2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(理)试题解析
河南省天一大联考2020届高三阶段性测试(全国卷)数学(理)Word版含解析
河南省天一大联考2020届高三阶段性测试（全国卷）数学（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：本题选择A选项.2. ）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B3.）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得4. 下列说法中，错误的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】选项C，平面由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. ）D.【答案】D，结合本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. ，且函数）B. C.【答案】A7. ）【答案】C，，据此可得：本题选择C选项.8. 250，则判断框中可以填（）C.【答案】B【解析】阅读流程图可得，该流程图输出的结果为：注意到在求和中起到主导地位，且，故计算：结合题意可知：判断框中可以填.本题选择B选项.点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别．9. ，第一周的比赛中，踢了3场，4场，2队未踢过，队与）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】DCD D队参加的比赛为：已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，中进行的比赛中，，2场，即余下的比赛为：综上可得，第一周的比赛共11本题选择D选项.10. 的左焦点，过点轴的直线分别在第二、三象限交双曲线的渐近线方程为（）D.【答案】A可得：，则：，据此有：整理可得：，则双曲线的渐近线方程为............................本题选择A选项.11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D.【答案】D两三棱柱相交部分的面积为：，本题选择D选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．12. ）B. C. D.【答案】B所以在得令，，在，所以点睛：本题主要考查了不等式恒成立的问题，以及利用导数研究函数的单调性。
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1 【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集.【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U .故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求.【详解】 由题意可知3223i z i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.【点睛】 本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人【答案】D【解析】根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.【详解】该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=，而智能类共有40%3%6%10%21%---=，所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确；非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确；动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22± B ．2 C ．2±D ．2-【解析】根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a .【详解】方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩， 由等比数列性质可知24864a a a ==， 62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B.【点睛】本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小.【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥， 从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可.【详解】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯= 在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+==可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=， 从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+.故选：A.【点睛】本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）A ．4种B ．5种C ．31种D ．36种【答案】C【解析】分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可.该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种；连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种，故选：C.【点睛】本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-；③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增. 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又(0)2f =，可得sin26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173 B ．174 C ．163 D ．194【答案】C【解析】由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=， ()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C.【点睛】 本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r （ ）A ．171515a b -r r B ．171515a b +r r C ．241515a b -r r D ．241515a b -r r 【答案】A 【解析】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FAu u u r u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解.【详解】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，由题意知()()112212,333333FE CB AB AC FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC ==-=+=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ， 同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以21323621333λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而171515FM a b =-u u u u r r r . 故选:A.【点睛】本题考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握，是中档题.12．过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点()(),00F c c ->作圆2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r (O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B 13C 10D 17 【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF ，知点E 为FP 的中点，由题可得22293FP c a =-22229233c a a a -=，整理可得离心率.【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF .由2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r ，知点E 为FP 的中点，则OE 为'FPF ∆的中位线， 则'223P OE a F ==，又OE FP ⊥， 所以可得22293FP c a =-. 由双曲线的定义，得22229233c a a a --=， 整理可得22917c a =，则222179c e a ==， 所以173e =. 故选：D.【点睛】 本题考查双曲线的定义，离心率的求解，是中档题.二、双空题13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________.【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y == 从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 16．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题17．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（2）75【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=从而7BD =，设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30sin cos 2214E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 57CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，160,1,2,4ABC PA AB BC PE PC ∠=︒====（1）求证：AE ⊥平面PCD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）213【解析】（1）由已知条件得90BAC ACD ∠=∠=︒，又PA CD ⊥，易证CD ⊥平面PAC ，从而证得AE ⊥平面PCD ；（2）由（1）可建立空间直角坐标系，应用平面的法向量形成的角求解二面角. 