计算结构力学读书报告

计算结构力学读书报告

XX1

（XX大学）

摘要：本文主要叙述了在阅读与学习《计算结构力学》这本书的一些相关的心得体会；在学习由原作者所创立的样条有限点法的过程中，收获了一些新的理解与体验。

关键词：计算结构力学；样条有限点法；读书报告

Computational Structural Mechanics Reading Report

（XX）

Abstract: This article mainly describes some of the relevant experiences in reading and learning the book “Computational Structural Mechanics”. In the process of learning the spline point method established by the original author, some new understandings and experiences were learned.

Keywords: computational structural mechanics; spline finite point method; reading report

引言

工程中的许多问题，从本质上来说都可以归结到力学问题。而这些力学问题，如果按照传统的解析求解方式，往往只能求解一些较为简单和理想化的力学问题，同时又需要专业的力学家花费大量的时间和精力推导公式，并将之记录在教科书中。而近代以来，又有许多力学数学界的专家共同努力，创造出了用于解决力学分析问题的有限单元法，随着电子计算机的发展，利用有限单元法，借助电算方式，求解工程中的力学问题已成为一种趋势。

工程中的力学问题，从本质上说是非线性的，线性假设只是实际问题的一种简化。如果工程中的结构按照线性理论设计，不仅会浪费，而且还会造成灾难。在结构工程设计中，如果考虑弹塑性问题，则可以挖掘材料潜力，提高工程结构承受能力，节约材料，正确估计工程安全度，使工程经济合理及安全可靠；如果按照线弹性理论设计，则会显得过于保守。由此可知，在各种工程设计中，只假设它为线性问题是不够的，必须进一步考虑非线性问题才能保证工程既经济合理又安全可靠。近几年来，在现代化建设中，人们面临着越来越多的非线性力学问题，结构非线性分析已成为工程设计不可缺少的一个工作。因此，结构非线性力学已成为工程设计不可缺少的一个重要学科。

1基本概念

1.1材料特性

在结构工程中，所使用的材料有很多，广泛使用的材料有钢材、混凝土、岩土以及各种砖石。

在单向拉伸状态中，材料由初始弹性状态进入塑性状态的界限是屈服极限。这被称为单向拉伸状态的屈服条件，也称初始屈服条件，它的表达式为：f(σ)=σ?σs=0。

式中，σ和σs分别为应力和屈服极限，f(σ)为屈服函数。如果σ<σs，则f(σ)<0，这时试件处于弹性状态；如果σ>σs，则f(σ)>0，这时试件进入塑性状态。

经过屈服阶段后，材料又恢复抵抗变形的能力，必须增加荷载才能产生变形，这种现象称为材料强化，也称硬化。

1.2应力与应变状态

物体的任意一点的应力状态可由九个应力分量来描述，而且这些分量构成一个二阶对称张量：

σij=[σxτxyτxz

τyxσyτyz

τzxτzyσz

]

物体中任意一点的应变状态可由九个应变分量来描述，而且这些应变分量构成一个二阶对称张量：

εij=[ε11ε12ε13

ε21ε22ε23

ε31ε32ε33

]

1.3塑性力学基本方程

在结构动力学问题中，所有位移、应变、应力及外力不仅是空间坐标x i的函数，而且是时间t的函数。

弹塑性动力学问题的正确解必须同时满足动力平衡方程，几何方程，本构方程，边界条件及初始条件。由此可知，塑性力学和弹性力学的区别表现在本构关系上。由于本构关系的复杂性，因此塑性力学在处理方法上与弹性力学不同。在塑性力学中，建立屈服条件、加载条件及本构关系是一个非常重要的问题。

2屈服条件

2.1屈服条件

在塑性力学中，必须知道材料受力到什么程度才开始发生塑性变形。在单行拉伸状态中，这个问题很明确，当应力超过屈服极限时，材料便进入塑性状态。然而在复杂应力状态时，问题就不这样简单了。屈服条件是判断材料是否进入塑性状态的依据。

