《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记
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第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．
§3.1子空间
本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．
讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．
考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：
定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y
X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．
我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间
中的
n维单位球面:
n维单位开、闭球体:
以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．
定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．
证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为
半径的球形邻域为，.
首先指出：有=∩Y.
这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε.
现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是
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设，∴U=V∩Y
另一方面，设U＝V∩Y，其中V∈．如果y∈U，则有y∈Y和y∈V．,有
按照定理3.1.1的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务．
定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A∩Y|A∈A}称为集族A 在集合Y上的限制，记作
引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T)的一个子集．则集族是Y的一个拓扑．
证明我们验证满足拓扑定义中的三个条件：
（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T,=∩Y,所以∈
（2）如果A，B∈，即
于是
（3）如果是集族的一个子集族，即对于每一个A∈，
定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．Y的拓扑称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，，）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间．
我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．
假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上定理3.1.1已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍．
定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间．
定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y 的一个子空间，则Z是X的一个子空间．
证明当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有；
并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（）={U∩Y|U∈T}
={U∩Y∩Z|U∈T}={U∩Z|U∈T}=
因此Z是X的一个子空间．
定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则
（l）分别记T和为X和Y的拓扑，则=；
（2）分别记F和为X和Y的全体闭集构成的族，则=；
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（3）分别记和y为点y在X和Y中的邻域系，则y= ．
证明（1）即是子空间和相对拓扑的定义．
（2）成立是因为：
={(X-U)∩Y|U∈T}={Y-U∩Y|U∈T}=
（3）设则，因此存在使得V＝∩Y,令
,由于并且
＝V∪U＝U
所以U∈.以上证明．类似的论证指出
定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集．则
（1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；
（2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．
证明为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d（A）和；
而记A在Y中的导集和闭包分别为（A）和（A）．
（l）一方面，设y∈（A）．则对于y在X中的任何一个邻域U，根据定理 3.1.5，U∩Y是y在Y中的一个邻域，所以
因此y∈d（A）．此外当然有y∈Y．所以
y∈d(A)∩y．这证明(A)d（A）∩Y．
另一方面，设y∈d(A)∩Y,
所以y∈(A)．这证明d（A）d（A）∩Y．
（2）成立是因为(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y 定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则
（1）如果B是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基；
（2）如果是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空间Y中的一个邻域基．