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理，可知2221=2cos 1421132AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC ∴从而可得222,90AB AC BC BAC +=∴∠=︒， 又ABCD 为平行四边形，90ACD ∴∠=︒，即CD AC ⊥，PA Q ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD PA CD ∴⊥，PA AC A =Q I ，从而CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面,PAC AE CD ∴⊥，在,1,Rt PAC PA AC ∆==2PC =，又1142PE PC ==， 从而可得2,PA PE PC AE PC =⋅∴⊥， 又PC CD C =I ，AE ∴⊥平面PCD ；（2）由（1）可知,,AB AC PA AB PA AC ⊥⊥⊥，所以分别以,,AB AC AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,1,,A B P C D -设(),,E x y z ，由14PE PC =u u u r u u u r ，得()()1,,114x y z -=-30,44E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭()()31,0,0,0,,,44AB AE AD ⎛⎫∴===- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =r，则由n ABn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得1110,334xy z=⎧⎪⎨+=⎪，令11z=则()13,0,3,1y n=-∴=-r，设平面AED的法向量为()222,,m x y z=u r，则由m AEm AD⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得222233430y zx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令21z=，得2233yx⎧=-⎪⎨=-⎪⎩()3,3,1m∴=--u r，213cos,13213m nm nm n⋅∴===⨯u r ru r ru r r，由图可知，二面角B AE D--为钝二面角，所以所求余弦值为213-.【点睛】本题考查线面垂直及二面角的余弦值，考查空间想象能力，高考对立体几何的考查一般分两问，第一问证明，第二问求值，求二面角问题时，采用空间向量方法来解决，是中档题.19．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别是1,F2F，直线l过1F交C于,A B两点，2ABF∆的周长为42过2F且垂直于x2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线1l (斜率存在)交椭圆C 于,P Q 两点(,P Q 异于上顶点)，椭圆上顶点为,M PM QM ⊥，线段PQ 的垂直平分线2l 在x 轴上的截距为0x ，求0x 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=.（2）0x ≤≤且00x ≠【解析】（1）利用椭圆定义，以及椭圆的所过点可确定椭圆的标准方程；（2）设直线1l 方程，联立直线与椭圆方程，应用PM QM ⊥，可变两参数为一个参数，进而用关于k 的式子表示0x ，从而可得0x 的范围. 【详解】（1）由题意可知2ABF ∆的周长为224AB AF BF a a ++==∴= 又过2F 且垂直于x，∴椭圆过点c ⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得221122c b +=① 又222b c +=② 由①②得221b c ==，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可知直线1l 的斜率0k ≠，设()1:1l y kx m m =+≠， 则由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124220k x kmx m +++-=， 且()()()2224412220km km∆=-+->，化简得2212k m +>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12221224122212km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()11220,1,,1,,1M MP x y MQ x y =-=-u u u r u u u u rQ ，()()1212110MP MQ x x y y ∴⋅=+--=u u u r u u u u r，即()()()()2212121110kx x k m x x m ++-++-=，也即()()()2222222411101212m km k k m m k k-+--+-=++，整理得()()1310m m -+=，解得13m =-或1m =(舍去)， PQ ∴所在的直线方程为13y kx =-，设线段PQ 的中点坐标为()'',x y ，则()()2'122'21,2312312x x k x y k k +-===++， ∴线段PQ 的中垂线2l 的方程为()()22112312312ky x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭， ∴直线2l 在x 轴上的截距()021131232k x k k k ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0k ≠，当0k >时，132kk⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1011232k k <≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当k 0<时，132k k⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭10132k k ≤<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0x ≤≤且00x ≠. 综上所述，0x的取值范围是01212x -≤≤且00x ≠. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的垂直问题，考查运算求解能力；直线与椭圆的位置关系是高考的重点，主要解决方法联立方程处理根与系数关系，经常结合基本不等式研究变量的取值范围.20．已知函数()()1sin cos xf x axe x x x =+++（1）若1,2a x π=≥-，求()f x 的单调区间； （2）()sin cos ()f x x x g x x --=，若7,0,,()44x g x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦的导函数有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.（2）344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】（1）1a =代入原式，求导，判断导数符号，确定单调区间；（2）利用参变量分离，通过构造新函数，研究新函数的取值，确定参数a 的范围. 【详解】（1）当1a =时，()()1sin cos xf x xe x x x =+++，()()()()'()1sin 1cos sin 1cos x x f x x e x x x x x e x =++++-=++，令()cos xh x e x =+，则当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0,cos 0,cos 0x x e x e x >≥∴+>， 当2x π>时，1,cos 0,cos 0x xe x e x >≥∴+>， 2x π∴≥-时，cos 0x e x +>，若'()0f x ≥，则1x ≥-；若'()0f x <，则12x π-≥<-，∴当2x π≥-时，()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； （2）由题意，可知()sin ,,00,44xg x ae x x π7π⎡⎫⎛⎤=+∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦则'()cos 0xg x ae x =+=在,00,44π7π⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上有解， cos xxa e -∴=设cos ()x x m x e -=，则'sin cos ()xx x m x e +=若'()0m x ≥，则sin cos 0x x +≥04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭解得344x ππ-≤≤且0x ≠若'()0m x <，则sin cos 0x x +<04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭解得3744x ππ<< ()m x ∴在,0,0,44π3π⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上为增函数，在37,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数而4,(0)142m e m ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭374437(),4242m m ππ--ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又7412π-->-41a π<<-或341a π--<<∴a 的取值范围为344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，以及恒成立条件下的求范围问题；考查运算能力和分析问题､解决问题的能力，是一道难度较大的题目.21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6， 其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭ 1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列 1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭， 1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值.【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠= 设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】 本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题.23．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=.（1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q ()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥；解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225a b b a=++59≥=当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤= ⎪⎝⎭2336t ∴=+≤+=t ∴≤12a b ==时等号成立，得证. 【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。
2020-- 河南省 天一大联考高三阶段性测试(三) 数学(理)试题--(附解析答案)
【详解】
设 ， ，则点 ， ，
代入抛物线的方程，得 ，
整理得 ，解得 （负值舍去），故 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解出集合 、 ，然后利用交集的定义可计算出集合 .