2.2加载条件

如果材料是强化材料，则后继弹性范围与初始弹性范围不同，而且自身也是随强化程度而变化的。后继弹性范围的界限称为后继屈服条件，常称加载条件。

3本构关系

3.1一般原理

自然界的物质是多种多样的，不同的物质需要用不同的本构方程来描述。一般来说，本构方程旨在描述质点的作用力和变形历史及温度的关系，因此本构方程可写成下列形式：

σij=f ij(变形历史，温度历史)

式中f ij是二阶对称张量。上式被称为物质的本构关系。在现代连续介质力学中，建立本构关系应遵循下列三个原理：

1．物质客观性原理

本构关系由物质性质决定，它是不随观察者变化而变化的，因而作相对运动的两个观测者在做材料试验时应当得到相同的本构关系。

2．确定性原则

也称遗传性原理。它认为物体中某点X的应力值恒可由物体中各点的以往运动史唯一决定，而和未来的运动无关。

3．局部作用原理

物体内诸点的运动对某点X的应力或其他物理的影响，随离该点距离的增大而减小。

3.2弹塑性本构关系

在弹塑性力学中，本构关系目前常用到两种理论：⑴全量理论，也称形变理论，建立应力全量和应变全量之间的关系；⑵增量理论，也称流动理论，建立应力增量与应变

增量之间的关系。

4 变分原理

变分原理是固体力学、结构力学和计算力学的理论基础，在理论上及实用上都有重要的价值。自从本世纪初Ritz 法问世以后，对固体力学变分原理的研究和应用出现了一个高潮。50年代胡海昌（1954）和鹫津久一郎（1955）先后建立了弹性力学的三类变量广义变分原理，这个变分原理在国际上称为胡海昌—鹫津变分原理，之后，国内外对广义变分原理的研究和应用出现了一个高潮。钱伟长（1964）提出了利用拉格朗日乘子法建立广义变分原理的新方法，后来（1983）又提出了建立广义变分原理的高阶拉格朗日乘子法。有限元法产生后，国内外对变分原理的研究又出现了一个高潮，对离散变分原理有许多研究。我国有许多学者在变分原理及广义变分原理的研究和应用方面做了大量工作取得了许多成果，对发展变分原理及广义变分原理做出了重要贡献。

4.1 虚功原理

如果结构处于平衡状态，则外力虚功的增量之和等于结构总虚应变能增量，这个结论被称为增量理论的虚功原理。

4.2 弹塑性变分原理

在弹塑性增量理论中，由于基本方程和边界条件相同，因此可以仿照线弹性理论中的方法建立弹塑性增量理论的变分原理。

5 结构弹塑性分析的样条函数方法

弹塑性问题是一种材料非线性问题，普遍发生在工程建设和国防建设中。如果工程建设中考虑塑性，可以挖掘材料潜力，提高工程结构承载能力。近几年来，弹塑性理论在工程中应用已日益广泛。因此，弹塑性理论及其在工程中的应用是一个非常重要的研究课题。

5.1 B 样条函数

样条函数是现代函数逼近的一个十分活跃的分支，是计算方法的一个重要基础，应用很广泛。利用它可以创造出一些新的结构分析方法。样条函数的种类很多，但是以B 样条函数最优。

n 次B 样条函数可以利用下列表达式来确定：

φn (x )=∑(?1)k (n +1k )n+1

k=0(x ?x k )+n n!? 式中x k 为样条结点，即

x k =k ?(n +1)2?

(n +1k )=(n +1)!k!(n +1?k )!

