浅谈数学概念教学的设计思考

浅谈数学概念教学的设计思考

江苏省前黄高级中学 花文明 束亚娟

概念教学是数学教学的起点，是进一步发展数学能力的基础，然而平时教学中学生暴露的问题多数实质是由概念引起的。由于教师在长期的教学过程中偏重于方法与技能的教学，忽视概念的设计教学，学生对所学的知识的理解仅满足于一知半解，停留在知识的表面，思维僵化，趋于封闭，进而养成思维的惰性，阻碍了学生创新思维的发挥。由于概念渗透到数学的各个内容，不同的概念如何设计采用合理的教学手段，在学生掌握知识的最近发展区内切入，笔者在教学实践中针对概念的设计教学作了一些有益的尝试，收到了一些良好的效果。

一、 加强概念的产生、发展、变化过程的分析设计

任何概念的产生是有条件的，是随着解决问题的需要而产生的，要遵循学生的认知规律设计教学过程，不能只注重形式与结果，要深刻地剖析其实质、变化过程。

例如在讲授函数图象的平移与伸缩变换时，要让学生理清这一变换过程的实质是什么？由于函数图象的变换是曲线图象的变换的特殊情形，而曲线的变换实质是点的变换（意即轨迹的思想），点是通过它的坐标来体形变化的，而曲线（或函数）图象是通过其解析式（或方程）来体现的，这必须要通过点与解析式之间建立某种对应的关系式来理解，即体现点的轨迹思想。如问题：

（1） 函数)(x f y =的图象沿x 轴向右平移)0(>a a 个单位所得的图象的函数

关系式是

（2） 函数)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的

)0(>a a 倍，所得的图象的函数关系式

分析：（1）)(x f y =图象上的任一点),(00y x P 经上述变化后转化为新点),(1y x P ，满足00,y y a x x =+=，从而y y a x x =-=00,。由于),(00y x P 在函数)(x f y =图象上，从而将之代入（换元）可得：)(a x f y -=即为所求。

需要指出的是：图象的平移变换不改变图象的形状大小，只是改变了原来的位置，设置了该问题后可进而探索①)(a x f y +=的图象可由)(x f y =的图象经怎样的平移变换得到？（向左平移a 个单位）②原题中的)(x f y =改为)(n mx f y +=其平移的结果是什么？（])([n a x m f y +-=）问题便迎刃而解。

分析：（2）

)(x f y =图象上的任一点),(00y x P 经上述变化后转化为新点),(2y x P ，则00,y y ax x ==，从而y y a

x x ==00,，由于),(00y x P 在函数)(x f y =图象上，从而将之代入（换元）可得)(a

x f y =即为所求。 需要指出的是：图象的伸缩变换不改变图象的形状但大小发生变化，本题

体现图象沿x 轴方向（既向左又向右）的拉伸，但是应引起重视的是有一点没有发生变化，即位于y 轴上的点，此时该点的横坐标为0，该点可称为该变换的不动点。按这一方法考察：函数)(m x f y +=的图象上的每一点的纵坐标不

变，横坐标扩大到原来的)0(>a a 倍，所得的图象的函数关系式是)(m a

x f y +=，而不是)(a

m x f y +=。 上述两问题的实质是轨迹的思想，通过新旧坐标的转移（即新点的坐标转移至原来的点的坐标再代入原方程），本质是起换元的作用：前题（1）用a x -、

后题（2）用a

x 分别去代换)(x f y =中的x 值。带着以上两种类型的图象变换来考察开放性问题： 函数)3

2sin(π+=x y 的图象可由函数x y sin =图象经过怎样的变换得到？（学生练习，思考怎样体现换元的作用？）

方案一：x y sin =→x y 2sin =→)3

2sin(π+=x y （先伸缩后平移） 方案二：x y sin =→)3sin(π+=x y →)3

2sin(π+=x y （先平移后伸缩） 错误方案：x y sin =→)6sin(π+=x y →)3

2sin(π+=x y （先平移后伸缩），错在第二步无法进行伸缩，若)6

sin(π

+=x y 图象上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的21，得到的是)62sin(π+=x y ，而不是)3