【详解】
由 得 ，即 ， ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.
【详解】
由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥 ，且正方体的棱长为 .
如图，底面三角形 的面积为 ，高（点 到平面 的距离）为 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
4．已知等差数列 的公差不为0， ，且 是 与 的等比中项，则 的前 项和为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，可知 ，由题意得出 ，求出 的值，可求出 和 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列 的前 项和.
河南省天一大联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试(三)数学(理科)
天一大联考2020届高中毕业班阶段性测试（三）理科数学注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}0452≤+-=x x x A ，{}0,sin 3>-==x x y y B ，则=B AA.]4,1[B.]4,2[C.]1,4[--D.)4,1(- 2. 已知复数z 满足215--=i i z ，则z 在复平面内对应的点位于 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限D.第一象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的=bA.5B.4C.3D.24. 已知等差数列{}n a 的公差不为0，27=a ，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为A.10B.0C.10-D.18-5. 已知43)3sin(-=-απ，则=-)232021cos(απ A.81 B.81- C.873 D.873- 6. 若方程0cos sin 32=-+a x x 有实根，则实数a 的取值范围为A.]12,1[B.),1[+∞-C.]1,(-∞D.]1237,1[- 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A.18B.218C.36D.488. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，4026=-a a ，1024=+a a ，则=1aA.35 B.25 C.35 D.259. 如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上，在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A.499πB.4933πC.π332D.9π 10. 已知三棱锥BCD A -内接于球O ，4===BD BC AB ，︒=∠60CBD ，⊥AB 平面BCD ，则球O 的表面积为A.328πB.425π C.3112π D.π60 11. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，BDE ABC ∠=∠︒=90，且OB OA =，若点C 和点E 都在抛物线)0(22>=p px y 上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为A.81B.223-C.42 D.12- 12. 设函数)(x f '是函数))((R x x f ∈的导函数，当0≠x 时，0)(3)(<+'xx f x f ，则函数31)()(x x f x g -=的零点个数为 A.3 B.2C.1D.0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量)4,3(-=a ，1||=b ，235=⋅b a ，则向量a 与b 的夹角=θ_______. 14. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的渐近线方程为x y 22±=，点)2,1(A 到右焦点F 的距离为22，则C 的方程为_______.15. 已知函数)2||,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 满足2)()0(==πf f ，且)(x f 在区间)2,4(ππ上单调递减，则ω的值为_______. 16. 设函数)(x f 123+-=x x ，x xe x g 2)(=，若),1(1+∞-∈∃x ，使得),1(2+∞-∈∀x ，不等式)()(4122x f m x emg >恒成立，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题(解析word版)
2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =（ ）A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B .【详解】 依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-.故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（ ） A ．7 B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，22303q m ==+=.故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误； 使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8114S a =+，则（ ） A ．282a a += B ．284a a +=C ．272a a +=D ．274a a +=【答案】B【解析】由8114S a =+可得出234567814a a a a a a a ++++++=，再利用等差数列的基本性质可得出结果. 【详解】依题意，81234567814S a a a a a a a a -=++++++=，故()287142a a +=，即284a a +=.故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知实数a 、b 、c 满足134a =，1610b =，5log 50c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】A【解析】利用幂函数的单调性得出a 、b 、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出c 与2的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】幂函数16y x =在()0,∞+上为增函数，且1111636610416642<=<=，即2b a <<；对数函数5log y x =在()0,∞+上为增函数，55log 50log 252c ∴=>=. 因此，c a b >>. 故选：A. 【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题.7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx xx xx x e e e e f x f x e ee e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数， 当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数，所以，函数()1 lg1xf xx+⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减；对于C选项，作出函数()224,04,0x x xf xx x x⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D选项，函数()(2ln11f x x=-的定义域为(][),11,-∞-+∞，()()((()22ln11ln11f x x x f x-=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x=-()2,+∞上单调递增，外层函数lny u=也为增函数，所以，函数()(2ln11f x x=-()2,+∞上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．已知长方体1111ABCD A B C D-的表面积为208，118AB BC AA++=，则该长方体的外接球的表面积为（）A．116πB．106πC．56πD．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AAAB BC BC AA AB AA++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果. 【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=， 所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.9．记双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线C 的渐近线l 上，点P 、P '关于x 轴对称.若12P F PF '⊥，12214PF PF k k k =⋅，其中1PF k 、2PF k 、1k 分别表示直线1PF 、2PF 、l 的斜率，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．【答案】A【解析】设直线2PF 的斜率为k ，根据12P F PF '⊥以及1P F '与1PF 关于x 轴对称，可得出11PF k k =，由此可得出2241b a=，由此可计算出双曲线C 的离心率. 【详解】不妨设直线2PF 的斜率为k ，由题易知0k ≠，且直线1P F '与1PF 关于x 轴对称，11P F PF k k '∴=-， 因为12P F PF '⊥，所以直线1P F '的斜率为1k -，即111P F PF k k k '=-=-，11PF k k∴=， 由12214PF PF k k k =⋅可得241b a ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即2214b a =，所以，双曲线C 的离心率为e ==.