是铁素体和渗碳体同时连续的向奥氏体中延伸

珠光体的横向长大:是渗碳体片与铁素体片交替堆叠增多

亚(过)共析钢先析相的析出:当奥氏体晶粒较细小时,等温温度较高或者冷却速度较缓慢时,所形成的先共析体铁素体一般呈等轴状;当奥氏体晶粒较粗大,冷却速度较快时,先共析铁素体可能沿奥氏体晶界呈网状析出;块状和网状铁素体形成时与奥氏体无共格关系。但奥氏体成分均匀。晶粒粗大,冷却速度又比较适中时,先共析铁素体有可能呈片(针)状,沿一定晶面向奥氏体晶内析出,此时铁素体与奥氏体有共格关系。在过共析钢中,先共析渗碳体的形态可以是粒状、网状或针(片)状。在过共析钢中,先共析渗碳体的形态可以是粒状、网状或针状。但过共析钢在奥氏体成分均匀、晶粒粗大的情况下,从奥氏体中直接析出粒状渗碳体的可能性很小,一般呈网状或针状渗碳体,此时将显著增大钢的脆性。因此,过共析钢的退火加热温度必须在Acm点以下(在Acm点以下形成的奥氏体和未溶渗碳体,缓冷时会在渗碳体上形核,而不在晶界处形成网状渗碳体),以避免网状渗碳体的形成。为了消除已形成的网状或针(片)状渗碳体,应当加热到Acm点以上,使渗碳体全部溶解到奥氏体中,然后快速冷却,使先共析渗碳体来不及析出而发生伪共析转变,得到伪共析组织,然后再球化退火,即正火+球化退火。

魏氏体组织:工业上将具有片(针)状铁素体加珠光体的组织称为魏氏组织,前者称为魏氏组织铁素体,后者称为魏氏组织渗碳体。

影响:一般认为,钢中魏氏组织的存在,虽然对抗拉强度影响不大,但却能显著降低钢的塑性,特别是冲击韧性大为降低,也使钢的冷脆转化温度升高。实验证明,不能笼统地把魏氏组织视为降低钢的机械性能的原因,魏氏组织常出现在晶粒粗大的奥氏体晶粒中,钢的机械性能变差,不仅是魏氏组织的影响,更主要是粗大的奥氏体晶粒造成的。

组织特征:

①试样表面产生浮突现象

②晶体学位向关系和惯习面

③形核和长大过程。

形成条件:

①等温条件或者连续冷却条件

②有一个上限温度Ws点

③易在粗晶粒的奥氏体中形成

④一定的冷却速度范围内才能形成

⑤钢中加锰,会促进魏氏组织形成。

常用的消除魏氏组织方法:有退火、细化晶粒退火、锻造等。

影响珠光体转变动力学的因素:

①化学成分的影响,对于亚共析钢,随着奥氏体中碳含量的增高,析出先共析铁素体的孕育期增长,析出速度减慢。各种合金元素,除钴以外,都推迟珠光体转变的进行。对于过共析钢,在完全奥氏体化的情况下,随着钢种碳含量的增高,碳在奥氏体中的扩散系数增大,渗碳体的形核率增大,先恭喜渗碳体析出的孕育期缩短,析出速度增大。珠光体转变的孕育期亦随之缩短,转变速度增大,所以相对来说,共析钢的过冷奥氏体最稳定。

②加热温度和保温时间的影响,提高加热温度或延长保温时间,转变速度低

③奥氏体晶粒度的影响,奥氏体晶粒细小,单位面积内的晶界面积增大,珠光体的形核部位增多,将促进珠光体的形成

④应力和塑性变形的影响,对奥氏体施加拉应力或进行塑性变形,促进珠光体的形核和晶体长大,加速珠光体的转变。

共析钢珠光体的机械性能:主要取决于奥氏体化温度和珠光体形成温度。随珠光体的片层间距以及珠光体团直径减小,珠光体的强度。硬度以及塑性均提高。碳化物颗粒越细小,硬度和强度就越高,碳化物颗粒越接近等轴状,分布越均匀,韧性越好。在相同的抗拉强度下,粒状珠光体比片状珠光体的疲劳强度有所提高。

铁素体加珠光体的机械性能:铁素体加珠光体的强度和韧性取决于钢中的碳含量,也取决于奥氏体化温度以及冷却速度。屈服强度主要取决于铁素体晶粒尺寸大小,塑性则随珠光体量的增多而下降,随铁素体晶粒的细化而升高。

派敦处理:就是使高碳钢获得细珠光体(索氏体)组织,再经过深度冷拔而获得高强度钢丝。

切变共格型相变:指在相变过程中,晶体点阵的重组是通过切变即基体原子有规律的近程迁移完成,并且新相与母相保持共格关系的相变。凡是相变的基本特征属于切变共格型的相变都称为马氏体相变,其相变产物称为马氏体。

Md和Ad分别称为形变诱发马氏体相变开始点和形变诱发奥氏体相变开始点,即可获得形变诱发马氏体的最高温度和形变诱发奥氏体的最低温度。

马氏体相变的主要特征:

①切变共格和表面浮突现象:马氏体相变时在预先磨光的试样表面可出现倾动,形成表面浮突,这表明马氏体相变是通过奥氏体均匀切变进行的。

②无扩散性:从马氏体相变的宏观均匀切变现象可以设想,在马氏体相变过程中原子是集体运动的,原来相邻的原子相变后仍然相邻,它们之间的相对位移不超过一个原子间距,即马氏体相变是在原子基本上部发生扩散的情况下发生的。(无扩散的实验证据:钢中奥氏体转变为马氏体时,仅由面心立方点阵通过切变转变为体心立方(体心正方)点阵,而无成分的变化;马氏体相变可以在相当低的温度(甚至4K)范围内以极快的速度进行,在这样低的温度下,原子扩散的速度极小,相变已不可能以扩散的方式进行。)

3.具有特定的位向关系和惯习面:通过均匀切变形成的马氏体与母相奥氏体之间存在严格的位向关系。在钢中已经发现的位向关系有K-S关系、西山关系和G-T关系。马氏体相变不仅新相和母相之间有严格的位向关系,而且马氏体是在母相的一定晶面上开始形成的,这个晶面即称为惯习面。

4.在一个温度范围内完成相变:必须将奥氏体快速冷却(大于临界冷却温度)至某一温度以下才能发生马氏体相变,这一温度称为马氏体相变开始点,以Ms表示。当奥氏体过冷到Ms点以下某一温度时马氏体相变即刻开始,不需要孕育期,并且以极大地速度进行。但在此温度下马氏体相变很快停止,即马氏体转变量不在增加。为使马氏体相变得以继续进行,必须不断地降低温度。如停止继续降温,马氏体相变则立即停止。即马氏体相变实在不断降温条件下进行的,马氏体转变量是温度的函数,而与等温时间无关。当冷却至某一温度以下时,马氏体转变便不再继续进行,这个温度称为马氏体相变终了点,用Mf表示。

5.可逆性:冷却时,奥氏体可以通过马氏体相变机制转变为马氏体,同样,重新加热时,马氏体也可以通过逆向马氏体相变机制转变为奥氏体,即马氏体相变具有可逆性。

Ms点:

定义:必须将奥氏体快速冷却至某一温度以下才能发生马氏体相变,这一温度称为马氏体相变开始点,以Ms表示。

物理意义:即为奥氏体和马氏体两相自由能差达到相变所需最小驱动力值时的温度。

影响钢中Ms点的主要因素:

①化学成分的影响,Ms点主要取决于钢的化学成分,钢中碳含量增加,马氏体相变的温度范围下降,合金元素除铝、钴外,均使Ms点降低

②形变与应力的影响,多向压缩应力将阻止马氏体的形成,因而降低Ms点。而拉应力或单向压应力往往有利于马氏体的形成,使Ms点升高

③奥氏体化条件的影响,加热温度升高和保温时间延长,使Ms点下降,若不发生化学成分变化,则使Ms点升高。在奥氏体成分一定的情况下,晶粒细化会使Ms点下降

④淬火冷却速度的影响,在正常淬火条件下,对奥氏体起强化作用。而极快的淬火速度会使Ms点升高。当冷却速度足够大时,Ms点不随淬火速度增大而升高

⑤磁场的影响,外加磁场将诱发马氏体相变,与不加磁场相比,Ms点升高。

⑥先马氏体转变的影响。珠光体提高Ms温度,贝氏体降低Ms。

马氏体的结构特征:随钢中碳含量升高,马氏体的点阵常数c增大,a减小,正方度c/a 增大。碳原子溶入铁素体体心立方单胞的八面体间隙中,使短轴方向上Fe原子的间距伸长,而使另外两个方向上收缩,从而使体心立方变成体心正方。由间隙碳原子造成的这种非对称畸变称为畸变偶极。

板条状马氏体是低碳钢、中碳钢、马氏体时效钢和不锈钢等合金中形成的一种典型的马氏体组织。其立体形态呈细长的板条状。显微组织中,板条马氏体成束状分布,一组尺寸大致相同并平行排列的板条构成一个板条束。板条束内的相邻板条之间以小角度晶界分开,束与束之间具有较大的位向差。在板条状马氏体内,存在着高密度位错构成的亚结构,因此板条状马氏体又称为位错马氏体。

针片状马氏体常见于淬火高、中碳钢以及高Ni的Fe-Ni合金中。其立体形态呈凸透镜状,显微组织为其截面形态,常呈片状或针状。针片状马氏体之间交错成一定角度。由于马氏体晶粒一般不会穿越奥氏体晶界,最初形成的马氏体针片往往贯穿整个奥氏体晶粒,较为粗大;后形成的马氏体针片则逐渐变细、变短。由于针片状马氏体内的亚结构主要为孪晶,故又称它为孪晶马氏体。根据内部亚结构的差异,可将片状马氏体的亚结构分为以中脊为中心的相变孪晶区(中间部分)和无孪晶区(片的周围部分,存在位错)。

影响马氏体形态及内部亚结构的因素:

①母相奥氏体的化学成分,主要是碳含量,随碳含量的增加,板条状向片状转变,位错向孪晶转变。合金元素中,凡能缩小奥氏体的均能促使得到板条状马氏体,反之,相反。在其他合金元素中,凡能够缩小伽马相区的元素均能促使得到板条状马氏体,凡能扩大的将促使马氏体形态从板条状转化为片状。能显著降低奥氏体层错能的合金元素(如Mn)将促使转化成为E马氏体。

②马氏体的形成温度。睡温度降低,形态按照板条状→蝶状→片状→薄片状的顺序变化,亚结构由位错向孪晶转变。

③奥氏体的层错能,较低时形成E马氏体

④奥氏体的屈服强度与马氏体的强度有关

⑤滑移和孪生变形的临界分切应力的大小。

马氏体的内部亚结构取决于相变时的变形方式是滑移变形还是孪生变形。

奥氏体的稳定化是指奥氏体的内部结构在外界因素作用下发生某种变化而使奥氏体向马氏体的转变呈现迟滞的现象。通常有热稳定化和机械稳定化两种。

奥氏体热稳定化:淬火时因缓慢冷却或在冷却过程中停留而引起奥氏体的稳定性提高,是马氏体转变迟滞的现象称为奥氏体的热稳定化。

原因:由于C、N原子在适当温度下向晶体点阵缺陷处偏聚(钉扎位错),因而强化了奥氏体,使马氏体相变的切变阻力增大所致。等温停留时,C、N原子向马氏体核坯的位错界面偏聚,包围马氏体核胚,直至足以钉死它,阻止其长大成为马氏体晶核。

Mc:奥氏体热稳定化的温度上限。

反稳定化:当等温温度超过一定限度后,随等温温度的升高,奥氏体稳定化的程度反而下降,这种现象称为反稳定化。反稳定化和深冷处理的方法都可促进残余奥氏体的马氏体转变。奥氏体的机械稳定化:在Md点以上温度对奥氏体进行塑性变形,超过一定变形量时会使随后的马氏体转变发生困难,Ms点降低,残余奥氏体量增多,引起奥氏体稳定化,称为机械稳定化。

原因:马氏体相变引起的相硬化也能引起奥氏体的机械稳定化。少量塑性变形可以促进马氏体转变,而大量的塑性变形将会使马氏体转变量减少,即产生奥氏体机械稳定化。塑性变形的温度越高,形变量越大,奥氏体的层错能越低,则奥氏体的机械稳定化效应越大。(由于塑性变形引入的晶体缺陷会破坏母相和新相的共格关系,使马氏体相变时的原子运动发生困难,因此增大了奥氏体的稳定性。)

为何马氏体转变有不彻底性(残余奥氏体产生的原因)?

当大量的马氏体形成后,剩下未转变的奥氏体被分割成很小的区域并受到巨大的各方向压力,阻止其继续向马氏体转变,另外许多工业用钢的Mf点处于室温以下,而通常淬火温度在室温,由于冷却不充分必然形成一定数量的残余奥氏体。

何为奥氏体的热稳定化,残余奥氏体的存在对钢的性能有何影响

奥氏体转变为马氏体能力减低的现象,称为奥氏体的热稳定化。残余奥氏体的存在使钢件软而粘,耐磨性差,不稳定,易发生时效变形与时效开裂,易发生磨削裂纹,易转变为马氏体而提高脆性,降低淬火硬度与工具钢的疲劳强度。

使马氏体具有高硬度、高强度的主要因素如下

①相变强化:马氏体相变的切变特性造成了在马氏体晶体内产生大量的微观缺陷(如位错、孪晶及层错等等),使马氏体强化,成为相变强化。

②固溶强化:融入马氏体中的原子造成晶格畸变,晶格畸变增大了位错运动的阻力,使塑性变形更加困难,从而使合金的强度与硬度增加。

③时效强化:时效强化是C原子扩散偏聚钉扎位错所引起的。因此,如果马氏体在室温以下形成,则在冷却至室温途中C原子的扩散偏聚已经自然形成。碳含量越高,时效强化效果就越显著。当碳含量大于0.4%时C原子可以通过时效强化对马氏体的强度做出贡献。

④马氏体的形变强化特征:马氏体本身比较软,但在外力作用下因塑性变形而急剧加工硬化,所以马氏体的形变强化指数很大,加工硬化率很高。碳含量愈高,形变强化效果就愈明显。马氏体的这种形变强化特征与畸变偶极应力场的强化作用有关。

⑤孪晶对马氏体强度贡献:马氏体中存在孪晶时,孪晶对强度有贡献。

⑥原始奥氏体晶粒大小和马氏体板条群大小对马氏体强度的影响:原始奥氏体晶粒越细小,马氏体板条群越细小,则马氏体强度就越高。

马氏体的强度主要决定于碳含量。

马氏体的韧性主要决定于亚结构。低碳位错型具有高的强度和良好的韧性。高碳孪晶型马氏体具有高的强度,但韧性更差。

马氏体相变产生的诱发塑性:金属及合金在相变过程中塑性增加,往往在低于母相屈服强度时即可发生塑性变形,这种现象称为相变诱发塑性。由马氏体相变产生的诱发塑性称为马氏体相变诱发塑性钢在室温变形时会诱发形变马氏体的形成,马氏体相变又诱发塑性。因此这类钢具有很高的强度和塑性。