证明（1）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一
个开集V使得U=V∩Y；存在B的一个子族,使得V＝．因此U＝
由于上式中的每一个B∩Y是中的一个元素，所以在上式中U 已经表示成了中的某些元素之并了．因此是Y的一个基．（2）证明（略）．
“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如
涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2．2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间．在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：
第二章 内积空间
第二章 内积空间 目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。 §1 内积空间的概念 定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一 个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。 (1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。 此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。 例2－1 对于n R 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积 ()∑==n i i i y x Y X 1 ,，n R 成为一个内积空间。内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称 为欧氏空间。由于n 维实内积空间都与n R 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。 例2－2 如果对于n n R B A ?∈?,，定义内积为()∑== n j i ij ij b a B A 1 ,,，则n n R ?成为一个内积 空间。 例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f b a ? = )()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积 的条件，从而],[b a R 构成内积空间。 内积()βα,具有下列基本性质 (1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+； (3) ()()0,,==βθθα。
【精品】第三章函数逼近及最小二乘法
第三章函数逼近及最 小二乘法
第三章 函数逼近及最小二乘法 §1 内积空间及函数的范数 定义1 设)(x ρ是定义在(a,b)上的非负函数，且满足： 1）dx x x n b a )(ρ?存在 （n=0,1,2,…） 2）对非负的连续函数g(x)，若 0)()(=?dx x x g b a ρ 则在(a,b)上有g(x)=0，则称)(x ρ为(a,b)上的权函数。 定义2 设f(x),g(x)为[a,b]上的连续函数，)(x ρ为(a,b)上的权函数，称 ),(g f = dx x x g x f b a )()()(ρ? 为函数f(x)与g(x)在[a,b]的内积。特别当)(x ρ=1时，上式变为 ),(g f = dx x g x f b a ?)()( 设],[b a C 表示在区间[a,b]上连续函数的全体，那么定义了内积之后，],[b a C 就变成了一个内积空间。显然有 ),(f f = dx x x f b a )()(2ρ? 为一个非负值，因此我们有 定义3 对],[)(b a C x f ∈，称 ),()(2f f x f = 为)(x f 的欧氏范数（又称2-范数）。
其实，我们还经常用到函数的其他范数。比如， ) ( max ) (x f x f b x a≤ ≤ ∞ =dx x x f x f b a ) ( ) ( ) ( 1 ρ ?= n维向量空间中两个向量正交的定义也可以推广到连续内积空间] , [b a C中. 定义4 若] , [ ) ( ), (b a C x g x f∈,满足 ) , (g f = dx x x g x f b a ) ( ) ( ) (ρ ?=0 则称函数f(x)与g(x)在[a,b]上带权) (x ρ正交. 若函数族 ), ( , ), ( ), ( 1 x x x n ? ? ?满足 ? ? ? ? = > ≠ = =b a k k j k j k j A k j dx x x x ) ( ) ( ) ( ) , (? ? ρ ? ? 则称函数族{})(x k?是[a,b]上带权)(x ρ的正交函数族.特别地,若1 = k A ,就称之为标准正交函数族. 由高等数学的知识，我们知道, Foureir级数展开中函数族 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……即为] , [π π -上带权) (x ρ=1的正交函数族. 如同线性代数中的向量组线性无关概念一样,在此也有函数组的线性无关概念. 定义5设函数组) ( , ), ( ), ( 1 1 x x x n- ? ? ? 在[a,b]上连续,若 ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 = + + + - - x a x a x a n n ? ? ? 当且仅当0 1 1 = = = = - n a a a 时成立,则称函数族 ) ( , ), ( ), ( 1 1 x x x n- ? ? ? 在[a,b]上是线性无关的.否则称为线性相关函数组。
内积空间的基本概念汇总