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58 B ．34C ．54D ．52【答案】C【解析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适合上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）. 故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M 、N 和M 、P 两点，其中直线2l 过点F ，MR RN =，(),R R R x y .若2R py MN =-，则当MFN ∠取到最大值时，MP =（ ） A ．14 B ．16C ．18D ．20【答案】B【解析】先求出p 的值，得出抛物线C 的方程为24x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，由抛物线的定义以及中点坐标公式得出2MF NF MN +=，然后在MNF ∆中利用余弦定理可求出cos MFN ∠的最小值，由等号成立的条件可知MNF∆为等边三角形，可设直线2l的方程为1y =+，将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP . 【详解】依题意，可知2p =，设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ， 由抛物线定义可得122y y MF NF ++=+. 因为2R py MN =-，即1212y y MN +=-，所以2MF NF MN +=. 由余弦定理可得()2222236111cos 284842MF NF MF NF MNMF NF MFN MF NFMF NFMF NF++-⋅∠==-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为3π，此时MFN ∆为等边三角形，不妨直线MP 的方程为1y =+，联立241x yy ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得240x --=，故13x x+=)1313214y y x x +=++=，故16MP =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，涉及韦达定理的应用，同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题.二、填空题13．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.【详解】5212x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()525103155122kk k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=. 故答案为：80. 【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为32，24AB BC ==，E ∈平面11ABB A ，若点E 到直线1AA 的距离与到直线CD 的距离相等，则1D E 的最小值为______. 【答案】4【解析】根据长方体的体积得出14AA =，然后以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()2,,E y z ，根据已知条件得出24y z =+，然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出1D E 的最小值.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为111132ABCD A B C D V -=，24AB BC ==，所以14AA =.以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()2,,E y z ，则点E 到直线1AA 的距离为y ，点E 到直线CD 的距离为24z +，故24y z =+.而()10,0,4D ，故()22214428244D E y z z z =++-=-+≥，故1D E 的最小值为4. 故答案为：4.【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算，涉及到空间直角坐标系的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m ee m<成立，下面解不等式lnmme<，即ln1mm e<，构造函数()ln xF xx=，0x>，()1ln xF xx-'=，令()0F x'=，得x e=.当0x e<<时，()0F x'>，当x e=时，()0F x'<.所以，函数()y F x=在x e=处取得最大值，即()()max1F x F ee==，所以，当0m>且m e≠时，不等式ln1mm e<恒成立，此时，0m e<<.当m e>时，1me>，若函数()y h x=的图象与直线mye=有1个交点，则有lnmme≤，即ln1mm e≥，由上可知，m e=（舍去）.综上所述，0m e<≤.故答案为：(]0,e.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m与e的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，()sin2A B A+=，5b=，3AC MC=，2ABM CBM∠=∠.（1）求ABC∠的大小；（2）求ABC∆的面积.【答案】（1）34π；（2）52.【解析】（1）设CBMθ∠=，由3AC MC=可得出12BMCBMAS CMS AM∆∆==，再由()sin A B A +=，结合正弦定理得出AB =，代入12BMC BMA S CM S AM ∆∆==可求出cos θ的值，进而可求得ABC ∠的值；（2）在ABC ∆中，利用余弦定理可求出a 的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积. 【详解】（1）因为3AC MC =，所以点M 在线段AC 上，且2AM CM =，故12BMC BMA S CM S AM ∆∆==，① 记CBM θ∠=，则1sin 2BMC S BC BM θ∆=⋅⋅，1sin 22BMA S AB BM θ∆=⋅⋅. 因为()sin A B A +=，即sin C A =，即AB =，结合①式，得12BMCBMAS S ∆∆===，可得cos 2θ=.因为()0,θπ∈，所以4πθ=，所以334ABC πθ∠==； （2）在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos b a c ac ABC =+-∠，即))222522a a =++⋅⋅，解得a =故1135sin sin 2242ABC S ac ABC a π∆=∠=⋅⋅=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，涉及共线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.18．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.（1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在[)4.5,6.5（时）内的周数为X ，求X 的分布列以及数学期望.【答案】（1）0.35；（2）7；（3）分布列见解析；数学期望65. 【解析】（1）用1减去频率直方图中位于区间[)3.5,6.5和[]7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知34,10XB ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的概率分布列，并利用二项分布的均值可计算出随机变量X 的数学期望. 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在[)6.5,7.5（时）内的频率为10.030.10.20.190.090.040.35------=； （2）所求平均数为40.0350.160.270.3580.1990.09100.047x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（时）； （3）依题意，34,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()47240101010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314371029*********P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2224371323210105000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33437189310102500P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()438141010000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故X 的分布列为X1234P240110000102925001323500018925008110000故()364105E X =⨯=. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题. 19．如图，五面体ABCDEF 中，2AE EF =，平面DAE ⊥平面ABFE ，平面CBF ⊥平面ABFE .45DAE DEA CFB EAB FBA ∠=∠=∠=∠=∠=︒，AB EF ，点P是线段AB 上靠近A 的三等分点.（Ⅰ）求证：DP 平面CBF ；（Ⅱ）求直线DP 与平面ACF 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）33819【解析】（Ⅰ）根据题意，分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MP ，MN . 由题可知AD DE =，90ADE ∠=︒.设1AD DE ==，则2AM =由平面DAE ⊥平面ABFE ，得DM ⊥平面ABFE ，同理CN ⊥平面ABFE .，从而//DM CN .，则//DM 平面CBF ；由cos45AM AP =︒，所以90AMP ∠=︒，所以AMP ∆是以AP为斜边的等腰直角三角形，再由45MPA ∠=︒，45FBA ∠=︒，得到//MP FB .则//MP 平面CBF .，再由面面平行的判断定理得到平面//DMP 平面CBF ，从而得证。