马氏体相变诱发塑性的原因

①因塑性变形引起的局部应力集中,由于马氏体的形成而得到松弛,因而能够防止微裂纹的形成。即使微裂纹已经产生,裂纹尖端的应力集中亦会因马氏体的形成而得到松弛,故能抑制微裂纹的扩展,从而使塑性和断裂韧性提高。

②在发生塑性形变的区域,有形变马氏体形成,随形变马氏体量增多,形变强化指数不断提高,这比纯奥氏体经大量变形后接近断裂时的形变强化指数还要大。从而使已经发生塑性形变的区域难以继续发生变形,故能抑制颈缩的形成。

贝氏体定义:钢经奥氏体化后过冷到珠光体相变与马氏体相变之间的中温区时,将发生贝氏体相变,也称中温转变。在此温度范围内,铁原子难以扩散。而碳原子能扩散,其相变产物一般为铁素体基体加渗碳体的非层状组织。

贝氏体相变的特征:

①有一个温度变化范围,对应的有一个上限温度Bs点。贝氏体相变也不能进行完全,总有残余奥氏体的存在。等温温度越靠近Bs点,能够形成的贝氏体量就越少。

②贝氏体相变产物的组织形态与形成温度密切相关

③贝氏体相变动力学。等温转变需要一定的孕育期,曲线也为C曲线。

④贝氏体相变的扩散。只有碳原子扩散。

⑤贝氏体相变的晶体学特征。产生浮突现象,另外与母相存在一定的惯习面。

贝氏体的形态:

上贝氏体:在贝氏体相变区较高温度范围内形成的贝氏体称为上贝氏体。对于中高碳钢来说,大约在350--550的温度范围内形成。在光镜下呈羽毛状,条状或针状。

显微结构为一束大致平行的条状铁素体和夹于条之间的断续条状碳化物的混合物,在条状铁素体中有位错缠结存在。一般认为碳化物是从奥氏体中直接析出,分布在铁素体条之间。亚结构是缠结位错。表面浮突大致平行,从奥氏体晶界的一侧或两侧向晶粒内部生长。下贝氏体:在贝氏体相变区的较低温度范围内形成的贝氏体称为下贝氏体。对于中高碳钢下贝氏体大约在350--Ms之间形成。在光镜下呈暗黑色针状或片状,而且各个片之间都有一定的夹角。其立体形状为透镜状,与试样磨面相交而成片状或针状,显微结构是,铁素体呈角度相接触,在铁素体中分布着排列成行的细片状或粒状碳化物。并且以55~60度的角度与铁素体阵长轴橡胶。表面浮突呈V状。

亚结构也是缠结位错。一般认为碳化物既可以是渗碳体也可以是E碳化物,主要分布在铁素体内部,是从过饱和铁素体中析出。

无碳化物贝氏体:一般形成于低碳钢,是在贝氏体相变区最高温度范围内形成的。无碳化物贝氏体由大致平行的单相条状铁素体所组成,所以也称为铁素体贝氏体或无碳贝氏体,也有表面浮突。

钢中贝氏体的机械性能:

①贝氏体中铁素体的影响,贝氏体中铁素体晶粒越细小,贝氏体的强度越高,而且韧性也提高。随相变温度降低,位错密度增大,强度和韧性增高。随着贝氏体铁素体的亚结构尺寸减少,强度和韧性也提高。贝氏体中的铁素体的晶粒大小主要取决于奥氏体晶粒大小(影响铁素体条的长度)和形成温度(影响铁素体条的厚度),但以后者为主。贝氏体形成温度越低,贝氏体铁素体晶粒的整体尺寸就越小,贝氏体的强度和硬度就越高。另外,随着贝氏体铁素体的亚结构尺寸减小,强度和韧性也增高。

②贝氏体中渗碳体的影响。碳化物颗粒越细小,数量越多,对强度的贡献就越大,通常渗碳体等向均匀弥散分布时,强度较高,韧性较好。若渗碳体定向不均匀,则强度较低,且脆性较大。上贝氏体中渗碳体分布较均匀,且颗粒较细小,所以上贝氏体的强度和韧性要比下贝氏体低很多。

③贝氏体的强度和硬度、贝氏体的强度和硬度随相变温度降低而升高。另外高碳钢的下贝氏体具有高的强度和韧性。

④贝氏体体的韧性。上贝氏体的冲击韧性比下贝氏体要低,且贝氏体组织从上贝氏体过渡到下贝氏体时脆性转折温度突然下降。

试比较贝氏体转变与珠光体转变和马氏体转变的异同

马氏体转变较低温度切变共格发生形变有表面浮凸现象新相和母相之间存在一定的位相关系和惯习面新相和母相化学成分不同界面移动的速度极快,接近声速无扩散性

贝氏体转变上贝:形成温度高;下贝:较低C:扩散 Fe:切变不一定共格只有对应新相和母相比容不同引起的体积变化,没有形状及表面浮凸有一定的位相关系和惯习面新相和母相化学成分不同转变的不完全性长大速度很慢,转变速度取决于C的扩散速度扩散性珠光体转变不一定共格新相和母相化学成分不同取决于原子的扩散速度扩散性

回火:就是在淬火处理后将工件加热到低于临界点的某一温度,保温一定时间,然后冷却到室温的一种热处理操作。

目的:为了获得所需要的稳定组织和性能,并消除或减少淬火内应力。

作用:可通过目的延伸而来

淬火碳钢回火时的组织转变:

①马氏体中C原子偏聚(前期阶段,也称预备阶段或时效阶段)回火温度在80--100以下。在次阶段,从金相组织和硬度上都观察到不到有明显的变化,但此时在马氏体中将发生C原子的偏聚。低碳:对于板条状马氏体,由于其亚结构为大量位错,C原子倾向于再位错线附近偏聚,形成C的偏聚区,导致马氏体弹性畸变能的下降。高碳片状马氏体的、,由于其亚结构主要是孪晶,可悲利用的低能量位错很少,因此除少量C原子可以向位错偏聚外,大量C原子可能在某些孪晶面上富集,形成厚度和直径均小于1nm的小片状富碳区。富碳区的形成将使马氏体的电阻率以及硬度有所提高。

②马氏体的分解(回火第一阶段):回火温度在80~250度之间。随着回火温度升高及回火时间延长,富集区的碳原子将发生有序化,继而转变为碳化物起初,即马氏体发生分解。随着碳化物的析出,马氏体的碳含量不断降低,点阵常数c减小,a增大,正方度减小。

a.高碳马氏体的分解:由于回火温度不同,碳化物析出有两种不同的方式

(1)马氏体的双相分解,温度在125--150.以下。马氏体以双相分解方式进行。此时,随着碳化物的析出,出现两种正方度不同的F相,即具有高正方度的保持原始碳含量的为分解的马氏体和具有低正方度的碳已经部分析出的F相。双相分解的速度与温度有关,温度越高,分解速度就越快。

(2)马氏体的单相分解,温度在125--150以上。此时,碳原子的活动能力增强,能够进行较长距离的扩散。因此,已经析出的碳化物有可能从较远区域获得碳原子而长大,F相内的碳浓度梯度也可以通过碳原子的扩散而消除。在分解中不存在两种不同碳含量的F相。

b.低碳马氏体的分解:低碳(C<0.2%)的板条马氏体在100--200之间回火,一般不析出ε碳化物,碳原子仍然偏聚在位错线附近。高于200时,才有可能通过单相分解出碳化物,使铁素体集体中的碳含量降低。