第四章 Hilbert 空间 一 内积空间的基本概念 设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数 ),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足 1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝_ __________)x ,y (； 3） )y ,x ()y ,x (αα=； 4） )z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (； 称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。 定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有： |)y ,x (|2 )y ,y )(x ,x (≤。 设H 是内积空间，对任意H x ∈，命 ),(||||x x x = 则||||?是H 上的一个范数。 例 设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义 dt t y t x y x b a ?=________ )()(),( 则与],[2b a L 类似，), (y x 是一个内积，由内积产生的范数为 2 12 ) |)(|(||||?=b a dt t x x 上一个内积介不是Hilbert 空间。
定理 1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n →，y y n →，),(),(y x y x n n →。 定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立， 1） 平行四边形法则： 2 || ||y x +＋2 || ||y x -＝2)||||||(||2 2 y x +； 2） 极化恒等式： ),(y x ＝4 1 （2 || ||y x +－ 2 || ||y x -＋ 2 || ||iy x i +－ )||||2 iy x i - 定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性 设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x ⊥。 设M 是H 的任意子集，如果H x ∈与M 中每一元正交，称x 与M 正交，记为M x ⊥；如果N M ,是H 中两个子集， 对于任意 ,M x ∈,N y ∈y x ⊥，称M 与 N 正交，记 N M ⊥。设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体
24 内积空间中的正交性
2.4 内积空间中的正交性 Inner Product Spaces and Orthogonality 在三维空间中，如右图1所示任取一平面M ，空间中的每一个矢量x 必能分解成两个直交的向量和，其中一个向量0x 在平面M 上，另一个向量z 与平面M 垂直，即0x x z =+， 0x z ⊥．这种向量的分解形式，在一般的内积空间是否成立？ 图2.4.1 三维空间向量的分解，向量0x x z =+，其中0x z ⊥ 2.4.1 正交分解 定义2.4.1 正交 设X 是内积空间，,x y X ∈，如果(,)0x y =，则称x 与y 正交或垂直，记为x y ⊥．如果X 的子集A 中的每一个向量都与子集B 中的每一个向量正交，则称A 与B 正交，记为A B ⊥．特别记x A ⊥，即向量x 与A 中的每一个向量垂直． 定理2.4.1 勾股定理 设X 是内积空间，,x y X ∈，若x y ⊥，则2 2 2 x y x y +=+． 证明 2 (,)x y x y x y +=++ (,)(,)(,)(,)x x x y y x y y =+++ (,)(,)x x y y =+ 22 x y =+．□ 注1: 在内积空间中，是否存在222 x y x y +=+ ?x y ⊥？显然由 2 x y +(,)(,)(,)(,)x x x y x y y y =+++22 2Re(,)x y x y =++， 可知在实内积空间中2 2 2 x y x y x y +=+?⊥成立． 定义2.4.2 正交补Orthogonal complement
设X 是内积空间，M X ?，记{|,}M x x M x X ⊥=⊥∈，则称M ⊥为子集M 的正交补．显然有{0}X ⊥=，{0}X ⊥=以及{0}M M ⊥= ． 性质2.4.1 设X 是内积空间，M X ?，则M ⊥是X 的闭线性子空间． 证明 (1) M ⊥是X 的线性子空间 ,x y M ⊥?∈，,αβ∈K ，z M ?∈，有 (,)(,)(,)(,)(,)0x y z x z y z x z y z αβαβαβ+=+=+=， 于是x y M αβ⊥+∈，因此M ⊥是X 的线性子空间． (2) M ⊥是X 的闭子空间 设{}n x M ⊥?，且依范数0n x x →()n →∞，于是z M ?∈，有 0(,)(lim ,)lim(,)0n n n n x z x z x z →∞ →∞ ===． 因此0x M ⊥∈，即M ⊥是X 的闭子空间．□ 注2: 由于完备度量空间中的子空间完备的充要条件是子空间闭，因此在Hilbert 空间中(完备的内积空间)，任意子集M 的正交补M ⊥是完备的子空间，即Hilbert 空间的正交补M ⊥也是Hilbert 空间． 定义2.4.3 正交分解 设M 是内积空间X 的子空间，x X ∈，如果存在0,x M z M ⊥∈∈，使得0x x z =+，则称0 x 为x 在M 上的正交投影或正交分解． 引理 2.4.1 设X 是内积空间，M 是X 的线性子空间，x X ∈，若存在y M ∈，使得(,)x y d x M -=，那么x y M -⊥． 证明 令z x y =-，若z 不垂直于M ，则存在1y M ∈，使得1(,)0z y ≠，显然10y ≠． 因为α?∈K ，有 2 1 11(,)z y z y z y ααα-=-- 2 1111(,)(,)(,)z y z z y y y αααα=--+ 21111(,)[(,)(,)]z z y y z y y ααα=--- 特别取111(,) (,) y z y y α= ，则可得
第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
复矩阵(向量)的4个一元运算 ()?A=(a ij )∈C m ×n , 复矩阵(向量)的一元运算的性质 11221122k A k A k A k A +=+ ; T T T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和: 行列式的性质 方阵乘积的行列式公式 重要特殊矩阵 A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果?i ≠j,a ij =0; A称为上(下)三角矩阵,如果?i>(<)j,a =0.