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案
河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）Word版含答案河南省天一大联考2020届高三上学期阶段性测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，，则。
故答案为D。
2. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】角的终边经过点,根据三角函数的定义得到，故答案选B。
3. 已知是公差为2的等差数列，为的前项和，若，则（）A. 24B. 22C. 20D. 18【答案】C【解析】已知是公差为2的等差数列，，即故答案为：C。
4. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点在幂函数的图象上，将点代入得到故函数为，，，故大小关系是。
故答案为A。
5. （）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据积分的应用得到故答案为：B。
6. 函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】B...............∴f（x）为奇函数，排除A，f（0）=0，排除D，f（）=0，排除C，故选B．7. 已知实数满足，且的最大值为6，则实数的值为（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为6，即x+y=6．即A（3，3），同时A也在直线y=k上，∴k=3，故答案为D。
8. 《张丘建算经》中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四舍五入，只取整数).A. 10B. 8C. 6D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为a1，公比S7=700，解得：，故结果为C。
2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试(三)理科数学
2020届全国天一大联考新高考押题模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.已知集合(){|lg 2}A x y x ==-，2{|30}B x x x =-≤，则A B ⋂=（ ） A. {|02}x x << B. {|02}x x ≤<C. {|23}x x << D. {|23}x x <≤【答案】B 【解析】 【分析】由题意，求得集合{|2}A x x =<，{|03}B x x =≤≤，再根据集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，求得集合{|2}A x x =<，{|03}B x x =≤≤，所以，{|02}A B x x ⋂=≤< 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及集合交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2.若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A.2B.32C.2D.12【答案】C【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z 【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i iz i i i -++-+-+===--+，所以2z z ===，故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.3.下列有关命题的说法错误的是（ ） A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若α、β是两个不同平面，m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；C. “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”； D. 若命题p ：0x R ∃∈，200x ≥，则命题：p ⌝：x R ∀∈，20x <. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“或”命题的真假判断表即可判断A ；根据面面垂直的判定定理即可判断B ；由充分必要条件可判断C ；根据特称命题的否定可判断D. 【详解】对于A ，若“p q ∨”假命题，∴p 、q 均为假命题，故A 正确；对于B ，若α、β是两个不同平面，m α⊥，m β⊂， 由面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，故B 正确；对于C ，“1sin 2x =”不能推出“6x π=”，例如56x π=，反之一定成立， 故“6x π=” 是“1sin 2x =”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，命题p ：0x R ∃∈，200x ≥，为特称命题，其否定一定为全称命题，即为x R ∀∈，20x <，故D 正确. 故选：C【点睛】本题主要考查常用逻辑用语中命题的真假判断，属于基础题. 4.已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ） A.23B. 1C.32D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列概率的性质得到m 的值，再由均值公式得到结果. 【详解】由841127927m +++=，得29m =，所以()842101231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 故选B【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.5.已知向量a r 、b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r的夹角为（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 分析】设a r 、b r的夹角为θ，由()2a b a -⊥r r r ，得出()20a a b ⋅-=r r r ，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值.【详解】设a r 、b r的夹角为θ，()2a b a -⊥r r r Q 且a b =r r ，()222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r ，解得1cos 2θ=，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=.因此，a r 、b r 的夹角为3π，故选B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 6.若cos （8π-α）=16，则cos （34π+2α）的值为（ ） A.1718B. 1718-C. 1819D. 1819-【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值． 【详解】∵cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝16，∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718.故选A.【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题． 7.若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13+m n的 最小值为（ ） A. 4 B. 6C. 12D. 16【答案】B 【解析】圆心坐标为(3,1)--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=，32m n +=，所以13113(3)()2m n m n m n +=++19(6)2n m m n =++1(62≥+6=，当且仅当9n m m n =时取等号，因此最小值为6，故选B ．8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r = A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680，解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果. 9.已知定义在R 上的偶函数()()()()()cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A. 1B.C.12D.【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+-⎪⎝⎭由函数为偶函数求出ϕ，再由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出ω，将6π代入表达式即可求解.