第一阶段回火的结果:马氏体经过分解够获得的立方马氏体+ε碳化物的混合组织称为回火马氏体

③残余奥氏体转变(回火第二阶段转变):温度在200--300之间。此阶段是参与奥氏体向低碳马氏体和ε碳化物分解的过程。

组织为回火马氏体,或下贝氏体。分为:

1.残余奥氏体向珠光体及贝氏体的转变。一定量的马氏体的存在能促进残余奥氏体转变,尤其使贝氏体转变显著加速。

2:残余奥氏体向马氏体的转变:a等温转变成马氏体,是受马氏体分解所控制的马氏体等温转变。即在已经形成的马氏体发生分解之后,残余奥氏体才能等温转变为马氏体b二次淬火

④碳化物析出与转变:(回火第三阶段转变):温度在250--400之间。此阶段将发生亚稳碳化物(ε碳化物)向稳定碳化物的转化。转化时通过ε碳化物和渗碳体重新从马氏体的基体中析出的方式完成。最终得到铁素体加片状渗碳体的混合组织,称为回火屈氏体。

分为:

1高碳马氏体中碳化物的析出.

2低碳钢马氏体中碳化物析出.

3中碳马氏体中碳化物析出

⑤a相状态变化及碳化物聚集长大(回火第四阶段转变)回火温度高于400,片状渗碳体将逐渐球化并聚集长大,铁素体基体也将发生回复和再结晶以及淬火内应力的消除。一般将

等轴状铁素体加尺寸较大的粒状渗碳体的混合组织称为回火索氏体。

发生的过程有:

1内应力消失。

2回复和再结晶

3.碳化物的聚集长大。

按照小颗粒溶解、大颗粒长大的机制进行的。

合金元素对回火转变的影响:主要通过影响碳的扩散而影响马氏体的分解过程以及碳化物粒子的聚集长大速度,从而影响铁素体中碳化物的下降速度。这种作用的大小因合金元素与碳的结合力的大小不同而异。

二次淬火:若残余奥氏体比较稳定,在回火保温时未发生分解,在回火冷却时转变为马氏体的现象称为二次淬火

二次硬化:当马氏体中含有足够量的碳化物形成元素时,在500以上回火时将会析出细小的特殊碳化物,导致因回火温度升高,θ碳化物粗化而软化的钢再度硬化,这种现象称为二次硬化。

二次硬化是由于弥散、细小的特殊碳化物的析出造成的。对二次硬化有贡献的因素是特殊碳化物的弥散度、铁素体相中的位错密度和碳化物与铁素体相之间的共格畸变等。

回火时机械能的变化:总的趋势是随着或会温度升高,硬度和强度降低。但是低碳钢在200度以下回火时其组织因为发生自回火现象,因此组织变化较小,硬度变化不大。塑性不断上升。但是许多钢因为回火脆性,冲击韧性反而下降

钢的回火脆性:

第一类回火脆性:在250--400之间出现的回火脆性称为第一类回火脆性,也称低温回火脆性。几乎所有的钢均存在第一类回火脆性。

产生原因:主要与低温回火时的碳化物析出形态不良有关,不少试验证实,如果继续提高回火温度,由于析出的碳化物聚集和球化,改善了脆化界面的状态,因而有可能使钢的韧性得到恢复和提高。

主要特征:

1.不可逆性

2.与冷却速度无关

3.断口大多为晶间断裂,而在非脆化温度或会的工件一般为穿晶断裂。

影响第一类回火脆性的因素:

①有害杂质元素,S、P、As、Sb、Cu、N、H、O等

②促进第一类回火脆性的元素,Mn、Si、Cr、Ni、V等

③减弱第一类回火脆性的元素,Mo、W、Ti、Al等

减轻第一类回火脆性的措施:

①降低刚中杂质元素的含量

②用Al脱氧或加入Nb、V、Ti等合金元素以细化奥氏体晶粒

③加入Mo、W等减轻第一类回火脆性的合金元素

④加入Si、Cr以调整发生第一类回火脆性的温度范围,使之避开所需的回火温度

⑤采用等温淬火工艺代替淬火加回火工艺。

第二类回火脆性:在450--600之间出现的回火脆性称为第二类回火脆性,也称高温回火脆性。

主要特征:

1.可逆性

2.回火脆性对回火后的冷却速度敏感。快速冷去可消除或减弱第二类回火脆性。

3.断口呈晶间断裂。

产生原因:

1.Sb,Sn,P等杂质元素向原始奥氏体晶界偏聚是产生第二类回火脆性的主要原因

2.Ni,Cr,促进杂质元素向晶界偏聚,本身也向晶界偏聚,从而降低了晶界断裂强度,增大了回火脆化倾向。

3.Mo与杂质元素发生交互作用,抑制杂质元素向晶界偏聚,从而减轻回火脆化倾向。

预防措施:

1.对于回火脆性敏感钢料制造的小尺寸工件,可采用回火快冷的方法抑制回火脆性

2.采用含Mo钢,以抑制回火脆性发生。

3.对亚共析钢采用亚温淬火的方法,减少了P等元素在原始奥氏体晶界上的偏聚浓度,从而抑制了钢的回火催化倾向。

4.采用有害杂质元素极少的高浓度钢。

5.采用形变热处理方法以减弱回火脆性。

为什么弹簧类零件在淬火后一般采用中温(300~350℃)回火

随着回火温度的升高,淬火钢的强度σb、σs不断下降,而塑性δ、ψ不断升高,且在400℃时升高最显著,在350℃左右回火时弹性极限σe达到极大值。

脱溶:从过饱和固溶体中析出第二相(沉淀相)或形成溶质原子聚集区以及亚稳定过渡相的过程称为脱溶或沉淀,是一种扩散型相变。具有这种转变的最基本的条件是,合金在平衡状态图上有固溶度的变化,并且固溶度随温度降低而减小。

固溶处理:将双相组织加热到固溶度线MN以上的某一温度保温足够时间,然后进行极冷,获得的过饱和的单相固溶体α称为固溶处理。

时效强化:脱溶形成溶质原子聚集区以及亚稳定过渡相可以显著提高合金的强度和硬度,称为沉淀强化或时效强化,它属于脱溶处理。

时效:合金在脱溶过程中其机械性能、物理性能、化学性能等均随之发生变化,这种现象称为时效。室温下产生的时效是自然失效,高于室温下的时效成为人工时效。

脱溶过程的脱溶顺序为:G.P.区→θ’→θ’→θ相。

G.P.区:由若干原子层范围内的溶质原子聚集区称为G.P.区。

特点:

1在过饱和固溶体的分解初期形成,且形成速度很快,通常为均匀分布;

2其晶体结构与母相过饱和固溶体相同,并与母相保持第一类共格关系;

3在热力学上是亚稳定的。

过渡相的形成及其结构:

(1)θ”相具有正方点阵,与基体保持着完全共格关系。该相仍为薄片状。随着它的长大,在其周围基体中产生的应力和应变也不断的增大。

(2)θ’相具有正方点阵,其与基体保持部分共格关系。

(3)θ相得点阵常数与θ’相及θ”相相差甚大,与基体无共格关系。呈块状。θ相也具有正方度。

为什么析出平衡相的相变驱动力最大,但首先析出的却是G.P.区

之所以先形成G.P.区而后形成过渡相和平衡相θ,是由于G.P.区与基体相完全共格,所需克服的应变能较小,而θ相与基体相非共格,另一方面,G.P.区与基体浓度差最小,容易通过扩散来形核和长大。