2sin(π+=x y 。 同样对于沿y 轴方向的平移与伸缩问题也可解决。进而可让学生探讨更为一般的曲线0),(=y x f 的图象经过怎样的系列变换可得曲线)0(0),(≠=++ac d cy b ax f 的图象？

该问题的设计体现图象的平移与伸缩变换的概念的产生、变化与发展过程，并且要抓住贯穿始终的本质：换元的思想。这样设计后学生对问题得到充分的理解并能加以正确应用。 二、 通过对比设计，揭示概念的内涵与外延，加深对概念的理解。

抽象的概念的引入与形成，往往要有丰富的材料作铺垫，经过多次抽象，实现从具体到抽象的转化。设计概念时可用不同的特征、不同层次材料通过分析、对比设计，提炼出对这一概念的感性认识，进而形成正确理解。

例如：在讲到两个集合的交集并为了加深对集合的概念的深刻理解，设计了这样的三个问题：

（1）{}

2+==x y x A ，{}x y x B -==1，求B A ?；

（2）{}

2+==x y y A ，{}x y y B -==1，求B A ?； （3）{}2),(+==x y y x A ，{}x y y x B -==1),(，求B A ?。 分析：上述三问题若不仔细分析学生可能会认为是同一问题，由B A ?便形成思维的定势：即分别求曲线2+=x y 与直线x y -=1的交点横坐标、纵坐标与交点的坐标。由于集合的描述法指对描述对象的全体的研究，割裂了对这一概念的理解与判断必然导致错误。其实若对上述三问题的描述对象),(,,y x y x 加以推敲：分别研究两函数2+=x y 与x y -=1的定义域、值域与图象的所有点的点集的对应的交集。通过这一问题的对比分析讨论，学生对集合的概念以及两集合交集的概念得到了进一步的理解与巩固。

三、 通过类比、联想、化归，变换问题的角度来展示概念。 在引入概念的同时，可与原来的类似的问题进行类比，化归为学生熟悉的且易判断、易掌握的问题，通过变换问题的角度，以达到真正掌握概念的目的。空间立体几何平面化，复数问题化为相应的解析几何问题，数形结合以达到代数问题与几何问题的相互渗透，一般化与特殊化的方法等都能达到转化的目的。 例如在立体几何里讲到“球面上两点间的球面距离”时，按课本定义“在球面上经过这两点的球的大圆在这两点所对的大圆的劣弧的长”，简短的一句话，如何恰当地向学生解释清楚这样的弧长是最短的，如何去发掘它，真正理解其含义，体现在球面上是真正意义的最短呢？必须让学生有感性认识，否则的话学生应用时会很迷惘，停留在一知半解上。

可让学生发现过这两点的所有的球的截面，若过球心，则为球的大圆（半径最大），若不过球心，则为球的小圆。学生定会发生疑问：过这两点的球的大圆的半径最大，球的小圆半径略小，为何竟是过这两点的大圆的弧长反而是最短的呢？有的学生觉得跟所在圆的圆心角有关，究竟该如何去比较它们的圆心角呢？似乎不合情理，有的学生注意到不论是小圆这是大圆的圆心角，它们所对的弦是同一连接这两点的线段且是定长。问题就可转化为定弦所在的动圆的劣弧长的问题。教师可启发学生把立体空间问题化为平面问题来处理，适时进行化归。在平面上分析过A 、B 两定点的圆系，半径最小的圆是以AB 为直径的圆（AB 弧长此时为半圆），动圆的圆心在AB 的中垂线上移动，随半径的增大可发现其AB 所对的劣弧长随之减小的变化过程，（如图）从而球面距离这一概念得到了印证。球面距离的计算就归结为这两点的所对应的大圆劣弧的圆心角与其半径的处理了。

任何概念是建立在具体的对象上的， 没有感性认识，就不可能形成概念，所谓 形成的概念也是空洞的、机械的、没有

生命力的，而通过类比、转化设计的 概念，学生易于理解与消化，更有利于

A B O 1 O 2 O 3

学生创新思维的发挥。

四、 把握概念的本质特征，避免负迁移的作用。

迁移是指以前的学习对以后的学习的影响，当两种以上的课题按一定顺序进行学习时就存在相互影响的问题，若先前的学习对以后的学习产生积极有效的促进作用称为正迁移，反之先前的学习对以后的学习产生妨碍、抑制作用就是负迁移。