【详解】()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 为偶函数，0ϕπ<< 所以23ϕπ=，即()2cos f x x ω=， 又因为x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，可得：()002f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2cos 02cos02πω+=，解得()22k k Z πωππ=+∈ 所以42k ω=+，0>ω且ω取最小值，所以2ω=综上可得()2cos2f x x =，∴2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题10.如图，在直二面角A BD C --中，ABD CBD ∆∆，均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是（ ）A. BC 与平面1A BE 内某直线平行B. CD ∥平面1A BEC. BC 与平面1A BE 内某直线垂直D. 1BC A B ⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】连接CE ,当平面1A BE 与平面BCE 重合时,可判断A C 、;当平面1A BE 与平面BEF 重合时可判断B,根据假设法可判断D.【详解】根据题意, 连接CE当平面1A BE 与平面BCE 重合时,BC ⊂平面1A BE ,所以平面1A BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线,故A C 、可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ,使得BF CD =,连接EF ,则当平面1A BE 与平面BEF 重合时,BF ⊂平面1A BE ,故平面1A BE 内存在与BF 平行的直线,即平面1A BE 内存在与CD 平行的直线,所以CD ∥平面1A BE ,故B 可能成立．若1BC A B ⊥,又11A B A E ⊥,则1A B 为直线1A E 和BC 的公垂线,所以1A B CE <, 设11A B = ,则经计算可得CE =, 与1A B CE <矛盾,故D 不可能成立． 故选:D【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的平行和垂直判定,对空间几何体的分析能力要求较高,属于中档题.11.定义12n n p p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A.111B.112C.1011D.1112【答案】C 【解析】 【分析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=L ，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=- 即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和.【详解】由已知得12121n n a a n a =++++L ，∴()1221n n a a a n n S +++=+=L ，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==，11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴L 故选：C【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 12.已知函数()2xm f x xe mx =-+（e为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞【答案】D 【解析】 【分析】利用参数分离法进行转化，12x xe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠，则12xxe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 则()222111'222'()1122xxx xe x xee x x h x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212x e x x x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵0x >且12x ≠，∴由'()0h x =得1x =，当1x >时，'()0h x >，函数为增函数， 当01x <<且12x≠时，'()0h x <，函数为减函数， 则当1x =时函数取得极小值，极小值为(1)2h e =， 当102x <<时，()0h x <，且单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 要使12xxe m x =-有两个不同的根，则2m e >即可，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.方法2：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 设()xg x xe =，1()()2h x m x =-，'()(1)x x x g x e xe x e =+=+，当0x >时，'()0g x >，则()g x 为增函数，设1()2h x m x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与()x g x xe =，相切时的切点为(,)aa ae ，切线斜率(1)a k a e =+， 则切线方程为(1)()aay ae a e x a -=+-， 当切线过1(,0)2时，1(1)()2a aae a e a -=+-， 即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=， 要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >，即实数m的取值范围是(2,)e+∞.故选D．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设,x y满足约束条件12314yx yx y≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y=+的最大值为______________．【答案】19 【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的ABC V，其中()()()4,2,1,1,5,1A B C--，18,3,19A B Cz z z===，所以max19 Cz z==．故答案为19【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y bx a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．14.若3(nx的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为__________．【答案】15 【解析】 【分析】依题意，令1x =，求得5n =，写出二项展开式的通项3552153r rr r TC x--+=，进而可确定展开式中x 的系数．【详解】依题意，令1x =，解得232n =，所以5n =，则二项式53x ⎛- ⎝的展开式的通项为：(()53552155313rrr rr rrr T C C xx ---+⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭，令3512r -=，得4r =，所以x 的系数为45315C =． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，其中解答中利用各项系数的和，求解n 的值，再利用二项展开式的通项求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15.已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，PF x ⊥轴（其中F 为双曲线的右焦点），点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为______.. 【解析】 【分析】由题意可得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，分别求出点P 到该双曲线的两条渐近线的距离，根据点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，可得2c b =，即可求出a 与c 的关系，即可求出离心率. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的方程为0bx ay ±=，由PF x ⊥轴（其中F 为双曲线的右焦点），22221c y a b ∴-=，2b y a∴=±， 不妨设 2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点P 到该双曲线的两条渐近线的距离分别为22bc b c +=22bc b c -=， Q 点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，2213bc b c bc b c-∴=+，即13c b c b -=+， 即2c b =，2a c ∴==，c e a ∴==故答案为：3【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.16.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC ⊥平面ABC ，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，若三棱锥S ABC -的体积为3，则球O 的表面积为______. 【答案】20π 【解析】【分析】求出BC ，可得ABC ∆的外接圆半径，从而可求出该三棱锥的外接球半径，即可求出三棱锥的外接球表面积.【详解】2AB AC ==Q ，120BAC ∠=︒， 2222222cos12023BC ∴=+-⨯⨯=o ABC ∆∴的外接圆直径324sin120r ==o， 2r ∴=，Q SC ⊥平面ABC ，三棱锥S ABC -23，12333S ABC ABC V S SC -∴=⋅⋅=，可解得2SC = 三角形OSC 为等腰三角形，∴该三棱锥的外接球的半径2252SC R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴该三棱锥的外接球的表面积为2420S R ππ==故答案为：20π【点睛】本题主要考查立体几何的外接球问题，考查了棱锥的体积公式、球的表面积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC V 为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3b =．