连续脱溶:在合金的脱溶过程中,脱溶物附近基体中的浓度变化为连续的即为连续脱溶。无析出区:某些时效型合金在晶界析出的同时,还会在境界附近形成一个无析出区,无析出区的存在将降低合金的屈服强度,易于在该区发生塑性变形,导致晶间破坏。

无析出区的形成原因:与晶界附近的点缺陷和位错线的浓度有关。浓度低导致无析出区形成,晶界形成相吸收了晶界附近的原子。

非连续脱溶:非连续脱溶也称为胞状脱溶,脱溶时两相耦合成长,与共析转变很相似。因为其脱溶物中的铁素体相和母相铁素体相之间的溶质浓度不连续而成为非连续脱溶溶。脱时沿晶界形核,向晶内长大,与共析转变相似。非连续脱溶的显微组织特征是在晶界上形成界限明显的领域,称为胞状物或瘤状物。

应力诱发再结晶:非连续脱溶形成胞状物时一般伴随着基体的再结晶。随着析出的进行,所产生的应力和应变逐渐增大,当达到一定程度时,基体就会发生回复以致再结晶,这种再结晶称为应力诱发再结晶。

时效硬化:由于固溶强化效应,固溶处理所得到的过饱和固溶体的硬度和强度均较纯溶剂高。在时效初期,随着时效时间的延长,硬度将进一步升高,称为时效硬化。

冷时效:在较低温度下进行的时效,其硬度变化曲线的特点是硬度一开始就迅速上升,达一定值后硬度缓慢上升或者基本上保持不变。冷时效的温度越高,硬度上升的就越快,所能达到的硬度就越高。冷时效过程中主要形成G.P.区。

温时效:在较高温度下发生的时效,硬度变化开始有一个停滞阶段,接着硬度迅速上升,达到一极大值后又随时间延长而下降。温时效过程中将析出过渡相和平衡相。温时效的温度越高,硬度上升就越快,达到最大值的时间就越短,但所能达到的最大硬度反而就越低。时效合金的回归现象:许多时效型合金在时效强化后,于平衡相或过渡相的固溶度曲线以下某一温度加热,时效硬化现象会立即消除,硬度基本上恢复到固溶处理状态,这种现象称为回归。

回归现象的实质是:通过时效形成的GP区在加热到稍高于GP区固溶度曲线的温度时,GP 区发生溶解,而过渡相和平衡相则由于保温时间过短而来不及形成,再次快冷至室温后仍获得过饱和固溶体。

调幅分解:某些合金在高温下具有均匀单相固溶体,但冷却到某一温度范围时可以分解成与原固溶体结构相同但成分不同等分两个微区,这种转变称为调幅分解。

调幅分解的特点:G对C含量的二次偏导数小于0,即自发的不需要形核的过程,单纯是一个扩散过程,分解过程中的原子由低浓度区向高浓度扩散,即上坡扩散(之所以能够进行,是因为组元的扩散偏聚能降低系统的自由能之故。)

新人教版六年级上册数学重要章节知识点归纳总结

新人教版六年级上册数学各单元知识点总结 第一单元:分数乘法 一、分数乘法 (一)分数乘法的意义: 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如: 98×5表示求5个9 8的和是多少? 2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 例如: 98×4 3表示求9 8的4 3是多少? (二)、分数乘法的计算法则: 1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。 3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。 注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。 (三)、规律:(乘法中比较大小时) 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。 一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。 一个数(0除外)乘1,积等于这个数。 (四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。

(五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。 乘法交换律: a × b = b × a 乘法结合律: ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律:( a + b )×c = a c + b c a c + b c = ( a + b )×c 二、分数乘法的解决问题 (已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的几分之几是多少) 1、画线段图: (1)两个量的关系:画两条线段图;(2)部分和整体的关系:画一条线段图。 2、找单位“1”:在分率句中分率的前面;或“占”、“是”、“比”“相当于”的后面 3、求一个数的几倍:一个数×几倍;求一个数的几分之几是多少:一个数×几 。 几 4、写数量关系式技巧: (1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“ = ”(2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1 分率)=分率对应量 第二单元:位置与方向 1、位置是相对的,要指出一个物体的位置,必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物,就以谁为观测点。 2、东偏北30。也可说成北偏东60。,但在生活中一般先说与物体所在方向

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理

最新高中数学导数知识点归纳总结

高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义: 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义:(求函数在某点处的切线方程) 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ,切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3.基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=(C 为常数) ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算: 19

六年级知识点归纳总结汇总

六年级知识点归纳总结 第一单元分数乘法 1.分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。2.分数乘整数的计算法则:分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变。 (为了计算简便,能约分的要先约分,然后再乘。) 注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。 3.一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘分数的计算法则:分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。 5.整数乘法的交换律、结合律和分配律,对分数乘法同样适用。 乘法交换律: a × b = b × a 乘法结合律: ( a × b )×c = a × ( b × c ) 乘法分配律:( a + b )×c = a c + b c a c + b c = ( a + b )×c 6.乘积是1的两个数互为倒数。 7.求一个数(0除外)的倒数,只要把这个数的分子、分母调换位置。 1的倒数是1。0没有倒数。 真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。 注意:倒数必须是成对的两个数,单独的一个数不能称做倒数。 8.一个数(0除外)乘以一个真分数,所得的积小于它本身。 9.一个数(0除外)乘以一个假分数,所得的积等于或大于它本身。 10.一个数(0除外)乘以一个带分数,所得的积大于它本身。 11.分数应用题一般解题步骤。 (1)找出含有分率的关键句。

(2)找出单位“1”的量(以后称为“标准量”)找单位“1”:在分率句中分率的前面;或“是”、“占”、“比”、“相当于”的后面 (3)画出线段图,标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可,标准量与比较量不是整体与部分的关系画两条线段即可。(4)根据线段图写出等量关系式:标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍:一个数×几倍; 求一个数的几分之几是多少:一个数×几 几 。 写数量关系式技巧: (1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“ = ” (2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量 (3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1 分率)=分率对应量(5)根据已知条件和问题列式解答。 12.乘法应用题有关注意概念。 (1)乘法应用题的解题思路:已知一个数,求这个数的几分之几是多少?单位“1”×对应分率=对应量 (2)找单位“1”的方法:从含有分数的关键句中找,注意“的”前“是、比、相当于、占、等于”后的规则。 (3)甲比乙多几分之几?计算方法是:(甲-乙)÷乙= 甲÷乙-1甲比乙少几分之几?计算方法是:(甲-乙)÷甲 = 1-乙÷甲 (4)“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思,“减少”、“下降”、“裁员” 等蕴含“少”的意思,“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。 (5)当关键句中的单位“1”不明显时,要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几之几”或“甲比乙多几分之几”、“甲比乙少几分之几”的形式。(6)乘法应用题中,单位“1”是已知的。 (7)单位“1”不同的两个分率不能相加减,加减属相差比,始终遵循“凡是

实变函数论主要知识点.docx

实变函数论主要知识点 第一章集合 1、集合的并、交、差运算;余集和De Morgan公式;上极限和下极限; 练习:①证明(A-B)-C = A-(BUC); ②证明E[f>a]=QE[f>a + -]; ?=i n 2、对等与基数的定义及性质; 练习:①证明(0,1)□口; ②证明(0,1)0 [0,1]; 3、可数集的定义与常见的例;性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用;可数集合 的基数; 练习:①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个; ②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集; ?Q =________ ; ④[0,1 ]中有理数集E的相关结论; 4、不可数集合、连续基数的定义及性质; 练习:?(0J)= _______ ; ②卩= ________ (P为Cantor集);