B 样条函数具有许多良好的性质：

⑴ φn (x )具有分段光滑性；

⑵ φn (x )具有对称性；

⑶ φn (x )具有紧凑性；

⑷ φn (x )具有(n-1)阶导数的可微性；

⑸ φn (x )具有平移性；

⑹ φn (x )可以线性组合。

5.2 多维样条函数

Birkhoff 及Garabedian （1960）首次把三次样条理论推广到高维样条函数。之后，不少人对二维样条函数做了深入研究。目前，规则区域的二维样条函数研究已趋于成熟。非规则区域的二维样条函数目前仍是研究的攻关课题。

5.3样条基函数

在结构分析中，确定结构的位移函数及应力函数是一个重要的问题。位移函数及应力函数可以利用B样条函数构造出来。

6杆系结构弹塑性问题

杆系结构在建筑结构、桥梁结构、水工结构、地下结构、飞机结构、船舶结构及海洋工程结构方面有广泛应用。198年以来，原书作者把弹塑性应变理论与样条函数方法结合起来，建立了样条梁子域及样条拱子域，创立了杆系结构弹塑性分析的QR法及样条子域法。这两种方法集有限元法及样条函数方法的优点于一身，成功地克服了有限元法的缺点，都是经济有效的新方法，突破了杆系结构弹塑性分析的传统理论及传统方法。

6.1样条梁子域

杆系结构是若干根杆组成，每根杆可称为一个子域，也可称为一个单元。例如，一根梁可以当作一个梁子域，也可以当作一个梁单元。

6.2样条平面梁子域

在平面梁子域中，任一点有三个位移分量：x方向的位移u，y方向的位移v，xy平面内的转角θ。位移以坐标轴的正向为正，转角以顺时针方向为正。

6.3位移函数

如果不考虑剪切变形的影响，则平面梁子域的位移函数可以用下列形式：

u=a1φ1(x

a )+a2φ1(

x

a

?1)

v=b1φ3(x

a +1)+b2φ3(

x

a

)+b3φ3(

x

a

?1)+b4φ3(

x

a

?2)

式中，φ1(x)及φ3(x)分别为一次及三次B样条函数，a i及b i为任意参数，可以由梁子域的结点条件确定：

在x=0处，u=u i v=v i v′=?θi

在x=a处，u=u j v=v j v′=?θj

式中，v′为v对x的一阶导数。

6.4建立应变矩阵

对于长度比较大的杆，可以忽略剪切变形的影响，则

{ε}=[εxχx]T=L[V]

式中，εx=du

dx χx=d2v

dx2

L=diag(d

dx ,d2 dx2

)

其中，L为微分算子，由上述可得：

{ε}=B{V}s

B=(L[φ])[Q]

6.5样条梁子域总势能泛函

如果不考虑剪切变形对梁子域的影响，则第s个平面梁子域的总势能泛函为

Πs =12∫({ε}T [D ?]{ε}+2{ε}T [D 0]{εs })dx a 0

?{V }s T f s 6.6 样条梁子域弹塑性刚度矩阵

[k ]s =[k ii k ij k ji

k jj ] k rs

=[k rs 11000k rs 22k rs 230k rs 32k rs 33] 式中，k rs 11=EA ∫a r a 0a s dx k rs 22=EI ∫b r a 0b s dx

k rs 23=EI ∫b r a 0c s dx k rs 32=EI ∫c r a

0b s dx

k rs 33=EI ∫c r a 0c s dx 6.7 样条梁子域荷载向量

⑴ 分布荷载。如果梁子域只受分布荷载的作用，则

{f }s =∫N T

qdx a 0=∫[N i N j ]T qdx a 0

⑵ 集中力。如果梁子域只在C 点受集中力P 向量作用，则广义分布荷载向量为：

q =Pδ(x ?x c )

⑶ 集中力偶。如果梁子域只在C 点受集中力偶m 作用，则广义分布荷载向量为：

q =?mδ′(x ?x c )

7 总结

通过本次阅读与学习，我在对于弹塑性力学以及样条有限点法方面有了更深刻的理解与体会，并且有机会能够在今后的学习与研究中更进一步。