【解析】 【分析】(1)根据已有等式2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，利用正弦定理作角化边，可得22cos 2bc A a cb +=，最后再由余弦定理把所有角都化为边的等式得2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；最后，根据等式可化简出b c =，故可证ABC V 为等腰三角形.(2)由 2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠可得ACD DAC ∠=∠， 然后，就可以根据角的相等关系，根据余弦定理或相似关系列出等式进行求解即可.【详解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=Q ，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=, 所以()20b c -=即b c =， 故ABC V 为等腰三角形． （2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠Q ，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 得2229b c +=，由（1）可知b c =，得3b =．解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===， 2,ADB ACD ACD DAC Q ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2221312AE AD DE ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭， 222233322b AC AE EC ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠， 又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠Q ，CAB CDA ∴V V ∽，即CB CA CA CD =，即31bb =， 3b ∴=【点睛】本题考查解三角形问题，（1）题的关键就是利用正弦定理和余弦定理作角化边的转化，(2)题的难点在于根据已有关系化简出相应的等式关系求解，难度属于一般题.18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒V 为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC 、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）427． 【解析】 【分析】(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形ENBC 是平行四边形. (2) 设AD 的中点为O ， 可证,,OA OC OP 两两垂直，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系，然后求出平面ABM 的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.【详解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E Q 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =； 在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面PAB ．法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E Q 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ，又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，//OC ∴平面PAB ，又OE OC O ⋂=Q ， 所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥Q ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系．已知点()()()()111,0,0,1,0,1,,1,0,0,0,0,1,22A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v ， 设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =v．则有01022m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u v v u u u u v v ，可得平面ABM的一个法向量为)2,0m =v，12DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u v ，可得：1120cos ,7m DM m DM m DM++⨯⋅===⋅u u u u v v u u uu v vu u u u v v ，所以直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为7． 【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.19.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，且经过点1,2⎛-⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) 2214x y += (2)见解析【解析】 【分析】（1）由题得a,b,c 的方程组求解即可（2）直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数，即1212y y 0x t x t+=--，整理)()1212t y y 2my y 0+-=.设直线l 的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=， 解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.设直线l的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y +=1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数.所以，1212y y 0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=.又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，整理得，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m--⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎫⎪⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x轴上的定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.20.已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【答案】(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3. 【解析】 【分析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x x m x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x xm x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果. 【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-． （2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e ef =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈； 当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-，令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--，由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ， 此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <． 综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.21.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）． 回归方程①50.8169.7y x =+②$bx y ae =µ1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) $0.11235x y e = (2)见解析 【解析】 【分析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u bx x==--==≈-∑∑$， 6.050.108 5.5 5.456 5.46cu bx =-≈-⨯=≈$$ $ 5.46235c a e e =≈≈$∴模型②的回归方程为$0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为$0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =u u u r u u u r，求k 的值. 