特征值,特征向量 λ∈C称为A=(a ij )∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量. 特征值、特征向量续 三角矩阵A的所有对角元组成A的谱: σ(A)={a,…,a}. 线性相关与线性无关 定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F 线性映射与线性变换 关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间 §3.2: 标准正交基,Schmidt方法 第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
§3.1: 欧式空间,酉空间 从解析几何知二平面向量 内积的概念 定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念 例3.1.1：?α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b , 欧氏空间例1 例3.1.2：?α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射): 欧氏空间例2 在R 2中至少可定义两个不同的内积. 今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积. 关于例1和例2的注
第二章内积空间
第二章 内积空间 在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性 质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。 §2.1欧氏空间与酉空间 一、欧氏空间与酉空间 定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x = ),(),(.2y x y x λ=λ，λ?∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ?∈ 0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ= 则称(,)x y 为V 的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21 ),(x x x =为x 的长度或模。 例1 在[]n P x 中定义1 0((),())()()f x g x f x g x dx =?，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]n P x 构成一个欧氏空间。 例2 在n n ?R 中对,n n A B ??∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ?R 为欧氏空间。 证明 因为,,,n n A B C λ??∈∈R R （1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ=== （3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+
泛函分析第4章 内积空间
第四章 内积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为?，由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中， 13 2 2 1 ()k k x t ==∑，13 22 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =?∈ （3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注：由定义可得x = 内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 （2）,,,,;x y y x x y X =?∈
《空间向量数量积的运算》的教学反思
《空间向量数量积的运算》教学反思 本节课我讲了选修2-1第三章《空间向量的数量积运算》这个节，这是本章第三节的内容，主要学习的是空间向量的数量积的运算及应用。根据大纲，要求学生能熟练应用空间向量的运算解决简单的立体几何问题，这也是本节课的难点。突破难点的方法是让学生会用已知向量表示相关向量，就是利用三角形法则或多边形法则把未知向量表示出来，进而再求两个向量的数量积、夹角、距离等。 三方面实行整体设计，注重与学生已有知识的联系及相关学科知识的联系（物理学：功），因为本节知识是向量由二维向三维的推广，所以预习平面向量的运算起了一定的作用，使学生体会知识的形成过程和数学中的类比学习方法。在整个教学过程中，我还是沿用知识复习、学生探究、教师例题分析、师生合作归纳小结的主线实行教学，符合学生的认知规律，也易于学生对知识的掌握，在教学方法上，我注重多媒体演示和传统板书教学有效结合，较好地辅助了教学。同时，结合新高考的要求，我注重了数学核心素养的培养，在教学中例题分析与归纳时，我注重了数学思想方法的渗透，如本节课我就渗透了数形结合思想、类比思想等，本节课的核心理念是体现学生在学习中的主体性。但我注重调动学生的主观能动性，最大限度的发挥学生的主体作用，在教学过程中，学生的思维活跃，积极讨论问题，自主解决相关例题。精彩处在于学生积极参与互动，学生评判，教师引导，学生积极归纳知识点，整个课堂热烈有序，张而有驰，整体课多次出现教学高潮，博得了学生与听课专家的热烈掌声，从课后反馈来看，本堂课普片反应学懂了，掌握了知识和解决问题的水平，正在学有所用。 不足之处：在创设情境时，我用的是知识性引课，不够引人入胜，要是能想出更好的引课方式或动画设计，在一开始就抓住学生的眼球，调动起学生学习的积极性，应该效果会更好。其次，在课堂中没有充分发挥学生的主体性，老师由引导者又逐步变成了主导者。另外，难点突破应该在两个例题上，不过前边耽误了时间，导致重点地方没有充足的时间解决，没达到最初的意图。对问题的探究需要时间，课上让学生放开去探究，减少了课堂容量，影响到了例题的分析讲解。应
空间向量的数量积(人教A版)(含答案)
空间向量的数量积（人教A版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，，若向量分别与，垂直，则向量的坐标为( ) A.(1，1，1) B.(-2，-1，1) C.(1，-3，1) D.(1，-1，1) 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 2.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）．设，则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 3.（上接试题2）若向量与互相垂直，则实数k的值为( ) A.或2 B.或2 C.2 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 4.向量，若，且，则的值为( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1