第二章点集 1、度量空间,n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间:设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间),若V上定义着正定对称双线性型g (g称为内积),则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间)。具体来说,g是V上的二元实值函数,满足如下关系: ⑴ g(x,y)=g(y,x); (2) g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z); (3) g(kx,y)=kg(x,y); (4) g(x,x)>=0,而且g(x,x)=O当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量,k是任意实数。 2、,聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法);开核,导集,闭包的概念、性质及判定(求法); 聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点,则称z为E的聚点。内点:如果存在点P的某个邻域U(P)eE,则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质;直线上开集的构造; 4、Cantor集的构造和性质; 5、练习:?P=__________ , P' = ______ , P= ________

(完整版)导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?,那么函数y 相应地有增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0),比值x y ??叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率,即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时,x y ??有极限,我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。 即f (x 0)=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明:

(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→?x 时,x y ??有极限。如果x y ??不存在极限,就说函数在点x 0处不可导, 或说无导数。 (2)x ?是自变量x 在x 0处的改变量,0≠?x 时,而y ?是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤: (1)求函数的增量y ?=f (x 0+x ?)-f (x 0); (2)求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( .)' ''v u v u ±=± 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数, 即: .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: .)(''Cu Cu = 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -(v ≠0)。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解——求导——回代。法则:y '|x = y '|u ·u '|x 五、导数应用 1、单调区间: 一般地,设函数)(x f y =在某个区间可导,

人教版六年级数学下册知识点归纳总结

人教版六年级数学下册知识点归纳总结1、负数的由来: 为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……).光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。所以出现了负数.以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负 2、负数:小于0的数叫负数(不包括0).数轴上0左边的数叫做负数。 若一个数小于0.则称它是一个负数。 负数有无数个.其中有(负整数.负分数和负小数) 负数的写法:数字前面加负号“-”号.不可以省略例如:-2.-5.33.-45.-2/5 正数:大于0的数叫正数(不包括0).数轴上0右边的数叫做正数 若一个数大于0.则称它是一个正数。正数有无数个.其中有(正整数.正分数和正小数) 正数的写法:数字前面可以加正号“+”号.也可以省略不写。 例如:+2.5.33.+45.2/5 4、0 既不是正数.也不是负数.它是正、负数的分界限 负数都小于0.正数都大于0.负数都比正数小.正数都比负数大 5、数轴: 6、比较两数的大小: ①利用数轴: 负数<0<正数或左边<右边 ②利用正负数含义:正数之间比较大小.数字大的就大.数字小的就小。负数之间比较大小.数字大的反而小.数字小的反而大 1/3>1/6 -1/3<-1/6 第二单元百分数二 (一)、折扣和成数 1、折扣:用于商品.现价是原价的百分之几.叫做折扣。通称“打折”。

几折就是十分之几.也就是百分之几十。例如:八折=8/10=80﹪. 六折五=6.5/10=65/100=65﹪ 解决打折的问题.关键是先将打的折数转化为百分数或分数.然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。 商品现在打八折:现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五:现在的售价是原价的65﹪ 2、成数:几成就是十分之几.也就是百分之几十。例如:一成=1/10=10﹪八成五=8.5/10=85/100=80﹪ 解决成数的问题.关键是先将成数转化为百分数或分数.然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成:这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五:今年小麦的收成是去年的85﹪ (二)、税率和利率 1、税率(1)纳税:纳税是根据国家税法的有关规定.按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 (2)纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。(3)应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。(4)税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。 (5)应纳税额的计算方法:应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率 2、利率(1)存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。 (2)储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社.储蓄起来.这样不仅可以支援国家建设.也使得个人用钱更加安全和有计划.还可以增加一些收入。(3)本金:存入银行的钱叫做本金。(4)利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。(5)利率:利息与本金的比值叫做利率。(6)利息的计算公式: 利息=本金×利率×时间利率=利息÷时间÷本金×100% (7)注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税).则: 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率) 税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税率) 购物策略: 估计费用:根据实际的问题.选择合理的估算策略.进行估算。 购物策略:根据实际需要.对常见的几种优惠策略加以分析和比较.并能够最终选择最为优惠的方案 学后反思:做事情运用策略的好处 第三单元圆柱和圆锥

实变函数与泛函分析要点

实变函数与泛函分析概要 第一章集合基本要求: 1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。 2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。 3、会求已知集合的并、交、差、余集。 4、了解对等的概念及性质。 5、掌握可数集合的概念和性质。 6、会判断己知集合是否是可数集。 7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。 8、了解半序集和Zorn引理。 第二章点集基本要求: 1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。 2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。掌握聚点的性质。 3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。 4、会求己知集合的开集和导集。 5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质,掌握一批例子。 6、会判断一个集合是非是开(闭)集,完备集。 7、了解Peano曲线概念。 主要知识点:一、基本结论: 1、聚点性质§2 中T1聚点原则: P0是E的聚点? P0的任一邻域内,至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn},使Pn→P0 (n→∞) 2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3 T2:设A?B,则A ?B ,· A? · B, - A? - B。 T3:(A∪B)′=A′∪B′. 3、开(闭)集性质(§3中T1、2、3、 4、5) T1:对任何E?R?,?是开集,E′和― E都是闭集。(?称为开核,― E称为闭包的理由也 在于此) T2:(开集与闭集的对偶性)设E是开集,则CE是闭集;设E是闭集,则CE是开集。T3:任意多个开集之和仍是开集,有限多个开集之交仍是开集。 T4:任意多个闭集之交仍是闭集,有限个闭集之和仍是闭集。 T5:(Heine-Borel有限覆盖定理)设F是一个有界闭集,?是一开集族{Ui}i?I 它覆盖了F(即Fс ∪ i?IUi),则?中一定存在有限多个开集U1,U2…Um,它们

高中数学总结导数知识梳理

导数 一、导数的概念 1.导数的背景 (1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。 如一物体的运动方程是,其中的单位是米,的单位是秒,那么物体在 时的瞬时速度为_____(答:5米/秒) 2.导数的定义 如果函数在开区间(a,b)内可导,对于开区间(a,b)内的每一个,都对应着一个导数,这样在开区间(a,b)内构成一个新的函数,这一新的函数叫做 在开区间(a,b)内的导函数,记作,导函数也简称为导数。 3、求在处的导数的步骤: (1)求函数的改变量; (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数。 4、导数的几何意义: 函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率,即曲线在点处的切线的斜率是,相应地切线的 方程是。 特别提醒: (1)在求曲线的切线方程时,要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某 点的切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲线上也不一定只有一条; (2)在求过某一点的切线方程时,要首先判断此点是在曲线上,还是不在曲线上,只 有当此点在曲线上时,此点处的切线的斜率才是。 比如:

(1)P 在曲线上移动,在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ______(答:); (2)直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______(答:-3 或1); (3)已知函数(为常数)图像上处的切线与的夹角为,则点的横坐标为_____(答:0 或); (4)曲线在点处的切线方程是______________(答:);(5)已知函数,又导函数的图象与轴交于。①求的值;②求过点的曲线的切线方程 (答:①1;②或)。[1] 二、相关背景 从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产 生了。 公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求 即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最 小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一 个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普 勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。他们