【答案】（1）24cos 30ρρθ-+=；（2）k =. 【解析】 【分析】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y ，且()4,0Q ，由M 为PQ 的中点，得x=2cos θ+，y= sin θ，整理得()2221x y -+=，化为极坐标即可；（2）把直线l ：y kx =化成极坐标方程为θα=，设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v ，得43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=， 联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩，得7cos 8α=，代入2221tan 1cos k αα==-即可. 【详解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=， 化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =u u u v u u u v ，所以43OA OB =u u u v u u u v，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则7k =±.【点睛】本题考查了相关点代入法求轨迹的方法，极坐标方程的应用，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集； （2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 【答案】（1）(,1)(1,)-∞-+∞U ；（2）1． 【解析】 【分析】(1) 当1a =时，求出分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，然后可以选择数形结合求解或选择解不等式组； (2)当02a <<时，化简分段函数得()()()()2,,11 12122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x -+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩可以得到函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，然后利用最值分析法，即可求出参数a 的最小值.【详解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或无解或1x >， 所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<Q ．则()()()()2,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x -+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为对x R ∀∈，()32f x a≥恒成立， 所以()min 3122a f x a=+≥． 又因为0a >， 所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）． 所以a 的最小值为1．【点睛】本题第一问考查通过利用绝对值不等式的关系转化成分段函数进行求解的题目，求解的过程既可用数形结合，也可以用不等式组求解，属于简单题；第二问考查含参绝对值不等式求解参数的最值问题，因为本题的参数不容易分离，所以，选择最值分析法进行讨论求解，难度属于中等.。
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绝密★启用前2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==+>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1答案：A通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 解：对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-， 从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 点评：本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题. 2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．答案：C先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 解：由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.点评：本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人 答案：D根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案. 解： 该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=， 而智能类共有40%3%6%10%21%---=， 所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确； 非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确； 动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误. 故选：D. 点评：本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22±B ．2C ．2±D ．2-根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a . 解：方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩，由等比数列性质可知24864a a a ==，62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B. 点评：本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<答案：D先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 解：Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<. 故选：D. 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要答案：B通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 解：当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392答案：A由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可. 解：由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯=在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+== 可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=，从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+. 故选：A. 点评：本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ） A ．4种 B ．5种C ．31种D ．36种答案：C分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可. 解：该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种； 连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种， 故选：C. 点评：本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-； ③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增.其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1答案：B通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.解：由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫=⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又(0)2f =，可得sin 26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确.故选：B. 点评：本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．194答案：C由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.解：因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 点评：本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r rD ．241515a b -r r答案：A连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FA u u u r u u u r用,AB AC u u u r u u u r表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解. 解：连接,FA FD ，。