答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 5.已知空间向量，若与垂直，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 6.若向量，且与夹角的余弦值为，则λ等于( ) A.4 B.−4 C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：空间向量的坐标表示 7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则( ) A.1 B.2 C.3 D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：空间向量的数量积 8.如图，棱长为a的正四面体ABCD中，( )
泛函分析题1.6内积空间答案
泛函分析题1_6内积空间p75 1.6.1 (极化恒等式) 设a是复线性空间X上的共轭双线性函数，q是由a诱导的二次型，求证：?x, y∈X，有 a(x, y) = (1/4) · ( q(x + y) -q(x-y) + i q(x + i y) -i q(x-i y))． 证明：?x, y∈X， q(x + y) -q(x-y) = a(x + y, x + y) -a(x-y, x-y) = (a(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y)) - (a(x, x) -a(x, y) -a(y, x) + a(y, y)) = 2 (a(x, y) + a(y, x))， 将i y代替上式中的y，有 q(x + i y) -q(x-i y) = 2 (a(x, i y) + a(i y, x)) = 2 (-i a(x, y) + i a( y, x))， 将上式两边乘以i，得到 i q(x + i y) -i q(x-i y) = 2 ( a(x, y) -a( y, x))， 将它与第一式相加即可得到极化恒等式． 1.6.2 求证在C[a, b]中不可能引进一种内积( · , · )，使其满足 ( f, f )1/2 = max a ≤x≤b| f (x) |(?f∈C[a, b] )． 证明：若C[a, b]中范数|| · ||是可由某内积( · , · )诱导出的， 则范数|| · ||应满足平行四边形等式． 而事实上，C[a, b]中范数|| · ||是不满足平行四边形等式的， 因此，不能引进内积( · , · )使其适合上述关系． 范数|| · ||是不满足平行四边形等式的具体例子如下： 设f(x) = (x–a)/(b–a)，g(x) = (b–x)/(b–a)， 则|| f || = || g || = || f + g || = || f –g || = 1， 显然不满足平行四边形等式． 1.6.3 在L2[0, T]中，求证函数x# | ?[0, T]e- ( T-τ)x(τ) dτ| ( ?x∈L2[0, T] )在单位球面上达到最大值，并求出此最大值和达到最大值的元素x． 证明：?x∈L2[0, T]，若|| x || = 1，由Cauchy-Schwarz不等式，有 | ?[0, T]e- ( T-τ)x(τ) dτ|2≤ (?[0, T] (e- ( T-τ))2dτ) (?[0, T] ( x(τ))2dτ) = ?[0, T] (e- ( T-τ))2dτ = e- 2T ?[0, T]e 2τdτ= (1-e- 2T )/2． 因此，该函数的函数值不超过M = ((1-e- 2T )/2)1/2． 前面的不等号成为等号的充要条件是存在λ∈ ，使得x(τ) = λ e- ( T-τ)． 再注意|| x || = 1，就有?[0, T] (λ e- ( T-τ))2dτ= 1． 解出λ= ±((1-e- 2T )/2)- 1/2． 故当单位球面上的点x(τ) = ±((1-e- 2T )/2)- 1/2 ·e- ( T-τ)时， 该函数达到其在单位球面上的最大值((1-e- 2T )/2)1/2． 1.6.4 设M, N是内积空间中的两个子集，求证：M?N ?N⊥?M⊥． 证明：若x∈N⊥，则?y∈N，(x, y) = 0． 而M?N，故?y∈M，也有(x, y) = 0． 因此x∈M⊥．所以，N⊥?M⊥．
《空间向量的数量积运算》示范教案
3.1.3空间向量的数量积运算 整体设计 教材分析 本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法． 通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2．掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律； 3．掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义； 2．空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数量积运算及其几何应用和理解． 教学过程 引入新课 提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段 D′C′上，D′F＝1 2FC′，如何确定BE → ，FD → 的夹角？
内积空间与希尔伯特空间
2.3 内积空间与希尔伯特空间 通过前面的学习，知道n 维欧氏空间就是n 维线性赋范空间的“模型”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如θ为向量α和β的夹角时有：cos αβ θαβ ?= 或者cos αβαβθ?=，其中αβ?表示两个向量的数量积(或点积或内积)，α表示向量的模．于是便有了直交性、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间，由内积可导出范数，若完备则为Hilbert 空间． 2.3.1 内积空间 定义1.1 设U 是数域K 上的线性空间，若存在映射( , )??：U U ?→K ，使得,,x y z U ?∈， α∈K ，它满足以下内积公理： (1) (,)0x x ≥；(,)00x x x =?=； 正定性(或非负性) (2) (,)(,)x y y x =； 共轭对称性 (3) (,)(,)(,)x z y x y z y αβαβ+=+， 线性性 则称在U 上定义了内积( , )??，称(,)x y 为x 与y 的内积，U 为K 上的内积空间(Inner product spaces )．当=K R 时，称U 为实内积空间；当=K C 时，称U 为复内积空间．称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间,即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces )空间． 注1：关于复数：设z a bi =+∈C ，那么z oz =；(cos sin )z r i θθ=+其中θ为辐射角、r z =；2 z z z ?=；z z =；对于12,z z ∈C ，有1212z z z z ?=?． 注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性． 注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的． 因为(,)(,)(,)(,)(,)x y y x y x y x x y ααααα===?=，所以有 (,)(,)(,)x y z x y x z αβαβ+=+， 即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为