小学六年级数学知识点归纳总结

小学六年级数学知识点归纳总结 六年级上册 知识点概念总结 1.分数乘法:分数乘法的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数和的简便运算。 2.分数乘法的计算法则: 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变;分数乘分数,用分子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母。但分子分母不能为零.。 3.分数乘法意义 分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的和的简便运算。一个数与分数相乘,可以看作是求这个数的几分之几是多少。 4.分数乘整数:数形结合、转化化归 5.倒数:乘积是1的两个数叫做互为倒数。 6.分数的倒数 找一个分数的倒数,例如3/4把3/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/3。3/4是4/3的倒数,也可以说4/3是3/4的倒数。 7.整数的倒数 找一个整数的倒数,例如12,把12化成分数,即12/1,再把12/1这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是1/12,12是1/12的倒数。 8.小数的倒数: 普通算法:找一个小数的倒数,例如0.25,把0.25化成分数,即1/4,再把1/4这个分数的分子和分母交换位置,把原来的分子做分母,原来的分母做分子。则是4/1 9.用1计算法:也可以用1去除以这个数,例如0.25,1/0.25等于4,所以0.25的倒数4,因为乘积是1的两个数互为倒数。分数、整数也都使用这种规律。

10.分数除法:分数除法是分数乘法的逆运算。 11.分数除法计算法则:甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。 12.分数除法的意义:与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数。 13.分数除法应用题:先找单位1。单位1已知,求部分量或对应分率用乘法,求单位1用除法。 14.比和比例: 比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一,其实它们之间的问题完全可以用一句话概括:比,等同于算式中等号左边的式子,是式子的一种(如:a:b);比例,由至少两个称为比的式子由等号连接而成,且这两个比的比值是相同(如:a:b=c:d)。 所以,比和比例的联系就可以说成是:比是比例的一部分;而比例是由至少两个比值相等的比组合而成的。表示两个比相等的式子叫做比例,是比的意义。比例有4项,前项后项各2个. 15.比的基本性质:比的前项和后项都乘以或除以一个不为零的数。比值不变。 比的性质用于化简比。 比表示两个数相除;只有两个项:比的前项和后项。 比例是一个等式,表示两个比相等;有四个项:两个外项和两个内项。 16.比例的性质:在比例里,两个外项的乘积等于两个内项的乘积。比例的性质用于解比例。

六年级下册知识点归纳总结

第一单元主题是“人生感悟”。五篇课文从不同的角度阐明了人生的哲理。 《文言文两则》表达了学习应该专心致志和看待事物应该有不同角度的道理; 《匆匆》表达了作者对时光飞逝的惋惜和无奈,渗透着珍惜时间的意识; 《桃花心木》借物喻人,说明人的成长应该经受考验,学会独立自主。 《顶碗少年》蕴含着“失败乃成功之母”的哲理。 《手指》阐明“团结就是力量”的道理。 第一课《文言文两则》 1.背诵课文,默写。 2.知识点: 《学弈》选自《孟子.告子》,《学弈》这个故事,说明了学习应专心致志,不可三心二意的道理; 《两小儿辩日》选自《列子.汤问》,这个故事体现了两小儿善于观察,说话有理有据以及孔子实事求是的态度,同时告诉我们看待事物可以有不同的角度和学无止境的道理。 3.注释 (1)字、词: 弈:下棋。通国:全国。诲:教导。惟弈秋之为听:只听弈秋(的教导)。鸿鹄:天鹅。援:引,拉。俱:一起。弗:不。矣:了。为:因为。其:他的,指后一个人。 重点文中几个“之”的意思 辩斗:辩论,争论。以:认为。去:离。日中:正午。及:到。沧沧凉凉:形容清凉的感觉。沧沧:寒冷的意思。探汤:把手伸向热水里。意思是天气很热。汤:热水。决:判断。孰:谁。汝:你。 (2)句子: 为是其智弗若与?曰:非然也。 (译)难道是因为他的智力不如别人好吗?我说:不是这样的。 我以日始出时去人近,而日中时远也。 (译)我认为太阳刚出来的时候离人近一些,中午的时候离人远一些。 孰为汝多知乎? (译)谁说你的知识渊博呢? (3)译文: 《学弈》

弈秋是全国的下棋高手。他教导两个学生下棋,其中一个学生非常专心,只听弈秋的教导;另一个学生虽然也在听弈秋讲课,心里却一直想着天上有天鹅要飞过来,想要拉弓引箭把它射下来。虽然他俩在一块儿学习,但是后一个学生不如前一个学得好。难道是因为他的智力不如别人好吗?我说:不是这样的。 《两小儿辩日》 有一天,孔子到东方游学,看到两个小孩为什么事情争辩不已,便问是什么原因。 一个小孩说:“我认为太阳刚出来的时候离人近一些,中午的时候离人远一些。” 另一个小孩却认为太阳刚出来的时候离人远些,而中午时要近些。 一个小孩说:“太阳刚出来的时候像车盖一样大,到了中午却像个盘子,这不是远的时候看起来小而近的时候看起来大的道理吗?” 另一个小孩说:“太阳刚出来的时候有清凉的感觉,到了中午却像把手伸进热水里一样,这不是近的时候感觉热而远的时候感觉凉的道理吗?” 孔子也不能判断是怎么回事。 两个小孩笑着说:“谁说你的知识渊博呢?” 第二课《匆匆》(散文) (写作特色:作者运用设问、比喻、排比、拟人等句式将不易察觉的时光匆匆,一去不复返写得形象生动,富有感染力) 1.背诵课文。 2.知识点: 《匆匆》的作者是著名散文大师朱自清(本文是他24岁时所写),他的散文名篇有《匆匆》、《背影》、《荷塘月色》等。本文紧扣“匆匆”二字,细腻地刻画了时间流逝的踪迹,表达了作者对时光流逝的无奈和惋惜。 3.理解句子: (1)燕子去了,有再来的时候;杨柳枯了,有再青的时候;桃花谢了,有再开的时候。但是,聪明的,你告诉我,我们的日子为什么一去不复返呢? 用排比的句式,表明大自然的枯荣是时间飞逝的痕迹。“我们的日子为什么一去不复返呢?”看似在问,实际上表达了作者对时光逝去而无法挽留的无奈和对已逝日子的深深留恋。 仿写:太阳落了,有再升起的时候;月亮缺了,又再圆的时候;潮水退了,有再涨的时候。 (2)像针尖上一滴水滴在大海里,我的日子滴在时间的流里,没有声音,也没有影子。

重点高中数学导数知识点归纳总结

高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义: 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率, ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算: 法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ()()()()f x g x f x g x '''±=±????

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即:()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方: () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x,则)(x f为常函数。 2.函数的极点与极值:当函数)(x f在点 x处连续时, ①如果在 x附近的左侧)('x f>0,右侧)('x f<0,那么) (0x f是极大值; ②如果在 x附近的左侧)('x f<0,右侧)('x f>0,那么) (0x f是极小值. 3.函数的最值: 一般地,在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤:①求函数) (x f的导数,令导

实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点

实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算;余集和De Morgan 公式;上极限和下极限; 练习: ①证明()()A B C A B C --=-U ; ②证明1 1[][]n E f a E f a n ∞=>=≥+U ; 2、 对等与基数的定义及性质; 练习: ①证明(0,1):?; ②证明(0,1)[0,1]:; 3、 可数集的定义与常见的例;性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用;可数集合的基数; 练习: ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个; ②证明平面上坐标为有理数的点的全体 所成的集合为一可数集; ③Q = ; ④[0,1]中有理数集E 的相关结论; 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质; 练习: ①(0,1)= ; ②P = (P 为Cantor 集);