例如要重视初中的平面几何知识对高中立体几何知识的迁移作用，如：平几中真命题“一条直线与两条平行线中的一条垂直，则它必与另一条也垂直”迁移到立几中也是真命题，是正迁移；而平几中真命题“两条直线与同一条直线垂直，则这两条直线平行”迁移到立几中是假命题，是负迁移；又如平几中真命题“正三角形内任一点到三边距离之和为定值，恰好等于一边上的高”迁移到立几中“正四面体内的任一点到四个面的距离之和为定值，恰好等于一面上的高”是真命题，是正迁移；再如平几中真命题“一只角的两边分别与另一只角的两边垂直，那么这两只角相等或互补”迁移到立几中“一个二面角的两个半平面分别与另一个二面角的两个半平面垂直，那么这两个二面角的平面角相等或互补”是假命题，是负迁移。

要发挥正迁移的作用并防止克服负迁移，关键在于把握概念的本质特征，并能很好地区分在不同的场合它的适用范围，发现其本质差异。

例如在讲授了均值不等式定理“33

,2abc c b ab b a ≥++≥+α，这里0,,>c b a ”后并运用它来计算最值：求函数)0(,4>+=x x

x y 的最小值，学生会结合均值不等式定理得,24424=?≥+=x x x x y 当且仅当04>=x

x ，即22=x 取“=”达到最小值24；迁移到求函数)0(,82>+=x x

x y 的最小值，学生会这样变化：,8282822x x x x x y =?≥+=当且仅当082>=x

x ，即2=x 时取“=”，达到最小值x

82，将2=x 代入可得最小值为4，其实质是错误的，是负迁移。究其原因，前者当22=x 时恰能说明变量x

x 4+与右边定值24取“=”的关系，除此之外大于该定值是永远的，定值24是变量x

x 4+的最小值；

后者当2=x 时只能说明变量28x x +与变量x 82的取“=”的暂时关系，而变量x 82不可能是28x

x +的最小值，这两者是随x 互动的变量，必须将之变形 332222382238228=??≥++=+=x x x x x x x

x y （积定），当且仅当0822>=x

x 时，即322=x 时取得最小值323。这就是我们在利用均值不等式求最值时为何要变化“积式为定值”或“和式为定值”，求另外的“和式”或“积式”的最值问题的根源所在。

五、 在概念知识网络的交会点设计。

数学教学要重视知识的整体性与综合性，要求学生对课程内容能够融会贯通、系统掌握课程内容的内在联系，理论联系实际防止单纯机械记忆，并进一步发展运用分析问题和解决问题的能力。教师在教学设计时必须立足于知识网络的交汇点上设计问题。

例：设复数θθsin 2cos 3?+=i z ，求函数)20(arg π

θθ<<-=z y 的最大值

以及相应的θ值。（1999年全国高考试题）

解略。本题以复数的形式出现，巧妙地将复数的代数形式、辐角主值、三角函数的最值、均值不等式和函数的单调性等基础知识融合在一起，情境新颖，有利于公平竞争，然而考查的却是通性、通法。求角的最大值往往转化为在某个单调区间上求三角函数的最值，其思路是常规的，到底正切还是正弦或余弦？虽然三者皆可，但以取正切函数最为方便。从解析几何的角度看，本题实质上

是求点Z 在椭圆：12

322

22=+y x 第一象限内的部分上运动时，此点在参数方程中作为参数的离心角θ和此点与坐标原点所连线的旋转角之差的最大值，整个解题过程，明显地展现出运用逻辑思维能力的过程，体现知识与能力的综合。

抽象的概念的形成必然有一个过程，教学时不能匆匆而过，若缺乏丰富的感性材料这一载体，会让学生觉得既单调又枯燥且不乐于接受。教师在设计时要体现针对性，要多从知识概念的变化角度与学生理解掌握的动态过程角度双向优化设计教学进程，并兼顾知识的综合运用，这样才有利于学生概念的逐步形成，并更有利于学生知识网络的完整构建。