空间向量的数量积运算练习题
课时作业(十五) [学业水平层次] 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.P A →与CD →
【解析】 用排除法，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，故P A →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，P A ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2 ，故D 错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．
泛函分析第4章内积空间
第四章 积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的积描述的，因此在本章我们引入了一般的积空间的概念。 4.1 积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为?，由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中， 13 2 2 1 ()k k x t ==∑，13 22 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =?∈ （3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注：由定义可得x = 我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 （2）,,,,;x y y x x y X =?∈
两个向量的数量积(教案)
高二数学教学案 一、预习提纲： 1．空间向量的夹角及其表示、异面直线 2．向量的数量积 3．空间向量数量积的性质 4．空间向量数量积运算律 二、预习达标： 1、=++ ，2 =3，4=，则,a b <>r r =______ A 、3π B 、 4π C 、2π D 、32π 2、空间向量a 、b =8，,a b <>r r =3 2π，求 （1）（+2）?=_____________, （2）（+2）?(2?)=__________________ 三、学案导学： 1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ； 若,2 a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b ⊥r r ； ﹡ 异面直线：_______________________________
2．向量的模： 设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r ； 3．向量的数量积： 已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ??<>r r r r 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ?r r ，即a b ?=r r ||||cos ,a b a b ??<>r r r r ． 已知向量AB a =u u u r r 和轴l ，e r 是l 上与l 同方向的单位向 量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r 上的正射影；可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=?u u u u r u u u r r r r r ． 4．空间向量数量积的性质： （1）||cos ,a e a a e ?=<>r r r r r ． （2）0a b a b ⊥??=r r r r ． （3）2||a a a =?r r r ． 5．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r ． （2）a b b a ?=?r r r r （交换律）． （3）()a b c a b a c ?+=?+?r r r r r r r （分配律）． 四、典例剖析： 例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。 已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥ 求证：l α⊥． 证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ， 在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g r r r r ，∵,m n 相交， ∴向量,m n r r 不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+r r r ， ∴l g xl m yl n ?=?+?r r r r r r ，又∵0,0l m l n ?=?=r r r r ， ∴0l g ?=r r ，∴l g ⊥r r ，∴l g ⊥， 所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥． 例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ?=+?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2AB AC BD AC AB AB BD =?+?--?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0AB AC AB BD AB DC =?--=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． l m n m n g g l
内积空间
内积空间 (2012-06-17 20:13:58) ▼ 内积空间 内积的几何解释 在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。 关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。 内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。 在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。 定义 下文中的数量域F是实数域或复数域。 域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）： 满足以下公理： 共轭对称； 这个设定蕴含着对于所有, 因为. (共轭也写成加星号：，如同共轭转臵。)