第二章点集 1、度量空间,n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space),在数学中是指一个集合,并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间(或称为向量空间),若V上定义着正定对称双线性型g(g称为内积),则V称为(对于g的)内积空间或欧几里德空间(有时仅当V是有限维时,才称为欧几里德空间)。具体来说,g是V 上的二元实值函数,满足如下关系: (1)g(x,y)=g(y,x); (2)g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z); (3)g(kx,y)=kg(x,y); (4)g(x,x)>=0,而且g(x,x)=0当且仅当x=0

时成立。 这里x,y,z是V中任意向量,k是任意实数。 2、,聚点、界点、内点的概念、性质及判定(求法);开核,导集,闭包的概念、性质及判定(求法); 聚点:有点集E,若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点,则称z为E的聚点。 内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E,则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质;直线上开集的构造; 4、Cantor集的构造和性质; 5、练习:①P=o,P'=,P=; ②11 1,,,, 2n ' ?? ?? ?? L L= ; 第三章测度论 1、外测度的定义和基本性质(非负性,单调性,次可数可加性); 2、可测集的定义与性质(可测集类关于可数

人教版六年级数学下册知识点归纳总结

第一单元负数 1、负数的由来: 为了表示相反意义的两个量(如盈利亏损、收入支出……),光有学过的0 1 3.4 2/5……是远远不够的。所以出现了负数,以盈利为正、亏损为负;以收入为正、支出为负 2、负数:小于0的数叫负数(不包括0),数轴上0左边的数叫做负数。 若一个数小于0,则称它是一个负数。 负数有无数个,其中有(负整数,负分数和负小数) 负数的写法:数字前面加负号“-”号,不可以省略例如:-2,-5.33,-45,-2/5 正数:大于0的数叫正数(不包括0),数轴上0右边的数叫做正数 若一个数大于0,则称它是一个正数。正数有无数个,其中有(正整数,正分数和正小数) 正数的写法:数字前面可以加正号“+”号,也可以省略不写。 例如:+2,5.33,+45,2/5 4、0 既不是正数,也不是负数,它是正、负数的分界限 负数都小于0,正数都大于0,负数都比正数小,正数都比负数大 5、数轴: 6、比较两数的大小: ①利用数轴:

负数<0<正数或左边<右边 ②利用正负数含义:正数之间比较大小,数字大的就大,数字小的就小。负数之间比较大小,数字大的反而小,数字小的反而大 1/3>1/6 -1/3<-1/6 第二单元百分数二 (一)、折扣和成数 1、折扣:用于商品,现价是原价的百分之几,叫做折扣。通称“打折”。 几折就是十分之几,也就是百分之几十。例如:八折=8/10=80﹪, 六折五=6.5/10=65/100=65﹪ 解决打折的问题,关键是先将打的折数转化为百分数或分数,然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。 商品现在打八折:现在的售价是原价的80﹪ 商品现在打六折五:现在的售价是原价的65﹪ 2、成数:几成就是十分之几,也就是百分之几十。例如:一成=1/10=10﹪八成五=8.5/10=85/100=80﹪ 解决成数的问题,关键是先将成数转化为百分数或分数,然后按照求比一个数多(少)百分之几(几分之几)的数的解题方法进行解答。这次衣服的进价增加一成:这次衣服的进价比原来的进价增加10﹪ 今年小麦的收成是去年的八成五:今年小麦的收成是去年的85﹪ (二)、税率和利率

高中数学导数知识点归纳总结

导 数 主要内容 导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.考试要求:(1)了解导数概念的某些实际背景.(2)理解导数的几何意义.(3)掌握函数,y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式,会求多项式函数的导数.(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值. §14. 导 数 知识要点 1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注:①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系: ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则

实变函数学习心得

实变函数学习心得 实变函数课在我国高等学校数学系的教学计划中属于专业基础课,是一门承上启下的课。下面是为大家准备的实变函数学习心得体会,希望大家喜欢! 实变函数学习心得体会范文篇1 学习实变函数这们课已经一个学期了,对于我们数学专业的学生,大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大,所以根据我自己学习这门课的心得与方法,有以下几点: 1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础,因此,想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。 2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程,龙老师上课也讲得比较快、比较抽象,因此,适当的预习是必要的,了解老师即将讲什么内容,相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些,那么你的学习就会变得比较主动、深入,会取得比较好的效果。 3、上课认真听讲,认真做笔记。龙老师是一位博学的老师,上课内容涵盖许多知识。因此,上课应注意老师的讲解方法和思路,其分析问题和解决问题的过程,记好课堂笔记,实变函数这门课比较难,所以建议听课是一个全身心投入听、记、思相结合的过程。 4、课后复习,做作业,做练习。我们作为大三的学生,我们要学

会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容,巩固学习。复习不是简单的重复,应当用自己的表达方式再现所学的知识,例如对某些定理证明的复习,不是再读一遍书或课堂笔记,而是离开书本和笔记,回忆有关内容,理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时,大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握,不要一头扎进题海中去。 所以,我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务,学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路,尽可能地掌握作业题目,在记忆的基础上理解,在完成练习中深化理解,在比较中构筑知识结构的框架,是提高学习实变函数课程效率的重要途径。 实变函数学习心得体会范文篇2 古语有云:微机原理闹危机,汇编语言不会编,随机过程随机过,量子力学量力学,实变函数学十遍。其它的不好说,这实变函数确实要多看几遍的。虽然我曾旁听过这门课,但是对于其中的种种总感觉模模糊糊,不甚明了。前几日在网上down了一个完整的教学视频,便想着把这门课重新来过,遂借着这片地方留下一些印记,好督促自己万不可半途而废。 1、集合列的极限有上下极限之分,只有当上下极限相等时,才称集合列存在极限。对于上极限可以这样定义: {x|x属于无穷多个An}.无穷多是用文字语言来进行形象的描述,那么转换成数学的语言应该是怎样的呢?类比数学分析中的聚点原理,我们可以假设若x属于某个Am,那么一定可以找到mm,使得x也属于m,如若不然,x就属于有限个集合,而不是无穷多个了。上述

六年级英语知识点归纳总结

六年级英语知识点归纳 总结 集团档案编码:[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

英语知识点归纳总结 Lesson 1 1.at the airport 在机场,用介词at 2.This is 用于介绍某人或某物 This is Li Ming. This is a desk. This 的复数是these, 反义词that, that 的复数those This is a book. 改为复数句:These are books. 3.live in 生活在,住在 4.Cindy is coming to Canada. 现在进行时表示将来要发生的事情。 5.want to do sth. 想要做某事 I want to go shopping. Want sth. 想要某物 I want that cat. 6.go to school 去上学 7.arrive at +小地点(如机场,学校,酒店等) arrive in + 大地点(如城市,国家等) 8.日期表达法:月份+序数词 September first 9月1日 9.基数词变序数词

口诀:第一·第二·第三特殊记, 八去t, 就去e, f来把ve替,ty需变tie 若是遇到几十几,变个位,th最后加上去 10.What time is it=What’s the time What day is it 11.at 5:00pm 在几点钟用at on Sunday 在周几用on In the morning/afternoon/evening 在早上/下午/傍晚用in 12.Nice to see you.=Nice to meet you. 13.Have a good trip. 旅途愉快! 14.Let’s=Let us 后面的动词用原形 Lesson 2 1.Jenny’s house 名词所有格的用法 https://www.360docs.net/doc/151092148.html,e in进来 go out出去 3.I’ll=I will后面动词用原形 4.mine, yours是名词性物主代词,后面不能加名词。 5.What's in the bedroom 在房间里用介词in 6.show sb. Sth.=show sth. to sb. 7.单词 House 房子 room 房间 living room 起居室 Kitchen厨房 bathroom 浴室 bedroom卧室

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