?对第一个元素是线性算子； 由前两条可以得到： 因此实际上是一个半双线性形式。 ?非负性： (这样就定义了对于所有。说明内积是从点积抽象而来。) ?非退化： 从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。 在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。 当且仅当。 因此，内积空间是一个Hermitian形式。 V满足可加性： 对所有的，， 如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。 共轭双线性变成了一般的双线性。 备注。多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。很多物理学家接受相反的约定。这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。某些作者接受约定 < , > 在第一个分量是线性的而 < | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。 选择R或C作为内积空间的基域是有原因的。首先，这个域要包含一个有序关系的子域，否则就无法谈论“非负性”，因此它的特征必须是零。这样就排除了所有的有限域。基础域必须有额外的结构，比如有显著的自同构。 在某些情况下，必须考虑非负半定半双线性形式。这意味着
空间向量的数量积运算练习题
空间向量的数量积运算 练习题 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
课时作业(十五) 一、选择题 1．设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确． 【答案】 D 2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对 【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2 ＋2a ·b ＝|c |2 ，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1 4 . 【答案】 D 3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连结AC ，BD ， PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( ) A.PC →与BD → B.DA →与PB → C.PD →与AB → D.PA →与CD → 【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD → ＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD
内积空间简介
第九章内积空间Inner Product Space
§9.1 目的与要求 ?掌握内积、内积空间的概念 ?熟练掌握欧氏空间的度量概念，如长度、距离、夹角、正交等 ?熟练掌握Cauchy-Schwarz不等式、三角不等式的含义及应用 厦门大学数学科学学院 网址: https://www.360docs.net/doc/153226908.html,
?定义:设V 是R 上线性空间,存在映射( ,):, 使得对任意x , y , z ∈V, c ∈R,有 (1). ( x , y ) = ( y , x ) (2). ( x + y , z ) = ( x ,z ) + (y , z ) (3). ( cx , y ) = c ( x , y ) (4). ( x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V 上定义内积( , ). V 称为内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid 空间(欧氏空间). R V V →?对称线性非负（实）内积空间
?定义:设V 是C 上线性空间,存在映射( , ):使得对任意x , y , z ∈V, c ∈C,有 (1).(2). (x + y , z ) = (x , z ) + ( y , z ) (3). (cx , y ) = c ( x , y ) (4). (x , x ) ≥ 0.且等号成立当且仅当x = 0. 则称在V 上定义内积( , ). V 称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间. ?注1:对任意实数a , , 所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间. ?注2:在复内积空间中, (,)(,) x y y x =a a =(,)(,) x cy c x y =R V V →?（复）内积空间
泛函分析第4章-内积空间
泛函分析第4章-内积空间
第四章 内积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间n R 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在n R 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。我们知道，n R 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123(,,)x t t t =，123(,,)y s s s R =∈，设x 与y 夹角为?，由解析几何知识可得 112233 cos t s t s t s x y ?++= ? 其中， 13 22 1 () k k x t ==∑， 13 2 2 1 ()k k y s ==∑ 令3 1 ,k k k x y t s ==∑，称为x 与y 的内积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x y x R x x x θ≥?∈=?=且 （2）3,,,,;x y y x x y R =?∈ （3）3121212,,,,,,;x x y x y x y x x y R +=+?∈ （4）3,,,,,.x y x y R x y R λλλ=?∈?∈ 注：由定义可得x = 内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4.1】 设X 为数域F 上线性空间，若对任两个元素（向量）x ，y X ∈，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x y x X x x x θ≥?∈=?=且 （2）,,,,;x y y x x y X =?∈